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1、120172017 重庆考研数学三真题及答案重庆考研数学三真题及答案一、选择题18 小题每小题 4 分,共 32 分1若函数1 cos,0(),0 xxf xaxbx在0 x 处连续,则(A)12ab(B)12ab (C)0ab(D)2ab【详解】00011 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa,0lim()(0)xf xbf,要使函数在0 x 处连续,必须满足1122baba所以应该选(A)2二元函数(3)zxyxy的极值点是()(A)(0,0)(B)0 3(,)(C)3 0(,)(D)11(,)【详解】2(3)32zyxyxyyxyyx,232zxxxyy,2222
2、222,2,32zzzzyxxxyx yy x 解方程组22320320zyxyyxzxxxyy,得四个驻点对每个驻点验证2ACB,发现只有在点11(,)处满足230ACB,且20AC ,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D)3设函数()f x是可导函数,且满足()()0f x fx,则(A)(1)(1)ff(B)11()()ff(C)11()()ff(D)11()()ff【详解】设2()()g xf x,则()2()()0g xf x fx,也就是2()f x是单调增加函数 也就得到22(1)(1)(1)(1)ffff,所以应该选(C)4 若级数211sinln(1)nknn收敛,
3、则k()2(A)1(B)2(C)1(D)2【详解】ivn 时222211111 11111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn显然当且仅当(1)0k,也就是1k 时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C)5设为n单位列向量,E为n阶单位矩阵,则(A)TE不可逆(B)TE不可逆(C)2TE不可逆(D)2TE不可逆【详解】矩阵T的特征值为1和1n个0,从而,2,2TTTTEEEE的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,1;1,1,1,1;3,1,1,1显然只有TE存在零特征值,所以不可逆,应该选(A)6已知矩阵200021001A,210020001B,
4、100020002C,则(A),A C相似,,B C相似(B),A C相似,,B C不相似(C),A C不相似,,B C相似(D),A C不相似,,B C不相似【详解】矩阵,A B的特征值都是1232,1是否可对解化,只需要关心2的情况对于矩阵A,0002001001EA,秩等于 1,也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是AC对于矩阵B,0102000001EB,秩等于 2,也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C不相似故选择(B)7设,A B,C是三个随机事件,且,A C相互独立,,B C相互独立,则AB与C相
5、互独立的充分必要条件是()(A),A B相互独立(B),A B互不相容3(C),AB C相互独立(D),AB C互不相容【详解】()()()()()()()()()()P AB CP ACABP ACP BCP ABCP A P CP B P CP ABC()()()()()()()()()()()()P AB P CP AP BP AB P CP A P CP B P CP AB P C显然,AB与C相互独立的充分必要条件是()()()P ABCP AB P C,所以选择(C)8设12,(2)nXXXn 为来自正态总体(,1)N的简单随机样本,若11niiXXn,则下列结论中不正确的是()(
6、A)21()niiX服从2分布(B)212nXX服从2分布(C)21()niiXX服从2分布(D)2()n X服从2分布解:(1)显然22()(0,1)()(1),1,2,iiXNXin且相互独立,所以21()niiX服从2()n分布,也就是(A)结论是正确的;(2)222221(1)()(1)(1)niinSXXnSn,所以(C)结论也是正确的;(3)注意221(,)()(0,1)()(1)XNn XNn Xn,所以(D)结论也是正确的;(4)对于选项(B):221111()(0,2)(0,1)()(1)22nnnXXXXNNXX,所以(B)结论是错误的,应该选择(B)二、填空题(本题共 6
7、 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)9322(sin)xxdx解:由对称性知3322220(sin)22xxdxx dx10差分方程122tttyy的通解为【详解】齐次差分方程120ttyy的通解为2xyC;4设122tttyy的特解为2ttyat,代入方程,得12a;所以差分方程122tttyy的通解为122.2ttyCt11设生产某产品的平均成本()1QC Qe,其中产量为Q,则边际成本为.【详解】答案为1(1)QQ e平均成本()1QC Qe,则总成本为()()QC QQC QQQe,从而边际成本为()1(1).QC QQ e 12设函数(,)f x y具有一阶
8、连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x yye dxxy e dy,(0,0)0f,则(,)f x y【详 解】(,)(1)()yyydf x yye dxxy e dyd xye,所 以(,)yf x yxyeC,由(0,0)0f,得0C,所以(,)yf x yxye13 设矩阵101112011A,123,为线性无关的三维列向量,则向量组123,AAA的秩为【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A,知矩阵 A 的秩为 2,由于123,为线性无关,所以向量组123,AAA的秩为 214设随机变量X的概率分布为122P X ,1P Xa,3P X
9、b,若0EX,则DX【详解】显然由概率分布的性质,知112ab12133102EXabab ,解得11,44ab29292EXab,229()2DXEXEX三、解答题15(本题满分 10 分)5求极限030limxtxxte dtx【详解】令xtu,则,txu dtdu,00 xxtx uxte dtuedu00033300002limlimlimlim332xxxtxuuxxxxxxte dteue duue duxexxxx16(本题满分 10 分)计算积分3242(1)Dydxdyxy,其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域【详解】33242242002424200220(1
