2003数学三解析.pdf

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1、2003年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】（2,+*）.【解】当力 HO 时 9 ff(x)=A jca_1 cos+j?A_2sin；JC JC当工=0时9由厂(0)=lim I)-/=limjr A_1 cos 丄存在，得入1且十(0)=0,H-*0 x x-0 X(0,工=O9于是八乂)=1-2 1 因为 lim/()=/70)=0,所以 A 2.Ajc cos-x sin,力工 0,工。I x JC(2)【答案】4J.【解】设切点为(无()90)，令=3jc2 3a 2=0,得工舟=aS由 0=云一322 6,得 b=(3a 2 工約=2a$工09 故快二仏.(3)【答案】/

2、.【解】令0()=(工9夕)|0=工1，0夕一工1 9则 工)山 dy h/jjdz dy=/J dr J dy=a 2 D D0(4)【答案】一1.【解】由 AB=(Eaa r)(E+aa T)=E+(laa 1 aa aaT q/a 丿 a=E+(1aaT 2aaa r=E+-1 2a)aa r=E得-1 2a=0,解得 a=1 或 q=9 因为 a C 0 9 所以 a=1.a z(5)【答案】0.9.且 D(Z)=D(X)，得【解】Cov(X,Y)cP XY-0 9,jD(x)7D(y)由 Cov(y,Z)=Cov(Y,X-0.4)=Cov(Y,X)=Cov(X,Y),Cov(Y,Z)

3、a/DCYT-TDCZ)=0.9.（6）【答案】j.【解】因为X,X2，“，X”独立且同分布，所以X行X；,，X：独立同分布,由XE（2）,得 E（x）=*,D（X）=+，于是 E(X=E(X；)=E(X：)=E(X?)=D(X)+E(X)F=1,由辛钦大数定理，得Y”依概率收敛于E（X2）,1 n 1故Y”依概率收敛于v“,=i 2方法点评：本题考查大数定律.设Xi 是独立同分布的随机变量序列，若 p 1E（Xf）（分=1,2,）存在，则当 n-*00 时，一丫 X：-*E（X?）=E（X*）.n,=i n t=i二、选择题（1）【答案】（D）.【解】因为于（工）为奇函数，所以y（o）=o,

4、于是 limg（）=lim=lim/（J；）=f z（0）,XO6 H-0 JC H-0 3C故工=0为g（_z）的可去间断点，应选（D）.方法点评：本题考查函数间断点及其类型.注意如下知识点：（1）若/（）可导且为奇函数，则/（0）=0 JL/（X）为偶函数；（2）若fd）可导且为偶函数，则fx）为奇函数且/70）=0.（2）【答案】（A）.【解】因为f,y）可微且在（工。，九）处取极小值，所以（乂0，o）=0,于；（Zo,$0）=0,而-j-fCjc 0,y）I=于；（力0,夕0）=0,应选（A）.d_y I y=y0（3）【答案】（B）.oo oo【解】若”绝对收敛，即S山”丨收敛，n=

5、1 n=l因为o w乜#也Wlsl，0W W w山”丨，所以由正项级数的比较审敛法得s 山”严上与s 严 都收敛,n=l/n=/oo oo oo OO即 工久与一工q”都收敛，于是 工仇与 都收敛，应选（E）.=1 71=1 n=1 n=1OO oo oo I I|8 I I _事实上，若工S条件收敛，则工山”丨发散，于是S S?及S 都n=1 n=1 n=1/n=1发散.（4）【答案】（C）.【解】由厂（A*）=l,得厂（A）=23,于是IA|=0.由 A|=（a+26）（tz 6）2=0,得 a+2b=0 或a=b.而当a=b 时，广（A）=1,故a+26=0,应选（C）.方法点评：本题考

