2019年江西省全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf

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1、第 1页（共 2 5页）2 0 1 9 年全 国统 一高 考数 学试 卷（文科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）设 z，则|z|（）A 2 B C D 12（5 分）已 知 集 合 U 1，2，3，4，5，6，7，A 2，3，4，5，B 2，3，6，7，则 B U A（）A 1，6 B 1，7 C 6，7 D 1，6，7 3（5 分）已 知 a l o g 2 0.2，b 20.2，c 0.20.3，则（）A a b c B a

2、c b C c a b D b c a4（5 分）古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是（0.6 1 8，称 为 黄 金 分 割 比 例），著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是 若 某 人 满 足 上 述 两个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，则 其 身 高 可 能 是（）A 1 6 5 c

3、m B 1 7 5 c m C 1 8 5 c m D 1 9 0 c m5（5 分）函 数 f（x）在，的 图 象 大 致 为（）A B 第 2页（共 2 5页）C D 6（5 分）某 学 校 为 了 解 1 0 0 0 名 新 生 的 身 体 素 质，将 这 些 学 生 编 号 1，2，1 0 0 0，从 这些 新 生 中 用 系 统 抽 样 方 法 等 距 抽 取 1 0 0 名 学 生 进 行 体 质 测 验 若 4 6 号 学 生 被 抽 到，则 下面 4 名 学 生 中 被 抽 到 的 是（）A 8 号 学 生 B 2 0 0 号 学 生 C 6 1 6 号 学 生 D 8 1 5

4、 号 学 生7（5 分）t a n 2 5 5（）A 2 B 2+C 2 D 2+8（5 分）已 知 非 零 向 量，满 足|2|，且（），则 与 的 夹 角 为（）A B C D 9（5 分）如 图 是 求 的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）A A B A 2+C A D A 1+1 0（5 分）双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 1 3 0，则 C的 离 心 率 为（）A 2 s i n 4 0 B 2 c o s 4 0 C D 第 3页（共 2 5页）1 1（5 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分

5、别 为 a，b，c 已 知 a s i n A b s i n B 4 c s i n C，c o s A，则（）A 6 B 5 C 4 D 31 2（5 分）已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F 1（1，0），F 2（1，0），过 F 2 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两点 若|A F 2|2|F 2 B|，|A B|B F 1|，则 C 的 方 程 为（）A+y2 1 B+1C+1 D+1二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）曲 线 y 3（x2+x）ex在 点（0，0）处 的 切 线 方 程 为 1 4（5 分）记 S n 为

6、 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 若 a 1 1，S 3，则 S 4 1 5（5 分）函 数 f（x）s i n（2 x+）3 c o s x 的 最 小 值 为 1 6（5 分）已 知 A C B 9 0，P 为 平 面 A B C 外 一 点，P C 2，点 P 到 A C B 两 边 A C，B C 的 距 离 均 为，那 么 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3

7、题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）某 商 场 为 提 高 服 务 质 量，随 机 调 查 了 5 0 名 男 顾 客 和 5 0 名 女 顾 客，每 位 顾 客 对该 商 场 的 服 务 给 出 满 意 或 不 满 意 的 评 价，得 到 下 面 列 联 表：满 意 不 满 意男 顾 客 4 0 1 0女 顾 客 3 0 2 0（1）分 别 估 计 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率；（2）能 否 有 9 5%的 把 握 认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异？附：K

8、2 第 4页（共 2 5页）P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 8（1 2 分）记 S n 为 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 已 知 S 9 a 5（1）若 a 3 4，求 a n 的 通 项 公 式；（2）若 a 1 0，求 使 得 S n a n 的 n 的 取 值 范 围 1 9（1 2 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 是 菱 形，A A 1 4，A B 2，B A D 6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B 1，A 1 D 的