10、)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdydxdyxyxydxydxxydxxx17(本题满分 10 分)求21limln 1nnkkknn【详解】由定积分的定义120111201limln 1limln 1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxx dxnnnnnx dx18(本题满分 10 分)已知方程11ln(1)kxx在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围【详解】设11(),(0,1)ln(1)f xxxx,则22222211(1)ln(1)()(1)ln(1)(1)ln(1)xxxfxxxxxxx 令22()(1)ln(1)g xxxx,则2(
11、0)0,(1)2ln 2 1gg62()ln(1)2ln(1)2,(0)0g xxxx g2(ln(1)()0,(0,1)1xxgxxx,所以()g x在(0,1)上单调减少,由于(0)0g,所以当(0,1)x时,()0)0g xg,也就是()g x()g x在(0,1)上单调减少,当(0,1)x时,()(0)0g xg,进一步得到当(0,1)x时,()0fx,也就是()f x在(0,1)上单调减少00011ln(1)1lim()limlimln(1)ln(1)2xxxxxf xxxxx,1(1)1ln2f,也就是得到111ln22k 19(本题满分 10 分)设011111,0,()(1,2
12、,3),1nnnaaanaann,()S x为幂级数0nnna x的和函数(1)证明0nnna x的收敛半径不小于1(2)证明(1)()()0(1,1)x S xxS xx,并求出和函数的表达式【详解】(1)由条件11111()(1)1nnnnnnanaananaan也就得到11(1)()()nnnnnaaaa,也就得到111,1,2,1nnnnaanaan 1112110112101(1)(1)!nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaan 也就得到111(1),1,2,(1)!nnnaann 111121121()()()(1)!nknnnnnkaaaaaaaak111liml
13、imlim12!3!nnnnnnnaen,所以收敛半径1R(2)所以对于幂级数0nnna x,由和函数的性质,可得11()nnnS xna x,所以71111110111111100(1)()(1)(1)(1)()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx S xxna xna xna xnaxna xananaxaxa xxa xxS x也就是有(1)()()0(1,1)x S xxS xx 解微分方程(1)()()0 x S xxS x,得()1xCeS xx,由于0(0)1Sa,得1C 所以()1xeS xx20(本题满分 11 分)设三阶矩阵123,A 有三个不同的特征
14、值,且3122.(1)证明:()2r A;(2)若123,,求方程组Ax的通解【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A是非零矩阵,也就是()1r A 假若()1r A 时,则0r 是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A,又因为31220,也就是123,线性相关,()3r A,也就只有()2r A(2)因为()2r A,所以0Ax 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于31220,所以基础解系为121x;又由123,,得非齐次方程组Ax的特解可取为111 ;方程组Ax的通解为112111xk ,其中k为任意常数821(本题满分 11 分)设二次型2221231231
15、21323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准形为221122yy,求a的值及一个正交矩阵Q【详解】二次型矩阵21411141Aa因为二次型的标准形为221122yy也就说明矩阵A有零特征值,所以0A,故2.a 114111(3)(6)412EA 令0EA得矩阵的特征值为1233,6,0 通过分别解方程组()0iEA x得矩阵的属于特征值13 的特征向量111131,属于特征值特征值26的特征向量211021,30的特征向量311261 ,所以12311132612,036111326Q 为所求正交矩阵22(本题满分 11 分)设随机变量,X Y相互独
16、立,且X的概率分布为1022P XP X,Y的概率密度为2,01()0,yyf y其他(1)求概率P YEY();(2)求ZXY的概率密度【详解】(1)1202()2.3YEYyfy dyy dy9所以230242.39P YEYP Yydy(2)ZXY的分布函数为(),0,20,2,2112221()(2)2ZYYFzP ZzP XYzP XYz XP XYz XP XYzP XYzP YzP YzFzFz故ZXY的概率密度为1()()()(2)2,012,230,ZZfzFzf zf zzzzz其他23(本题满分 11 分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n次测量,
17、该物体的质量是已知的,设n次测量结果12,nXXX相互独立且均服从正态分布2(,).N 该工程师记录的是n次测量的绝对误差,(1,2,)iiZXin,利用12,nZ ZZ估计参数(1)求iZ的概率密度;(2)利用一阶矩求的矩估计量;(3)求参数最大似然估计量【详解】(1)先求iZ的分布函数为()iZiiXzFzP ZzP XzP当0z 时,显然()0ZFz;当0z 时,()21iZiiXzzFzP ZzP XzP;所以iZ的概率密度为2222,0()()20,0zZZezfzFzz10(2)数学期望2220022()22ziEZzf z dzzedz,令11niiEZZZn,解得的矩估计量12222niiZZn(3)设12,nZ ZZ的观测值为12,nz zz当0,1,2,izin时似然函数为2211212()(,)(2)niinnziniLf ze,取对数得:2211ln()ln2ln(2)ln22niinLnnz令231ln()10niidLnzd,得参数最大似然估计量为211niizn
限制150内