2018年青海省全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf

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1、第 1 页（共 2 7 页）2 0 1 8 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）=（）A i B C D 2（5 分）已知 集 合 A=（x，y）|x2+y2 3，xZ，yZ，则 A 中 元 素的 个 数为（）A 9 B 8 C 5 D 43（5 分）函数 f（x）=的图象大致为（）A B C D 4（5 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A 4 B 3 C 2 D 05（5 分）双曲线=1（a 0，b

2、 0）的离心率为，则其渐近线 方程为（）A y=x B y=x C y=x D y=x6（5 分）在 A B C 中，c os=，B C=1，A C=5，则 A B=（）第 2 页（共 2 7 页）A 4 B C D 27（5 分）为 计 算 S=1+，设 计 了 如 图 的 程 序 框 图，则在空白框中应填入（）A i=i+1 B i=i+2 C i=i+3 D i=i+48（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概

3、率是（）A B C D 9（5 分）在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，A B=B C=1，A A 1=，则 异 面 直 线A D 1 与 D B 1 所成角的余弦值为（）A B C D 10（5 分）若 f（x）=c os x s i nx 在 a，a 是减函数，则 a 的最大值是（）A B C D 1 1（5 分）已 知 f（x）是 定 义 域 为（，+）的 奇 函 数，满 足 f（1 x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A 50 B 0 C 2 D 50第 3 页（共 2 7 页）12（5 分）已知 F

4、1，F 2 是椭圆 C：=1（a b 0）的左、右焦点，A 是C 的 左 顶 点，点 P 在 过 A 且 斜 率 为 的 直 线 上，P F 1 F 2 为 等 腰 三 角 形，F 1 F 2 P=120，则 C 的离心率为（）A B C D 二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13（5 分）曲线 y=2 l n（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 15（5 分）已知 s i n+c os=1，c os+s i n=0，则 s i n（+）=16（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 S A，S

5、B 所成角的余弦值为，S A 与圆锥底面所成角为 45，若S A B 的面积为 5，则该圆锥的侧面积为 三、解答 题：共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23 题 为 选 考 题，考 生 根 要求作 答。（一)必考 题：共 60 分。17（12 分）记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，已知 a 1=7，S 3=15（1）求 a n 的通项公式；（2）求 S n，并求 S n 的最小值第 4 页（共 2 7 页）18（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016

6、 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了 预测该地 区 2018 年的 环境基础 设施投 资额，建立了 y 与时 间变量 t 的两 个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由第 5 页（共 2 7 页）19（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过

7、F 且斜率为 k（k0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|A B|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程20（12 分）如 图，在三 棱锥 P A B C 中，A B=B C=2，P A=P B=P C=A C=4，O 为 A C 的中点（1）证明：P O 平面 A B C；（2）若 点 M 在 棱 B C 上，且 二 面 角 M P A C 为 30，求 P C 与 平 面 P A M 所成角的正弦值21（12 分）已知函数 f（x）=exa x2（1）若 a=1，证明：当 x 0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求

8、a 第 6 页（共 2 7 页）（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系 与参数 方程 22（10 分）在 直 角 坐 标 系 xO y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为，（为 参数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率 选修 4-5：不 等式 选讲 23设函数 f（x）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若

9、 f（x）1，求 a 的取值范围第 7 页（共 2 7 页）2 0 1 8 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）=（）A i B C D【考点】A 5：复数的运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：=+故选：D【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运

10、算，是基本知识的考查2（5 分）已知 集 合 A=（x，y）|x2+y2 3，xZ，yZ，则 A 中 元 素的 个 数为（）A 9 B 8 C 5 D 4【考点】1A：集合中元素个数的最值菁 优 网 版 权 所 有【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合【分析】分别令 x=1，0，1，进行求解即可【解答】解：当 x=1 时，y2 2，得 y=1，0，1，当 x=0 时，y2 3，得 y=1，0，1，当 x=1 时，y2 2，得 y=1，0，1，即集合 A 中元素有 9 个，故选：A【点 评】本 题 主 要 考 查 集 合 元 素 个 数 的 判 断，利 用 分 类 讨 论 的 思 想

11、是 解 决 本 题的关键第 8 页（共 2 7 页）3（5 分）函数 f（x）=的图象大致为（）A B C D【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性菁 优 网 版 权 所 有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数 f（x）=f（x），则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，当 x=1 时，f（1）=e 0，排除 D 当 x+时，f（x）+，排除 C，故选：B【点 评】本 题 主 要 考 查 函 数 的 图 象 的 识 别 和 判 断，利 用 函

