2019年黑龙江全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf

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1、第 1页（共 2 2页）2 0 1 9 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）设 集 合 A x|x2 5 x+6 0，B x|x 1 0，则 A B（）A（，1）B（2，1）C（3，1）D（3，+）2（5 分）设 z 3+2 i，则 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限3（5 分）已 知（2，3），（3，t）

2、，|1，则（）A 3 B 2 C 2 D 34（5 分）2 0 1 9 年 1 月 3 日 嫦 娥 四 号 探 测 器 成 功 实 现 人 类 历 史 上 首 次 月 球 背 面 软 着 陆，我 国航 天 事 业 取 得 又 一 重 大 成 就 实 现 月 球 背 面 软 着 陆 需 要 解 决 的 一 个 关 键 技 术 问 题 是 地 面与 探 测 器 的 通 讯 联 系 为 解 决 这 个 问 题，发 射 了 嫦 娥 四 号 中 继 星“鹊 桥”，鹊 桥 沿 着 围 绕地 月 拉 格 朗 日 L 2 点 的 轨 道 运 行 L 2 点 是 平 衡 点，位 于 地 月 连 线 的 延 长

3、线 上 设 地 球 质 量为 M 1，月 球 质 量 为 M 2，地 月 距 离 为 R，L 2 点 到 月 球 的 距 离 为 r，根 据 牛 顿 运 动 定 律 和 万有 引 力 定 律，r 满 足 方 程：+（R+r）设 由 于 的 值 很 小，因 此 在 近 似 计 算 中 3 3，则 r 的 近 似 值为（）A R B R C R D R5（5 分）演 讲 比 赛 共 有 9 位 评 委 分 别 给 出 某 选 手 的 原 始 评 分，评 定 该 选 手 的 成 绩 时，从 9个 原 始 评 分 中 去 掉 1 个 最 高 分、1 个 最 低 分，得 到 7 个 有 效 评 分.7

4、个 有 效 评 分 与 9 个 原 始评 分 相 比，不 变 的 数 字 特 征 是（）A 中 位 数 B 平 均 数 C 方 差 D 极 差6（5 分）若 a b，则（）A l n（a b）0 B 3a 3bC a3 b3 0 D|a|b|7（5 分）设，为 两 个 平 面，则 的 充 要 条 件 是（）A 内 有 无 数 条 直 线 与 平 行第 2页（共 2 2页）B 内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行C，平 行 于 同 一 条 直 线D，垂 直 于 同 一 平 面8（5 分）若 抛 物 线 y2 2 p x（p 0）的 焦 点 是 椭 圆+1 的 一 个 焦 点，则 p（）A

5、2 B 3 C 4 D 89（5 分）下 列 函 数 中，以 为 周 期 且 在 区 间（，）单 调 递 增 的 是（）A f（x）|c o s 2 x|B f（x）|s i n 2 x|C f（x）c o s|x|D f（x）s i n|x|1 0（5 分）已 知（0，），2 s i n 2 c o s 2+1，则 s i n（）A B C D 1 1（5 分）设 F 为 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 右 焦 点，O 为 坐 标 原 点，以O F 为 直 径 的 圆 与 圆 x2+y2 a2交 于 P，Q 两 点 若|P Q|O F|，则 C 的 离 心 率 为（）A B C 2

6、D 1 2（5 分）设 函 数 f（x）的 定 义 域 为 R，满 足 f（x+1）2 f（x），且 当 x（0，1 时，f（x）x（x 1）若 对 任 意 x（，m，都 有 f（x），则 m 的 取 值 范 围 是（）A（，B（，C（，D（，二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进 经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 1 0 个 车次 的 正 点 率 为 0.9 7，有 2 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 8，有 1 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9

7、 9，则 经停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 1 4（5 分）已 知 f（x）是 奇 函 数，且 当 x 0 时，f（x）ea x 若 f（l n 2）8，则 a 1 5（5 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 b 6，a 2 c，B，则 A B C 的 面 积 为 1 6（5 分）中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一 印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体 或 圆 柱 体，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形

