2019届高考数学一轮总复习冲刺第3单元三角函数解三角形听课精品学案理.pdf

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1、第三单元三角函数、解三角形第 16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固知识聚焦、1角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分 类:按 旋 转 方 向 分 为、和零角；按终边位置分为 和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角。终边相同的角,连同角。在内，构成的角的集合是S.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1 弧度的角.弧度记作rad.公 式：角。的弧度数的绝对值/。/=(弧长用/表示)角度与弧度的换算(T).=rad,劭 rad=弧长公式 弧 长 1=扇形面积公式,S-lr-/a/r3.任意

2、角的三角函数(1)定 义:设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点。(x,y),则 sin a=,cosya=,tan(2)几何表示(单位圆中的三角函数线)：图 3-16-1中的有向线段0M,”分别称为角a的、和常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角图 3-1 6 T a%+茅 s v 2 妹+加,kGZ|2 A 7 t a 2 7 t 4-,土 W z a|2 E+委 v a 2 E+n,4 e z a 2 E+7 1 a 2物旧要，4 Z 终边落在y轴上的角)aa=knyk7j*=斐+Etez)国、侬边落在坐标轴上的角)卜人红火 对点演练、题 组 一 常 识 题L 教材改编终边在射

3、线片-W x(x6)上的角的集合是.2 .教材改编(1)6 7 3 0 =r a d;T t(2)1 2=:3 .教材改编半径为1 2 0 m m 的圆上长为1 4 4 m m 的弧所对圆心角。的弧度数是4 .教材改编若 角。的终边经过点(T,2),则 s i n a-cos a t a n a=题 组 二 常 错 题 索引：对角的范围把握不准；由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.V 25 .在力比1 中，若 s i n 0=2 ,贝A=.6 .己知点尸(s i n a-co s a,t a n。)在第二象限，则在 0,

4、2 n 内 a的取值范围是.|sina|cosa|7 .已 知 角。的终边落在直线y=-3 x上，则宾-旨-.8 .若一扇形的圆心角为7 2 ,半径为2 0 cm,则扇形的面积为 cm2.课堂考点探究O探究点一角的集合表示及象限角的判定0 1 设 集 合 林(Jx N 1 8 0 掰 5 ,4 1 8 0。掰 5 ,A G z),那么()A.M=N B.J C NC.A S M DMA”(2)已知角。的终边在图3-1 6-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则所有角。构成的集合是.图 3 T 6-2 总结反思把角表示成2kw。2 )的形式,即可判断其所在的象限.圜式题 已 知 角。，灯的终

5、边关于直线尸户0对称，且。、6 0 ,则二.(2)若 角。的终边在x 轴的上方，则2是第 象限角.。探究点二扇形的弧长、面积公式屈也(1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是(2)若扇形的周长为1 8,则 扇 形 面 积 取 得 最 大 值 时,扇 形 圆 心 角 的 弧 度 数 是.总结反思应用弧度制解决问题的方法：(D 利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角鼓置 式 题(1)将表的分针拨快1 0

6、 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()rt H H HA?B/C.3).行(2)圆内接矩形的长宽之比为2.T,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所 对 圆 心 角 的 弧 度 数 为.O)策 究 点 三 三角函数的定义考 向 1 三角函数定义的应用1%(1 H 20 1 7 西安一模函数y=1 0 g“(x-3)+2(a X)且 a W l)的图像过定点己且角。的终边过点A则 si n a AJ O S。的 值 为()7 6A.5 B.5匹!c.D.M V5(2)20 1 7 北京卷在平面直角坐标系x a 中，角。与角万均以圆为始边,它们的终边关1于 y 轴对称.若si

7、n a 3,则 si n B =.总结反思三角函数定义主要应用于两方面：(1)己知角的终边上一点尸的坐标,则可先求出点尸到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地，若 角。的终边落在某条直线上，般要分类讨论.(2)已知角a的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角a终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定圆1(1)使 lg(s in 9 cos 0)R-COS6 有 意 义 的，为()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)若 角a的 终 边 落 在 直 线 上，则1cos8，总结反思要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数

