2016考研数学二真题及答案.pdf

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1、20162016 考研数学二真题考研数学二真题及答案及答案一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分当 0 x时，若)(lnx21 ，11)cos(x 均是比x高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（）（A）),(2（B）),(21（C）),(121（D）),(210【详解详解】xx221)(ln，是 阶无穷小，211211xx)cos(是 2阶无穷小，由题意可知 121 所以 的可能取值范围是),(21，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A）xxysin （B）xxysin 2（C）xxy1sin （D）xxy12sin 【详解详解】对于xxy1sin ，可知1 xyxlim且01 xx

2、yxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy 应该选（C）3 3设函数设函数)(xf具有二阶导数，具有二阶导数，xfxfxg)()()(110 ，则在，则在,10上（上（）（A A）当）当0)(xf时，时，)()(xgxf（B B）当）当0)(xf时，时，)()(xgxf（C C）当）当0 )(xf时，时，)()(xgxf（D D）当）当0 )(xf时，时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然xfxfxg)()()(110 就是联接就是联接)(,(),(,(1100ff两点的

3、直线方程两点的直线方程 故当0 )(xf时，时，曲线是凹的，也就是)()(xgxf，应该选（D）【详解详解 2 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 ，则010 )()(FF，且)()(xfxF，故当0 )(xf时，时，曲线是凹的，从而010 )()()(FFxF，即0 )()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（D）4曲线 14722ttytx,上对应于上对应于1 t的点处的曲率半径是（的点处的曲率半径是（）（）5010（）10010(）1010（）105【详解详解】曲线在点)(,(xfx处的曲率公式321

4、)(yyK ，曲率半径KR1 本题中422 tdtdytdtdx,，所以tttdxdy21242 ，3222122tttdxyd ，对 应 于对 应 于1 t的 点 处的 点 处13 ,yy，所 以，所 以10101132 )(yyK，曲 率 半 径10101 KR应该选（C）5设函数xxfarctan)(，若)()(xfxf，则 220 xx lim（）（）1（）32（）21（）31【详解详解】注意（1）211xxf )(，（2）)(arctan,33310 xoxxxx 时时由于)()(xfxf 所以可知xxxxffarctan)()(211 ，22)(arctanarctanxxx ，3

5、131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim 6设),(yxu在平面有界闭区域D上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02 yxu及02222 yuxu，则（）（A A）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（B B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C C）),(yxu的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D D）),(yxu的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上【详解详解】),(yxu在平面有界闭区域D上连续，所以),(yxu在 D 内必然有最大值和

6、最小值 并 且 如 果 在 内 部 存 在 驻 点),(00yx，也 就 是0 yuxu，在 这 个 点 处xyuyxuByuCxuA 222222,，由条件，显然02 BAC，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上所以应该选（A）7行列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda（D）2222cbda 【详解详解】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选（B）8设321 ,是三维向量，则对任

7、意的常数lk,，向量31 k，32 l 线性无关是向量321 ,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解详解】若向量321 ,线性无关，则（31 k，32 l）Klk),(),(3213211001 ，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31 k，32 l 一定线性无关而当 000010001321 ,时，对任意的常数lk,，向量31 k，32 l 线性无关，但321 ,线性相关；故选择（A）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 9 12521dxxx【详解详解】1112

8、2832421212141521 )(|arctan)(xxdxdxxx10 设)(xf为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且 2012,),()(xxxf，则)(7f【详解详解】当 20,x时，Cxxdxxxf 2122)()(，由00 )(f可知0 C，即xxxf22 )(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1117 )()()(fff11 设),(yxzz 是 由 方 程4722 zyxeyz确 定 的 函 数，则 2121,|dz【详解详解】设4722 zyxezyxFyz),(，1222122 yzzyzyxyeFyzeFF,，当21 yx时，0 z，21 zxFFxz，21