8、 状 是“半 正 多 面 体”（图 1）半 正多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体 半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称美 图 2 是 一 个 棱 数 为 4 8 的 半 正 多 面 体，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且第 3页（共 2 2页）此 正 方 体 的 棱 长 为 1 则 该 半 正 多 面 体 共 有 个 面，其 棱 长 为 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考题，每 个

9、试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）如 图，长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 A B C D 是 正 方 形，点 E 在 棱 A A 1 上，B E E C 1（1）证 明：B E 平 面 E B 1 C 1；（2）若 A E A 1 E，求 二 面 角 B E C C 1 的 正 弦 值 第 4页（共 2 2页）1 8（1 2 分）1 1 分 制 乒 乓 球 比 赛，每 赢 一 球 得 1 分，当 某 局 打 成 1 0：1 0

10、平 后，每 球 交 换 发球 权，先 多 得 2 分 的 一 方 获 胜，该 局 比 赛 结 束 甲、乙 两 位 同 学 进 行 单 打 比 赛，假 设 甲发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.5，乙 发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.4，各 球 的 结 果 相 互 独 立 在 某局 双 方 1 0：1 0 平 后，甲 先 发 球，两 人 又 打 了 X 个 球 该 局 比 赛 结 束（1）求 P（X 2）；（2）求 事 件“X 4 且 甲 获 胜”的 概 率 1 9（1 2 分）已 知 数 列 a n 和 b n 满 足 a 1 1，b 1 0，4 a n+1 3 a n b

11、 n+4，4 b n+1 3 b n a n 4（1）证 明：a n+b n 是 等 比 数 列，a n b n 是 等 差 数 列；（2）求 a n 和 b n 的 通 项 公 式 第 5页（共 2 2页）2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）l n x（1）讨 论 f（x）的 单 调 性，并 证 明 f（x）有 且 仅 有 两 个 零 点；（2）设 x 0 是 f（x）的 一 个 零 点，证 明 曲 线 y l n x 在 点 A（x 0，l n x 0）处 的 切 线 也 是 曲 线y ex的 切 线 2 1（1 2 分）已 知 点 A（2，0），B（2，0），动 点 M（x，y）

12、满 足 直 线 A M 与 B M 的 斜 率之 积 为 记 M 的 轨 迹 为 曲 线 C（1）求 C 的 方 程，并 说 明 C 是 什 么 曲 线；（2）过 坐 标 原 点 的 直 线 交 C 于 P，Q 两 点，点 P 在 第 一 象 限，P E x 轴，垂 足 为 E，连结 Q E 并 延 长 交 C 于 点 G（i）证 明：P Q G 是 直 角 三 角 形；（i i）求 P Q G 面 积 的 最 大 值 第 6页（共 2 2页）（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计

13、分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 极 坐 标 系 中，O 为 极 点，点 M（0，0）（0 0）在 曲 线 C：4 s i n 上，直 线 l 过 点 A（4，0）且 与 O M 垂 直，垂 足 为 P（1）当 0 时，求 0 及 l 的 极 坐 标 方 程；（2）当 M 在 C 上 运 动 且 P 在 线 段 O M 上 时，求 P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）2 3 已 知 f（x）|x a|x+|x 2|（x a）（1）当 a 1 时，求 不 等 式 f（x）0 的 解 集；（2

14、）当 x（，1）时，f（x）0，求 a 的 取 值 范 围 第 7页（共 2 2页）2 0 1 9 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）设 集 合 A x|x2 5 x+6 0，B x|x 1 0，则 A B（）A（，1）B（2，1）C（3，1）D（3，+）【分 析】根 据 题 意，求 出 集 合 A、B，由 交 集 的 定 义 计 算 可 得 答