12、数 图 象 的 特 点 分 别 进行排除是解决本题的关键4（5 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A 4 B 3 C 2 D 0【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算菁 优 网 版【专题】1 1：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用第 9 页（共 2 7 页）【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量，满足|=1，=1，则（2）=2=2+1=3，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5（5 分）双曲线=1（a 0，b 0）的离心率为，则其渐近线 方程为（）A y=x B y=x C y=x D y=x【

13、考点】K C：双曲线的性质菁 优 网 版 权 所 有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分 析】根据 双曲线离 心率的 定义求出 a，c 的关 系，结合 双曲线 a，b，c 的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为 e=，则=，即双曲线的渐近线方程为 y=x=x，故选：A【点 评】本 题 主 要 考 查 双 曲 线 渐 近 线 的 求 解，结 合 双 曲 线 离 心 率 的 定 义 以 及 渐近线的方程是解决本题的关键6（5 分）在 A B C 中，c os=，B C=1，A C=5，则 A B=（）A 4 B C D 2【考点】H R：余弦定理菁 优

14、 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在 A B C 中，c os=，c os C=2=，第 1 0 页（共 2 7 页）B C=1，A C=5，则 A B=4 故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力7（5 分）为 计 算 S=1+，设 计 了 如 图 的 程 序 框 图，则在空白框中应填入（）A i=i+1 B i=i+2 C i=i+3 D i=i+4【考点】E 7：循环结构；E H：绘制程序框图解决问题菁 优 网 版 权 所 有

15、【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=N T，由此知空白处应填入的条件【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N T=（1）+（）+（）；累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2故选：B【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题第 1 1 页（共 2 7 页）8（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）A

16、B C D【考点】C B：古典概型及其概率计算公式菁 优 网 版 权 所 有【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】利用列举法先求出不超过 30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：在不超过 30 的素数中有，2，3，5，7，1 1，13，17，19，23，29共 10 个，从中选 2 个不同的数有=45 种，和等于 30 的有（7，23），（1 1，19），（13，17），共 3 种，则对应的概率 P=，故选：C【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过 30 的素数是解决本题的关键9（5 分）在 长 方 体 A B C D A 1 B

17、1 C 1 D 1 中，A B=B C=1，A A 1=，则 异 面 直 线A D 1 与 D B 1 所成角的余弦值为（）A B C D【考点】L M：异面直线及其所成的角菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角【分析】以 D 为原点，D A 为 x 轴，D C 为 y 轴，D D 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 A D 1 与 D B 1 所成角的余弦值【解答】解：以 D 为原点，D A 为 x 轴，D C 为 y 轴，D D 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体 A B C D A 1 B 1 C

18、1 D 1 中，A B=B C=1，第 1 2 页（共 2 7 页）A A 1=，A（1，0，0），D 1（0，0，），D（0，0，0），B 1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），设异面直线 A D 1 与 D B 1 所成角为，则 c os=，异面直线 A D 1 与 D B 1 所成角的余弦值为 故选：C【点 评】本 题 考 查 异 面 直 线 所 成 角 的 余 弦 值 的 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线 面、面面间 的位置关 系等基础 知识，考 查运算求解 能力，考 查函数与 方程思想，是基础题10（5 分）若 f（x）=c os x s i nx 在 a，a 是减函

19、数，则 a 的最大值是（）A B C D【考点】G P：两角和与差的三角函数；H 5：正弦函数的单调性菁 优 网 版 权 所 有【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由，k Z，得，k Z，取 k=0，得 f（x）的 一 个 减 区第 1 3 页（共 2 7 页）间为，结合已知条件即可求出 a 的最大值【解答】解：f（x）=c os x s i nx=（s i nx c os x）=，由，k Z，得，k Z，取 k=0，得 f（x）的一个减区间为，由 f（x）在 a，a 是减函数，得，则 a 的最大值是 故选：A【点 评】本 题

20、 考 查 了 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 的 应 用，三 角 函 数 的 求 值，属于基本知识的考查，是基础题1 1（5 分）已 知 f（x）是 定 义 域 为（，+）的 奇 函 数，满 足 f（1 x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A 50 B 0 C 2 D 50【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁 优 网 版 权 所 有【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（