9、中 点（1）证 明：M N 平 面 C 1 D E；（2）求 点 C 到 平 面 C 1 D E 的 距 离 第 5页（共 2 5页）2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）2 s i n x x c o s x x，f（x）为 f（x）的 导 数（1）证 明：f（x）在 区 间（0，）存 在 唯 一 零 点；（2）若 x 0，时，f（x）a x，求 a 的 取 值 范 围 2 1（1 2 分）已 知 点 A，B 关 于 坐 标 原 点 O 对 称，|A B|4，M 过 点 A，B 且 与 直 线 x+2 0相 切（1）若 A 在 直 线 x+y 0 上，求 M 的 半 径；（2）是 否

10、存 在 定 点 P，使 得 当 A 运 动 时，|M A|M P|为 定 值？并 说 明 理 由 第 6页（共 2 5页）（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数）以 坐标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2 c o s+s

11、 i n+1 1 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）2 3 已 知 a，b，c 为 正 数，且 满 足 a b c 1 证 明：（1）+a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3 2 4 第 7页（共 2 5页）2 0 1 9 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（文 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中

12、，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）设 z，则|z|（）A 2 B C D 1【分 析】直 接 利 用 复 数 商 的 模 等 于 模 的 商 求 解【解 答】解：由 z，得|z|故 选：C【点 评】本 题 考 查 复 数 模 的 求 法，考 查 数 学 转 化 思 想 方 法，是 基 础 题 2（5 分）已 知 集 合 U 1，2，3，4，5，6，7，A 2，3，4，5，B 2，3，6，7，则 B U A（）A 1，6 B 1，7 C 6，7 D 1，6，7【分 析】先 求 出 U A，然 后 再 求 B U A 即 可 求 解【解 答】解：U 1，2，3，4，5，6

13、，7，A 2，3，4，5，B 2，3，6，7，U A 1，6，7，则 B U A 6，7 故 选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 集 合 的 交 集 与 补 集 的 求 解，属 于 基 础 试 题 3（5 分）已 知 a l o g 2 0.2，b 20.2，c 0.20.3，则（）A a b c B a c b C c a b D b c a【分 析】由 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性 易 得 l o g 2 0.2 0，20.2 1，0 0.20.3 1，从 而 得出 a，b，c 的 大 小 关 系【解 答】解：a l o g 2 0.2 l o g 2 1 0，b

14、 20.2 20 1，0 0.20.3 0.20 1，c 0.20.3（0，1），a c b，第 8页（共 2 5页）故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性，增 函 数 和 减 函 数 的 定 义，属 基 础 题 4（5 分）古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是（0.6 1 8，称 为 黄 金 分 割 比 例），著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的

15、长 度 之 比 也 是 若 某 人 满 足 上 述 两个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，则 其 身 高 可 能 是（）A 1 6 5 c m B 1 7 5 c m C 1 8 5 c m D 1 9 0 c m【分 析】充 分 运 用 黄 金 分 割 比 例，结 合 图 形，计 算 可 估 计 身 高【解 答】解：头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，说 明 头 顶 到 咽 喉 的 长 度 小 于 2 6 c m，由 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长

16、度 之 比 是 0.6 1 8，可 得 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 小 于 4 2 c m，由 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是，可 得 肚 脐 至 足 底 的 长 度 小 于 1 1 0，即 有 该 人 的 身 高 小 于 1 1 0+6 8 1 7 8 c m，又 肚 脐 至 足 底 的 长 度 大 于 1 0 5 c m，可 得 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 大 于 1 0 5 0.6 1 8 6 5 c m，即 该 人 的 身 高 大 于 6 5+1 0 5 1 7 0 c m，故 选：B【点 评】本 题 考 查 简 单 的 推 理

17、和 估 算，考 查 运 算 能 力 和 推 理 能 力，属 于 中 档 题 5（5 分）函 数 f（x）在，的 图 象 大 致 为（）第 9页（共 2 5页）A B C D【分 析】由 f（x）的 解 析 式 知 f（x）为 奇 函 数 可 排 除 A，然 后 计 算 f（），判 断 正 负 即 可排 除 B，C【解 答】解：f（x），x，f（x）f（x），f（x）为，上 的 奇 函 数，因 此 排 除 A；又 f（），因 此 排 除 B，C；故 选：D【点 评】本 题 考 查 了 函 数 的 图 象 与 性 质，解 题 关 键 是 奇 偶 性 和 特 殊 值，属 基 础 题 6（5 分）某

