2017年天津高考理科数学真题及答案.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前20172017 年天津高考理科数学真题及答案年天津高考理科数学真题及答案本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第第卷卷注意事项：注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共

2、 40 分。参考公式：参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)棱柱的体积公式V=Sh.球的体积公式343VR.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径h表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合1,2,6,2,4,|15ABCxx R，则()ABC（A）2（B）1,2,4（C）1,2,4,6（D）|15xx R（2）设变量,x y满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy则目标函数zxy的最大值为（A

3、）23（B）1（C）32（D）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 24，则输出N的值为（A）0（B）1（C）2（D）3（4）设R，则“|1212”是“1sin2”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144xy（B）22188xy（C）22148xy（D）22184xy（6）已知奇函数()f x在 R R 上是增函数，()()g xxf x.若2(log 5.1)ag

4、，0.8(2)bg，(3)cg，则a，b，c的大小关系为（A）abc（B）cba（C）bac（D）bca（7）设函数()2sin()f xx，xR，其中0，|.若5()28f，()08f，且()f x的最小正周期大于2，则（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，24（8）已知函数23,1,()2,1.xxxf xxxx设aR，若关于x的不等式()|2xf xa在 R R 上恒成立，则a的取值范围是（A）47,216（B）47 39,16 16（C）2 3,2（D）39 2 3,16第第卷卷注意事项：注意事项：1 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。用黑色墨水的钢笔

5、或签字笔将答案写在答题卡上。2 2本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 110110 分。分。二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.（9）已知aR，i 为虚数单位，若i2ia 为实数，则a的值为.（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为.（11）在极坐标系中，直线4cos()106 与圆2sin的公共点的个数为_.（12）若,a bR，0ab，则4441abab的最小值为_.（13）在ABC中，60A，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR ，且4AD A

6、E ，则的值为_.（14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知ab，5,6ac，3sin5B.（）求b和sin A的值；（）求sin(2)4A的值.16.（本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红

7、灯的概率分别为1 1 1,2 3 4.（）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.（1717）（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，90BAC.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长.18.（本小题满分 13 分）已知na为等差数列，前n项和为

8、()nSnN，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（）求na和nb的通项公式；（）求数列221nna b的前n项和()nN.（19）（本小题满分 14 分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程.（2020）（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设aZ，

9、已知定义在 R R 上的函数432()2336f xxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0 x，()g x为()f x的导函数.（）求()g x的单调区间；（）设001,)(,2mxx，函数0()()()()h xg x mxf m，求证：0()()0h m h x；（）求证：存在大于 0 的常数A，使得对于任意的正整数,p q，且001,)(,2,pxxq满足041|pxqAq.天津理数答案天津理数答案1-4BDCA5-8BCAA9.2；10.92；11.2；12.4；13.311；14.108015.（）解：在ABC中，因为ab，故由3sin5B，可得4cos5B.由已知及余弦定理，有2

10、222cos13bacacB，所以13b.由正弦定理sinsinabAB,得sin3 13sin13aBAb.所以，b的值为13，sin A的值为3 1313.（）解：由（）及ac，得2 13cos13A，所以12sin22sincos13AAA，25cos212sin13AA .故7 2sin(2)sin2coscos2 sin44426AAA.16.（）解：随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X，1111111111(2)(1)(1)(1)234

11、2342344P X，1111(3)23424P X.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412E X .（）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P YZP YZP YZP YP ZP YP Z1111111142424448.所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能

12、力和推理论证能力.满分13 分.如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）证明：DE=（0，2，0），DB=（2，0，2）.设(,)x y zn，为平面BDE的法向量，则00DEDB nn，即20220yxz.不妨设1z，可得(1,0,1)n.又MN=（1，2，1），可得0MN n.因为MN 平面BDE，所以MN/平面BDE.（）解：易知1(1,0,0)n为平面CEM的一个法向量.设2(,)