15、 案【解 答】解：根 据 题 意，A x|x2 5 x+6 0 x|x 3 或 x 2，B x|x 1 0 x|x 1，则 A B x|x 1（，1）；故 选：A【点 评】本 题 考 查 交 集 的 计 算，关 键 是 掌 握 交 集 的 定 义，属 于 基 础 题 2（5 分）设 z 3+2 i，则 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限【分 析】求 出 z 的 共 轭 复 数，根 据 复 数 的 几 何 意 义 求 出 复 数 所 对 应 点 的 坐 标 即 可【解 答】解：z 3+2 i，在 复 平 面

16、 内 对 应 的 点 为（3，2），在 第 三 象 限 故 选：C【点 评】本 题 考 查 共 轭 复 数 的 代 数 表 示 及 其 几 何 意 义，属 基 础 题 3（5 分）已 知（2，3），（3，t），|1，则（）A 3 B 2 C 2 D 3【分 析】由 先 求 出 的 坐 标，然 后 根 据|1，可 求 t，结 合 向 量 数 量 积 定义 的 坐 标 表 示 即 可 求 解【解 答】解：（2，3），（3，t），（1，t 3），|1，第 8页（共 2 2页）t 3 0 即（1，0），则 2故 选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 了 向 量 数 量 积 的 定 义 及 性 质 的

17、 坐 标 表 示，属 于 基 础 试 题4（5 分）2 0 1 9 年 1 月 3 日 嫦 娥 四 号 探 测 器 成 功 实 现 人 类 历 史 上 首 次 月 球 背 面 软 着 陆，我 国航 天 事 业 取 得 又 一 重 大 成 就 实 现 月 球 背 面 软 着 陆 需 要 解 决 的 一 个 关 键 技 术 问 题 是 地 面与 探 测 器 的 通 讯 联 系 为 解 决 这 个 问 题，发 射 了 嫦 娥 四 号 中 继 星“鹊 桥”，鹊 桥 沿 着 围 绕地 月 拉 格 朗 日 L 2 点 的 轨 道 运 行 L 2 点 是 平 衡 点，位 于 地 月 连 线 的 延 长 线

18、上 设 地 球 质 量为 M 1，月 球 质 量 为 M 2，地 月 距 离 为 R，L 2 点 到 月 球 的 距 离 为 r，根 据 牛 顿 运 动 定 律 和 万有 引 力 定 律，r 满 足 方 程：+（R+r）设 由 于 的 值 很 小，因 此 在 近 似 计 算 中 3 3，则 r 的 近 似 值为（）A R B R C R D R【分 析】由 推 导 出 3 3，由 此 能 求 出 r R【解 答】解：r R，r 满 足 方 程：+（R+r）3 3，r R 故 选：D【点 评】本 题 考 查 点 到 月 球 的 距 离 的 求 法，考 查 函 数 在 我 国 航 天 事 业 中

19、的 灵 活 运 用，考查 化 归 与 转 化 思 想、函 数 与 方 程 思 想，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题 5（5 分）演 讲 比 赛 共 有 9 位 评 委 分 别 给 出 某 选 手 的 原 始 评 分，评 定 该 选 手 的 成 绩 时，从 9第 9页（共 2 2页）个 原 始 评 分 中 去 掉 1 个 最 高 分、1 个 最 低 分，得 到 7 个 有 效 评 分.7 个 有 效 评 分 与 9 个 原 始评 分 相 比，不 变 的 数 字 特 征 是（）A 中 位 数 B 平 均 数 C 方 差 D 极 差【分 析】根 据 题 意，由 数 据 的 数 字 特