18、学 校 为 了 解 1 0 0 0 名 新 生 的 身 体 素 质，将 这 些 学 生 编 号 1，2，1 0 0 0，从 这些 新 生 中 用 系 统 抽 样 方 法 等 距 抽 取 1 0 0 名 学 生 进 行 体 质 测 验 若 4 6 号 学 生 被 抽 到，则 下面 4 名 学 生 中 被 抽 到 的 是（）A 8 号 学 生 B 2 0 0 号 学 生 C 6 1 6 号 学 生 D 8 1 5 号 学 生【分 析】根 据 系 统 抽 样 的 特 征，从 1 0 0 0 名 学 生 从 中 抽 取 一 个 容 量 为 1 0 0 的 样 本，抽 样 的分 段 间 隔 为 1 0，

19、结 合 从 第 4 组 抽 取 的 号 码 为 4 6，可 得 第 一 组 用 简 单 随 机 抽 样 抽 取 的 号 码【解 答】解：从 1 0 0 0 名 学 生 从 中 抽 取 一 个 容 量 为 1 0 0 的 样 本，系 统 抽 样 的 分 段 间 隔 为 1 0，4 6 号 学 生 被 抽 到，则 根 据 系 统 抽 样 的 性 质 可 知，第 一 组 随 机 抽 取 一 个 号 码 为 6，以 后 每 个 号 码 都 比 前 一 个 号码 增 加 1 0，所 有 号 码 数 是 以 6 为 首 项，以 1 0 为 公 差 的 等 差 数 列，设 其 数 列 为 a n，则 a n

20、 6+1 0（n 1）1 0 n 4，第 1 0页（共 2 5页）当 n 6 2 时，a 6 2 6 1 6，即 在 第 6 2 组 抽 到 6 1 6 故 选：C【点 评】本 题 考 查 了 系 统 抽 样 方 法，关 键 是 求 得 系 统 抽 样 的 分 段 间 隔 7（5 分）t a n 2 5 5（）A 2 B 2+C 2 D 2+【分 析】利 用 诱 导 公 式 变 形，再 由 两 角 和 的 正 切 求 解【解 答】解：t a n 2 5 5 t a n（1 8 0+7 5）t a n 7 5 t a n（4 5+3 0）故 选：D【点 评】本 题 考 查 三 角 函 数 的 取

21、 值，考 查 诱 导 公 式 与 两 角 和 的 正 切，是 基 础 题 8（5 分）已 知 非 零 向 量，满 足|2|，且（），则 与 的 夹 角 为（）A B C D【分 析】由（），可 得，进 一 步 得 到，然 后 求 出 夹 角 即 可【解 答】解：（），故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 平 面 向 量 的 数 量 积 和 向 量 的 夹 角，属 基 础 题 第 1 1页（共 2 5页）9（5 分）如 图 是 求 的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）A A B A 2+C A D A 1+【分 析】模 拟 程 序 的 运 行，由 题 意，依 次 写 出

22、每 次 得 到 的 A 的 值，观 察 规 律 即 可 得 解【解 答】解：模 拟 程 序 的 运 行，可 得：A，k 1；满 足 条 件 k 2，执 行 循 环 体，A，k 2；满 足 条 件 k 2，执 行 循 环 体，A，k 3；此 时，不 满 足 条 件 k 2，退 出 循 环，输 出 A 的 值 为，观 察 A 的 取 值 规 律 可 知 图 中 空 白 框 中 应 填 入 A 故 选：A【点 评】本 题 考 查 了 程 序 框 图 的 应 用 问 题，解 题 时 应 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程，以 便 得出 正 确 的 结 论，是 基 础 题 1 0（5 分）双 曲

23、 线 C：1（a 0，b 0）的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 1 3 0，则 C第 1 2页（共 2 5页）的 离 心 率 为（）A 2 s i n 4 0 B 2 c o s 4 0 C D【分 析】由 已 知 求 得，化 为 弦 函 数，然 后 两 边 平 方 即 可 求 得 C 的 离 心 率【解 答】解：双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 渐 近 线 方 程 为 y，由 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 1 3 0，得，则，得，e 故 选：D【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质，考 查 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式