13、x y zn为平面EMN的法向量，则2200EMMN nn，因为(0,2,1)EM ，(1,2,1)MN ，所以2020yzxyz.不妨设1y，可得2(4,1,2)n.因此有1212124cos,|21 nnn n|nn，于是12105sin,21n n.所以，二面角CEMN的正弦值为10521.（）解：依题意，设AH=h（04h），则H（0，0，h），进而可得(1,2,)NHh ，(2,2,2)BE .由已知，得2|22|7|cos,|21|52 3NH BEhNH BENHBEh ，整理得2102180hh，解得85h，或12h.所以，线段AH的长为85或12.18.【解析】（I）设等差数

14、列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.由已知2312bb，得21()12b qq，而12b，所以260qq.又因为0q，解得2q.所以，2nnb.由3412baa，可得138da.由114=11Sb，可得1516ad，联立，解得11a，3d，由此可得32nan.所以，数列na的通项公式为32nan，数列nb的通项公式为2nnb.（II）解：设数列221nna b的前n项和为nT，由262nan，1212 4nnb，有221(31)4nnna bn，故232 45 48 4(31)4nnTn ，234142 45 48 4(34)4(31)4nnnTnn ，上述两式相减，得23132 43

15、43 43 4(31)4nnnTn 1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn 得1328433nnnT.所以，数列221nna b的前n项和为1328433nn.19.（）解：设F的坐标为(,0)c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx.（）解：设直线AP的方程为1(0)xmym，与直线l的方程1x 联立，可得点2(1,)Pm，故2(1,)Qm.将1xmy与22413yx 联立，消去x，整理得22(34)60mymy，解得0y，或2634mym.由点B异于点A，可得点22234

16、6(,)3434mmBmm.由2(1,)Qm，可学*科.网得直线BQ的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm，令0y，解得222332mxm，故2223(,0)32mDm.所以2222236|13232mmADmm.又因为APD的面积为62，故221626232|2mmm，整理得232 6|20mm，解得6|3m，所以63m .所以，直线AP的方程为3630 xy，或3630 xy.20.（）解：由432()2336f xxxxxa，可得32()()8966g xfxxxx，进而可得2()24186g xxx.令()0g x，解得1x ，或14x.当x变化时，()

17、,()g x g x的变化情况如下表：x(,1)1(1,)41(,)4()g x+-+()g x所以，()g x的单调递增区间是(,1)，1(,)4，单调递减区间是1(1,)4.（）证明：由0()()()()h xg x mxf m，得0()()()()h mg m mxf m，000()()()()h xg xmxf m.令函数10()()()()H xg x xxf x，则10()()()Hxg x xx.由（）知，当1,2x时，()0g x，故当01,)xx时，1()0Hx，1()Hx单调递减；当0(,2xx时，1()0Hx，1()Hx单 调 递 增.因 此，当001,)(,2xxx时，

18、1100()()()0H xH xf x，可得1()0,()0H mh m即.令函数200()()()()Hxg xxxf x，则20()()()Hxg xg x.由（）知，()g x在1,2上单调递增，故当01,)xx时，2()0Hx，2()Hx单调递增；当0(,2xx时，2()0Hx，2()Hx单 调 递 减.因 此，当001,)(,2xxx时，220()()0HxHx，可得20()0,()0Hmh x即.所以，0()()0h m h x.（III）证明：对于任意的正整数p，q，且001)(,2pxxq，令pmq，函数0()()()()hgmxxxmf.由（II）知，当01),mx时，()

19、h x在区间0(,)m x内有零点；当0(,2mx时，()h x在区间0(),x m内有零点.所 以()h x在(1,2)内 至 少 有 一 个 零 点，不 妨 设 为1x，则110()()()()0pphgxfqxqx.由（I）知()g x在1,2上单调递增，故10()()12()gxgg，于是432234041()|()|2336|()()(2)2ppffppp qp qpqaqqqxqg xggq.因为当1 2,x时，()0g x，故()f x在1,2上单调递增，所以()f x在区间1,2上除0 x外没有其他的零点，而0pxq，故()0pfq.又因为p，q，a均为整数，所以432234|2336|pp qp qpqaq是正整数，从而432234|2336|1pp qp qpqaq.所以041|2|()pxqgq.所以，只要取()2Ag，就有041|pxqAq.