2022届新高考（全国I卷）地区优质数学分项解析专题15 一元函数导数及其应用（解答题解析版）.pdf

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1、2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析专题15 一元函数导数及其应用(解答题)(上期末卷)44.(20 22河北张家口高三期末)已知函数x)=e+e T-加-2.(1)当。=1时，证明：函数/(X)在区间(0,+8)上单调递增；(2)若g(x)=x)-e T,讨论函数g(x)的极值点的个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先对函数求导，再二次求导，可求得导函数在区间(o,+8)上单调递增，从而可得(x)r(o)=(),进而可证得结论，(2)当a =0 时，可得g(x)单调递增，无极值点，当a w O 时，g(x)=e*2 2a =,X令力(X)=G,利用导数

2、求出M x)的单调区间和极值，从而分0 “0 时，fx)=e：+ex-2 0,.所以函数尸(x)在区间(0,田)上单调递增，故/(。)=0，故函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增.(2)解：当。=0 时，g(x)=e、2 单调递增，无极值点，当时，g(x)=e-2ox,令 e -2ax=0 =2a =,x令“x)q,则*，当*0 时，M x)0,且(x)0,当 0时，方程2=有唯一小于冬的零点，故函数g(x)存在一个X极值点；当0 x l 时，/i(x)l 时，(x)0,故函数M 6 在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，Ml)=e 为函数妆外极小值，所以当0 2a,g(x)=

3、ex-2ax 0,当 x l 时,2a,g(x)=ex-2ax 0,故函数 g(x)无极值点.当时，方程2a =有两解，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点.2 x综上，当。0 忖，函数g(x)存在一个极值点，当啜h 时，函数g(x)无极值点，当时，函数g(x)存在一个极大值点和一 个极小值点.45.(20 22青海西宁高三期末(文)已知函数，(x)=(x-2)e(1)若a e(O,田)，讨论f(x)在(0,a)上的单调性；(2)若函数g(x)=x)m(x-1)2在 1,2 上的最大值小于-g,求优的取值范围.【答案】(1)答案见解析停 收)【分析】(1)先对函数求导，然后分a e(O,

4、l 和。(1,物)判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间，2 2(2)由题意得g(x)=(x f(e,_ 2 m),然后分m40,0 w|,得和机四种情况求g(x)在，2 的最大值，使其最大值小于-g,从而可求出机的取值范围(1)f(x)=(x-l)e.令得x 0，得x l.当a 0,l 时，/(X)在(O,a)上单调递减;当a e(l,o)时，Ax)在(0,1)上单调递减，在(1M)上单调递增.(2)由题意得 g(x)=(x-D(e*-2m).若机40,e -2 m 0,则g(x)在口，2 上单调递增，g(x)1r a x=g(2)=-6 2 0,不合题意.若0 与号，不合题意.2若二则g

5、(x)在 1,In 2向 上单调递减，在 ln2加,2 上单调递增，g(x)g=g 6=e或 8 由=g(2)=一 加.,22e当e/n万 时，g(x)m=-e 当!，4e时，g(x)max=-m -y-,则 与 m4 e.2Q若 m 吟,则 g(x)在 L2上单调递减，g(x)1 rax=g(l)=-e 0).(1)证明：函数/(x)在(0,+8)上存在唯一的零点;(2)若函数 x)在区间(0,+8)上的最小值为1,求。的值.【答案】(1)证明见解析3【分析】(1)首先求出函数的导函数，即可得到r(x)在(o,+8)上单调递增，再计算r(。)，构造函数，利用导数说 明(0)0,从而得证；由