24、 的 应 用，是 基 础 题 1 1（5 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 a s i n A b s i n B 4 c s i n C，c o s A，则（）A 6 B 5 C 4 D 3【分 析】利 用 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 列 出 方 程 组，能 求 出 结 果【解 答】解：A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，a s i n A b s i n B 4 c s i n C，c o s A，解 得 3 c2，6 故 选：A【点 评】本 题 考 查 了 正 弦 定 理、余 弦 定 理、三 角

25、 函 数 性 质，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题 第 1 3页（共 2 5页）1 2（5 分）已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F 1（1，0），F 2（1，0），过 F 2 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两点 若|A F 2|2|F 2 B|，|A B|B F 1|，则 C 的 方 程 为（）A+y2 1 B+1C+1 D+1【分 析】根 据 椭 圆 的 定 义 以 及 余 弦 定 理 列 方 程 可 解 得 a，b，可 得 椭 圆 的 方 程【解 答】解：|A F 2|2|B F 2|，|A B|3|B F 2|，又|A B|B F 1|，|B

26、F 1|3|B F 2|，又|B F 1|+|B F 2|2 a，|B F 2|，|A F 2|a，|B F 1|a，|A F 1|+|A F 2|2 a，|A F 1|a，|A F 1|A F 2|，A 在 y 轴 上 在 R t A F 2 O 中，c o s A F 2 O，在 B F 1 F 2 中，由 余 弦 定 理 可 得 c o s B F 2 F 1，根 据 c o s A F 2 O+c o s B F 2 F 1 0，可 得+0，解 得 a2 3，a b2 a2 c2 3 1 2 所 以 椭 圆 C 的 方 程 为：+1 故 选：B 第 1 4页（共 2 5页）【点 评】本

27、 题 考 查 了 椭 圆 的 性 质，属 中 档 题 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）曲 线 y 3（x2+x）ex在 点（0，0）处 的 切 线 方 程 为 y 3 x【分 析】对 y 3（x2+x）ex求 导，可 将 x 0 代 入 导 函 数，求 得 斜 率，即 可 得 到 切 线 方 程【解 答】解：y 3（x2+x）ex，y 3 ex（x2+3 x+1），当 x 0 时，y 3，y 3（x2+x）ex在 点（0，0）处 的 切 线 斜 率 k 3，切 线 方 程 为：y 3 x 故 答 案 为：y 3 x【点 评】本 题 考

28、 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 上 某 点 的 切 线 方 程，切 点 处 的 导 数 值 为 斜 率 是 解题 关 键，属 基 础 题 1 4（5 分）记 S n 为 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 若 a 1 1，S 3，则 S 4【分 析】利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 求 和 公 式 表 示 已 知，可 求 公 比，然 后 再 利 用 等 比 数列 的 求 和 公 式 即 可 求 解【解 答】解：等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和，a 1 1，S 3，q 1，整 理 可 得，解 可 得，q，第 1 5页（共 2 5页）则 S 4 故 答 案

29、 为：【点 评】本 题 主 要 考 查 了 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 求 和 公 式 的 简 单 应 用，属 于 基 础 试 题1 5（5 分）函 数 f（x）s i n（2 x+）3 c o s x 的 最 小 值 为 4【分 析】线 利 用 诱 导 公 式，二 倍 角 公 式 对 已 知 函 数 进 行 化 简，然 后 结 合 二 次 函 数 的 单 调性 即 可 去 求 解 最 小 值【解 答】解：f（x）s i n（2 x+）3 c o s x，c o s 2 x 3 c o s x 2 c o s2x 3 c o s x+1，令 t c o s x，则 1 t 1，f（

