2018年江苏省高考数学试题及答案.pdf

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1、2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 注意事项考 生 在 答 题 前 请 认 真 阅 读 本 注 意 事 项 及 各 题 答 题 要 求1 本 试 卷 共 4 页，均 为 非 选 择 题(第 1 题 第 2 0 题，共 2 0 题)。本 卷 满 分 为 1 6 0 分，考 试 时间 为 1 2 0 分 钟。考 试 结 束 后，请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 片 交 回。2 答 题 前，请 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 填 写 在 试 卷 及 答题 卡 的 规 定 位 置。3 请 认 真 核

2、对 监 考 员 从 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 上 的 姓 名、准 考 证 号 与 本 人 是 否 相 符。4 作 答 试 题，必 须 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 作 答，在 其 他 位 置作 答 一 律 无 效。5 如 需 作 图，须 用 2 B 铅 笔 绘、写 清 楚，线 条、符 号 等 须 加 黑、加 粗。参 考 公 式：锥 体 的 体 积13V Sh，其 中 S 是 锥 体 的 底 面 积，h 是 锥 体 的 高 一、填 空 题：本 大 题 共 1 4 小 题，每 小 题 5 分，共 计 7 0 分 请 把

3、 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 1 已 知 集 合 0,1,2,8 A，1,1,6,8 B，那 么 A B 2 若 复 数 z 满 足 i 1 2i z，其 中 i 是 虚 数 单 位，则 z 的 实 部 为 3 已 知 5 位 裁 判 给 某 运 动 员 打 出 的 分 数 的 茎 叶 图 如 图 所 示，那 么 这 5 位 裁 判 打 出 的 分 数 的平 均 数 为 4 一 个 算 法 的 伪 代 码 如 图 所 示，执 行 此 算 法，最 后 输 出 的 S 的 值 为 5 函 数2()log 1 f x x 的 定 义 域 为 6 某 兴 趣 小 组 有 2 名

4、 男 生 和 3 名 女 生，现 从 中 任 选 2 名 学 生 去 参 加 活 动，则 恰 好 选 中 2 名女 生 的 概 率 为 7 已 知 函 数 sin(2)()2 2y x 的 图 象 关 于 直 线3x 对 称，则 的 值 是 8 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，若 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 右 焦 点(,0)F c 到 一 条 渐 近线 的 距 离 为32c，则 其 离 心 率 的 值 是 9 函 数()f x 满 足(4)()()f x f x x R，且 在 区 间(2,2 上，cos,0 2,2()1|,2 0,2xxf x

5、x x-则(15)f f 的 值 为 1 0 如 图 所 示，正 方 体 的 棱 长 为 2，以 其 所 有 面 的 中 心 为 顶 点 的 多 面 体 的 体 积 为 1 1 若 函 数3 2()2 1()f x x a x a R 在(0,)内 有 且 只 有 一 个 零 点，则()f x 在 1,1 上 的最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 1 2 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，A 为 直 线:2 l y x 上 在 第 一 象 限 内 的 点，(5,0)B，以 A B 为直 径 的 圆 C 与 直 线 l 交 于 另 一 点 D 若 0 A B C D，则 点 A

6、 的 横 坐 标 为 1 3 在 A B C 中，角,A B C 所 对 的 边 分 别 为,a b c，120 A B C，A B C 的 平 分 线 交 A C于 点 D，且 1 B D，则 4 a c 的 最 小 值 为 1 4 已 知 集 合*|2 1,A x x n n N，*|2,nB x x n N 将 A B 的 所 有 元 素 从 小 到大 依 次 排 列 构 成 一 个 数 列 na 记nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和，则 使 得112n nS a 成 立 的n 的 最 小 值 为 二、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 计 9 0 分 请 在 答 题 卡

7、 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 5（本 小 题 满 分 1 4 分）在 平 行 六 面 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，1 1 1 1,A A A B A B B C 求 证：（1）1 1A B A B C 平 面；（2）1 1 1A B B A A B C 平 面 平 面 1 6（本 小 题 满 分 1 4 分）已 知,为 锐 角，4tan3，5cos()5（1）求 cos 2 的 值；（2）求 tan()的 值 1 7（本 小 题 满 分 1 4 分）某 农 场 有 一 块 农 田，如 图 所