8、中的角是翻象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用跳 函数函x)4 1-2 c o s x+in ls in x)的定义域为 总结反思利用三角函数线解三角不等式，通常采用数超缓食的方法，一般来说sin Xb,cos 只需作直线或耳与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练L【考 向1】点从点(三,工)出发，沿单位圆按逆时针方向运动彳后到达。点，若。的始边 在x轴的正方向上，终边在射线00上，则sin a-()42 42A.1 B.-1 C.2 D.-22

9、.【考向2】已 知 角。的终边在第一象限，点尸(l-2a,2+3a)是其终边上的一点，若cos a)sina,则实数a的 取 值 范 围 是.3.【考向3】满足cos aW-2的 角a的集合为第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固2.在/回 中：1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)商数关系:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2.诱导公式角正弦余弦正切口诀记忆规律常用结论1.sin(n+a)=(-l)*sin a.公式 公式 公式 公式 公式 公式一 二 三 四 五 六a+2在nn+a-a

10、n-a(kG-a+az)sin sin cos,-cos ca _ _ a acos _ cos _ sin _a _ a _ atan _ _-tan a a 函数名不变，符号看象限 看 象限奇变偶不变,符号看象限(l)sin(/f 砌=sin C,cos(A+切=cos C,tan(A+B)=-tan C;A+B C A+B C(2)s i n 2 ro s 2,c o s 2 s i n 2.对点演练、(*)=题 组 一 常 识 题121 .教材改编已知c o s。主，且。是第四象限角，则 s i n。的值为,sina-2cosa2 .教材改编 已知3 0 皿+5 =甘,那么t an a

11、的值为.V 33 .教材改编已知s i n。=3 ,则 c o s4 .教材改编求值:s i n(T 2 0 0 )-c o s 1 2 9 0 ;.题 组 二 常 错 题 索引：平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;n 上 a 形式没有把按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.cosX 125 .已知1/I S C 中，5 =-5 ,贝|J c o s 4 等于.3 36 .已知c o s G n +。)二 3,且。是第四象限角，则 c o s (3 h+。)=.sina+3cosQ7 .已知 3c o 5a.s m 而，则 s i n%s i n ac o

12、s a=.sin(E+a)cos(kir4-a)8 .已知4=父 皿+85a(e z),则 力 的 值 构 成 的 集 合 是.课堂考点探究。探究点一三角函数的诱导公式sin(2nr)cos(9 a)/n(1)已知1 A I)口中0E,贝 Ij(1 次A.2 B.2V3 1C.2 D.-2(2)2017 邢台一中月考 已知 c o s(7 5 +a)总则 s i n(。-15 )A:o s(105 -a)的值是()1 2A.3 B.1 2c.-3D.-3 总结反思(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀奇变偶不变,符号看象限”的

13、应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式 题(1)2017 龙岩六校联考s i n 3 0 0 0也a n 6 00的值是()73 虫A.-2 B.21 1c.D.0R3 若 sinl-a则 c o s l+a)=.。探究点二同角三角函数的基本关系考 向 1切弦互化例2(1)2017 亳州三模已知x w G,n),t a n 尸-*,则c o s (-犬-)等于()3 3A.5 B.-54 4c.-5D.5n 3 n(2)2017 江西重点中学一联设 0 a

14、 n,且 s i n(a/)j,则 t a n(a/)的值是()3 3A.4 B.-44 4C.3 D.-3 总结反思同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函sina数值，主要利用商数关系t a n a产和平方关系1书行2 a比a.考向2“1”的变换例3(1)2017，常德一中期中已知 t a n x=2,则 Z s i n x r i n x c o s x A;o s x 的值为.1n(2)2017 ,桂林模拟 已知 s i n X P O S xG(0,则 t a n x=.总结反思对于含有s i n、,c o s 2x,s i n x c o s x的三角函数

15、求值题，一般可以考虑添加分母1,再 将 1 用“s i n、代o s)”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于t a n a的式子,从而求解.考向3和积转换1 n tr若 s i n a A i o s a =W 0 a ,则 s i n G+a )*c o s(-a)的值为.总结反思对于s i n a y c o s a y s i n a-c o s a,s i n a c o s。这三个式子，利用（s i na cos。）2可土2s i n a c o s。可以达到转换、知一求二的目的.强化演练11.【考 向 1】已知c o s%-i n x 5,（0,n），则 t