30、t）2 t2 3 t+1 的 开 口 向 下，对 称 轴 t，在 1，1 上 先 增 后 减，故 当 t 1 即 c o s x 1 时，函 数 有 最 小 值 4 故 答 案 为：4【点 评】本 题 主 要 考 查 了 诱 导 公 式，二 倍 角 的 余 弦 公 式 在 三 角 好 按 时 化 简 求 值 中 的 应 用及 利 用 余 弦 函 数，二 次 函 数 的 性 质 求 解 最 值 的 应 用，属 于 基 础 试 题1 6（5 分）已 知 A C B 9 0，P 为 平 面 A B C 外 一 点，P C 2，点 P 到 A C B 两 边 A C，B C 的 距 离 均 为，那 么

31、 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为【分 析】过 点 P 作 P D A C，交 A C 于 D，作 P E B C，交 B C 于 E，过 P 作 P O 平 面A B C，交 平 面 A B C 于 O，连 结 O D，O C，则 P D P E，从 而 C D C E O D O E 1，由 此 能 求 出 P 到 平 面 A B C 的 距 离【解 答】解：A C B 9 0，P 为 平 面 A B C 外 一 点，P C 2，点 P 到 A C B 两 边 A C，B C 的 距 离 均 为，过 点 P 作 P D A C，交 A C 于 D，作 P E B C，交 B C

32、于 E，过 P 作 P O 平 面 A B C，交平 面 A B C 于 O，连 结 O D，O C，则 P D P E，C D C E O D O E 1，第 1 6页（共 2 5页）P O P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 故 答 案 为：【点 评】本 题 考 查 点 到 平 面 的 距 离 的 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置 关 系等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为

33、 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）某 商 场 为 提 高 服 务 质 量，随 机 调 查 了 5 0 名 男 顾 客 和 5 0 名 女 顾 客，每 位 顾 客 对该 商 场 的 服 务 给 出 满 意 或 不 满 意 的 评 价，得 到 下 面 列 联 表：满 意 不 满 意男 顾 客 4 0 1 0女 顾 客 3 0 2 0（1）分 别 估 计 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率；（2）能 否 有 9 5%的 把 握

34、认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异？附：K2 P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8【分 析】（1）由 题 中 数 据，结 合 等 可 能 事 件 的 概 率 求 解；第 1 7页（共 2 5页）（2）代 入 计 算 公 式：K2，然 后 把 所 求 数 据 与 3.8 4 1 进 行 比较 即 可 判 断【解 答】解：（1）由 题 中 数 据 可 知，男 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率 P，女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率 P；（2）由 题

35、 意 可 知，K2 4.7 6 2 3.8 4 1，故 有 9 5%的 把 握 认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异【点 评】本 题 主 要 考 查 了 等 可 能 事 件 的 概 率 求 解 及 独 立 性 检 验 的 基 本 思 想 的 应 用，属 于基 础 试 题 1 8（1 2 分）记 S n 为 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 已 知 S 9 a 5（1）若 a 3 4，求 a n 的 通 项 公 式；（2）若 a 1 0，求 使 得 S n a n 的 n 的 取 值 范 围【分 析】（1）根 据 题 意，等 差 数 列 a n 中，设

36、 其 公 差 为 d，由 S 9 a 5，即 可 得 S 9 9 a 5 a 5，变 形 可 得 a 5 0，结 合 a 3 4，计 算 可 得 d 的 值，结 合 等 差数 列 的 通 项 公 式 计 算 可 得 答 案；（2）若 S n a n，则 n a 1+d a 1+（n 1）d，分 n 1 与 n 2 两 种 情 况 讨 论，求出 n 的 取 值 范 围，综 合 即 可 得 答 案【解 答】解：（1）根 据 题 意，等 差 数 列 a n 中，设 其 公 差 为 d，若 S 9 a 5，则 S 9 9 a 5 a 5，变 形 可 得 a 5 0，即 a 1+4 d 0，若 a 3

37、4，则 d 2，则 a n a 3+（n 3）d 2 n+1 0，（2）若 S n a n，则 n a 1+d a 1+（n 1）d，当 n 1 时，不 等 式 成 立，当 n 2 时，有 d a 1，变 形 可 得（n 2）d 2 a 1，又 由 S 9 a 5，即 S 9 9 a 5 a 5，则 有 a 5 0，即 a 1+4 d 0，则 有（n 2）2 a 1，又 由 a 1 0，则 有 n 1 0，第 1 8页（共 2 5页）则 有 2 n 1 0，综 合 可 得：n 的 取 值 范 围 是 n|1 n 1 0，n N【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 的 性 质 以 及 等 差

