2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版).pdf

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1、第 1 页（共 2 9 页）2 0 1 8 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x1 0，B=0，1，2，则 A B=（）A 0 B 1 C 1，2 D 0，1，22（5 分）（1+i）（2i）=（）A 3i B 3+i C 3i D 3+i3（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头，凹进 部 分 叫 卯 眼，图 中 木 构 件 右 边的 小 长 方 体 是

2、 榫 头 若 如 图 摆 放 的 木 构 件 与某 一 带 卯 眼 的 木 构 件 咬 合 成 长 方体，则 咬 合 时 带 卯 眼 的 木 构 件 的 俯 视 图 可 以是（）A B C D 4（5 分）若 s i n=，则 c os 2=（）A B C D 5（5 分）（x2+）5的展开式中 x4的系数为（）A 10 B 20 C 40 D 806（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则A B P 面积的取值范围是（）A 2，6 B 4，8 C，3 D 2，3 第 2 页（共 2 9 页）7（5 分）函数 y=x4+

3、x2+2 的图象大致为（）A B C D 8（5 分）某群体 中的每位 成员使 用移动 支付的 概率都为 p，各 成员的 支付方式相互独立 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D X=2.4，P（x=4）P（X=6），则 p=（）A 0.7 B 0.6 C 0.4 D 0.39（5 分）A B C 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c 若 A B C 的面积 为，则 C=（）A B C D 10（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，A B C 为等边三角形且面积为 9，则三棱锥 D A B C 体积的最大值为（）A 12 B 18 C

4、24 D 541 1（5 分）设 F 1，F 2 是双曲线 C：=1（a 0 b 0）的左，右焦点，O是坐标原点 过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|P F 1|=|O P|，则C 的离心率为（）A B 2 C D 12（5 分）设 a=l og 0.2 0.3，b=l og 2 0.3，则（）A a+ba b 0 B a b a+b0 C a+b0a b D a b 0a+b第 3 页（共 2 9 页）二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=14（5 分）曲线 y=（a

5、x+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=15（5 分）函数 f（x）=c os（3x+）在 0，的零点个数为 16（5 分）已知点 M（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若A M B=90，则 k=三、解答 题：共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。第 17 21题为 必考 题，每个 试题 考生都 必须 作答。第 22、23 题为 选考 题，考生 根据 要求作 答。（一）必 考题：共 60 分。17（12 分）等比数列 a n 中，a 1=1，a 5=4a 3（1）求 a n 的通项公式；（2

6、）记 S n 为 a n 的前 n 项和若 S m=63，求 m 第 4 页（共 2 9 页）18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式 根据工人完成生产任务的工作时间（单位：m i n）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过

7、 m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2 k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828第 5 页（共 2 9 页）19（12 分）如 图，边 长 为 2 的 正 方 形 A B C D 所 在 的 平 面 与 半 圆 弧 所 在 平 面垂直，M 是 上异于 C，D 的点（1）证明：平面 A M D 平面 B M C；（2）当 三棱锥 M A B C 体积 最大时，求 面 M A B 与面 M C D 所成 二面角 的正 弦值20（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭

8、圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段A B 的中点为 M（1，m）（m 0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右 焦点，P 为 C 上一 点，且+=证 明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差21（12 分）已知函数 f（x）=（2+x+a x2）l n（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a 第 6 页（共 2 9 页）（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系

9、与参数 方程（10 分）22（10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中，O 的 参 数 方 程 为，（为 参数），过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 A B 中点 P 的轨迹的参数方程 选修 4-5：不 等式 选讲（10 分）23设函数 f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x 0，+）时，f（x）a x+b，求 a+b 的最小值第 7 页（共 2 9 页）2 0 1 8 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本

10、 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x1 0，B=0，1，2，则 A B=（）A 0 B 1 C 1，2 D 0，1，2【考点】1E：交集及其运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合【分析】求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案【解答】解：A=x|x1 0=x|x 1，B=0，1，2，A B=x|x 1 0，1，2=1，2 故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题2（5 分）（1+i）（2i）=（）A 3i

11、 B 3+i C 3i D 3+i【考点】A 5：复数的运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i）（2i）=3+i 故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头，凹进 部 分 叫 卯 眼，图 中 木 构 件 右 边的 小 长 方 体 是 榫 头 若 如 图 摆 放 的 木 构 件 与某 一 带 卯 眼 的 木 构 件 咬 合 成 长 方体，则 咬 合 时 带 卯 眼 的 木 构 件 的 俯 视