6、查矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系.X 9 r(A)n,设A为九阶矩阵9则r(A x)=5 1,r(A)=zz 1,o,r(A)M-l.本题因为r(A*)=1,所以r(A)=2,显然(A),(B)不对；因为a+2b 0时，|A|HO,即 r(A)=3,(D)不对.1.t sin t 1.t sin t 1.1 cos t 1=-r lim-:-=-H lim-=-r lim-=兀 lo+Sin t 7T lo+t TC-o+2t K(5)【答案】(B).【解】方法一 若,.线性相关，则至少存在一组不全为零的常数局，怂，,化，使得kxax+2a 2 H-b、a、=0,但并非对任意一组不为零的常数紅

7、，紅，匕都有kal+k2a2 k5a5=0,(B)不正确，应选(B).方法二 若对任意一组不全为零的常数kx，紅，匕，皆有局心+展a?0,即齐次线性方程组kxax+k2a2+ksas=O只有零解，则gg,心一定线性无关，(A)是正确的；若a】卫2，a、线性无关，则a,a2，-,a s的秩为s，反之，若ax,a2,a s的秩为s，则 其极大线性无关组所含向量的个数为s，因此，-,5线性无关，(C)正确；若a,.2,线性无关，则其任一部分向量组也线性无关，从而任意两个向量线性无 关，故任两个向量不成比例，(D)正确，应选(E).(6)【答案】(C).【解】P(AQ=P(A2)=,P(A3)=C；X

8、*X：m/i 1 2 1 1 1P(A4)=CJ)=-,P(A1A2)-,P(A1A3)=J,P(A2A3)=-,P(AA2A3)=0,因为PCAjA=P(A1)P(A2),卩(人小3)=P(A1)P(A3)，P(A2A3)=P(A2)P(A3),P(A2A4)7 P(A2)P(A4),又 P(A1A2A3)#P(A1)P(A2)P(A3)，故Aj,A2,A3两两独立但不相互独立，且A2,A3,A4两两不独立，应选(C).三、【解】lim f d=limX-*1Ttx Sin1兀(1 一 X)=4-lim1sin 7TH7T(1 X)=-1-lim1_ 1sin 7t(l 一 X)7T(1 X

9、)7t(l JC)=t 1-f f-F lim兀 o+补充定义/则/在&,i上连续.方法点评：本题考查函数的极限与连续.若函数/(a-)在a,b 上满足：/Xh)在(a,b)内每点都连续；(2)/(a)=/(a+0),/(6)=/(&0),则称f(x)在a,6 上连续.若/(工)在(a,b)内连续，且YimfCx)与)都存在时，只要补充定义，令/(a)=x*-blim f(jc),f(b)=lim/(je)，则补充定义后 f(.x)在a,b 上连续.四、【解】由复合函数求偏导的法则，得dx ou dp dy du dp千已带g32 g/32f d 2f2加于 d 2f=y荷+$心內+dudv3

10、2fdu3vdv3u32f dy 2+X+3C 2+H(夕G詰_夕船du 2 dy五、【解】作极坐标变换八、32 f 32 f d 2 p-d 2 a?2代入 Z+T2=，侍-_2+X2=X+夕.九，九/dx 3yx=rcos 0 9(0三0三2兀 9W 厂 W)9 y=r sin 3则jj e _(x+，_7t)sin(jc 2 y2 dy e D DC2n d0J 0+，sin(H2+3/2)dj?dj/*/n 2rer sin r02 dr=ire麻 2 e _r sin r 2 d(r 2)0=7re e _/sin tdt 90e令 e _z sin tdt=人，由分部积分法得o11

11、=sin tAt0一 Jd(cos)=-el cos tcos tdt0=e _K+1 一 el cos tdt e _K+1 一 oeTl d(sin t)0所以I】+1),it I 1 t _=e+1 一 e sin e _z sin t dt=e-Tr+1 一 11?0D故+，f sin(工2 y2)dx dy=(en+1)=-(e n+1)六、【解】方法一8 2n/(z)=1+丫(1)n=l 乙7100乙n=l(T 2)=l_*ln(l+_z2)(l Vh 1)00(_)”_n由 y(z)=0 得 工=0,1十工当一 1 Vh 0；当 0 工 V 1 时,/7)0；当 0 工 C 1