38、 数 列 的 前 n 项 和 公 式，涉 及 数 列 与 不 等 式 的综 合 应 用，属 于 基 础 题 1 9（1 2 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 是 菱 形，A A 1 4，A B 2，B A D 6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B 1，A 1 D 的 中 点（1）证 明：M N 平 面 C 1 D E；（2）求 点 C 到 平 面 C 1 D E 的 距 离【分 析】法 一：（1）连 结 B 1 C，M E，推 导 出 四 边 形 M N D E 是 平 行 四 边 形，从 而 M N E D，由 此 能 证 明M

39、 N 平 面 C 1 D E（2）过 C 作 C 1 E 的 垂 线，垂 足 为 H，推 导 出 D E B C，D E C 1 C，从 而 D E 平 面 C 1 C E，D E C H，进 而 C H 平 面 C 1 D E，故 C H 的 长 即 为 C 到 时 平 面 C 1 D E 的 距 离，由 此 能 求出 点 C 到 平 面 C 1 D E 的 距 离 法 二：（1）以 D 为 原 点，D A 为 x 轴，D E 为 y 轴，D D 1 为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 能 证 明 M N 平 面 C 1 D E（2）求 出（1，0），平 面

40、C 1 D E 的 法 向 量（4，0，1），利 用 向 量 法 能 求出 点 C 到 平 面 C 1 D E 的 距 离【解 答】解 法 一：证 明：（1）连 结 B 1 C，M E，M，E 分 别 是 B B 1，B C 的 中 点，M E B 1 C，又 N 为 A 1 D 的 中 点，N D A 1 D，第 1 9页（共 2 5页）由 题 设 知 A 1 B 1 D C，B 1 C A 1 D，M E N D，四 边 形 M N D E 是 平 行 四 边 形，M N E D，又 M N 平 面 C 1 D E，M N 平 面 C 1 D E 解：（2）过 C 作 C 1 E 的 垂

41、线，垂 足 为 H，由 已 知 可 得 D E B C，D E C 1 C，D E 平 面 C 1 C E，故 D E C H，C H 平 面 C 1 D E，故 C H 的 长 即 为 C 到 时 平 面 C 1 D E 的 距 离，由 已 知 可 得 C E 1，C C 1 4，C 1 E，故 C H，点 C 到 平 面 C 1 D E 的 距 离 为 解 法 二：证 明：（1）直 四 棱 柱 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 是 菱 形，A A 1 4，A B 2，B A D 6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B 1，A 1 D 的 中 点 D D 1

42、 平 面 A B C D，D E A D，以 D 为 原 点，D A 为 x 轴，D E 为 y 轴，D D 1 为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，M（1，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，0），C 1（1，4），（0，0），（1，），（0，），设 平 面 C 1 D E 的 法 向 量（x，y，z），则，取 z 1，得（4，0，1），0，M N 平 面 C 1 D E，M N 平 面 C 1 D E 解：（2）C（1，0），（1，0），平 面 C 1 D E 的 法 向 量（4，0，1），点 C 到 平 面 C 1 D E 的 距 离：第 2 0页（共 2 5页

43、）d【点 评】本 题 考 查 线 面 平 行 的 证 明，考 查 点 到 平 面 的 距 离 的 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线面、面 面 间 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题 2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）2 s i n x x c o s x x，f（x）为 f（x）的 导 数（1）证 明：f（x）在 区 间（0，）存 在 唯 一 零 点；（2）若 x 0，时，f（x）a x，求 a 的 取 值 范 围【分 析】（1）令 g（x）f（x），对 g（x）再 求 导，研 究 其 在（0，）上 的 单 调