20、征 的 定 义，分 析 可 得 答 案【解 答】解：根 据 题 意，从 9 个 原 始 评 分 中 去 掉 1 个 最 高 分、1 个 最 低 分，得 到 7 个 有 效评 分，7 个 有 效 评 分 与 9 个 原 始 评 分 相 比，最 中 间 的 一 个 数 不 变，即 中 位 数 不 变，故 选：A【点 评】本 题 考 查 数 据 的 数 字 特 征，关 键 是 掌 握 数 据 的 平 均 数、中 位 数、方 差、极 差 的定 义 以 及 计 算 方 法，属 于 基 础 题 6（5 分）若 a b，则（）A l n（a b）0 B 3a 3bC a3 b3 0 D|a|b|【分 析】取

21、 a 0，b 1，利 用 特 殊 值 法 可 得 正 确 选 项【解 答】解：取 a 0，b 1，则l n（a b）l n 1 0，排 除 A；，排 除 B；a3 03（1）3 1 b3，故 C 对；|a|0|1|1 b，排 除 D 故 选：C【点 评】本 题 考 查 了 不 等 式 的 基 本 性 质，利 用 特 殊 值 法 可 迅 速 得 到 正 确 选 项，属 基 础 题 7（5 分）设，为 两 个 平 面，则 的 充 要 条 件 是（）A 内 有 无 数 条 直 线 与 平 行B 内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行C，平 行 于 同 一 条 直 线D，垂 直 于 同 一 平 面

22、【分 析】充 要 条 件 的 定 义 结 合 面 面 平 行 的 判 定 定 理 可 得 结 论【解 答】解：对 于 A，内 有 无 数 条 直 线 与 平 行，或；对 于 B，内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行，；对 于 C，平 行 于 同 一 条 直 线，或；第 1 0页（共 2 2页）对 于 D，垂 直 于 同 一 平 面，或 故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 充 要 条 件 的 定 义 和 面 面 平 行 的 判 定 定 理，考 查 了 推 理 能 力，属 于 基础 题 8（5 分）若 抛 物 线 y2 2 p x（p 0）的 焦 点 是 椭 圆+1 的 一 个 焦 点，

23、则 p（）A 2 B 3 C 4 D 8【分 析】根 据 抛 物 线 的 性 质 以 及 椭 圆 的 性 质 列 方 程 可 解 得【解 答】解：由 题 意 可 得：3 p p（）2，解 得 p 8 故 选：D【点 评】本 题 考 查 了 抛 物 线 与 椭 圆 的 性 质，属 基 础 题 9（5 分）下 列 函 数 中，以 为 周 期 且 在 区 间（，）单 调 递 增 的 是（）A f（x）|c o s 2 x|B f（x）|s i n 2 x|C f（x）c o s|x|D f（x）s i n|x|【分 析】根 据 正 弦 函 数，余 弦 函 数 的 周 期 性 及 单 调 性 依 次

24、判 断，利 用 排 除 法 即 可 求 解【解 答】解：f（x）s i n|x|不 是 周 期 函 数，可 排 除 D 选 项；f（x）c o s|x|的 周 期 为 2，可 排 除 C 选 项；f（x）|s i n 2 x|在 处 取 得 最 大 值，不 可 能 在 区 间（，）单 调 递 增，可 排 除 B 故 选：A【点 评】本 题 主 要 考 查 了 正 弦 函 数，余 弦 函 数 的 周 期 性 及 单 调 性，考 查 了 排 除 法 的 应 用，属 于 基 础 题 1 0（5 分）已 知（0，），2 s i n 2 c o s 2+1，则 s i n（）A B C D【分 析】由

25、二 倍 角 的 三 角 函 数 公 式 化 简 已 知 可 得 4 s i n c o s 2 c o s2，结 合 角 的 范 围 可 求s i n 0，c o s 0，可 得 c o s 2 s i n，根 据 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 即 可 解 得 s i n 的 值【解 答】解：2 s i n 2 c o s 2+1，可 得：4 s i n c o s 2 c o s2，（0，），s i n 0，c o s 0，c o s 2 s i n，第 1 1页（共 2 2页）s i n2+c o s2 s i n2+（2 s i n）2 5 s i n2 1，解 得：s i