21、1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则 f（x+2）=f（x），则 f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，第 1 4 页（共 2 7 页）则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 函 数 值 的 计 算

22、，根 据 函 数 奇 偶 性 和 对 称 性 的 关 系 求 出 函数的周期性是解决本题的关键12（5 分）已知 F 1，F 2 是椭圆 C：=1（a b 0）的左、右焦点，A 是C 的 左 顶 点，点 P 在 过 A 且 斜 率 为 的 直 线 上，P F 1 F 2 为 等 腰 三 角 形，F 1 F 2 P=120，则 C 的离心率为（）A B C D【考点】K 4：椭圆的性质菁 优 网 版 权 所 有【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得直线 A P 的方程：根据题意求得 P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可

23、知：A（a，0），F 1（c，0），F 2（c，0），直线 A P 的方程为：y=（x+a），由F 1 F 2 P=120，|P F 2|=|F 1 F 2|=2c，则 P（2c，c），代入直线 A P：c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率 e=故选：D 第 1 5 页（共 2 7 页）【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13（5 分）曲线 y=2 l n（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2 x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】1

24、1：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分 析】欲 求 出 切 线 方 程，只 须 求 出 其 斜 率 即 可，故 先 利 用导 数 求 出 在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=2 l n（x+1），y=，当 x=0 时，y=2，曲线 y=2 l n（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2 x 故答案为：y=2 x【点 评】本 小 题 主 要 考 查 直 线 的 斜 率、导 数 的 几 何 意 义、利 用 导 数 研 究 曲 线 上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14（5 分）若 x，y 满

25、足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 9【考点】7C：简单线性规划菁 优 网 版 权 所 有【专 题】1 1：计 算 题；31：数 形 结 合；35：转 化 思 想；49：综 合 法；5T：不 等第 1 6 页（共 2 7 页）式【分 析】由 约 束 条 件 作 出 可 行 域，数 形 结 合 得 到 最 优 解，求 出 最 优 解 的 坐 标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过 A 时，z 取得最大值，由，解得 A（5，4），目标函数有最大值，为 z=9 故答案为：9【点 评】本

26、题 考 查 了 简 单 的 线 性 规 划，考 查 了 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法，是 中档题15（5 分）已知 s i n+c os=1，c os+s i n=0，则 s i n（+）=【考点】G P：两角和与差的三角函数 菁 优 网 版 权 所 有【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值【分析】把已知等式两边平方化简可得 2+2（s i n c os+c os s i n）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为 2s i n（+）=1，可得结果【解答】解：s i n+c os=1，两边平方可得：s i n2+2s i n c os+c os2=1，c os+

27、s i n=0，第 1 7 页（共 2 7 页）两边平方可得：c os2+2c os s i n+s i n2=0，由+得：2+2（s i n c os+c os s i n）=1，即 2+2s i n（+）=1，2s i n（+）=1 s i n（+）=故答案为：【点 评】本 题 考 查 了 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 的 应 用，三 角 函 数 的 求 值，属于基本知识的考查，是基础题16（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 S A，S B 所成角的余弦值为，S A 与圆锥 底 面 所 成 角 为 45，若 S A B 的 面 积 为 5，则 该 圆 锥 的 侧 面 积

28、 为40【考点】M I：直线与平面所成的角菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分 析】利 用 已 知 条 件 求 出 圆 锥 的 母 线 长，利 用 直 线 与 平 面 所 成 角 求 解 底 面 半径，然后求解圆锥的侧面积【解 答】解：圆 锥 的 顶 点 为 S，母 线 S A，S B 所 成 角 的 余 弦 值 为，可 得s i n A S B=S A B 的面积为 5，可得 s i n A S B=5，即=5，即 S A=4 S A 与圆锥底面所成角为 45，可得圆锥的底面半径为：=2 则该圆锥的侧面积：=40 故答案

29、为：40【点 评】本 题 考 查 圆 锥 的 结 构 特 征，母 线 与 底 面 所 成 角，圆 锥 的 截 面 面 积 的 求法，考查空间想象能力以及计算能力三、解答 题：共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。第 17 2 1第 1 8 页（共 2 7 页）题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23 题 为 选 考 题，考 生 根 要求作 答。（一)必考 题：共 60 分。17（12 分）记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，已知 a 1=7，S 3=15（1）求 a n 的通项公式；（2）求 S n，并求 S n 的