8、示，它 的 边 界 由 圆 O 的 一 段 圆 弧 M P N（P 为 此 圆 弧 的 中 点）和 线 段 M N 构 成 已 知 圆 O 的 半 径 为 4 0 米，点 P 到 M N 的 距 离 为 5 0 米 现 规 划 在 此农 田 上 修 建 两 个 温 室 大 棚，大 棚 内 的 地 块 形 状 为 矩 形 A B C D，大 棚 内 的 地 块 形 状 为C D P，要 求,A B 均 在 线 段 M N 上，,C D 均 在 圆 弧 上 设 O C与 M N 所 成 的 角 为（1）用 分 别 表 示 矩 形 A B C D 和 C D P 的 面 积，并 确 定 sin 的取

9、 值 范 围；（2）若 大 棚 内 种 植 甲 种 蔬 菜，大 棚 内 种 植 乙 种 蔬 菜，且 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 单 位 面 积 年 产 值 之 比 为 4:3 求 当 为 何 值 时，能 使 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 年总 产 值 最 大 1 8（本 小 题 满 分 1 6 分）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，椭 圆 C 过 点1(3,)2，焦 点1 2(3,0),(3,0)F F，圆 O 的 直 径 为1 2F F（1）求 椭 圆 C 及 圆 O 的 方 程；（2）设 直 线 l 与 圆 O 相 切 于 第 一 象 限 内 的 点 P 若 直 线 l

10、 与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点，求 点 P 的 坐 标；直 线 l 与 椭 圆 C 交 于,A B 两 点 若 O A B 的 面 积 为2 67，求 直 线 l 的 方 程 1 9（本 小 题 满 分 1 6 分）记(),()f x g x 分 别 为 函 数(),()f x g x 的 导 函 数 若 存 在0 x R，满 足0 0()()f x g x 且0 0()()f x g x，则 称0 x 为 函 数()f x 与()g x 的 一 个“S 点”（1）证 明：函 数()f x x 与2()2 2 g x x x 不 存 在“S 点”；（2）若 函 数2()1

11、 f x a x 与()ln g x x 存 在“S 点”，求 实 数 a 的 值；（3）已 知 函 数2()f x x a，e()xbg xx 对 任 意 0 a，判 断 是 否 存 在 0 b，使 函数()f x 与()g x 在 区 间(0,)内 存 在“S 点”，并 说 明 理 由 2 0（本 小 题 满 分 1 6 分）设 na 是 首 项 为1a，公 差 为 d 的 等 差 数 列，nb 是 首 项 为1b，公 比 为 q 的 等 比 数 列（1）设1 10,1,2 a b q，若1|n na b b 对 1,2,3,4 n 均 成 立，求 d 的 取 值 范 围；（2）若*1 1

12、0,(1,2ma b m q N，证 明：存 在 d R，使 得1|n na b b 对2,3,1 n m 均 成 立，并 求 d 的 取 值 范 围（用1,b m q 表 示）数学 试题 参考 答案一、填 空 题：本 题 考 查 基 础 知 识、基 本 运 算 和 基 本 思 想 方 法 每 小 题 5 分，共 计 7 0 分 1 1，8 2 2 3 9 0 4 85 2，+）6 3107 6 8 29 221 0 431 1 3 1 2 31 3 9 1 4 2 7二、解 答 题1 5 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 直 线、直 线 与 平 面 以 及 平 面 与 平 面 的 位

13、置 关 系，考 查 空 间 想 象能 力 和 推 理 论 证 能 力 满 分 1 4 分 证 明：（1）在 平 行 六 面 体 A B C D-A 1 B 1 C 1 D 1中，A B A 1 B 1因 为 A B 平 面 A 1 B 1 C，A 1 B 1 平 面 A 1 B 1 C，所 以 A B 平 面 A 1 B 1 C（2）在 平 行 六 面 体 A B C D-A 1 B 1 C 1 D 1中，四 边 形 A B B 1 A 1为 平 行 四 边 形 又 因 为 A A 1=A B，所 以 四 边 形 A B B 1 A 1为 菱 形，因 此 A B 1 A 1 B 又 因 为 A