12、 图 可 以第 8 页（共 2 9 页）是（）A B C D【考点】L 7：简单空间图形的三视图菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小 的 长 方 体，是 榫 头，从 图形 看 出，轮 廓 是 长 方 形，内 含 一 个 长 方 形，并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是 A 故选：A【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查4（5 分）若 s i n=，则 c

13、 os 2=（）A B C D【考点】G S：二倍角的三角函数 菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值第 9 页（共 2 9 页）【分析】c os 2=1 2s i n2，由此能求出结果【解答】解：s i n=，c os 2=1 2s i n2=1 2=故选：B【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5 分）（x2+）5的展开式中 x4的系数为（）A 10 B 20 C 40 D 80【考点】D A：二项式定理菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；

14、34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：T r+1=（x2）5r（）r=，由 10 3r=4，解得 r=2，由此能求出（x2+）5的展开式中 x4的系数【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：T r+1=（x2）5r（）r=，由 103r=4，解得 r=2，（x2+）5的展开式中 x4的系数为=40 故选：C【点 评】本 题 考 查 二 项 展 开 式 中 x4的 系 数 的 求 法，考 查 二 项 式 定 理、通 项 公 式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5 分）直线 x+y+2=0 分别

15、与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则A B P 面积的取值范围是（）A 2，6 B 4，8 C，3 D 2，3 第 1 0 页（共 2 9 页）【考点】J 9：直线与圆的位置关系菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆【分析】求出 A（2，0），B（0，2），|A B|=2，设 P（2+，），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d=，由此能求出A B P 面积的取值范围【解答】解：直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=2，A（

16、2，0），B（0，2），|A B|=2，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，设 P（2+，），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d=，s i n（）1，1，d=，A B P 面积的取值范围是：，=2，6 故选：A【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离 公 式、圆 的 参 数 方 程、三 角 函数 关 系 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，考查函数与方程思想，是中档题7（5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（）第 1 1 页（共 2 9 页）A B C D【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁 优 网 版 权 所 有【专题】3

17、8：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可【解答】解：函数过定点（0，2），排除 A，B 函数的导数 f（x）=4x3+2x=2x（2x21），由 f（x）0 得 2x（2x21）0，得 x 或 0 x，此时函数单调递增，由 f（x）0 得 2x（2x21）0，得 x 或 x 0，此时函数单调递减，排除 C，也可以利用 f（1）=1+1+2=2 0，排除 A，B，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键8（5 分）某群体 中的每位 成员使 用移动 支付的 概

18、率都为 p，各 成员的 支付方式相互独立 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D X=2.4，P（x=4）P（X=6），则 p=（）第 1 2 页（共 2 9 页）A 0.7 B 0.6 C 0.4 D 0.3【考点】C H：离散型随机变量的期望与方差菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，满足 X B（10，p），P（x=4）P（X=6），可得，可得 1 2p 0 即

19、p 因为 D X=2.4，可得 10p（1p）=2.4，解得 p=0.6 或 p=0.4（舍去）故选：B【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力9（5 分）A B C 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c 若 A B C 的面积 为，则 C=（）A B C D【考点】H R：余弦定理菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】推导出 S A B C=，从而 s i nC=c os C，由此能求出结果【解答】解：A B C 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c

20、A B C 的面积为，S A B C=，s i nC=c os C，第 1 3 页（共 2 9 页）0 C，C=故选：C【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，A B C 为等边三角形且面积为 9，则三棱锥 D A B C 体积的最大值为（）A 12 B 18 C 24 D 54【考点】L F：棱柱、棱锥、棱台的体积；L G：球的体积和表面积菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：

21、综合法；5F：空间位置关系与距离【分 析】求出，A B C 为等 边三角形 的边长，画出图形，判断 D 的位 置，然后求解即可【解 答】解：A B C 为 等 边 三 角 形 且 面 积 为 9，可 得，解 得A B=6，球心为 O，三角形 A B C 的外心为 O，显然 D 在 O O 的延长线与球的交点如图：O C=，O O=2，则三棱锥 D A B C 高的最大值为：6，则三棱锥 D A B C 体积的最大值为：=18 故选：B【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力第 1 4 页（共 2 9 页）1 1（5 分）设 F 1，F 2 是双曲线 C：=