26、 n 故 选：B【点 评】本 题 主 要 考 查 了 二 倍 角 的 三 角 函 数 公 式，同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 在 三 角 函 数化 简 求 值 中 的 应 用，考 查 了 转 化 思 想，属 于 基 础 题 1 1（5 分）设 F 为 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 右 焦 点，O 为 坐 标 原 点，以O F 为 直 径 的 圆 与 圆 x2+y2 a2交 于 P，Q 两 点 若|P Q|O F|，则 C 的 离 心 率 为（）A B C 2 D【分 析】由 题 意 画 出 图 形，先 求 出 P Q，再 由|P Q|O F|列 式 求 C 的 离 心 率

27、【解 答】解：如 图，由 题 意，把 x 代 入 x2+y2 a2，得 P Q，再 由|P Q|O F|，得，即 2 a2 c2，解 得 e 故 选：A【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质，考 查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法，是 中 档 题 1 2（5 分）设 函 数 f（x）的 定 义 域 为 R，满 足 f（x+1）2 f（x），且 当 x（0，1 时，f（x）x（x 1）若 对 任 意 x（，m，都 有 f（x），则 m 的 取 值 范 围 是（）A（，B（，C（，D（，【分 析】因 为 f（x+1）2 f（x），f（x）2 f（x 1），分 段 求

28、解 析 式，结 合 图 象 可 得 第 1 2页（共 2 2页）【解 答】解：因 为 f（x+1）2 f（x），f（x）2 f（x 1），x（0，1 时，f（x）x（x 1），0，x（1，2 时，x 1（0，1，f（x）2 f（x 1）2（x 1）（x 2），0；x（2，3 时，x 1（1，2，f（x）2 f（x 1）4（x 2）（x 3）1，0，当 x（2，3 时，由 4（x 2）（x 3）解 得 x 或 x，若 对 任 意 x（，m，都 有 f（x），则 m 故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 函 数 与 方 程 的 综 合 运 用，属 中 档 题 二、填 空 题：本 题 共 4 小

29、题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进 经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 1 0 个 车次 的 正 点 率 为 0.9 7，有 2 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 8，有 1 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 9，则 经停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 0.9 8【分 析】利 用 加 权 平 均 数 公 式 直 接 求 解【解 答】解：经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 1 0 个 车 次 的 正 点 率

30、为 0.9 7，有 2 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 8，有 1 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 9，经 停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为：（1 0 0.9 7+2 0 0.9 8+1 0 0.9 9）0.9 8 故 答 案 为：0.9 8 第 1 3页（共 2 2页）【点 评】本 题 考 查 经 停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 的 求 法，考 查 加 权平 均 数 公 式 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题 1 4

31、（5 分）已 知 f（x）是 奇 函 数，且 当 x 0 时，f（x）ea x 若 f（l n 2）8，则 a 3【分 析】奇 函 数 的 定 义 结 合 对 数 的 运 算 可 得 结 果【解 答】解：f（x）是 奇 函 数，f（l n 2）8，又 当 x 0 时，f（x）ea x，f（l n 2）ea l n 2 8，a l n 2 l n 8，a 3 故 答 案 为：3【点 评】本 题 主 要 考 查 函 数 奇 偶 性 的 应 用，对 数 的 运 算 性 质，属 于 基 础 题 1 5（5 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 b 6，a 2

32、c，B，则 A B C 的 面 积 为【分 析】利 用 余 弦 定 理 得 到 c2，然 后 根 据 面 积 公 式 S A B C a c s i n B c2s i n B 求 出 结 果 即可【解 答】解：由 余 弦 定 理 有 b2 a2+c2 2 a c c o s B，b 6，a 2 c，B，3 6（2 c）2+c2 4 c2c o s，c2 1 2，S A B C，故 答 案 为：6【点 评】本 题 考 查 了 余 弦 定 理 和 三 角 形 的 面 积 公 式，属 基 础 题 1 6（5 分）中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一

