2016天津考研数学三真题及答案.pdf

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1、20162016 天津考研数学天津考研数学三真题及答案三真题及答案一、填空题填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1 1）11lim_.nnnn（2 2）设函数()f x在2x 的某邻域内可导,且 ef xfx，21f，则 2_.f（3 3）设 函 数()f u可 微,且 102f,则224zfxy在 点(1,2)处 的 全 微 分1,2d_.z（4 4）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B.（5 5）设 随 机 变 量XY与相 互 独 立，且 均 服 从 区 间0,3上 的 均 匀 分 布，则max,1PX Y _.（6 6）

2、设总体X的概率密度为 121,2xnf xexXXX 为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2_.ES 二、选择题：二、选择题：7 71414 小题，每小题 4 分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7 7）设函数()yf x具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为()f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A)0dyy.(B)0dyy .(C)d0yy.(D)d0yy .（8 8）设函数 f x在0 x 处连续，且220lim1hf hh，则(A)000ff 且存在(

3、B)010ff 且存在(C)000ff 且存在(D)010ff 且存在（9 9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11nnna a收敛.(D)112nnnaa收敛.（1010）设非齐次线性微分方程()()yP x yQ x有两个不同的解12(),(),y xyx C为任意常数，则该方程的通解是（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx.（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx（1111）设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y，已知00(,)xy是(,)f x

4、 y在约束条件(,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（1212）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(B)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线 性 无 关，则12,sAAA线 性 无 关.（1313）设

5、A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2列得C，记110010001P，则（）1CP AP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.（1414）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211P XP Y则必有(A)12(B)12(C)12(D)12三三、解答题：、解答题：15152323 小题，共小题，共 9494 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1515）（本题满分（本题满分 7 7 分）分）设1sin,0,01arctanxyyyf x yxyx

6、yx,求()lim,yg xf x y；()0limxg x.（1616）（本题满分（本题满分 7 7 分）分）计算二重积分2d dDyxy x y，其中D是由直线,1,0yx yx所围成的平面区域.（1717）（本题满分（本题满分 1010 分）分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.（1818）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0P x yx 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.()求L的方程；()当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值.（1919）（本题满分（本题满

7、分 1010 分）分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()s x.（2020）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设4维 向 量 组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（2121）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1 是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ ；

8、（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵.（2222）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设随机变量X的概率密度为 1,1021,0240,Xxfxx 其他，令2,YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数.()求Y的概率密度 Yfy；()Cov(,)X Y；()1,42F.（2323）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xf xx其他,其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计参考答案参考答案填空题填空题：16 小题

9、，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1 1）11lim1.nnnn【分析分析】将其对数恒等化lneNN 求解.【详解详解】(1)111lnlim(1)ln1limlimeennnnnnnnnnnn，而数列(1)n有界，1limln0nnn，所以1lim(1)ln0nnnn.故101lime1nnnn.（2 2）设函数()f x在2x 的某邻域内可导,且 ef xfx，21f，则 322e.f【分析分析】利用复合函数求导即可.【详解详解】由题设知，ef xfx，两边对x求导得 2e()ef xf xfxfx，两边再对x求导得 23()2e()2ef xf xfxfx，又 21

10、f，故 323(2)2e2eff.（3 3）设 函 数()f u可 微,且 102f,则224zfxy在 点(1,2)处 的 全 微 分1,2d4d2d.zxy【分析分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84zfxyxx，22(1,2)(1,2)(4)22zfxyyy ，所以1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy.方法二：对224zfxy微分得222222d(4)d(4)(4)8 d2 dzfxyxyfxyx xy y，故1,2d(0)8d2d4d2dzfxyxy.（4 4）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，

11、矩阵B满足2BABE，则B2.【分析分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解详解】由题设，有()2B AEE于是有4B AE，而1121 1AE，所以2B.（5 5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PX Y 19.【分析分析】利用XY与的独立性及分布计算.【详解详解】由题设知，XY与具有相同的概率密度1,3()30,xf x0其他.则max,11,1PX YP XY 11P XP Y2120111d39P Xx.【评注评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则1max,11,19SPX YP X