22、1（a 0 b 0）的左，右焦点，O是坐标原点 过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|P F 1|=|O P|，则C 的离心率为（）A B 2 C D【考点】K C：双曲线的性质菁 优 网 版 权 所 有【专 题】1 1：计 算题；38：对 应思 想；4R：转 化法；5D：圆 锥曲 线 的 定义、性质与方程【分析】先根据点到直线的距离求出|P F 2|=b，再求出|O P|=a，在三角形 F 1 P F 2 中，由余 弦定理可 得|P F 1|2=|P F 2|2+|F 1 F 2|22|P F 2|F 1 F 2|c os P F 2 O，代 值化简整 理可得 a=c，问题

23、得以解决【解答】解：双曲线 C：=1（a 0 b 0）的一条渐近线方程为 y=x，点 F 2 到渐近线的距离 d=b，即|P F 2|=b，|O P|=a，c os P F 2 O=，|P F 1|=|O P|，|P F 1|=a，在三角形 F 1 P F 2 中，由余弦定理可得|P F 1|2=|P F 2|2+|F 1 F 2|22|P F 2|F 1 F 2|C O S P F 2 O，6a2=b2+4c2 2 b 2c=4c2 3b2=4c2 3（c2 a2），即 3a2=c2，即 a=c，e=，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档

24、题第 1 5 页（共 2 9 页）12（5 分）设 a=l og 0.2 0.3，b=l og 2 0.3，则（）A a+ba b 0 B a b a+b0 C a+b0a b D a b 0a+b【考点】4M：对数值大小的比较菁 优 网 版 权 所 有【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案【解答】解：a=l og 0.2 0.3=，b=l og 2 0.3=，=，a b a+b0故选：B【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13（5

25、分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】利用向量坐标运 算法则求出=（4，2），再由向量平行 的性质能求出 的值【解答】解：向量=（1，2），=（2，2），=（4，2），=（1，），（2+），第 1 6 页（共 2 9 页），解得=故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5 分）曲线 y=（a x+1）ex在

26、点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可【解答】解：曲线 y=（a x+1）ex，可得 y=a ex+（a x+1）ex，曲线 y=（a x+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3故答案为：3【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力15（5 分）函数 f（x）=c os（3x+）在 0，的零点个数为 3【考点】51：函数的零点菁

27、优 网 版 权 所 有【专 题】1 1：计 算 题；38：对 应 思 想；4O：定 义 法；57：三 角 函 数 的 图 像 与 性质【分析】由题意可得 f（x）=c os（3x+）=0，可得 3x+=+k，k Z，即x=+k，即可求出【解答】解：f（x）=c os（3x+）=0，3x+=+k，k Z，第 1 7 页（共 2 9 页）x=+k，k Z，当 k=0 时，x=，当 k=1 时，x=，当 k=2 时，x=，当 k=3 时，x=，x 0，x=，或 x=，或 x=，故零点的个数为 3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题16（5 分）已知点 M

28、（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若A M B=90，则 k=2【考点】K 8：抛物线的性质；K N：直线与抛物线的综合 菁 优 网 版 权 所 有【专 题】1 1：计 算 题；34：方 程 思 想；35：转 化 思 想；49：综 合 法；5D：圆 锥曲线的定义、性质与方程【分 析】由 已 知 可 求 过 A，B 两 点 的 直 线 方 程 为 y=k（x 1），然 后 联 立 直 线 与抛物线方程组可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，可表示 x 1+x 2，x 1 x 2，y 1+y 2，y 1 y 2，由A M B=90，

29、向量的数量积为 0，代入整理可求 k【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F（1，0），过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x1），联立 可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 x 1+x 2=，x 1 x 2=1，第 1 8 页（共 2 9 页）y 1+y 2=k（x 1+x 2 2）=，y 1 y 2=k2（x 1 1）（x 2 1）=k2 x 1 x 2（x 1+x 2）+1=4，M（1，1），=（x 1+1，y 1 1），=（x 2+1，y 2 1），A M B=90，=0（x 1+1）（x 2+1）+（y 1 1）（y 2

30、 1）=0，整理可得，x 1 x 2+（x 1+x 2）+y 1 y 2（y 1+y 2）+2=0，1+2+4+2=0，即 k24k+4=0，k=2 故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量三、解答 题：共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。第 17 21题为 必考 题，每个 试题 考生都 必须 作答。第 22、23 题为 选考 题，考生 根据 要求作 答。（一）必 考题：共 60 分。17（12 分）等比数列 a n 中，a 1=1，a 5=4a 3（1）求 a n 的通项公式；（2）记 S n 为 a n