44、 性，结合 极 值 点 和 端 点 值 不 难 证 明；（2）利 用（1）的 结 论，可 设 f（x）的 零 点 为 x 0，并 结 合 f（x）的 正 负 分 析 得 到 f（x）的 情 况，作 出 图 示，得 出 结 论【解 答】解：（1）第 2 1页（共 2 5页）证 明：f（x）2 s i n x x c o s x x，f（x）2 c o s x c o s x+x s i n x 1 c o s x+x s i n x 1，令 g（x）c o s x+x s i n x 1，则 g（x）s i n x+s i n x+x c o s x x c o s x，当 x（0，）时，x c

45、 o s x 0，当 x 时，x c o s x 0，当 x 时，极 大 值 为 g（）0，又 g（0）0，g（）2，g（x）在（0，）上 有 唯 一 零 点，即 f（x）在（0，）上 有 唯 一 零 点；（2）由（1）知，f（x）在（0，）上 有 唯 一 零 点 x 0，使 得 f（x 0）0，且 f（x）在（0，x 0）为 正，在（x 0，）为 负，f（x）在 0，x 0 递 增，在 x 0，递 减，结 合 f（0）0，f（）0，可 知 f（x）在 0，上 非 负，令 h（x）a x，作 出 图 示，f（x）h（x），a 0，a 的 取 值 范 围 是（，0 第 2 2页（共 2 5页）【

46、点 评】此 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，零 点 等 问 题，和 数 形 结 合 的 思 想 方 法，难 度 较 大 2 1（1 2 分）已 知 点 A，B 关 于 坐 标 原 点 O 对 称，|A B|4，M 过 点 A，B 且 与 直 线 x+2 0相 切（1）若 A 在 直 线 x+y 0 上，求 M 的 半 径；（2）是 否 存 在 定 点 P，使 得 当 A 运 动 时，|M A|M P|为 定 值？并 说 明 理 由【分 析】（1）由 条 件 知 点 M 在 线 段 A B 的 中 垂 线 x y 0 上，设 圆 的 方 程 为 M 的 方 程为（

47、x a）2+（y a）2 R2（R 0），然 后 根 据 圆 与 直 线 x+2 0 相 切 和 圆 心 到 直 线 x+y 0 的 距 离，半 弦 长 和 半 径 的 关 系 建 立 方 程 组 即 可；（2）设 M 的 坐 标 为（x，y），然 后 根 据 条 件 的 到 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 为 y2 4 x，然 后 根 据抛 物 线 的 定 义 即 可 得 到 定 点【解 答】解：M 过 点 A，B 且 A 在 直 线 x+y 0 上，点 M 在 线 段 A B 的 中 垂 线 x y 0 上，设 M 的 方 程 为：（x a）2+（y a）2 R2（R 0），则圆 心 M（

48、a，a）到 直 线 x+y 0 的 距 离 d，又|A B|4，在 R t O M B 中，d2+（|A B|）2 R2，即 又 M 与 x 2 相 切，|a+2|R 由 解 得 或，M 的 半 径 为 2 或 6；第 2 3页（共 2 5页）（2）线 段 A B 为 M 的 一 条 弦 O 是 弦 A B 的 中 点，圆 心 M 在 线 段 A B 的 中 垂 线 上，设 点 M 的 坐 标 为（x，y），则|O M|2+|O A|2|M A|2，M 与 直 线 x+2 0 相 切，|M A|x+2|，|x+2|2|O M|2+|O A|2 x2+y2+4，y2 4 x，M 的 轨 迹 是

49、以 F（1，0）为 焦 点 x 1 为 准 线 的 抛 物 线，|M A|M P|x+2|M P|x+1|M P|+1|M F|M P|+1，当|M A|M P|为 定 值 时，则 点 P 与 点 F 重 合，即 P 的 坐 标 为（1，0），存 在 定 点 P（1，0）使 得 当 A 运 动 时，|M A|M P|为 定 值【点 评】本 题 考 查 了 直 线 与 圆 的 关 系 和 抛 物 线 的 定 义，考 查 了 待 定 系 数 法 和 曲 线 轨 迹 方程 的 求 法，属 难 题（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如

50、果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数）以 坐标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2 c o s+s i n+1 1 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值【分 析】（1）把 曲 线 C 的 参 数 方 程 变 形，平 方 相 加 可 得 普 通 方 程，把