6、可知存在唯一的/60,e),使 得/(%)=0,即 尸=7 7 7 即可得到。(劝=5)，即可得 到 一 一-=再根据y=-lnx的单调性得到x 0=l-“，即可得到小 “句，从而求出。的值:玉)+x(1)证明：V/(x)=ex-a-ln(x+a)(a 0),二 r(x)=e”“-士.=6-在区间(0,+8)上单调递增，y=W 在区间(a+8)上单调递减，.函数/(X)在(0,+8)上单调递增.1 7 7 一又/(0)=一L=令 g(a)=a-e”(a0),g(a)=l-e“0,a ae(,则g()在(0,+e)上单调递减，g(a)g(0)=-l,故;(0)o,2a+1所以函数尸(力在(0,心

7、)上存在唯的零点.(2)解：由(1)可知存在唯一的f e(O，E),使得/(与)=1 叱=0,即/-=一(*).x0+a x0+a函数f x)=e-a-士 在(0,的)上单调递增，.当x e(O,%)时，/VXO,“X)单调递减；当x e(x,+a )时，f(x)0,x)单调通增；/(x)mi n=f(X。)=e-I n(x0+a),由(*)式得/(x)而“=/(%)=!-ln(x 0 +a).x0+a，1-ln(x 0 +a)=l,显然x +a =1 是方程的解，%+a又y=4-l n x 是单调递减函数，方程1-ln(x +a)=l有且仅有唯一的解+。=1,x 须)+a把x=l-a 代 入

8、(*)式，得 e =i,.即所求实数。的值为，47.(20 21 江苏海安市曲塘中学高三期末)已知函数7 U)=1 n x 一3+1在点(1,/(I)处与x轴相切，其中 m G R.(1)求 实 数 的 值；(2)对于任意的0 a V b,证明：/(?一/(a)+l o.b-a a【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】(I)求导，利用/(1)=0 列式计算即可；(2)将问题转化为证明I n 2 +i 0,设2=/,进一步转化为证明l n r-r+l 0,有八x)=,一 2；x因为./(X)在点(1,/(I)处与X轴相切，所以/(1 )=1 7 7 2 =0,得 m 1；(2)由(1)得，/(

9、x)=l n x x+L x 0；对于任意的OVa V b 时，要证b-a。n n,.nb -b +na+a 1 ,(即证-;-+1 0,b-a a.b .i i -r I n b +a I.i)八即让 a +1 0,b-a anb i即 证 ab-a a即证I n 2 Vab-a即证 I n 2 +1 l,则即证 I n f/+l 1,则 g )=-l，在 P(l,+8)时，g(t)0,t所以g(r)在(1,+8)上单调递减，所以 g(t)g(1)=0，即 l n r f+1 an+i .【答案】(1)f(x)在(0,+8)上单调递增；理由见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据已知，对函数

10、进行求导，化简，再次对分子求导，根据导数与单调性的关系，可得答案，(2)先将4 。川 化为a“l n(e”一1)I n a”；a“,利用导数及单调性分别证明不等式左边右边,即可得正.(1)、ev 1 x ev-er+1 (x-l)e +1f(x)=-=-=-e*-1 x (ex-l)x (ex-l)x令 g(x)=(x-l)e+1,g(x)=e +(x -l)e =x e*0g(x)在(0,+8)上递增，.g(x)g(0)=。，./(x)0,f(x)在(0,+8)上单调递增.(2)由 a“+i=/()=ln(e%1)一 In%=an+l要证a,川 卷，只需证%an+i 即证：an Inf e0

11、-1)-In an an,ert +1,/.an+i-InCe0-1)-In an In an-In=0 an 0eH -1 ea-1先证左边：In-an -0)=证 e-l 0令/?(x)=xe*e、+l,/z(x)=xex0,在(0,+s)上递增，./(x)0)=0,得证.AA 1 1 X X再证彳边：In-(-2x 即证什ex i i rP2 Px YP2A C e xe-i uX X X(X、令“(x)=e-x e i-r 印 =e*-e2-e2=e2|e2.H(x)在(0,+)上 递 减,H(x)/f(0)=0,也得证.综上：对 V“wN*，anan+l an,an an+l.49.