31、 的前 n 项和若 S m=63，求 m【考点】89：等比数列的前 n 项和菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q=2，由此能求出 a n 的通项公式（2）当 a 1=1，q=2 时，S n=，由 S m=63，得 S m=63，m N，无解；当 a 1=1，q=2 时，S n=2n1，由此能求出 m【解答】解：（1）等比数列 a n 中，a 1=1，a 5=4a 3 第 1 9 页（共 2 9 页）1 q4=4（1 q2），解得 q=2，当 q=2 时，a n=2n1，当

32、 q=2 时，a n=（2）n1，a n 的通项公式为，a n=2n1，或 a n=（2）n1（2）记 S n 为 a n 的前 n 项和当 a 1=1，q=2 时，S n=，由 S m=63，得 S m=63，m N，无解；当 a 1=1，q=2 时，S n=2n 1，由 S m=63，得 S m=2m1=63，m N，解得 m=6【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将

33、他们随机分成两组，每组 20 人 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式 根据工人完成生产任务的工作时间（单位：m i n）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第 2 0 页（共 2 9 页）第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2 k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82

34、8【考点】B L：独立性检验 菁 优 网 版 权 所 有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 72 92 之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 65 85 之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79 和 81，计算

35、它们的中位数为 m=80；由此填写列联表如下；超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式 15 5 20第二种生产方式 5 15 20总计 20 20 40（3）根据（2）中的列联表，计算K2=10 6.635，能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异第 2 1 页（共 2 9 页）【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题19（12 分）如 图，边 长 为 2 的 正 方 形 A B C D 所 在 的 平 面 与 半 圆 弧 所 在 平 面垂直，M 是 上异于 C，D 的点（1）证明：平面 A M D 平面 B M C；（2）当 三棱锥 M A B C 体积 最大时，求

36、面 M A B 与面 M C D 所成 二面角 的正 弦值【考点】L Y：平面与平面垂直；M J：二面角的平面角及求法菁 优 网 版 权 所 有【专 题】35：转 化思 想；4R：转 化法；5F：空 间位 置关 系与 距离；5H：空 间向量及应用【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明 M C 平面 A D M 即可（2）根据三棱锥的体积最大，确定 M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可【解答】解：（1）证明：在半圆中，D M M C，正方形 A B C D 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，A D 平面 D C M，则 A D M C，A D D M=D，M C

37、 平面 A D M，M C平面 M B C，平面 A M D 平面 B M C（2）A B C 的面积为定值，要使三棱锥 M A B C 体积最大，则三棱锥的高最大，此时 M 为圆弧的中点，第 2 2 页（共 2 9 页）建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形 A B C D 的边长为 2，A（2，1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面 M C D 的法向量=（1，0，0），设平面 M A B 的法向量为=（x，y，z）则=（0，2，0），=（2，1，1），由=2y=0，=2x+y+z=0，令 x=1，则 y=0，z=2，即=（1，0，2），则 c os，=，

38、则面 M A B 与面 M C D 所成二面角的正弦值 s i n=【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键20（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段A B 的中点为 M（1，m）（m 0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右 焦点，P 为 C 上一 点，且+=证 明：|，|，第 2 3 页（共 2 9 页）|成等差数列，并求该数列的公差【考点】K 3：椭圆的标准方程；K L：直线与椭圆的综合菁 优 网 版 权 所 有【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲

39、线中的最值与范围问题【分析】（1）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），利用点差法得6（x 1 x 2）+8m（y 1 y 2）=0，k=又 点 M（1，m）在 椭 圆 内，即，解 得 m 的 取 值 范 围，即 可得 k，（2）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），P（x 3，y 3），可得 x 1+x 2=2由+=，可得 x 3 1=0，由椭圆的焦半径公式得则|F A|=a e x 1=2 x 1，|F B|=2 x 2，|F P|=2 x 3=即可 证明|F A|+|F B|=2|F P|，求得 A，B 坐 标再求公差【解答】解：（1）设 A（x 1，y 1），B（x