30、最小值【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和菁 优 网 版 权 所 有【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分 析】（1）根 据 a 1=7，S 3=15，可 得 a 1=7，3a 1+3d=15，求 出 等 差 数列 a n 的公差，然后求出 a n 即可；（2）由 a 1=7，d=2，a n=2n 9，得 S n=n2 8n=（n4）216，由此可求出 S n 以及 S n 的最小值【解答】解：（1）等差数列 a n 中，a 1=7，S 3=15，a 1=7，3a 1+3d=15，解得 a 1=7，d=2，a n=7+2（n1）=2n 9；

31、（2）a 1=7，d=2，a n=2n 9，S n=n2 8n=（n 4）2 16，当 n=4 时，前 n 项的和 S n 取得最小值为16【点 评】本 题 主 要 考 查 了 等 差 数 列 的 通 项 公 式，考 查 了 等 差 数 列 的 前 n 项 的 和公式，属于中档题18（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图第 1 9 页（共 2 7 页）为了 预测该地 区 2018 年的 环境基础 设施投 资额，建立了 y 与时 间变量 t 的两 个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2

32、，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【考点】B K：线性回归方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】（1）根据模型计算 t=19 时 的值，根据模型计算 t=9 时 的值即可；（2）从总体数据和 2000 年到 2009 年间递增幅度以及 2010 年到 2016 年间递增的幅度比较，即可得出模型的预测值

33、更可靠些【解答】解：（1）根据模型：=30.4+13.5t，计算 t=19 时，=30.4+13.5 19=226.1；利用 这个 模型，求出 该地 区 2018 年的 环境 基础设 施投 资额 的预测 值是 226.1 亿元；根据模型：=99+17.5t，第 2 0 页（共 2 7 页）计算 t=9 时，=99+17.5 9=256.5；利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元；（2）模型得到的预测值更可靠；因 为 从 总 体 数 据 看，该 地 区 从 2000 年 到 2016 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额 是 逐 年上升的，而从

34、 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些，从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些，所以，利用模型的预测值更可靠些【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题19（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|A B|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程【考点】K N：直线与抛物线的综合菁 优 网 版 权 所 有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分 析】（1）方 法 一：设 直 线 A B 的 方 程，代 入 抛 物 线

35、 方 程，根 据 抛 物 线 的 焦点弦公式即可求得 k 的值，即可求得直线 l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|A B|=，求得直线 A B 的倾斜角，即可求得直线 l 的斜率，求得直线 l 的方程；（2）根据 过 A，B 分 别向 准线 l 作 垂线，根 据 抛物 线 的定 义即 可 求得 半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 A B 的方程为：y=k（x1），设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x 1+x 2=，x 1 x

36、2=1，由|A B|=x 1+x 2+p=+2=8，解得：k2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x 1；第 2 1 页（共 2 7 页）方法 二：抛物 线 C：y2=4x 的焦 点为 F（1，0），设 直线 A B 的倾 斜角 为，由 抛物线的弦长公式|A B|=8，解得：s i n2=，=，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x 1；（2）由（1）可 得 A B 的中 点坐标 为 D（3，2），则 直线 A B 的垂 直平分 线方 程为 y2=（x3），即 y=x+5，设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）2=16 或（x

37、1 1）2+（y+6）2=144【点 评】本 题 考 查 抛 物 线 的 性 质，直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，抛 物 线 的 焦 点 弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题20（12 分）如 图，在三 棱锥 P A B C 中，A B=B C=2，P A=P B=P C=A C=4，O 为 A C 的中点（1）证明：P O 平面 A B C；第 2 2 页（共 2 7 页）（2）若 点 M 在 棱 B C 上，且 二 面 角 M P A C 为 30，求 P C 与 平 面 P A M 所成角的正弦值【考 点】L W：直 线 与 平 面 垂 直；M I：直 线

38、与 平 面 所 成 的 角；M J：二 面 角 的 平面角及求法菁 优 网 版 权 所 有【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 P O A C，P O O B 即可；（2）根据二面角的大小求出平面 P A M 的法向量，利用向量法即可得到结论【解答】（1）证明：连接 B O，A B=B C=2，O 是 A C 的中点，B O A C，且 B O=2，又 P A=P C=P B=A C=4，P O A C，P O=2，则 P B2=P O2+B O2，则 P O O B，O B A C=O，P

