2019年河南省全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf

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1、第 1页（共 2 8页）2 0 1 9 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）已 知 集 合 M x|4 x 2，N x|x2 x 6 0，则 M N（）A x|4 x 3 B x|4 x 2 C x|2 x 2 D x|2 x 3 2（5 分）设 复 数 z 满 足|z i|1，z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x，y），则（）A（x+1）2+y2 1 B（x 1）2+y2 1C x2

2、+（y 1）2 1 D x2+（y+1）2 13（5 分）已 知 a l o g 2 0.2，b 20.2，c 0.20.3，则（）A a b c B a c b C c a b D b c a4（5 分）古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是（0.6 1 8，称 为 黄 金 分 割 比 例），著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是 若 某 人 满 足 上 述 两个 黄 金 分 割

3、 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，则 其 身 高 可 能 是（）A 1 6 5 c m B 1 7 5 c m C 1 8 5 c m D 1 9 0 c m5（5 分）函 数 f（x）在，的 图 象 大 致 为（）A B 第 2页（共 2 8页）C D 6（5 分）我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化 每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列的 6 个 爻 组 成，爻 分 为 阳 爻“”和 阴 爻“”，如 图 就 是 一 重 卦 在 所 有 重 卦 中随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦

4、 恰 有 3 个 阳 爻 的 概 率 是（）A B C D 7（5 分）已 知 非 零 向 量，满 足|2|，且（），则 与 的 夹 角 为（）A B C D 8（5 分）如 图 是 求 的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）A A B A 2+C A D A 1+9（5 分）记 S n 为 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 已 知 S 4 0，a 5 5，则（）A a n 2 n 5 B a n 3 n 1 0 C S n 2 n2 8 n D S n n2 2 n1 0（5 分）已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F 1（1，0），F 2（1，0），过 F 2

5、 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两点 若|A F 2|2|F 2 B|，|A B|B F 1|，则 C 的 方 程 为（）第 3页（共 2 8页）A+y2 1 B+1C+1 D+11 1（5 分）关 于 函 数 f（x）s i n|x|+|s i n x|有 下 述 四 个 结 论：f（x）是 偶 函 数 f（x）在 区 间（，）单 调 递 增 f（x）在，有 4 个 零 点 f（x）的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是（）A B C D 1 2（5 分）已 知 三 棱 锥 P A B C 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上，P A P B P

6、 C，A B C 是 边长 为 2 的 正 三 角 形，E，F 分 别 是 P A，A B 的 中 点，C E F 9 0，则 球 O 的 体 积 为（）A 8 B 4 C 2 D 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）曲 线 y 3（x2+x）ex在 点（0，0）处 的 切 线 方 程 为 1 4（5 分）记 S n 为 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 若 a 1，a 42 a 6，则 S 5 1 5（5 分）甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获

7、胜，决 赛 结 束）根 据 前 期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”设甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队以 4：1 获 胜 的 概 率 是 1 6（5 分）已 知 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 F 1，F 2，过F 1 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A，B 两 点 若，0，则 C的 离 心 率 为 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、

8、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。第 4页（共 2 8页）1 7（1 2 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 设（s i n B s i n C）2 s i n2A s i n B s i nC（1）求 A；（2）若 a+b 2 c，求 s i n C 1 8（1 2 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 是 菱 形

9、，A A 1 4，A B 2，B A D 6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B 1，A 1 D 的 中 点（1）证 明：M N 平 面 C 1 D E；（2）求 二 面 角 A M A 1 N 的 正 弦 值 第 5页（共 2 8页）1 9（1 2 分）已 知 抛 物 线 C：y2 3 x 的 焦 点 为 F，斜 率 为 的 直 线 l 与 C 的 交 点 为 A，B，与x 轴 的 交 点 为 P（1）若|A F|+|B F|4，求 l 的 方 程；（2）若 3，求|A B|2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）s i n x l n（1+x），f（x）为 f（x）的 导 数

