2016北京高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20162016 北京高考理科数学真题及答案北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合A=B=，则（）。（A）（B）（C）（D）【参考答案】【参考答案】C【答案解析【答案解析】集合|2|22Axxxx，而B=，因此可得 1,0,1AB I，故选择 C。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章集合中有详细讲解，在寒

2、假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（）。（A）0（B）3（C）4（D）5【参考答案】【参考答案】C【答案解析】【答案解析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值，对应的点为（1,2），故可得最大值为 21+2=4，选择 C。【试题点评】【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为 1，则输出的k值为（）。（A）1（B）2（C）3（D）4【参考答案】【参考答案】B【答案解析】【答案解析】开始1,0ak；第一次循环1,

3、12ak；第二次循环2,1ak；第三次循环1a，条件判断为“是”，跳出循环，此时2k。【试题点评】【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章算法与统计中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（4）设 a,b 是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（）。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【参考答案】D【答案解析】若|a|=|b|，则以|a|和|b|组成的平行四边形是菱形，而|a+b|和|a-b|分别表示菱形的对角线，而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a+b|=|a-b|，那么以|a|和|b|组成的

4、平行四边形为矩阵，而矩阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择 D。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章 常用逻辑语中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5）已知 x,y R,且 x y o，则（）。（A）-（B）（C）(0（D）lnx+lny【参考答案】【参考答案】C【答案解析】【答案解析】因为 x y 0，因此有 ，故）-，因此 A 错误，而正弦函数在(0，+)上不是单调的，所以sin x和sin y的大小是不能确定的，故 B 错误，而指数函数1()2xy 在(0，+)上是递减的，所以11()()22xy，故11()()022xy，因此 C 正确，而 D 选项中

5、的lnlnlnxyxy，它在(0，+)的正负是不确定的，故 D 错误。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）。（A）（B）（C）（D）1【参考答案】【参考答案】A【答案解析【答案解析】通过三视图可以得到下图所示的三棱锥，它的高为1h，底面积为111 122S ，因此可得体积为1136VSh。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s0）个单位长

6、度得到点P.若P位于函数的图像上，则（）。（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为【参考答案】【参考答案】A【答案解析】【答案解析】由题意P是P（，t）向左平移s，因此可得(,)4Ps t，它在sin2yx上，因此有sin2()4ts，而 P 在sin(2)3yx，故可得sin(2)43t，通过这两个式子，可解得1,26ts，故选择 A。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取

7、出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）。（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【参考答案】【参考答案】B【答案解析】【答案解析】取两个球往盒子中放有4种情况：红+红，则乙盒中红球数加1个；黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多，和的情况完全随机和对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒

8、中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样。综上，选 B，【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。第二部分第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9）设 a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_。【参考答案】【参考答案】-1【答案解析】【答案解析】(1)()1(1)i aiaai，而它对应的点位于实轴上，因此可得10a，故1a 。【试题点评】【试题点评】本题在高考数学（理）提

9、高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（10）在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【参考答案】【参考答案】60【答案解析】【答案解析】根据二项式定理可知，2x的项为2626(2)60Cxx，因此系数为 60。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章计数技巧中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）在极坐标系中，直线与圆交于 A，B 两点，则=_.【参考答案】【参考答案】2【答案解析【答案解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，cos,sinxy，则直线方程为：310 xy，圆的方程为：2cos也就是22 cos，转化为直角坐标系方程为

10、：222xyx即22(1)1xy，圆心为（1,0）正好在直线上，因此|AB|为直径，故|AB|=2。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（12）已知为等差数列，为其前 n 项和，若，则.【参考答案】【参考答案】6【答案解析【答案解析】354420aaaaQQ，1416,32aaadd Q，因此可得616 5662Sad。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（13）双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为

11、该双曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_.【参考答案】【参考答案】2【答案解析】【答案解析】不妨设 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则图像如下图，因为 OABC 为正方形，|OA|=2，所以|2 2,4cOBAOB，又知 OA 为渐近线，故tan1bAOBa，而2228abc，根据这两个条件可得2a。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（14）设函数若 a=0，则 f(x)的最大值为_；若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_。【参考答案】【参考答案】2；1a 【答

12、案解析】【答案解析】由32(3)330 xxx可得1x ，如下图所示，若 a=0，那么最大值为3(1)(1)3(1)2f ，通过图像可以知道当1a 时，有最大值为(1)f，因此若无最大值，则1a 。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第五章函数图像的画法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题 13 分）在ABC 中，3332acbac（I）求B的大小（II）求2 coscosAC的最大值【参考答案【参考答案】（1）4B；（2）1。【答案解析】【答案解析】（1）222

13、2222222222cos2224acbacacbacacbacBacacBQ（2）34222coscos2cos(cos)sin2222cossinsin()224343(0,)4(,)44ABCACACAAAAAAACAA QQ所以sin()4A的最大值为 1。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）（本小题 13 分）A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A 班66.577.58B 班6789101112C

14、班34.567.5910.51213.5（I）试估计 C 班的学生人数；（II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小，（结论不要求证明）【参考答案【参考答案】（I）40；（II）38；（III）10。【答案解析】（I）因为81004020，因此 C 班的学生人数