33、 印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体 或 圆 柱 体，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体”（图 1）半 正多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体 半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称美 图 2 是 一 个 棱 数 为 4 8 的 半 正 多 面 体，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且此 正 方 体 的 棱 长 为 1 则 该 半 正 多 面 体 共 有 2 6 个 面，其 棱 长 为 1 第 1 4页（共 2 2页）【

34、分 析】中 间 层 是 一 个 正 八 棱 柱，有 8 个 侧 面，上 层 是 有 8+1，个 面，下 层 也 有 8+1 个面，故 共 有 2 6 个 面；半 正 多 面 体 的 棱 长 为 中 间 层 正 八 棱 柱 的 棱 长 加 上 两 个 棱 长 的 c o s 4 5 倍【解 答】解：该 半 正 多 面 体 共 有 8+8+8+2 2 6 个 面，设 其 棱 长 为 x，则 x+x+x 1，解 得 x 1 故 答 案 为：2 6，1【点 评】本 题 考 查 了 球 内 接 多 面 体，属 中 档 题 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程

35、 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）如 图，长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 A B C D 是 正 方 形，点 E 在 棱 A A 1 上，B E E C 1（1）证 明：B E 平 面 E B 1 C 1；（2）若 A E A 1 E，求 二 面 角 B E C C 1 的 正 弦 值【分 析】（1）推 导 出 B 1 C 1 B E，B E E C 1，由 此

36、 能 证 明 B E 平 面 E B 1 C 1 第 1 5页（共 2 2页）（2）以 C 为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 能 求 出 二 面 角 B E C C 1 的 正 弦 值【解 答】证 明：（1）长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，B 1 C 1 平 面 A B A 1 B 1，B 1 C 1 B E，B E E C 1，B E 平 面 E B 1 C 1 解：（2）以 C 为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 A E A 1 E 1，B E 平 面

37、E B 1 C 1，B E E B 1，A B 1，则 E（1，1，1），A（1，1，0），B 1（0，1，2），C 1（0，0，2），C（0，0，0），B C E B 1，E B 1 面 E B C，故 取 平 面 E B C 的 法 向 量 为（1，0，1），设 平 面 E C C 1 的 法 向 量（x，y，z），由，得，取 x 1，得（1，1，0），c o s，二 面 角 B E C C 1 的 正 弦 值 为【点 评】本 题 考 查 线 面 垂 直 的 证 明，考 查 二 面 角 的 正 弦 值 的 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线面、面 面 间 的 位 置 关 系 等 基 础

38、 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，是 中 档 题 1 8（1 2 分）1 1 分 制 乒 乓 球 比 赛，每 赢 一 球 得 1 分，当 某 局 打 成 1 0：1 0 平 后，每 球 交 换 发球 权，先 多 得 2 分 的 一 方 获 胜，该 局 比 赛 结 束 甲、乙 两 位 同 学 进 行 单 打 比 赛，假 设 甲第 1 6页（共 2 2页）发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.5，乙 发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.4，各 球 的 结 果 相 互 独 立 在 某局 双 方 1 0：1 0 平 后，甲 先 发 球，两 人 又 打 了 X 个 球

39、该 局 比 赛 结 束（1）求 P（X 2）；（2）求 事 件“X 4 且 甲 获 胜”的 概 率【分 析】（1）设 双 方 1 0：1 0 平 后 的 第 k 个 球 甲 获 胜 为 事 件 A k（k 1，2，3，），则 P（X 2）P（A 1 A 2）+P（）P（A 1）P（A 2）+P（）P（），由 此 能 求 出 结果（2）P（X 4 且 甲 获 胜）P（A 2 A 3 A 4）+P（）P（）P（A 2）P（A 3）P（A 4）+P（A 1）P（）P（A 3）P（A 4），由 此 能 求 出 事 件“X 4 且 甲 获 胜”的 概 率【解 答】解：（1）设 双 方 1 0：1 0 平