39、O 平面 A B C；（2）建 立 以 O 坐 标 原 点，O B，O C，O P 分 别 为 x，y，z 轴 的 空 间 直 角 坐 标 系如图：A（0，2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（2，2，0），设=（2，2，0），0 1第 2 3 页（共 2 7 页）则=（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+2，0），则平面 P A C 的法向量为=（1，0，0），设平面 M P A 的法向量为=（x，y，z），则=（0，2，2），则=2y2 z=0，=（22）x+（2+2）y=0令 z=1，则 y=，x=，即=（，1），二面角 M P A C 为 30，c o

40、s 30=|=，即=，解得=或=3（舍），则平面 M P A 的法向量=（2，1），=（0，2，2），P C 与平面 P A M 所成角的正弦值 s i n=|c os，|=|=【点 评】本 题 主 要 考 查 空 间 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 的 应 用 以 及 二 面 角，线 面 角第 2 4 页（共 2 7 页）的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键21（12 分）已知函数 f（x）=exa x2（1）若 a=1，证明：当 x 0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a【考点】6D：利用导数研究函数的极值菁 优 网 版 权 所

41、 有【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）方 法 一、分 离 参 数 可 得 a=在（0，+）只 有 一 个 根，即 函 数 y=a 与 G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点结合图象即可求得 a 方法二、：当 a 0 时，f（x）=exa x20，f（x）在（0，+）没有零点 当 a 0 时，设 函 数 h（x）=1 a x2ex f（x）在（0，+）只 有 一 个 零 点h（x）在（0，+）只有一个零点利用 h（x）=x（x2）ex，可得 h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，结合函数

42、 h（x）图象即可求得 a【解答】证明：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=exx2则 f（x）=ex2x，令 g（x）=ex2x，则 g（x）=ex2，令 g（x）=0，得 x=l n2 当 x（0，l n2）时，g（x）0，当 x（l n2，+）时，g（x）0，g（x）g（l n2）=el n 22l n2=2 2l n2 0，f（x）在 0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2）方 法一、，f（x）在（0，+）只 有一 个零 点 方程 exa x2=0 在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，第 2 5 页（共 2 7 页）即函数 y=a 与 G（x）=的图象在（0

43、，+）只有一个交点G，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=方法二：当 a 0 时，f（x）=exa x20，f（x）在（0，+）没有零点 当 a 0 时，设函数 h（x）=1 a x2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点h（x）=x（x2）ex，当 x（0，2）时，h（x）0，当 x（2，+）时，h（x）0，h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，（x 0）当 h（2）0 时，即 a，由于 h（0）=

44、1，当 x 0 时，ex x2，可得 h（4a）=1=1 0h（x）在（0，+）有2 个零点当 h（2）0 时，即 a，h（x）在（0，+）没有零点，当 h（2）=0 时，即 a=，h（x）在（0，+）只有一个零点，综上，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=【点 评】本 题 考 查 了 利 用 导 数 探 究 函 数 单 调 性，以 及 函 数 零 点 问 题，考 查 了 转化思想、数形结合思想，属于中档题（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系 与参数 方程 22（

45、10 分）在 直 角 坐 标 系 xO y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为，（为 参第 2 6 页（共 2 7 页）数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率【考点】Q H：参数方程化成普通方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程【分 析】（1）直 接 利 用 转 换 关 系，把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 进行转化（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果【解答】解：（1）曲线 C

46、的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线 l 的参数方程为（t 为参数）转换为直角坐标方程为：xs i n y c o s+2c os s i n=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4c os2+s i n2）t2+（8c os+4s i n）t 8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，当直线的斜率不存时，x=1 无解故舍去当直线的斜率存在时，（由于 t 1 和 t 2 为 A、B 对应的参数）所以利用中点坐标公式，则：8c os+4s i n=0，解得：t a n=2，即：直线 l 的斜率为2【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的

47、转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用第 2 7 页（共 2 7 页）选修 4-5：不 等式 选讲 23设函数 f（x）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【考点】R 5：绝对值不等式的解法菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x2|4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=5|x+1|x2|=当 x 1 时，f（x）=2x+4 0，解得2 x 1，当1x2 时，f（x）=2 0 恒成立，即1x2，当 x 2 时，f（x）=2x+6 0，解得 2 x 3，综上所述不等式 f（x）0 的解集为 2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|=|x+a|+|2x|x+a+2x|=|a+2|，|a+2|4，解得 a 6 或 a 2，故 a 的取值范围（，6 2，+）【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题