15、为 40。（II）在 A 班取到每个人的概率都是相同的，均为15，设 A 班中取到第 i 个为事件,1,2,3,4,5iA i，在 C班中取到第 j 个人为事件,1,2,3,4,5,6,7,8jCj，ijAC的概率为事件 D，则可得：12131313143()58585858588P D。（III）10，三组的平均数为 7，9，8.25，总均值08.2，但1中多加了三个数 7，9，8.25，平均值为 8.08，比0小，故拉低了平均值。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P

16、-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5,（I）求证：PD平面 PAB;（II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（III）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。【参考答案【参考答案】（I）略；（II）33；（III）存在，14AMAP。【答案解析】【答案解析】（I）,PADABCDADPADABCDABAD ABABCDABPADABPDPDPAPDPABQIQ面面面面面面又面（II）取AD中点为O，连接,CO PO，5CDACCOADPAPDP

17、OADQQ以O为原点，如图建立直角坐标系，可得(0 01),(110),(010),(2 0 0)PBDC，所以(111),(0,11),(2,01),(2,1,0)PBPDPCCD uuu ruuu ruuu ruuu r，设nr为面PDC的法向量，设00(,1)nxyr，因此有01(,1,1)20n PDnn PCr uuu rrr uuu r故可得11 132sin|cos,|3|11 134n PBn PBn PB r uuu rr uuu rr uuu r。（III）假设存在 M，使得 BM平面 PCD，设,(0,)AMMy zAP由（II）可知(0,1,0),(0,0,1),(11

18、0)APB，因此(0,11)AP uuu r，(0,1)AMyzuuuu r，由(0,1,)AMAPM uuuu ruuu r，因此可得(1,)BM uuuu r，因为 BM平面 PCD，而nr为面PDC的法向量，因此0BM nuuuu r r，即102，因此可得14。综上可得，存在这样的点 M，即当14AMAP时，M 为所求点。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（18）（本小题 13 分）设函数()a xf xxebx，曲线()yf x在(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex，（I）求 a、b 的值；(

19、II)求 f(x)的单调区间。【参考答案【参考答案】（I）2,abe；(II)()f x在 R 上递增，无减区间【答案解析】【答案解析】（I）()a xf xxebxQ()(1)a xa xa xfxexebx eb而曲线()yf x在(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex，因此可得(2)1(2)(1)24fefe 也就是22(12)122(1)24aaebeebe因此可得2,abe。(II)由（I）可得22(),()(1)xxf xxeex fxx ee，令2()(1)xg xx e，则222()(1)(2)xxxg xex exe x（，2）2（2，+）()g x0+()g x减极小值

20、增()g x的最小值为2 2(2)(1 2)1ge，所以()fx的最小值为(2)(2)10fgee，因此()0fx 在 R 上恒成立，所以()f x在 R 上递增，无减区间。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（19）（本小题 14 分）已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为32，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），OAB 的面积为 1.（I）求椭圆 C 的方程；(I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。求证：|ANBM

21、为定值。【参考答案【参考答案】（I）2214xy；(II)证明略。【答案解析】【答案解析】（I）由已知可得3 1,122caba，而在椭圆中满足222abc，因此可得2,1,3abc，故椭圆C 的方程为2214xy。(II)设椭圆上一点(2cos,sin)P，直线 PA：sin(2)2cos2yx，令0 x 可得sin1 cosMy，所以sincos1|1 cosBM直线 PB：sin112cosyx，令0y 可得2cos1 cosNx，所2sin2cos2|1 sinAN2sin2cos2sincos122sin2cos2sincos|2|41 sin1 cos1 sincossincosA

22、NBM【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（20）（本小题 13 分）设数列 A：1a，2a,Na(N2)。如果对小于 n(2nN)的每个正整数 k 都有kana，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”。记“G（A）是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合。（I）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 G（A）的所有元素；(II)证明：若数列 A 中存在na使得na1a，则 G（A）；(III）证明：若数列 A 满足na-1na1（n=2,3,N）,则 G（A）的元素个数不小于Na-1a。【参考

23、答案【参考答案】（I）()2,5G A；(II)略；(III）略。【答案解析】【答案解析】（I）()2,5G A。(II)因为存在1naa，设数列A中第一个大于1a的项为ka，则1,21kiaaaik，其中(),()kG A G A。(III）证：设数列A的所有“G时刻”为12kiiiL，对于第一个“G时刻”1i有111,1,2,3,1iiaaa iiL，因此有111111iiiaaaa；对于第二个“G时刻”2i有212,1,2,3,1iiiaaa iiL，因此有212211iiiiaaaa；类似的有3211,1kkiiiiaaaaL，于是有11221111()()()()kkkkkiiiiiiiikaaaaaaaaaaL对于Na，若()NG A，则kiNaa，若()NG A，则kNiaa，否则有(II)可知，1,kkiiNaaaL中存在“G时刻”，这与只有k个“G时刻”矛盾，从而可得11kiNkaaaa。【试题点评【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。