10、证 明：（1）f（x）在 区 间（1，）存 在 唯 一 极 大 值 点；（2）f（x）有 且 仅 有 2 个 零 点 第 6页（共 2 8页）2 1（1 2 分）为 治 疗 某 种 疾 病，研 制 了 甲、乙 两 种 新 药，希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效，为 此 进行 动 物 试 验 试 验 方 案 如 下：每 一 轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效 进 行 对 比 试 验 对 于 两 只 白 鼠，随 机 选 一 只 施 以 甲 药，另 一 只 施 以 乙 药 一 轮 的 治 疗 结 果 得 出 后，再 安 排 下 一 轮 试 验 当其 中 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 比

11、 另 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 多 4 只 时，就 停 止 试 验，并 认 为 治 愈 只 数多 的 药 更 有 效 为 了 方 便 描 述 问 题，约 定：对 于 每 轮 试 验，若 施 以 甲 药 的 白 鼠 治 愈 且 施以 乙 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 甲 药 得 1 分，乙 药 得 1 分；若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 甲 药 的白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1 分，甲 药 得 1 分；若 都 治 愈 或 都 未 治 愈 则 两 种 药 均 得 0 分 甲、乙 两 种 药 的 治 愈 率 分 别 记 为 和，一 轮 试 验 中 甲 药 的 得

12、分 记 为 X（1）求 X 的 分 布 列；（2）若 甲 药、乙 药 在 试 验 开 始 时 都 赋 予 4 分，p i（i 0，1，8）表 示“甲 药 的 累 计得 分 为 i 时，最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效”的 概 率，则 p 0 0，p 8 1，p i a p i 1+b p i+c p i+1（i 1，2，7），其 中 a P（X 1），b P（X 0），c P（X 1）假 设 0.5，0.8（i）证 明：p i+1 p i（i 0，1，2，7）为 等 比 数 列；（i i）求 p 4，并 根 据 p 4 的 值 解 释 这 种 试 验 方 案 的 合 理 性 第

13、7页（共 2 8页）（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数）以 坐标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2 c o s+s i n+1 1 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到 l

14、 距 离 的 最 小 值 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）2 3 已 知 a，b，c 为 正 数，且 满 足 a b c 1 证 明：（1）+a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3 2 4 第 8页（共 2 8页）2 0 1 9 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）已 知 集 合 M x|4 x 2，N x

15、|x2 x 6 0，则 M N（）A x|4 x 3 B x|4 x 2 C x|2 x 2 D x|2 x 3【分 析】利 用 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 和 交 集 的 运 算 即 可 得 出【解 答】解：M x|4 x 2，N x|x2 x 6 0 x|2 x 3，M N x|2 x 2 故 选：C【点 评】本 题 考 查 了 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 和 交 集 的 运 算，属 基 础 题 2（5 分）设 复 数 z 满 足|z i|1，z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x，y），则（）A（x+1）2+y2 1 B（x 1）2+y2 1C x2+（y

16、 1）2 1 D x2+（y+1）2 1【分 析】由 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x，y），可 得 z x+y i，然 后 根 据|z i|1 即 可 得 解【解 答】解：z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x，y），z x+y i，z i x+（y 1）i，|z i|，x2+（y 1）2 1，故 选：C【点 评】本 题 考 查 复 数 的 模、复 数 的 几 何 意 义，正 确 理 解 复 数 的 几 何 意 义 是 解 题 关 键，属 基 础 题 3（5 分）已 知 a l o g 2 0.2，b 20.2，c 0.20.3，则（）A a b c B a c b C

17、 c a b D b c a【分 析】由 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性 易 得 l o g 2 0.2 0，20.2 1，0 0.20.3 1，从 而 得出 a，b，c 的 大 小 关 系【解 答】解：a l o g 2 0.2 l o g 2 1 0，第 9页（共 2 8页）b 20.2 20 1，0 0.20.3 0.20 1，c 0.20.3（0，1），a c b，故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性，增 函 数 和 减 函 数 的 定 义，属 基 础 题 4（5 分）古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美