12、时，/)0,则z=0为/(jc)的极大值点，极大值为/(0)=1.七、【解】(1)由 f(z)=y,(j?)+f(工)go=/2(x)+g2(X)=/(a-)+g(z)了 2/(jt)g(j：)=(2e x)2 2F(z),得FQ)满足的一阶微分方程为F(z)+2F(z)=4e.(2)由 F(h)+2F(工)=4疋工,得FQ)=(孑 e 込clz+C)e 2dj=Ce2x+孑,由 F(0)=/(0)g(0)=0,得 C-1,故 FQ)=e 2x e _2x.八、【证明】因为于(工)在0,2上连续，所以于(工)在0,2上取到最小值加和最大值M,于是 3m f(0)+/(1)+/X2)3M,即 m

13、 1M.由介值定理，存在c E 0,2，使得/(c)=1.因为/Xc)=于(3)=1,所以由罗尔定理，存在 e(c,3)U(0,3)，使得=0.方法点评：本题考查介值定理及罗尔定理.设)在a，刃上连续，注意如下技巧：(1)若出现几个函数值之和时，一般对f(x)使用介值定理；(2)若出现的命题且w e a,b,般使用介值定理.九、【解】a 1+b55 a 2+bQ3Qi 如S+b5a na n5a”+bn=(As+b)b i=in(1)当bHO且bH a,时，因为|A|H0,所以方程组只有零解；i=ln(2)当5=0或b=a(时，方程组有非零解.1=1当b=0时，方程组的同解方程组为QiG a

14、2x2+a”z”=0,不妨设5工0,则方程 组的通解为x=由A=时，+c”_ia-n50(Cj,C2,C”_i 为任意常数);a 3a 3a”a”-1-1-15 工 2,1=1a 2 a 30155-另a,i=l2i=l1a001000 0 10 0 0 0aia”工心1=1a 2得r(A)=/i-l,因为A的每行元素之和为0,所以方程组AX=0的基础解系为(1,1,-,1)T十、【解】令人=，则 f=XTAX.l a0b 仁i020，x=工2b0一2丿L/2 3由A j+入 2+入 3=tr A,入1入2入3=I A|A-1(2)由 lAE-A|=0-20A 2 00 入+2a=1,得 a=

15、1,=2.、一12=2(2a+b),-2=0,得入 i=3,入2=入3=2.得当儿=一3 时，由(一3EA)x=0 即(3E+A)X=0,得=(1,0,2)丁 当入 2=入3=2 时，由(2E-A)X=0,得 2=(2,0,1厂，爲=(0,1,0)丁,因为5两两正交，所以单位化得/1 2 010-2Y30取 2=(Yi,r 2，人)=_2_V50丄V500 02=0 002二次型在正交变换XQY下的标准形为fXrAXX=QY 9,.3%+2刃+2夕 3 100H、【解】当z VI时，F(h)=O；当攵8时，F(z)=l.当 1 8 时，FQ)=J：Y=F(X)的分布函数为 FY(y)=PYy-PF(X)j；,当夕 V 0 时 9 Fy(j/)=0；当夕$1时，Fy()=1；当 0 3；1 时，Fy(；y)=PF(X)Wy=P浓一 1W=PX(j/+l)3=F(jy+I)3=夕，0,j/0,于是Y的分布函数为Fy(y)=,0夕1,即YU(0,1).|1，皿 1，十二、【解】巧(“)=PUu=PX+Yu=PX=1PX+Y“|X=1+PX=2PX+YW|X=2-0.3PY W u 1+0.7PY W u 2=0.3F(zz 1)+0.7F(u 2),于是 g(“)=0.3/(zz 1)+0.If(m 2).