12、YS阴.（6 6）设总体X的概率密度为 121,2xnf xexXXX 为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则22.ES【分析分析】利用样本方差的性质2ESDX即可.【详解详解】因为()ded02xxEXxf xxx，22222000()dede de2e d2xxxxxEXx f xxxxxxxx 0002 e2e d2e2xxxxx ，所以22202DXEXEX，又因2S是DX的无偏估计量，所以22ESDX.二、选择题：二、选择题：7 71414 小题，每小题 4 分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7 7）设函数()y

13、f x具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为()f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A)0dyy.(B)0dyy .(C)d0yy.(D)d0yy .【分析分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解详解】由()0,()0fxfx知，函数()f x单调增加，曲线()yf x凹向，作函数()yf x的图形如右图所示，显然当0 x 时，00d()d()0yyfxxfxx ，故应选().（8 8）设函数 f x在0 x 处连续，且220lim1hf hh，则(A)000ff 且存在(B)010ff 且存在(C)000ff 且存在

14、(D)010ff 且存在C【分析分析】从220lim1hf hh入手计算(0)f，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)ff的存在性.【详解详解】由220lim1hf hh知，20lim0hf h.又因为 f x在0 x 处连续，则200(0)lim()lim0 xhff xf h.令2th，则 2200(0)1limlim(0)htf hf tffht.所以(0)f存在，故本题选（C）.（9 9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11nnna a收敛.(D)112nnnaa收敛.【分析分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解详解】由1nn

15、a收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选().或利用排除法：取1(1)nnan，则可排除选项（），（）；取1(1)nnan，则可排除选项（）.故（）项正确.（1010）设非齐次线性微分方程()()yP x yQ x有两个不同的解12(),(),y xyx C为任意常数，则该方程的通解是（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx.（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx【分析分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解详解】由于12()()y xyx是对应齐次线性微分方程()0yP x y的非零解，所以

16、它的通解是12()()YC y xyx，故原方程的通解为1112()()()()yy xYy xC y xyx，故应选().【评注评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*yyY.其中*y是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.（1111）设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y，已知00(,)xy是(,)f x y在约束条件(,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfx

17、y.(D)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.【分析分析】利用拉格朗日函数(,)(,)(,)F x yf x yx y在000(,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解详解】作拉格朗日函数(,)(,)(,)F x yf x yx y，并记对应00,xy的参数的值为0，则000000(,)0(,)0 xyFxyFxy，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0 xxyyfxyxyfxyxy .消去0，得00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxfxyxyfxyxy,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyx

18、yxy.（因为(,)0yx y），若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.故选（）.（1212）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(B)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.A【分析分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解详解】记12(,)sB，则12(,)sAAAAB.所以，若向量组12,s 线性相关，则()r Bs，从而()()r ABr Bs，向量组12,

19、sAAA也线性相关，故应选().（1313）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2列得C，记110010001P，则（）1CP AP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.【分析分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001BACBA，而1110010001P，则有1CPAP.故应选（）.（1414）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211P XP Y则必有(A)12(B)12(

20、C)12(D)12A【分析分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解详解】由题设可得12112211XYPP，则12112121 ，即1211.其中()x是标准正态分布的分布函数.又()x是单调不减函数，则1211，即12.故选(A).三三、解答题：、解答题：15152323 小题，共小题，共 9494 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1515）（本题满分（本题满分 7 7 分）分）设1sin,0,01arctanxyyyf x yxyxyx,求()lim,yg xf x y；()0limxg x.【分析分析】第()问求极限时注意

21、将x作为常量求解，此问中含,0型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含未定式极限.【详解详解】()1sinlim,lim1arctanyyxyyyg xf x yxyxsin11111lim1arctanarctanyxyxyxxxxy.()200011arctanlimlimlimarctanarctanxxxxxxxg xxxxx（通分）22222000112arctan2(1)1limlimlim22xxxxxxxxxxxxxx（1616）（本题满分（本题满分 7 7 分）分）计算二重积分2d dDyxy x y，其中D是由直线,1,0yx yx所围成的平面区域.【分析分析】画出积

22、分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以12200d dddyDyxy x yyyxy x3112220002122dd339yyxyyyyy（1717）（本题满分（本题满分 1010 分）分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.【分析分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解详解】令()sin2cossin2cos,0f xxxxxaaaaaxb，则()sincos2sincossinfxxxxxxxx，且()0f.又()cossincossin0fxx