18、人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是（0.6 1 8，称 为 黄 金 分 割 比 例），著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是 若 某 人 满 足 上 述 两个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，则 其 身 高 可 能 是（）A 1 6 5 c m B 1 7 5 c m C 1 8 5 c m D 1 9 0 c m【分 析】充 分 运

19、 用 黄 金 分 割 比 例，结 合 图 形，计 算 可 估 计 身 高【解 答】解：头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，说 明 头 顶 到 咽 喉 的 长 度 小 于 2 6 c m，由 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 是 0.6 1 8，可 得 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 小 于 4 2 c m，由 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是，可 得 肚 脐 至 足 底 的 长 度 小 于 1 1 0，即 有 该 人 的 身 高 小 于 1 1 0+6 8 1 7 8 c m，又 肚

20、 脐 至 足 底 的 长 度 大 于 1 0 5 c m，可 得 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 大 于 1 0 5 0.6 1 8 6 5 c m，第 1 0页（共 2 8页）即 该 人 的 身 高 大 于 6 5+1 0 5 1 7 0 c m，故 选：B【点 评】本 题 考 查 简 单 的 推 理 和 估 算，考 查 运 算 能 力 和 推 理 能 力，属 于 中 档 题 5（5 分）函 数 f（x）在，的 图 象 大 致 为（）A B C D【分 析】由 f（x）的 解 析 式 知 f（x）为 奇 函 数 可 排 除 A，然 后 计 算 f（），判 断 正 负 即 可排 除 B，C【解

21、 答】解：f（x），x，f（x）f（x），f（x）为，上 的 奇 函 数，因 此 排 除 A；又 f（），因 此 排 除 B，C；故 选：D【点 评】本 题 考 查 了 函 数 的 图 象 与 性 质，解 题 关 键 是 奇 偶 性 和 特 殊 值，属 基 础 题 6（5 分）我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化 每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列的 6 个 爻 组 成，爻 分 为 阳 爻“”和 阴 爻“”，如 图 就 是 一 重 卦 在 所 有 重 卦 中随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的 概 率 是（）A B C D【分

22、 析】基 本 事 件 总 数 n 26 6 4，该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 包 含 的 基 本 个 数 m 2 0，由 此 能 求 出 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的 概 率 第 1 1页（共 2 8页）【解 答】解：在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，基 本 事 件 总 数 n 26 6 4，该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 包 含 的 基 本 个 数 m 2 0，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的 概 率 p 故 选：A【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 古 典 概 型、排 列 组 合 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能力

23、，是 基 础 题 7（5 分）已 知 非 零 向 量，满 足|2|，且（），则 与 的 夹 角 为（）A B C D【分 析】由（），可 得，进 一 步 得 到，然 后 求 出 夹 角 即 可【解 答】解：（），故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 平 面 向 量 的 数 量 积 和 向 量 的 夹 角，属 基 础 题 8（5 分）如 图 是 求 的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）第 1 2页（共 2 8页）A A B A 2+C A D A 1+【分 析】模 拟 程 序 的 运 行，由 题 意，依 次 写 出 每 次 得 到 的 A 的 值，观 察 规 律 即 可

24、得 解【解 答】解：模 拟 程 序 的 运 行，可 得：A，k 1；满 足 条 件 k 2，执 行 循 环 体，A，k 2；满 足 条 件 k 2，执 行 循 环 体，A，k 3；此 时，不 满 足 条 件 k 2，退 出 循 环，输 出 A 的 值 为，观 察 A 的 取 值 规 律 可 知 图 中 空 白 框 中 应 填 入 A 故 选：A【点 评】本 题 考 查 了 程 序 框 图 的 应 用 问 题，解 题 时 应 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程，以 便 得出 正 确 的 结 论，是 基 础 题 9（5 分）记 S n 为 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 已 知