14、 B 1 B 1 C 1，B C B 1 C 1，所 以 A B 1 B C 又 因 为 A 1 B B C=B，A 1 B 平 面 A 1 B C，B C 平 面 A 1 B C，所 以 A B 1 平 面 A 1 B C 因 为 A B 1 平 面 A B B 1 A 1，所 以 平 面 A B B 1 A 1 平 面 A 1 B C 1 6 本 小 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 关 系、两 角 和（差）及 二 倍 角 的 三 角 函 数，考 查 运 算 求解 能 力 满 分 1 4 分 解：（1）因 为4tan3，sintancos，所 以4sin cos3 因 为2 2s

15、in cos 1，所 以29cos25，因 此，27cos2 2cos 125（2）因 为,为 锐 角，所 以(0,)又 因 为5cos()5，所 以22 5sin()1 cos()5，因 此 tan()2 因 为4tan3，所 以22 tan 24tan 21 tan 7，因 此，tan 2 tan()2tan()tan2()1+tan 2 tan()11 1 7 本 小 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 应 用、用 导 数 求 最 值 等 基 础 知 识，考 查 直 观 想 象 和 数 学 建模 及 运 用 数 学 知 识 分 析 和 解 决 实 际 问 题 的 能 力 满 分 1

16、4 分 解：（1）连 结 P O 并 延 长 交 M N 于 H，则 P H M N，所 以 O H=1 0 过 O 作 O E B C 于 E，则 O E M N，所 以 C O E=，故 O E=4 0 c o s，E C=4 0 s i n，则 矩 形 A B C D 的 面 积 为 2 4 0 c o s（4 0 s i n+1 0）=8 0 0（4 s i n c o s+c o s），C D P 的 面 积 为12 2 4 0 c o s（4 0 4 0 s i n）=1 6 0 0（c o s s i n c o s）过 N 作 G N M N，分 别 交 圆 弧 和 O E 的

17、 延 长 线 于 G 和 K，则 G K=K N=1 0 令 G O K=0，则 s i n 0=14，0（0，6）当 0，2）时，才 能 作 出 满 足 条 件 的 矩 形 A B C D，所 以 s i n 的 取 值 范 围 是 14，1）答：矩 形 A B C D 的 面 积 为 8 0 0（4 s i n c o s+c o s）平 方 米，C D P 的 面 积 为1 6 0 0（c o s s i n c o s），s i n 的 取 值 范 围 是 14，1）（2）因 为 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 单 位 面 积 年 产 值 之 比 为 4 3，设 甲 的 单 位 面 积 的

18、 年 产 值 为 4 k，乙 的 单 位 面 积 的 年 产 值 为 3 k（k 0），则 年 总 产 值 为 4 k 8 0 0（4 s i n c o s+c o s）+3 k 1 6 0 0（c o s s i n c o s）=8 0 0 0 k（s i n c o s+c o s），0，2）设 f（）=s i n c o s+c o s，0，2），则2 2 2()cos sin sin(2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f 令()=0 f，得=6，当（0，6）时，()0 f，所 以 f（）为 增 函 数；当（6，2）时，()0 f，所 以 f（）为 减 函 数，因

19、此，当=6时，f（）取 到 最 大 值 答：当=6时，能 使 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 年 总 产 值 最 大 1 8 本 小 题 主 要 考 查 直 线 方 程、圆 的 方 程、圆 的 几 何 性 质、椭 圆 方 程、椭 圆 的 几 何 性 质、直 线 与 圆 及 椭 圆 的 位 置 关 系 等 知 识，考 查 分 析 问 题 能 力 和 运 算 求 解 能 力 满 分 1 6 分 解：（1）因 为 椭 圆 C 的 焦 点 为1 2()3,0,(3,0)F F，可 设 椭 圆 C 的 方 程 为2 22 21(0)x ya ba b 又 点1(3,)2在 椭 圆 C 上，所 以2 22 2

20、3 11,43,a ba b，解 得224,1,ab 因 此，椭 圆 C 的 方 程 为2214xy 因 为 圆 O 的 直 径 为1 2F F，所 以 其 方 程 为2 23 x y（2）设 直 线 l 与 圆 O 相 切 于0 0 0 0(),(0 0)P x y x y，则2 20 03 x y，所 以 直 线 l 的 方 程 为00 00()xy x x yy，即00 03 xy xy y 由2200 01,43,xyxy xy y，消 去 y，得2 2 2 20 0 0 04 24 36 4 0()x y x x x y（*）因 为 直 线 l 与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个