16、 a n x 等 于（）4 3A.-3B.-4C.2 D.-22.【考向 2若 t a n。N,则 4 s i r?。-3s i n a c o s a-5 c o s2 a.3.【考向 3若 s i n 6 ,cos夕是方程4 x*/胪0 的两根，则 R的值为.第 18 讲三角函数的图像与性质课前双击巩固知识聚焦，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质（下表中A ez）函数 ym i n x图像定义 R域值域 _ _ _ _ _ _ _ _周期 2 y c o s x y=t a n x 木 厂 L X 4AW 0/x x R,且R+,届 z)2 n n性奇偶性奇函数单调性2 片2/口 2

17、 0，上 为 增 2 A n ,2k w 上为减函数;_函数;为减函数,上为增函数上A n km+2)上为增函数对称中心kn +,0对称轴x =kb+,0无常用结论2 n1 .函数户4s i n(3x+)和户4c o s (的最小正周期7 1。函数片t a n (3x+)的最小正n周 期 7 。2 .正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中1心与对称轴之间的距离是4周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3 .三角函数中奇函数一般可化为y s i n 公才或y刃t a n 3 x的形式，偶函数一般可化为y c o s 3 才域的形式.对点演练、题

18、组 一 常识题1 .教材改编函数y2 s i n(2 x T)的 最 小 正 周 期 是.2 .教材改编若函数y刃s i n x+1 (4X)的最大值是3,则 它 的 最 小 值 是.3 .教材改编函数y=2 c o s x在-n,0 上是 函数，在 0,上是_ _ _ _ _ _函数.4.教材改编 函数/X x)的定义域为 0,1 ,则 Mc o s x)的定义域为.题组 二常错 题 索引：忽视y刃s i n x(或 y l c o s x)中力对函数单调性的影响；忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5 .函数y=l-2 c o s x的单调递减区间是.6 .函数y=c

19、 o s x t a n x的值域是.7 .函数y-c o s2%-3 c o s x 的最大值为.18 .设 s i n x-s i n 则/H s i n x+s i n y-i的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为.课堂考点探究。探究点一三角函数的定义域1+I /白例J1 函数24 an x的定义域是.COSX-(2)函数y=l 晨s i n *)R?的定义域为.总结反思求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组)，借助三角函数线或三角函数图像来求解.震 式 题(1)函数yR s i l U-c o s x 的定义域为.(2)函数f(x)=-2 t a n(2 x+6)的定义域

20、是.。探究点二三角函数的值域或最值rtx T T例也(1)函数y之s i n(6 _ )(o x W 9)的最大值与最小值之和为()A.2-V 3 B.0C.-1D.-1（2）函 数尸 c o s 2 x+2 c o s x的值域是（）A.-1,3 B.囹1 2 J/MD朋 总结反思 常见三角函数值域（最值）问题的求解方法：形 如 y=a s i n x+bcos x+c 的三角函数，化为笈缀l l l C 幺 此 仪 的 形 式，再求最值（值域）；魏 如 y和s i n）+6 s i n x+c的三角函数,可设 G i n x,化为关 于 t 的二次函数求值域（最值）;形如y=a s i n

21、 x c o s x+Z?（s i n x c o s x）+c 的三角函数，可 设 片s i n x c o s x,化为关于t的二次函数求值域（最值）.置 式 题（1）函数y=/s i n x/i n x的 值 域 为（）A.-1,1 B.-2,2 C.-2,0 D.0,2（2）函数片c o s x-s i n x*4s i n x c o s x的最大值是.探究点三二角函点的件质点m考 向 1 三角函数的周期性例3 2 0 1 7 淮北一中期中 函数/U）E i n（3 x+4）的 最 小 正 周 期 是.n（2）下列函数中,周期为2 的偶函数为（）A.尸s i n x B.尸c o s

22、 2x(2C.片t a n 2x D.产s i n -A x2Tl 总结反思 对于函数y=A si n（3 x+6）+k或 y=A cos（3 x+6）+k,其最小正周期生考向2 三角函数的对称性例Jl (1)函数 y-2 s i n2 x 3)的 图 像(A.关 于 原 点 对 称 B.关于点(0 )对称C.关于y 轴 对 称 D.关于直线x=6 对称(2)2 0 1 7 潍坊三模若直线x，”和产4”是函数y m o s(3 X+0)(0 X)图像的两条相邻对称轴，则。的一个可能取值为()A.4 B.C.D.总结反思(1)对于函数y4s i n(3。)，其图像的对称轴一定经过函数图像的最直点