23、xxxxx，（0,sin0 xxx时），故当0axb时，()fx单调减少，即()()0fxf，则()f x单调增加，于是()()0f bf a，即sin2cossin2cosbbbbaaaa.（1818）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0P x yx 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.()求L的方程；()当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值.【分析分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解详解】()设曲线L的方程为()yf x，则由题设

24、可得yyaxx，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P xQ xaxx，代入通解公式得11dd2eedxxxxyaxxCx axCaxCx，又(1)0f，所以Ca.故曲线L的方程为2yaxax(0)x.()L与直线yax（0a）所围成平面图形如右图所示.所以220dDaxaxaxx220482d33axxxa，故2a.（1919）（本题满分（本题满分 1010 分）分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()s x.【分析分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解详解】记121(1)()(21)nnnxu

25、xnn，则2321121(1)()(1)(21)limlim(1)()(21)nnnnnnnnxuxnnxxuxnn.所以当21,1xx即时，所给幂级数收敛；当1x 时，所给幂级数发散；当1x 时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)nnnnnn，均收敛，故所给幂级数的收敛域为1,1在1,1内，12112111(1)(1)()22()(21)(21)2nnnnnnxxs xxxs xnnnn，而12112211211(1)1(),()(1)211nnnnnnxsxsxxnx，所以1112001()(0)()ddarctan1xxsxsstttxt，又1(0)0s，于是1()arctan

26、sxx.同理11100()(0)()darctan dxxs xssttt t20201arctandarctanln 112xxttttxxxt，又1(0)0s，所以211()arctanln 12s xxxx.故22()2arctanln 1s xxxxx.1,1x.由于所给幂级数在1x 处都收敛，且22()2arctanln 1s xxxxx在1x 处都连续，所以()s x在1x 成立，即22()2arctanln 1s xxxxx，1,1x.（2020）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设4维 向 量 组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4

27、,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a；用初等变换求极大线性无关组.【详解详解】记以1234,为列向量的矩阵为A，则312341234(10)12341234aaAa aaa.于是当0,010Aaa 即或时，1234,线性相关.当0a 时，显然1是一个极大线性无关组，且2131412,3,4 ；当10a 时，12349234183412741236A，由于此时A有三阶非零行列式9231834000127

28、，所以123,为极大线性无关组，且123441230，即.（2121）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1 是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ ；（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵.【分析分析】由矩阵A的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax 有非零解可知A必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q；由TQ AQ 可得到A和

29、632AE.【详解详解】()因为矩阵A的各行元素之和均为 3，所以131133 1131A ，则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，T(1,1,1)是对应的特征向量.对应3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数.又由题设知120,0AA，即11220,0AA，而且12,线性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，12,是其对应的特征向量，对应0的全部特征向量为1122kk，其中12,k k为不全为零的常数.()因为A是实对称矩阵，所以与12,正交，所以只需将12,正交.取11，21221111012,3120,61112 .再将12,单位化，得121231211136212,03611

30、1236，令123,Q ，则1TQQ，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ.（）由()知T300Q AQ，所以T11111136233331 1 112121001 1 13666601 1 111111036222AQ Q.666TTT333222QAEQQAE QQ AQE6666633223333022203322E，则666T333222AEQEQE.（2222）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设随机变量X的概率密度为 1,1021,0240,Xxfxx 其他，令2,YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数.()求Y的概率密度 Yfy；()Cov(,)X

31、 Y；()1,42F.【分析分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解详解】（I）设Y的分布函数为()YFy，即2()()()YFyP YyP Xy，则1)当0y 时，()0YFy；2)当01y时，2()()YFyP XyPyXy00113dd244yyxxy.3)当14y时，2()()1YFyP XyPXy 0101111dd2442yxxy.4)当4y，()1YFy.所以3,0181()(),1480,YYyyfyFyyy其他.（II）22232Cov(,)Cov(,)()()X YX XE XEXXEXEXEXEX，而02101dd24

32、4xxEXxx，22022105dd246xxEXxx，33023107dd248xxEXxx，所以71 52Cov(,)84 63X Y.()1,42F211,4,422P XYP XX 11,22222P XXPX 12111d24x.（2323）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xf xx其他,其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解详解】（）因为12013(;)dd1d2EXxf xxxxxx，令32X，可得的矩估计为32X.（）记似然函数为()L，则()111(1)Nn NNn NL 个个.两边取对数得ln()ln()ln(1)LNnN，令dln()0d1LNnN，解得Nn为的最大似然估计.