21、 公 共 点，所 以2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0()()(24)(4 4 36 4 8 2 0)4 x x y y y x 因 为0 0,0 x y，所 以0 02,1 x y 因 此，点 P 的 坐 标 为(2,1)因 为 三 角 形 O A B 的 面 积 为2 67，所 以2 1 267A B O P，从 而4 27A B 设1 1 2 2,()(),A x y B x y，由（*）得2 20 0 02 20 01,224 48(2)2(4)x y xxxy，所 以22 2 21 2 1()()x B y y x A 2 2 20 0 02 2 2 20 0 048(2)

22、(1)(4)x y xy x y 因 为2 20 03 x y，所 以22 02 2016(2)32(1)49xA Bx，即4 20 02 45 100 0 x x，解 得2 20 05(202x x 舍 去），则2012y，因 此 P 的 坐 标 为10 2(,)2 2综 上，直 线 l 的 方 程 为 5 3 2 y x 1 9 本 小 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 初 等 函 数 的 性 质，考 查 综 合 运 用 数 学 思 想 方 法 分 析 与 解决 问 题 以 及 逻 辑 推 理 能 力 满 分 1 6 分 解：（1）函 数 f（x）=x，g（x）=x2+2 x-2

23、，则 f（x）=1，g（x）=2 x+2 由 f（x）=g（x）且 f（x）=g（x），得22 21 2 2x x xx，此 方 程 组 无 解，因 此，f（x）与 g（x）不 存 在“S”点（2）函 数21 f x a x（），()ln g x x，则12 f x a x g xx（），（）设 x 0为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x 0）=g（x 0）且 f（x 0）=g（x 0），得20 0001 ln12a x xa xx，即20 0201 ln2 1ax xax，（*）得01ln2x，即120e x，则1221 e22(e)a 当e2a 时，120e x 满 足 方 程

24、组（*），即0 x 为 f（x）与 g（x）的“S”点 因 此，a 的 值 为e2（3）对 任 意 a 0，设3 2()3 h x x x a x a 因 为(0)0(1)1 3 2 0 h a h a a，且 h（x）的 图 象 是 不 间 断 的，所 以 存 在0 x（0，1），使 得0()0 h x，令03002e(1)xxbx，则 b 0 函 数2e()()xbf x x a g xx，则2e(1)()2()xb xf x x g xx，由 f（x）=g（x）且 f（x）=g（x），得22ee(1)2xxbx axb xxx，即0032 0030202 ee(1)2 e(1)2e(1)

25、xxxxxx ax xx xxx x（*）此 时，0 x 满 足 方 程 组（*），即0 x 是 函 数 f（x）与 g（x）在 区 间（0，1）内 的 一 个“S点”因 此，对 任 意 a 0，存 在 b 0，使 函 数 f（x）与 g（x）在 区 间（0，+）内 存 在“S 点”2 0 本 小 题 主 要 考 查 等 差 和 等 比 数 列 的 定 义、通 项 公 式、性 质 等 基 础 知 识，考 查 代 数 推 理、转 化 与 化 归 及 综 合 运 用 数 学 知 识 探 究 与 解 决 问 题 的 能 力 满 分 1 6 分 解：（1）由 条 件 知：11 2(,)nn na n

26、d b 因 为1|n na b b 对 n=1，2，3，4 均 成 立，即1 1 2|()1|nn d 对 n=1，2，3，4 均 成 立，即 1 1，1 d 3，3 2 d 5，7 3 d 9，得7 53 2d 因 此，d 的 取 值 范 围 为7 5,3 2（2）由 条 件 知：11 1(1),nn na b n d b b q 若 存 在 d，使 得1|n na b b（n=2，3，m+1）成 立，即11 1 1|1|2,3,(1()nb n d b q b n m，即 当 2,3,1 n m 时，d 满 足1 11 121 1n nq qb d bn n 因 为(1,2mq，则11 2

27、n mq q，从 而11201nqbn，1101nqbn，对 2,3,1 n m 均 成 立 因 此，取 d=0 时，1|n na b b 对 2,3,1 n m 均 成 立 下 面 讨 论 数 列12 1nqn的 最 大 值 和 数 列1 1nqn的 最 小 值（2,3,1 n m）当 2 n m 时，1 1 1 2 2 2 21 1 1()()()n n n n n n n nq q n q q n q n q q qn n n n n n，当11 2mq 时，有 2n mq q，从 而1()2 0n n nn q q q 因 此，当 2 1 n m 时，数 列12 1nqn单 调 递 增