25、 S 4 0，a 5 5，则（）A a n 2 n 5 B a n 3 n 1 0 C S n 2 n2 8 n D S n n2 2 n【分 析】根 据 题 意，设 等 差 数 列 a n 的 公 差 为 d，则 有，求 出 首 项 和 公 差，第 1 3页（共 2 8页）然 后 求 出 通 项 公 式 和 前 n 项 和 即 可【解 答】解：设 等 差 数 列 a n 的 公 差 为 d，由 S 4 0，a 5 5，得，a n 2 n 5，故 选：A【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 以 及 前 n 项 和 公 式，关 键 是 求 出 等 差 数 列 的 公 差以

26、 及 首 项，属 于 基 础 题 1 0（5 分）已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F 1（1，0），F 2（1，0），过 F 2 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两点 若|A F 2|2|F 2 B|，|A B|B F 1|，则 C 的 方 程 为（）A+y2 1 B+1C+1 D+1【分 析】根 据 椭 圆 的 定 义 以 及 余 弦 定 理 列 方 程 可 解 得 a，b，可 得 椭 圆 的 方 程【解 答】解：|A F 2|2|B F 2|，|A B|3|B F 2|，又|A B|B F 1|，|B F 1|3|B F 2|，又|B F 1|+|B F 2|2 a，|B F 2|

27、，|A F 2|a，|B F 1|a，|A F 1|+|A F 2|2 a，|A F 1|a，|A F 1|A F 2|，A 在 y 轴 上 在 R t A F 2 O 中，c o s A F 2 O，在 B F 1 F 2 中，由 余 弦 定 理 可 得 c o s B F 2 F 1，根 据 c o s A F 2 O+c o s B F 2 F 1 0，可 得+0，解 得 a2 3，a 第 1 4页（共 2 8页）b2 a2 c2 3 1 2 所 以 椭 圆 C 的 方 程 为：+1 故 选：B【点 评】本 题 考 查 了 椭 圆 的 性 质，属 中 档 题 1 1（5 分）关 于 函

28、数 f（x）s i n|x|+|s i n x|有 下 述 四 个 结 论：f（x）是 偶 函 数 f（x）在 区 间（，）单 调 递 增 f（x）在，有 4 个 零 点 f（x）的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是（）A B C D【分 析】根 据 绝 对 值 的 应 用，结 合 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 分 别 进 行 判 断 即 可【解 答】解：f（x）s i n|x|+|s i n（x）|s i n|x|+|s i n x|f（x）则 函 数 f（x）是 偶 函 数，故 正 确，当 x（，）时，s i n|x|s i n x，|s i n

29、x|s i n x，则 f（x）s i n x+s i n x 2 s i n x 为 减 函 数，故 错 误，当 0 x 时，f（x）s i n|x|+|s i n x|s i n x+s i n x 2 s i n x，由 f（x）0 得 2 s i n x 0 得 x 0 或 x，由 f（x）是 偶 函 数，得 在，）上 还 有 一 个 零 点 x，即 函 数 f（x）在，有 3个 零 点，故 错 误，当 s i n|x|1，|s i n x|1 时，f（x）取 得 最 大 值 2，故 正 确，第 1 5页（共 2 8页）故 正 确 是，故 选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 与 三

30、 角 函 数 有 关 的 命 题 的 真 假 判 断，结 合 绝 对 值 的 应 用 以 及 利 用三 角 函 数 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键 1 2（5 分）已 知 三 棱 锥 P A B C 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上，P A P B P C，A B C 是 边长 为 2 的 正 三 角 形，E，F 分 别 是 P A，A B 的 中 点，C E F 9 0，则 球 O 的 体 积 为（）A 8 B 4 C 2 D【分 析】由 题 意 画 出 图 形，证 明 三 棱 锥 P A B C 为 正 三 棱 锥，且 三 条 侧 棱 两 两 互 相 垂 直，再