40、 后 的 第 k 个 球 甲 获 胜 为 事 件 A k（k 1，2，3，），则 P（X 2）P（A 1 A 2）+P（）P（A 1）P（A 2）+P（）P（）0.5 0.4+0.5 0.6 0.5（2）P（X 4 且 甲 获 胜）P（A 2 A 3 A 4）+P（）P（）P（A 2）P（A 3）P（A 4）+P（A 1）P（）P（A 3）P（A 4）（0.5 0.4+0.5 0.6）0.5 0.4 0.1【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 相 互 独 立 事 件 概 率 乘 法 公 式 等 基 础 知 识，考 查 推 理能 力 与 计 算 能 力，是 中 档 题 1 9（1

41、 2 分）已 知 数 列 a n 和 b n 满 足 a 1 1，b 1 0，4 a n+1 3 a n b n+4，4 b n+1 3 b n a n 4（1）证 明：a n+b n 是 等 比 数 列，a n b n 是 等 差 数 列；（2）求 a n 和 b n 的 通 项 公 式【分 析】（1）定 义 法 证 明 即 可；（2）由（1）结 合 等 差、等 比 的 通 项 公 式 可 得【解 答】解：（1）证 明：4 a n+1 3 a n b n+4，4 b n+1 3 b n a n 4；4（a n+1+b n+1）2（a n+b n），4（a n+1 b n+1）4（a n b

42、n）+8；即 a n+1+b n+1（a n+b n），a n+1 b n+1 a n b n+2；又 a 1+b 1 1，a 1 b 1 1，第 1 7页（共 2 2页）a n+b n 是 首 项 为 1，公 比 为 的 等 比 数 列，a n b n 是 首 项 为 1，公 差 为 2 的 等 差 数 列；（2）由（1）可 得：a n+b n（）n1，a n b n 1+2（n 1）2 n 1；a n（）n+n，b n（）n n+【点 评】本 题 考 查 了 等 差、等 比 数 列 的 定 义 和 通 项 公 式，是 基 础 题2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）l n x（1）讨

43、 论 f（x）的 单 调 性，并 证 明 f（x）有 且 仅 有 两 个 零 点；（2）设 x 0 是 f（x）的 一 个 零 点，证 明 曲 线 y l n x 在 点 A（x 0，l n x 0）处 的 切 线 也 是 曲 线y ex的 切 线【分 析】（1）讨 论 f（x）的 单 调 性，求 函 数 导 数，在 定 义 域 内 根 据 函 数 零 点 大 致 区 间 求零 点 个 数，（2）运 用 曲 线 的 切 线 方 程 定 义 可 证 明【解 答】解 析：（1）函 数 f（x）l n x 定 义 域 为：（0，1）（1，+）；f（x）+0，（x 0 且 x 1），f（x）在（0，1

44、）和（1，+）上 单 调 递 增，在（0，1）区 间 取 值 有，代 入 函 数，由 函 数 零 点 的 定 义 得，f（）0，f（）0，f（）f（）0，f（x）在（0，1）有 且 仅 有 一 个 零 点，在（1，+）区 间，区 间 取 值 有 e，e2代 入 函 数，由 函 数 零 点 的 定 义 得，又 f（e）0，f（e2）0，f（e）f（e2）0，f（x）在（1，+）上 有 且 仅 有 一 个 零 点，故 f（x）在 定 义 域 内 有 且 仅 有 两 个 零 点；（2）x 0 是 f（x）的 一 个 零 点，则 有 l n x 0，第 1 8页（共 2 2页）曲 线 y l n x，