23、或最低点,对称中心一定是函数的变点,因此在判断尤=8或点(%,0)是否是函数的对称轴或对丽 心 时,可 通 过 检 验 A x o)的底进行判断.(2)函数图像的对称性与周期7之间有如下结论:红喏函数图像相邻两条对称轴分别为x=a与x=b,则周 期 包。之/;彝函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),屹 0),则周期T i b-af-瞬函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T M ：考向3三角函数的单调性例匕(1)20 17 衡阳八中期中在下列给出的函数中，以“为周期且在(oj)上是减函数的是()2A.y mos B.y=cos (-2x)(2)已知GX,函数 f(x)

24、mosTT Ttox-)在 G,n)上单调递减,则3 的取值范围是()A1 4 B.1 32f4c.(叫D.(0,2 总结反思(1)形如y，l s i n(3x+0)的函数的单调性问题，一般是将幺纥它看成一个整体,再结合图像利用y-s i n x的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负殖，要根据透曼公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2 20 17 三明质检n己知函数 f(x)=s i n(x+0)-O c os(x+0)(/。/)的图像关于直线x=n 对称，则 c os 2。=()V 3 1A.-2 B.-2i 由C.2 D.22.【考 向 1】函数f(x)=2

25、c os 4 x-4 J T 是()A.最小正周期为n 的奇函数B.最小正周期为n 的偶函数C 最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数3.【考向2如果函数y 4 c os(2户 0)的图像关于点(40)中心对称，那么/。/的最小值为()!T!TA/B/tr nC.3 D.2!T4 .【考向3】函数/1(x)r i n(-2x+3)的 单 调 递 减 区 间 为.第 19 讲 函数尸4 s i n(3X+6)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固知识聚焦、1.y=Asin(3x+力的有关概念振 幅 周 期 频 率 相 位 初 相y 刃s i n(3 x+6)T=(q 0,。刈,Af

26、=_0,+8)一 _2.用五点法画y s i n(”x+0)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示:Xsx+小0-A03.函数产s i n x的图像经变换得到片71s i n（G 户 0）的图像的步骤画出产s i n x 的图像向左（右）平移一 个单位长度横坐标变为原来的需得到产s i n3r+彷的图像纵坐标变为原来的A 倍一步骤1得到产s i n（x+夕）的图像画出产s i n x 的图像横坐标变为原,，来1 斗得到产s i n ox 丽 丽 向左（右）平移一个单位长度得到产s i n（s+3）的图像得到尸4 而（8+0）的图像图 3-1 9-1得到产A s i n（w x ）的图像

27、纵坐标变为原来的A 倍对点演练、题 组 一 常 识 题1 .教材改编函数y-s i n x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2 倍得到的 图 像 对 应 的 函 数 解 析 式 是.2 .教材改编某函数的图像向右平移2 个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y s i n则原函数的解析式是3.教材改编若函数f（x）f i n 3 x（0 3 2）在区间L0,司上单调递增，在区间B,4 上单调递减，则 3=.4.教材改编已知简谐运动f（x）与s i n（3 x+0）（的图像经过点（0,1）,则该简谐运动的初相0为题 组 二 常 错 题 索引：图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理

28、解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中0 的值.5.为得到函数 ycos（2呜）的图像，只需将函数y fin 2x的图像向.平移_ _ _ _ _ _ _ _个单位长度.f n nlCJX彳在区间匕臼6.设 若函数 f(x)F in 2 cos上单调递增，则 3的取值范围是.(计 /(/)7.若 F（x）=2sin（。户 0）加对任意实数t 都有/,且W=-3,则实数m=.8.已知函数f（x）r i n（3 户1 3 刘，/。/的部分图像如图3 T 9-2所示,则力二.图 3-19-2课堂考点探究究点一 函数1 4sin（3 户 0）的图像变换n1