31、由 补 形 法 求 外 接 球 球 O 的 体 积【解 答】解：如 图，由 P A P B P C，A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，可 知 三 棱 锥 P A B C 为 正 三 棱 锥，则 顶 点 P 在 底 面 的 射 影 O 为 底 面 三 角 形 的 中 心，连 接 B O 并 延 长，交 A C 于 G，则 A C B G，又 P O A C，P O B G O，可 得 A C 平 面 P B G，则 P B A C，E，F 分 别 是 P A，A B 的 中 点，E F P B，又 C E F 9 0，即 E F C E，P B C E，得 P B 平 面 P

32、A C，正 三 棱 锥 P A B C 的 三 条 侧 棱 两 两 互 相 垂 直，把 三 棱 锥 补 形 为 正 方 体，则 正 方 体 外 接 球 即 为 三 棱 锥 的 外 接 球，其 直 径 为 D 第 1 6页（共 2 8页）半 径 为，则 球 O 的 体 积 为 故 选：D【点 评】本 题 考 查 多 面 体 外 接 球 体 积 的 求 法，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，考 查 计 算能 力，是 中 档 题 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）曲 线 y 3（x2+x）ex在 点（0，0）处 的 切 线

33、方 程 为 y 3 x【分 析】对 y 3（x2+x）ex求 导，可 将 x 0 代 入 导 函 数，求 得 斜 率，即 可 得 到 切 线 方 程【解 答】解：y 3（x2+x）ex，y 3 ex（x2+3 x+1），当 x 0 时，y 3，y 3（x2+x）ex在 点（0，0）处 的 切 线 斜 率 k 3，切 线 方 程 为：y 3 x 故 答 案 为：y 3 x【点 评】本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 上 某 点 的 切 线 方 程，切 点 处 的 导 数 值 为 斜 率 是 解题 关 键，属 基 础 题 1 4（5 分）记 S n 为 等 比 数 列 a n 的

34、前 n 项 和 若 a 1，a 42 a 6，则 S 5【分 析】根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式，建 立 方 程 求 出 q 的 值，结 合 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公式 进 行 计 算 即 可【解 答】解：在 等 比 数 列 中，由 a 42 a 6，得 q6a 12 q5a 1 0，即 q 0，q 3，则 S 5，故 答 案 为：【点 评】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 前 n 项 和 的 计 算，结 合 条 件 建 立 方 程 组 求 出 q 是 解 决 本题 的 关 键 1 5（5 分）甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（

35、当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获胜，决 赛 结 束）根 据 前 期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”设甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队以 4：1 获 胜 的 概 率 是 0.1 8 第 1 7页（共 2 8页）【分 析】甲 队 以 4：1 获 胜 包 含 的 情 况 有：前 5 场 比 赛 中，第 一 场 负，另 外 4 场 全 胜，前 5 场 比 赛 中，第 二 场 负，另 外 4 场 全 胜，前 5 场 比

36、赛 中，第 三 场 负，另 外 4 场 全胜，前 5 场 比 赛 中，第 四 场 负，另 外 4 场 全 胜，由 此 能 求 出 甲 队 以 4：1 获 胜 的 概 率【解 答】解：甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，甲 队 以 4：1 获 胜 包 含 的 情 况 有：前 5 场 比 赛 中，第 一 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：p 1 0.4 0.6 0.5 0.5 0.6 0.0 3 6，前 5 场 比

37、 赛 中，第 二 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：p 2 0.6 0.4 0.5 0.5 0.6 0.0 3 6，前 5 场 比 赛 中，第 三 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：p 3 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 0.0 5 4，前 5 场 比 赛 中，第 四 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：p 3 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 0.0 5 4，则 甲 队 以 4：1 获 胜 的 概 率 为：p p 1+p 2+p 3+p 4 0.0 3 6+0.0 3 6+0.0 5 4+0.0 5 4 0.1 8 故 答 案 为：0.1