9、zyFFyz，所 以 2121,|dzdydx2121 12 曲 线L的 极 坐 标 方 程 为 r，则L在 点 22 ,),(r处 的 切 线 方 程为【详解详解】先把曲线方程化为参数方程 sinsin)(coscos)(ryrx，于是在2 处，20 yx,，222|sincoscossin|dxdy，则L在点 22 ,),(r处的切线方程为)(022 xy ，即.22 xy13一根长为 1 的细棒位于x轴的区间 10,上，若其线密度122 xxx)(，则该细棒的质心坐标 x【详解详解】质心坐标201135121112210210231010 dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()

10、(14设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf ),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是【详解详解】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1，故必须要求042 a，所以a的取值范围是 22,三、解答题15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解详解】21121111111222121122112 xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(

11、lim)(lim)ln()(lim16（本题满分 10 分）已知函数)(xyy 满足微分方程yyyx 122，且02 )(y，求)(xy的极大值和极小值【详解详解】解：把方程化为标准形式得到2211xdxdyy )(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：Cxxyy 333131，由02 )(y得32 C，即32313133 xxyy令01122 yxdxdy，得1 x，且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd ；当1 x时，可解得1 y，01 y，函数取得极大值1 y；当1 x时，可解得0 y，02 y，函数取得极小值0 y17（本题满分 10

12、分）设平面区域 004122 yxyxyxD.,|),(计算 Ddxdyyxyxx)sin(22【详解详解】由对称性可得432112121212022222222 DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxx sin)sin()sin()()sin()sin(18（本题满分 10 分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx 满足xxeyezyzxz222224)cos(若0000 )(,)(ff，求)(uf的表达式【详解详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx ，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(co

13、s 2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf )()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221 )(其中21CC,为任意常数对应非齐次方程特解可求得为uy41 *故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221 )(将初始条件0000 )(,)(ff代入，可得16116121 CC,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122 )(19（本题满分 10 分）设函数)(),(x

14、gxf在区间 ba.上连续，且)(xf单调增加，10 )(xg，证明：（1）baxaxdttgxa,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解详解】（1）证明：因为10 )(xg，所以 baxdtdttgdxxaxaxa,)(10即 baxaxdttgxa,)(0（2）令 xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(，则可知0)(aF，且 xadttgafxgxgxfxF)()()()()(，因为,)(axdttgxa 0且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa 从而0 )()()()()()()()()(xfxgx

15、gxfdttgafxgxgxfxFxa，bax,也是)(xF在 ba,单调增加，则0 )()(aFbF，即得到 badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20（本题满分 11 分）设函数 101,)(xxxxf，定义函数列)()(xfxf 1，)()(xffxf12，),()(,xffxfnn1 设nS是曲线)(xfyn，直线01 yx,所围图形的面积求极限nnnS lim【详解详解】xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121 )()()(,)(，,)(xxxf313 ，利用数学归纳法可得.)(nxxxfn 1)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfSnn

16、11111111101010，111 nnnSnnn)ln(limlim21（本题满分 11 分）已知 函数),(yxf满足)(12 yyf，且yyyyyfln)()(),(212，求 曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积【详解详解】由于函数),(yxf满足)(12 yyf，所以)(),(xCyyyxf 22，其中)(xC为待定的连续函数又因为yyyyyfln)()(),(212，从而可知yyyCln)()(21，得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222令0),(yxf，可得xxyln)()(212且当1 y时，2121 xx,曲线0),(yxf所成的

17、图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积为 )ln(ln)()(45222121212 dxxxdxyV22（本题满分 11 分）设 302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0 AX的一个基础解系；（2）求满足EAB 的所有矩阵【详解详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，得到方程组0 AX同解方程组 43424132xxxxxx得到0 AX的一个基础解系 13211（2）显然 B 矩阵是一个34 矩阵，设 444333222111zyxzyxzyxzyxB对矩阵)(A

18、E进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB 的所有矩阵为 321321321321313431212321162ccccccccccccB其中321ccc,为任意常数23（本题满分 11 分）证明n阶矩阵 111111111与 n00200100相似【详解详解】证明：设 A 111111111，B n00200100分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111 nnAE )(，所以 A 的n个特征值为0321 nn ,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且 00 A；1002010 nnnBE )(所以 B 的n个特征值也为0321 nn ,；