29、例 1 （1）2016 全 国 卷/将函数y 2 s in（2 x f）的图像向右平移4个周期后,所得图像对应的函数为（）n nA.y之sin（2x，）B.y N sin（2x，）C.y N s i n 2 x-）D.y-=2 s i n 2x-（2）2 0 1 8 安徽江南十校联考 函数y m o s 2 x 的图像可以由函数y f i n 2 x 的图像经过平移而得到，这一平移过程可以是（）7 1A.向左平移2 个单位长度B.向右平移2 个单位长度C.向左平移4 个单位长度D.向右平移4 个单位长度 总结反思由尸s i n x的图像变换到y 4 s i n（00）的图像，两种变换中平移的量

30、的区另1 J:I f l先平移再伸缩,平移的量是/。/个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是丁（。刀）个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即 X 本身加减多少值,而不是依赖于3X加减多少值.固 式 题（1）2 0 1 7 雅安三诊把函数y=s i n x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一T T半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移6 个单位长度,所得图像的函数解析式为（）（2x）（2X）A.p o s i n 3 B.y s i n 6c.（用）D-（r 9C.y=s i n D.y=s i n为了得到函数片s i n 3 c o s 3 x 的图像，可以将函数户2 o

31、 s 3 x 的图像（）nA.向右平移方个单位长度B.向右平移4 个单位长度C.向左平移方个单位长度D.向左平移4 个单位长度瞰究点二 函数y w f s i n(o x+0)的图像与解析式 2 0 1 7 马鞍山三模已知函数片的i n(o x+0)(附0,。为，f 6)的部分图像如图 3-1 9-3 所示，则.图 3 T 9-3(2)已知函数f(x)三%i n(Q X+0)心0,的部分图像如图3T 9M所示,其中 总结反思利用图像求函数片乐行(。户。)(力加，33)的解析式主要从以下三个方面考虑：(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出3的值.根据函数图像上的基二赞券点求出0的

32、值.变!式题 已知函数F(x)N s i n(3 x+6)(3%，/。/(冗)的部分图像如图3-1 9-5 所示,且n(2,1),6(n,-1),则 0 值为.图 3-1 9-5究点三 函数片/4 s i n(3户。)的图像与性质例h(1)2 0 1 7 惠州模拟已知函数F(x)=s i n(3 户。)(3丸-H。0)的最小正周期是n,将函数f(x)的图像向左平移3 个单位长度后所得图像过点尸(0,1),则函数f(x)r i n(。户 0)()A.在区间 6 3 J 上单调递减B.在区间I 6 可上单调递增C.在区间 铲百上单调递减1.2 2 1D.在区间 3%1 上单调递增(2)2 0 1

33、7 西宁二模函数片COS(Q X+0)(。刀,0 0 “)为奇函数,该函数的部分图像如图 3-1 9-6所示,A,6 分别为最高点与最低点，且6 A 2 说,则该函数图像的一条对称轴为图 3-1 9-6A.x?B.x=-C.x=2 D.x=l 总结反思求 y 4 s i n(3矛+。)步(4 X),口为)的解析式的一般步骤.M-m M+m(1)求 4 B.确定函数的最大值材和最小值m,则A=2,B=22 f i(2)求。.确定函数的周期7；则 七 二(3)求。.常用方法如下:侬把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图硬的最高点或最低点代入.五点法:确 定。值

34、时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.圜 式 题 2 0 1 7 长安一中质检已知函数F(x)=2 s i n(o x,0)(。，/。/彳)的部分图像如!T2图 3-1 9-7 所示,若A 0)工总,且丽 B C-8,6,C 分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若 将 F(x)的图像向左平移6个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间Lo,2上的最大值和最小值.图 3 T9-7。探究点四三角函数模型的简单应用I例：4有一个半径为4 m 的水轮(如图3 T 9-8),水轮的圆心。距离水面2 m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈，当水轮上的点。

35、从水中浮现(即到达图中点R)时开始计时.(1)将点。距离水面的高度尔m)表示为时间f(s)的函数；(2)在水轮转动一圈的过程中，有多长时间点P 距水面的高度超过4 m.图 3-1 9-8 总结反思(1)解三角函数模型应用题的关键是求出国遨解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)s i n(o x+。)4 中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论，最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.I短成题苇城市一年中1 2个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=aM co s;(x _6)(x=l,2,3,，1 2)来表示，已知6月份的月平均气