28、，故 数 列12 1nqn的 最 大 值 为2mqm 设()()2 1xf x x，当 x 0 时，ln 2 1(0(n)l 2 2)xf x x，所 以()f x 单 调 递 减，从 而()f x f（0）=1 当 2 n m 时，111 1 12 1 11()()()nnnqq nnfq n n nn，因 此，当 2 1 n m 时，数 列1 1nqn单 调 递 减，故 数 列1 1nqn的 最 小 值 为mqm因 此，d 的 取 值 范 围 为1 1(2),m mb q b qm m数学(附加 题)2 1【选 做 题】本 题 包 括 A、B、C、D 四 小 题，请 选 定 其 中 两 小

29、 题，并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答 若 多 做，则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算步 骤 A 选 修 4 1：几 何 证 明 选 讲(本 小 题 满 分 1 0 分)如 图，圆 O 的 半 径 为 2，A B 为 圆 O 的 直 径，P 为 A B 延 长 线 上 一 点，过 P 作 圆 O 的 切 线，切 点 为 C 若 2 3 P C，求 B C 的 长 B 选 修 4 2：矩 阵 与 变 换(本 小 题 满 分 1 0 分)已 知 矩 阵2 31 2 A（1）求 A 的 逆 矩 阵1 A；（2）

30、若 点 P 在 矩 阵 A 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 点(3,1)P，求 点 P 的 坐 标 C 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程(本 小 题 满 分 1 0 分)在 极 坐 标 系 中，直 线 l 的 方 程 为sin()26，曲 线 C 的 方 程 为 4cos，求 直 线 l被 曲 线 C 截 得 的 弦 长 D 选 修 4 5：不 等 式 选 讲(本 小 题 满 分 1 0 分)若 x，y，z 为 实 数，且 x+2 y+2 z=6，求2 2 2x y z 的 最 小 值【必 做 题】第 2 2 题、第 2 3 题，每 题 1 0 分，共 计 2 0 分 请

31、 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 2 2（本 小 题 满 分 1 0 分）如 图，在 正 三 棱 柱 A B C-A 1 B 1 C 1中，A B=A A 1=2，点 P，Q 分 别 为 A 1 B 1，B C 的 中 点（1）求 异 面 直 线 B P 与 A C 1所 成 角 的 余 弦 值；（2）求 直 线 C C 1与 平 面 A Q C 1所 成 角 的 正 弦 值 2 3(本 小 题 满 分 1 0 分)设*n N，对 1，2，n 的 一 个 排 列1 2 ni i i，如 果 当 s t 时，有

32、s ti i，则 称(,)s ti i 是 排 列1 2 ni i i 的 一 个 逆 序，排 列1 2 ni i i 的 所 有 逆 序 的 总 个 数 称 为 其 逆 序数 例 如：对 1，2，3 的 一 个 排 列 2 3 1，只 有 两 个 逆 序(2，1)，(3，1)，则 排 列 2 3 1 的 逆序 数 为 2 记()nf k 为 1，2，n 的 所 有 排 列 中 逆 序 数 为 k 的 全 部 排 列 的 个 数（1）求3 4(2),(2)f f 的 值；（2）求(2)(5)nf n 的 表 达 式(用 n 表 示)数学(附加 题)参考 答案2 1【选 做 题】A 选 修 4

33、1：几 何 证 明 选 讲 本 小 题 主 要 考 查 圆 与 三 角 形 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力 满 分 1 0 分 证 明：连 结 O C 因 为 P C 与 圆 O 相 切，所 以 O C P C 又 因 为 P C=2 3，O C=2，所 以 O P=2 2P C O C=4 又 因 为 O B=2，从 而 B 为 R t O C P 斜 边 的 中 点，所 以 B C=2 B 选 修 4 2：矩 阵 与 变 换 本 小 题 主 要 考 查 矩 阵 的 运 算、线 性 变 换 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力 满 分 1 0 分 解：（1）