38、 8【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 相 互 独 立 事 件 概 率 乘 法 公 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算求 解 能 力，是 基 础 题 1 6（5 分）已 知 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 F 1，F 2，过F 1 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A，B 两 点 若，0，则 C的 离 心 率 为 2【分 析】由 题 意 画 出 图 形，结 合 已 知 可 得 F 1 B O A，写 出 F 1 B 的 方 程，与 y 联 立 求得 B 点 坐 标，再 由 斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的

39、 一 半 求 解【解 答】解：如 图，第 1 8页（共 2 8页），且 0，O A F 1 B，则 F 1 B：y，联 立，解 得 B（，），则，整 理 得：b2 3 a2，c2 a2 3 a2，即 4 a2 c2，e 故 答 案 为：2【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质，考 查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法，考 查 计 算 能 力，是 中 档 题 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题

40、为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 设（s i n B s i n C）2 s i n2A s i n B s i nC（1）求 A；（2）若 a+b 2 c，求 s i n C【分 析】（1）由 正 弦 定 理 得：b2+c2 a2 b c，再 由 余 弦 定 理 能 求 出 A（2）由 已 知 及 正 弦 定 理 可 得：s i n（C），可 解 得 C 的 值，由 两 角 和 的 正 弦 函数 公 式 即 可 得 解【解 答】解：（1）A B C 的

41、内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 第 1 9页（共 2 8页）设（s i n B s i n C）2 s i n2A s i n B s i n C 则 s i n2B+s i n2C 2 s i n B s i n C s i n2A s i n B s i n C，由 正 弦 定 理 得：b2+c2 a2 b c，c o s A，0 A，A（2）a+b 2 c，A，由 正 弦 定 理 得，解 得 s i n（C），C，C，s i n C s i n（）s i n c o s+c o s s i n+【点 评】本 题 考 查 了 正 弦 定 理、余 弦 定 理、三 角

42、函 数 性 质，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题 1 8（1 2 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 底 面 是 菱 形，A A 1 4，A B 2，B A D 6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B 1，A 1 D 的 中 点（1）证 明：M N 平 面 C 1 D E；（2）求 二 面 角 A M A 1 N 的 正 弦 值【分 析】（1）过 N 作 N H A D，证 明 N M B H，再 证 明 B H D E，可 得 N M D E，再 由线 面 平 行 的 判 定 可 得 M N 平 面 C 1

43、 D E；（2）以 D 为 坐 标 原 点，以 垂 直 于 D C 得 直 线 为 x 轴，以 D C 所 在 直 线 为 y 轴，以 D D 1所 在 直 线 为 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，分 别 求 出 平 面 A 1 M N 与 平 面 M A A 1 的 一 个 法 向 量，第 2 0页（共 2 8页）由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 A M A 1 N 的 正 弦 值【解 答】（1）证 明：如 图，过 N 作 N H A D，则 N H A A 1，且，又 M B A A 1，M B，四 边 形 N M B H 为 平 行 四 边

44、形，则 N M B H，由 N H A A 1，N 为 A 1 D 中 点，得 H 为 A D 中 点，而 E 为 B C 中 点，B E D H，B E D H，则 四 边 形 B E D H 为 平 行 四 边 形，则 B H D E，N M D E，N M 平 面 C 1 D E，D E 平 面 C 1 D E，M N 平 面 C 1 D E；（2）解：以 D 为 坐 标 原 点，以 垂 直 于 D C 得 直 线 为 x 轴，以 D C 所 在 直 线 为 y 轴，以D D 1 所 在 直 线 为 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 N（，2），M（，1，2），A 1（，1

45、，4），设 平 面 A 1 M N 的 一 个 法 向 量 为，由，取 x，得，又 平 面 M A A 1 的 一 个 法 向 量 为，c o s 二 面 角 A M A 1 N 的 正 弦 值 为 第 2 1页（共 2 8页）【点 评】本 题 考 查 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，训 练 了 利 用空 间 向 量 求 解 空 间 角，是 中 档 题 1 9（1 2 分）已 知 抛 物 线 C：y2 3 x 的 焦 点 为 F，斜 率 为 的 直 线 l 与 C 的 交 点 为 A，B，与x 轴 的 交 点 为 P（1）若|A F|