36、温最高，为 28 ,1 2月份的月平均气温最低,为1 8,则 1 0 月 份 的 月 平 均 气 温 为C.第 20 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固知识聚焦、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式 S(m：sin(a B)二.(2)公式 C(6):cos(a .(3)公式 T(fl+/s):tan(a =.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形：tan o jAtan ra n(。士 )(1干tan tan).2.二倍角余弦公式的变形：1-COS2Q 1+COS2Q 2 2 2 2-sin a-,cos a=.3.一般地，函数F(a)=asin a+bcos 为常数)可以化为

37、/(Q)=va2+h2sin(。)(其中 t an(p=3或 f(a)Wa2 4-&2cos(_0)(其中 t an w =?对点演练y题 组 一 常 识 题1.教材改编sin 7 5的值为.!(4)(2.教材改编已知c o s。=-5,。e 2 7,则sin(。+3/的值是3.教材改编cos 65 cos 115-cos 25 sin 1150=.14.教材改编己知tan a 3,tan=-2,则tan(a-)的值为.题 组 二 常错题 索引：忽略角的范围，用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.551 1 75.已知 tan(4+0)3,a (?,叮

38、)，则 cos a 的值是.1 736 .化简s i n x-2 co s x=.l-t an l5 7 .计算:计由1 5.3 T l8.若 a=4,则 i+t an(兀-。)(l-t an )的值为.课堂考点探究。探究点一两角和与差的三角函数公式1例 1 若 s i n()N s i n(。-)3,则 s i n 4 co s 的 值 为()3 3A.&B.-1 1C.8 D.-8r t n 2(2)20 1 7 惠州模拟已知 a e(0,2),co s (a S)=金 贝 l j co s a=.总结反思两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可 用。，万的三角函数表 示a 8的

39、三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意鱼与鱼之回的天系,完成统一角和角与角转换的目的.3 7 V 2圜 式 题(1)20 1 7 德州二模已知 co s a 3,co s()=1(),且 0 V。那么 =()n r xA.n B/C L D.3(2)20 1 7 肇庆二模 已知t an a,t an B分别是lg(6/52)=0的两个实根,则t a n(a，)-.c探究点二两角和与差公式的逆用与变形1 1侬2 (1)2 0 1 7 常德一中期中已知 s i n a yc o s 月 s i n B -cos a 则s i n(a _8)=.r e(2)2 0 1 7 长沙三模已

40、 知。一 二,t a n a-t a n =3,贝 I c o s(。的值为.总结反思常见的公式变形：(1)两角正切的和差公式的变形，即 t a n。土t a nt a n(o P)(1+t a n t a n );(2)as i n a+bcos-斗 土 丛 口 (g t 0)(t a n 6圜 式 题(1)2 0 1 7 淮北一中期中s i n 42 c o s 1 8 -c o s 1 3 8 c o s 72 .(2)(1 -A t a r i 2 0 )(1+t a n 2 1 )(1 H a n 2 4 )(1+t a n 2 5 )-.。探究 点 三 角的变换问题2n 1 cos

41、a+sinaI B 2 0 1 7 宜春四校联考已知t a n(。+/t a n(f)3,则的值为()1 3 1 1 3 3A.1 8B.6 C.2 2D.2 2k 2Tl H /n 3 /2外 5 2 0 1 7 龙岩六校联考已知6 0 3,0 c o s。；当 角。的 终 边 在 直 线 的 下 方区域时，si n a 的值为()115 5A.-9B.9 C.3 D.-3 总结反思给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用且划国件表达出来.考向2给角求值eos2tr 例h求值：皿3 8 q m 2 T)A.1

42、B.2C.V 2 D.V 3 总结反思该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为搬鱼,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角n 1 1 f t 已知,-i t b关系式 a=6 s i n A A s i n A a b a b解的个数3 .三角形面积公式1(l)s 2 a 分(力表示边a 上的高);111(2)S，6 c s i n A acs i n 1 2d 3b s i n C1(3)S，r(a 场+c)(r 为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在/回中，力历+c=；A+B n c变形:丁/上.2.三角形中的三角函数