12、(2022江苏常州高三期末)已知函数/(x)=a*x(x 0),其中al.(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线平行于X轴，求。的值；(2)当aNe(e为自然对数的底数)时，求 函 数 的 零 点 个 数 并 说 明 理 由.【答案】(1)a=e；(2)答案见解析.【分析】(1)由已知可得,(1)=0,可得出关于实数的等式，即可得解：(2)由/(x)=0可得出等=卓，将问题转化为直线y=/与曲线g(x)=的交点个数，利用导数研究函数g(X)=吐的单调性与极值,然后分=e、a e两种情况讨论，数形结合可得出函数f(x)在(0,+8)上的零点个数.(1)解：因为f(x)=a*-x ,其中x 0,

13、则/(x)=a*lna-axT,由已知可得/(l)=alna-a=(lna-l)=0,因为a l,解得a=e.(2)解：因为x 0,由可 得 也=也，a x问题转化为当a N e时，直线卜=等 与曲线g(x)=(的交点个数.g(x)=E?，由g(x)=。可得x =e.当0 x 0,此时函数g(x)单调递增，当x e时，g，(x)l时，g(x)=0,作出直线卜=皿 与曲线8(耳=止 的图象如下图所示:x a x由图可知，当“=e时，直线、=等与曲线g(x)=当 的 图象只有一个交点，此时函数/(力 在(0,也)上只有一个零点；当a e时，0 g(“)e时，函数/(x)在(0,+R)上有两个零点.

14、e*一 15 0.(20 22江苏无锡高三期 末)已 知 函 数=(e为自然对数的底数).e+1Q 1(1)若 不 等 式/(幻 恒成立，求实数X的取值范围；e+1(2)若不等式/(x)1；【分析】(1)先判断了(X)在R上单调递增，再利用单调性解不等式得解；已，1 1 1 1(2)等价于-ax+a n2 1 7?e _ 1解：/(x)=J,由复合函数的单调性原理得X)在R上单调递增，由/(%)J得e1+1 ev+1 e +1三1三1,即/(X)/,ml.e +1 e +1(2)e _ I 1解：-ax+a l n 2 0 对 D x c (In 2,+8)恒成立er+l 3人 z、eA-l

15、-1 ，/、2 ex令g(x)=j_依+l n 2一,+2 evn-eA)g (x)=-一/0，.g(x)在(ln 2,y)上单调递减，(e +1)4 gr(x)gr(ln2)=-af44若一一a W O,即a 2 2 时，/()0在6(1112,+8)上恒成立，则g(x)在(出2,内)上单调递减，99g(x)0,ll|J ci 0,g(x)在(ln2,+oo)上单调递增，g(x)g(ln2)=o这与题设矛盾，舍去.4(i i)若 则存在 与 使 ga)=0,且当 x w(ln2,x()时，g(x)0,g(x)单调递增，此时g(x)g(ln2)=0这与题设也矛盾，舍去.综上：实数。的取值范围为

16、4-9,51.(2022江苏如东高三期 末)已知函数五%)=。一地)+蛆(?6 阳.(1)若?=0,求函数7U)在 x=l处的切线方程；(2)若7(x)K),求，”的取值范围.【答案】(1)ex-y=0；(2)m-e.【分析】(I)求出导函数/(x),计算出了 ，再得出/可得切线方程；(2)不等式用分离参数法变形为 亚 照 士 也 恒 成立，设g(x)=e*(l n x-x),利用导数求得g()的最大X X值即可得.(1)f(x)=ex(x-lnx),则 f x)=ev(x -In x)+e (1 -)=ex(-+1 -In x -),x xr(l)=e,又=所以切线方程为 e =e(x-l)