46、+|B F|4，求 l 的 方 程；（2）若 3，求|A B|【分 析】（1）根 据 韦 达 定 理 以 及 抛 物 线 的 定 义 可 得（2）若 3，则 y 1 3 y 2，x 1 3 x 2+4 t，再 结 合 韦 达 定 理 可 解 得 t 1，x 1 3，x 2，再 用 弦 长 公 式 可 得【解 答】解：（1）设 直 线 l 的 方 程 为 y（x t），将 其 代 入 抛 物 线 y2 3 x 得：x2（t+3）x+t2 0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 x 1+x 2 2 t+，x 1 x 2 t2，由 抛 物 线 的 定 义 可 得：|A F|+|B F

47、|x 1+x 2+p 2 t+4，解 得 t，直 线 l 的 方 程 为 y x 第 2 2页（共 2 8页）（2）若 3，则 y 1 3 y 2，（x 1 t）3（x 2 t），化 简 得 x 1 3 x 2+4 t，由 解 得 t 1，x 1 3，x 2，|A B|【点 评】本 题 考 查 了 抛 物 线 的 性 质，属 中 档 题 2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）s i n x l n（1+x），f（x）为 f（x）的 导 数 证 明：（1）f（x）在 区 间（1，）存 在 唯 一 极 大 值 点；（2）f（x）有 且 仅 有 2 个 零 点【分 析】（1）f（x）的 定 义

48、 域 为（1，+），求 出 原 函 数 的 导 函 数，进 一 步 求 导，得 到f（x）在（1，）上 为 减 函 数，结 合 f（0）1，f（）1+1+1 0，由 零 点 存 在 定 理 可 知，函 数 f（x）在（1，）上 存 在 唯 一 得 零 点 x 0，结 合 单 调 性 可 得，f（x）在（1，x 0）上 单 调 递 增，在（x 0，）上 单 调 递 减，可 得f（x）在 区 间（1，）存 在 唯 一 极 大 值 点；（2）由（1）知，当 x（1，0）时，f（x）0，f（x）单 调 递 减；当 x（0，x 0）时，f（x）0，f（x）单 调 递 增；由 于 f（x）在（x 0，）上

49、 单 调 递 减，且 f（x 0）0，f（）0，可 得 函 数 f（x）在（x 0，）上 存 在 唯 一 零 点 x 1，结 合 单 调 性可 知，当 x（x 0，x 1）时，f（x）单 调 递 增；当 x（）时，f（x）单 调 递 减 当x（，）时，f（x）单 调 递 减，再 由 f（）0，f（）0 然 后 列 x，f（x）与 f（x）的 变 化 情 况 表 得 答 案【解 答】证 明：（1）f（x）的 定 义 域 为（1，+），f（x）c o s x，f（x）s i n x+，令 g（x）s i n x+，则 g（x）c o s x 0 在（1，）恒 成立，f（x）在（1，）上 为 减 函

50、 数，第 2 3页（共 2 8页）又 f（0）1，f（）1+1+1 0，由 零 点 存 在 定 理 可 知，函 数 f（x）在（1，）上 存 在 唯 一 的 零 点 x 0，结 合 单 调 性 可 得，f（x）在（1，x 0）上 单 调 递 增，在（x 0，）上 单 调 递 减，可 得 f（x）在 区 间（1，）存 在 唯 一 极 大 值 点；（2）由（1）知，当 x（1，0）时，f（x）单 调 递 增，f（x）f（0）0，f（x）单 调 递 减；当 x（0，x 0）时，f（x）单 调 递 增，f（x）f（0）0，f（x）单 调 递 增；由 于 f（x）在（x 0，）上 单 调 递 减，且 f