43、关系：(1)s i n (4 坳 r i n C(2)c o s (A+B)-c o s C;A+B C A+8 C(3)s i n 2 气o s 2;(4)c o s 2-s i n 2.3 ,三角形中的射影定理在中，a=A o s Coccos B;b=acos C+ccos A c=bcos A acos B.对点演练、题 组 一 常 识 题1 .教材改编在式1 中，庐1 5 ,。6 0 ,。之,则最短边 的 边 长 等 于.2 .教材改编在1 中，已知a 节,炉2 0,小3 0 ,则.3 .教材改编在/a 中，已知白一/3,820,则 8 等于.7 .在4 9C中，a=2,6=3,行6

44、 0 ,则 c=,4 9。的面积等于.8 .在 比 中，角 4,8,C 满 足 s i n 4 c o s C-s i n Bc o s则三角 形 的 形 状 为.课堂考点探究O探究点一利用正弦、余弦定理解三角形例 1 2 0 1 7 成都三诊/比1 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2 c-a=2 t e o s A.(1)求角占的大小；若。之百,求a+c的最大值.总结反思(D 正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三

45、角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边Q 关系；(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.固 式 题(1)2 0 1 7 合肥二模在 锐 角 中，内角4 6,C 的对边分别为a,b,c,且满足(a H)(s i n 4+s i n 历=(c-6)s i n C 若 则 6 7/的取值范围是()A.(5,6 B.(3,5)C.(3,6 D.5,6(2)2 0 1 7 天津南开区三模 如图3-22-1,在4园 中，。是边力C 上的点,且A B=A D,246工/3 做 B C=2B D,则 s i n C

46、 的值为.图 3-22-1。探究 点 二 利 用 正 弦、余弦定理判定三角形的形状例M 20 1 7 襄阳五中-模如图3-22-2所示，图 3-22-2在a 中,是外的中点，已知N物。,则/笈的形状是.总结反思判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.国I式题 在/玄中，若 s i n /之c o s 5s i n G则/笈的形状是.。探究 点 三 与 三 角形面积有关的问题例h 20 1 7 山西吕梁 模已知锐角三角形/a 1 的内角4 8,。的对边分别为a,8,c,且满足

47、c o s2-n c o s2C -s i n2/l-s i n 力 s i n 氏 s i n (4”FOS(/砌.(1)求角 A,B,C;(2)若 求 三 角 形 的 边 长b的值及三角形4欧的面积.总结反思(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解；(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积；(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.糜 式 题 的 内 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a(s i n J-s i n =(c t)

48、(s i n G s i n B).(1)求 角c-3V3 若 w,比 的面积为三,求/a 的周长.第 23 讲 正弦定理和余弦定理的应用课前双击巩固知识聚焦、1 .仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的 和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 的叫仰角，目标视线在水平视线 的叫俯角，如图3-23-1(a)所示.2.方位角：指从 顺时针转到目标方向线的水平角，如图3-23-1 (b)中8 点的方位角为(C)图 3-23-13.方向角：相 对 于 某 正 方 向 的，如北偏东。，即由正北方向顺时针旋转。到达目标方向(如图3-23T (c),其他方向角类似.4.坡角：坡面与 所成的二面角的度数(如图

49、3-23T(d)所示,坡角为，).坡比:坡面的铅直高度与 之比(如图3-23-1(d)所示,/为坡比).对点演练、题 组 一 常 识 题1.教材改编海上有4 6,C三个小岛,4 6 相距5点海里，从 1 岛望。和 6 成 4 5 视角，从 6岛望。和A成 7 5 视角，则B,。两岛间的距离是 海里.2.教材改编某人向正东方向走了 x km后，向右转150,然后沿新方向走了 3 km,结果他离出发点恰好W km,那么x 的值为.3.教材改编如图3-23-2所示,长为3.5 m的木棒48斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足。处 1.4 m的地面上,另一端6 在离堤足。处 2.8 m的石堤上，石堤的倾

50、斜角为%则 tan a等于.图 3-23-24.教材改编如图3-23-3所示，测量河对岸的塔高48时,可以选与塔底6 在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得/8 缪=。，4B D C=S,CD=s,并在点C处测得塔顶A的 仰 角 为0,则塔高A B=A图 3-23-3题 组 二 常 错 题 索引：仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题.5.在某次测量中，在/处测得同一半平面方向的8点的仰角是60,C点的俯角是7 0，则/B A C=.6.如图3-23 Y所示，两座灯塔4和8与海岸观察站。的距离相等，灯塔 在观察站南偏西40的方向，灯塔8在观察站南