34、因 为2 31 2 A，det()2 2 1 3 1 0 A，所 以 A 可 逆，从 而1 A2 31 2（2）设 P(x，y)，则2 3 31 2 1xy，所 以13 31 1xy A，因 此，点 P 的 坐 标 为(3，1)C 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程 本 小 题 主 要 考 查 曲 线 的 极 坐 标 方 程 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力 满 分 1 0 分 解：因 为 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为=4cos，所 以 曲 线 C 的 圆 心 为（2，0），直 径 为 4 的 圆 因 为 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为sin()

35、26，则 直 线 l 过 A（4，0），倾 斜 角 为6，所 以 A 为 直 线 l 与 圆 C 的 一 个 交 点 设 另 一 个 交 点 为 B，则 O A B=6连 结 O B，因 为 O A 为 直 径，从 而 O B A=2，所 以4cos 2 36A B 因 此，直 线 l 被 曲 线 C 截 得 的 弦 长 为 2 3 D 选 修 4 5：不 等 式 选 讲 本 小 题 主 要 考 查 柯 西 不 等 式 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力 满 分 1 0 分 证 明：由 柯 西 不 等 式，得2 2 2 2 2 2 2()(1 2 2)(2 2)x y z x

36、y z 因 为 2 2=6 x y z，所 以2 2 24 x y z，当 且 仅 当1 2 2x y z 时，不 等 式 取 等 号，此 时2 4 43 3 3x y z，所 以2 2 2x y z 的 最 小 值 为 4 22【必 做 题】本 小 题 主 要 考 查 空 间 向 量、异 面 直 线 所 成 角 和 线 面 角 等 基 础 知 识，考 查 运 用空 间 向 量 解 决 问 题 的 能 力 满 分 10 分 解：如 图，在 正 三 棱 柱 A B C A1 B1 C1 中，设 A C，A1 C1 的 中 点 分 别 为 O，O1，则 O B O C，O O1 O C，O O1

37、O B，以1,O B O C O O 为 基 底，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 因 为 A B=A A1=2，所 以1 1 10,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C（1）因 为 P 为 A1 B1 的 中 点，所 以3 1(,2)2 2P，从 而13 1(,2)(0,2,22 2),B P A C，故111|1 4|3 10|cos,|20|5 2 2B P A CB P A CB P A C 因 此，异 面 直 线 B P 与 A C1 所 成 角 的 余 弦 值 为3 1020（2）因 为

38、Q 为 B C 的 中 点，所 以3 1(,0)2 2Q，因 此3 3(,0)2 2A Q，1 1(0,2,2),(0,0,2)A C C C 设 n=（x，y，z）为 平 面 A Q C1 的 一 个 法 向 量，则10,0,A QA C nn即3 30,2 22 2 0.x yy z 不 妨 取(3,1,1)n，设 直 线 C C1 与 平 面 A Q C1 所 成 角 为，则111|2 5sin|cos|,|5 5 2C CC CC C|nnn，所 以 直 线 C C1 与 平 面 A Q C1 所 成 角 的 正 弦 值 为552 3【必 做 题】本 小 题 主 要 考 查 计 数 原

39、 理、排 列 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证能 力 满 分 1 0 分 解：（1）记()a b c 为 排 列 a b c 的 逆 序 数，对 1，2，3 的 所 有 排 列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3，所 以3 3 3(0)1(1)(2)2 f f f，对 1，2，3，4 的 排 列，利 用 已 有 的 1，2，3 的 排 列，将 数 字 4 添 加 进 去，4 在 新 排 列中 的 位 置 只 能 是 最 后 三 个 位 置 因 此，4 3 3 3(2)(2)(1)(0)5 f f f f（

40、2）对 一 般 的 n（n 4）的 情 形，逆 序 数 为 0 的 排 列 只 有 一 个：1 2 n，所 以(0)1nf 逆 序 数 为 1 的 排 列 只 能 是 将 排 列 1 2 n 中 的 任 意 相 邻 两 个 数 字 调 换 位 置 得 到 的 排 列，所以(1)1nf n 为 计 算1(2)nf，当 1，2，n 的 排 列 及 其 逆 序 数 确 定 后，将 n+1 添 加 进 原 排 列，n+1在 新 排 列 中 的 位 置 只 能 是 最 后 三 个 位 置 因 此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n nf f f f f n 当 n 5 时，1 1 2 5 4 4(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)n n n n nf f f f f f f f 242(1)(2)4(2)2n nn n f，因 此，n 5 时，(2)nf 222n n