40、 2，y 2），线段 A B 的中点为 M（1，m），x 1+x 2=2，y 1+y 2=2m将 A，B 代入椭圆 C：+=1 中，可得，两式相减可得，3（x 1+x 2）（x 1 x 2）+4（y 1+y 2）（y 1 y 2）=0，即 6（x 1 x 2）+8m（y 1 y 2）=0，k=点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 0 m 第 2 4 页（共 2 9 页）（2）证明：设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），P（x 3，y 3），可得 x 1+x 2=2，+=，F（1，0），x 1 1+x 2 1+x 3 1=0，y 1+y 2+y 3=0，x 3=1，y 3=（y 1+y

41、2）=2m m 0，可得 P 在第四象限，故 y 3=，m=，k=1由椭圆的焦半径公式得则|F A|=a e x 1=2 x 1，|F B|=2 x 2，|F P|=2 x 3=则|F A|+|F B|=4，|F A|+|F B|=2|F P|，联立，可得|x 1 x 2|=所以该数列的公差 d 满足 2d=|x 1 x 2|=，该数列的公差为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考 查 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能力，转 化 思 想 的 应 用 与 计 算 能 力 的 考 查 属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）=（2+x+a x2）l

42、n（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a【考点】6D：利用导数研究函数的极值菁 优 网 版 权 所 有【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用【分 析】（1）对 函数 f（x）两 次求 导数，分别判 断 f（x）和 f（x）的 单调 性，结合 f（0）=0 即可得出结论；（2）令 h（x）为 f（x）的分子，令 h（0）计算 a，讨论 a 的范围，得出 f（x）的单调性，从而得出 a 的值【解答】（1）证明：当 a=0 时，f（x）=（2+x）l n（1+x）2

43、x，（x1）第 2 5 页（共 2 9 页），可得 x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）l n（1+x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0 当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0（2）解：由 f（x）=（2+x+a x2）l n（1+x）2x，得f（x）=（1+2a x）l n（1+x）+2=，令 h（x）=a x2x+（1+2a x）（1+x）l n（x+1），h（x）=4a x+（4a x+2a+1）l n（x+1）当 a 0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递

44、增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意 当 a 0 时，h（x）=8a+4a l n（x+1）+，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a=当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又 h（0）=0，当1x0 时，h（x）0，即 f（x）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若 a 0，则 h

45、（0）=1+6a 0，h（e 1）=（2a 1）（1 e）0，h（x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x 0，第 2 6 页（共 2 9 页）当 0 xx 0 时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，x 0）上单调递增，不符合题意；若 a，则 h（0）=1+6a 0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x 1，当 x 1 x0 时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（x 1，0）上单调递减，不符合题意综上，a=【

46、点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系 与参数 方程（10 分）22（10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中，O 的 参 数 方 程 为，（为 参数），过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 A B 中点 P 的轨迹的参数方程【考点】Q K：圆的参数方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思

47、想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当=时，直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0，）且倾斜角为 的 直 线 l 的 方 程 为 y=t a n x+，从 而 圆 心 O（0，0）到 直 线 l 的 距 离d=1，进而求出 或，由此能求出 的取值范围第 2 7 页（共 2 9 页）（2）设 直 线 l 的 方 程 为 x=m（y+），联 立，得（m2+1）y2+2+2m2 1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 A B 中点 P的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O 的参数方程为（为参数），

48、O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当=时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=t a n x，倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点，圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d=1，t a n2 1，t a n 1 或 t a n 1，或，综上 的取值范围是（，）（2）由（1）知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=m（y+），设 A（x 1，y 1），（B（x 2，y 2），P（x 3，y 3），联立，得（m2+1）y2+2+2m2 1=0，=+2，=，=

49、，第 2 8 页（共 2 9 页）A B 中点 P 的轨迹的参数方程为，（m 为参数），（1m 1）【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方 程 的 求 法，考 查 参 数 方 程、直角 坐 标 方 和、韦 达 定 理、中 点 坐 标 公 式 等 基础 知 识，考 查 数 形 结 合 思 想 的 灵活 运 用，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 函 数 与 方程思想，是中档题 选修 4-5：不 等式 选讲（10 分）23设函数 f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x 0，+）时，f（x）a x+b，求 a+b 的最小值【

50、考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用菁 优 网 版 权 所 有【专 题】31：数 形 结 合；4R：转 化 法；51：函 数 的 性 质 及 应 用；59：不 等 式 的解法及应用【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可【解答】解：（1）当 x 时，f（x）=（2x+1）（x 1）=3x，当 x 1，f（x）=（2x+1）（x 1）=x+2，第 2 9 页（共 2 9 页）当 x 1 时，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，则 f（x）=对应的图象为：画出 y=f（x）的图象；（2）当