45、则 有 y；曲 线 y l n x 在 点 A（x 0，l n x 0）处 的 切 线 方 程 为：y l n x 0（x x 0）即：y x 1+l n x 0即：y x+而 曲 线 y ex的 切 线 在 点（l n，）处 的 切 线 方 程 为：y（x l n），即：y x+，故 曲 线 y l n x 在 点 A（x 0，l n x 0）处 的 切 线 也 是 曲 线 y ex的 切 线 故 得 证【点 评】本 题 考 查 f（x）的 单 调 性，函 数 导 数，在 定 义 域 内 根 据 函 数 零 点 大 致 区 间 求 零点 个 数，以 及 利 用 曲 线 的 切 线 方 程 定

46、 义 证 明 2 1（1 2 分）已 知 点 A（2，0），B（2，0），动 点 M（x，y）满 足 直 线 A M 与 B M 的 斜 率之 积 为 记 M 的 轨 迹 为 曲 线 C（1）求 C 的 方 程，并 说 明 C 是 什 么 曲 线；（2）过 坐 标 原 点 的 直 线 交 C 于 P，Q 两 点，点 P 在 第 一 象 限，P E x 轴，垂 足 为 E，连结 Q E 并 延 长 交 C 于 点 G（i）证 明：P Q G 是 直 角 三 角 形；（i i）求 P Q G 面 积 的 最 大 值【分 析】（1）利 用 直 接 法 不 难 得 到 方 程；（2）（i）设 P（x

47、0，y 0），则 Q（x 0，y 0），E（x 0，0），利 用 直 线 Q E 的 方 程 与 椭 圆 方程 联 立 求 得 G 点 坐 标，去 证 P Q，P G 斜 率 之 积 为 1；（i i）利 用 S，代 入 已 得 数 据，并 对 换 元，利 用“对 号”函 数 可 得 最 值【解 答】解：（1）由 题 意 得，整 理 得 曲 线 C 的 方 程：，曲 线 C 是 焦 点 在 x 轴 上 不 含 长 轴 端 点 的 椭 圆；第 1 9页（共 2 2页）（2）（i）设 P（x 0，y 0），则 Q（x 0，y 0），E（x 0，0），G（x G，y G），直 线 Q E 的 方 程

48、 为：，与 联 立 消 去 y，得，第 2 0页（共 2 2页），把 代 入 上 式，得 k P G，k P Q k P G 1，P Q P G，故 P Q G 为 直 角 三 角 形；（i i）S P Q G 第 2 1页（共 2 2页）令 t，则 t 2，S P Q G 利 用“对 号”函 数 f（t）2 t+在 2，+）的 单 调 性 可 知，f（t）（t 2 时 取 等 号），（此 时），故 P Q G 面 积 的 最 大 值 为【点 评】此 题 考 查 了 直 接 法 求 曲 线 方 程，直 线 与 椭 圆 的 综 合，换 元 法 等，对 运 算 能 力 考查 尤 为 突 出，难 度

49、 大（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 极 坐 标 系 中，O 为 极 点，点 M（0，0）（0 0）在 曲 线 C：4 s i n 上，直 线 l 过 点 A（4，0）且 与 O M 垂 直，垂 足 为 P（1）当 0 时，求 0 及 l 的 极 坐 标 方 程；（2）当 M 在 C 上 运 动 且 P 在 线 段 O M 上 时，求 P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程【分 析】（1）把

50、 0 直 接 代 入 4 s i n 即 可 求 得 0，在 直 线 l 上 任 取 一 点（，），利用 三 角 形 中 点 边 角 关 系 即 可 求 得 l 的 极 坐 标 方 程；（2）设 P（，），在 R t O A P 中，根 据 边 与 角 的 关 系 得 答 案【解 答】解：（1）当 0 时，第 2 2页（共 2 2页）在 直 线 l 上 任 取 一 点（，），则 有，故 l 的 极 坐 标 方 程 为 有；（2）设 P（，），则 在 R t O A P 中，有 4 c o s，P 在 线 段 O M 上，故 P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 4 c o s，【点 评】