17、,即 e x y =0；(2)函数 f(x)的定义域是(0,4-O Q),/(x)=e (x -In x)+m x 2 0 恒成立，所以m2 cp nx 一 幻 恒成立,x设 g*)=32,Xe (l n x T+g l).K ln)_ eg)(ini一 1),x x1 1 Y设/z(x)=l n x-x-l,则()=上-1=，0 0,/i(x)递增，x l 时，h(x)0,/i(x)递X X减，所以人(X)m a x =力=-2 0时，l n x-x-l 0恒成立，因此0 x 0,g(x)递增，X 1 时，g(x)_ e.X52.(2 02 2山东日照高三期末)已知函数x)=l n x-o

18、x+Z?,中a,e R.(1)当。0时，求“X)的单调区间；(2)若a =l,b e 0,2 ，8(x)=H-x l n r-l,对任意实数x e l,e ,/(x)2 9(x)恒成立，求的最大值.【答案】(1)/(x)的单调增区间为(0,5),单调减区间为(：,+8)(2)0【分析】(1)直接利用导数讨论函数的单调性；(2)利用分离参数法得到左4(处+l n x-l +空)*，其中x w l,e .X X设 g(x)=(+l n x-l +”,贝 i g，(x)=9手，即 g，(x)=*Q .讨论/(x)的单调性求出g(x)m i n =In /得到 k-2b 0 时，令1-以=0 解得：x

19、=,a所以当a e(0,1)时，Z(x)0,/(x)在(0,上单调递增：当a e ,+a )时，/(可 -l .下面讨论/(x)在x e 1,e 上的零点：若6-1 W 0,即046 41.此时/(x)40,g(x)0,g(x)在x w l,e 上单调递增.故4 V g(x)m m =g(l)=，即&力=-6 4 0：若b+l-e N O,e-b 2.此时/(x)2 0,g x)4 0,8 在工小同上单调递增.，故&4g(x)而n=g(e)=卓所以A:-2 -2/2 -2|x(e-l)+-=3 +-2 e 0,e)=。-e+l 0.故存在4 e(,e),使得了小)=0,所以g(x)在 x l,

20、为)上单调递减,在x e(七,e)上单增.故&4g(x)m i n=g(x o)=+m%+=l n x o +-!-,玉)/%0又/(A o)=1 啄一为+h=0,所以左一2 b 4 nx0+-2b =3 nx0-2x0+.令(x)=3 In x-2 x +，,则(力=-y+-2 =-j -1 -2 j,x e l,e ,x x x x y x j所以(x)0,所以(x)在(l,e)上单调递减,k-2 b -2b h()=-,e综上所述：4-乃 的最大值为0.【点睛】导数的应用主要有：(1)利用导函数几何意义求切线方程；(2)利用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；(3)利用导数求参数的取

21、值范围；(4)利用导数证明不等式53.(2 02 2湖北高三期末)已知函数f(x)=e T(x+l).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)设4/为两个不等的正数，且，2 皿，|T j n q =乙-2 0 恒成立，求实数4 的取值范围.【答案】(1)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减(2)/1 1【分析】(I)首先对函数求导，令导数大于零，求得增区间，令导数小于零，求得减区间；(2)令 =1 ,*2 =皿,将式子-“n f?=%-匀转化 为 华=玉 孝，实数与，三满足不卜)且e 1 e 2(1)因为尸()=-疣 7,所以当x e(T,0),r(x)0,/(x)在(-8,0)上

22、单调递增，当 x e (0,内),/(x)0,/(x)在(0,+o o)上单调递减.(2)令 X i =l n?1,x2=I n?2,则 t2 I n 4-r.I n t2ao ex-xx-ex x2=eX|-e-X|%依题意得实数不占满足/(%)=/)且不等式+4%2 0 恒成立,由 及(1)知一 1 X 0 工 2 恒成立，由芭 士及(1 )知一 1 c xi 0 犬 2 。恒成立知AX2 -x,所以X 0,一?0,A土2乂函数 X)在(0,+00)单调递减，./(%)-又/(%)=)，所以/6)/，即直e,-2+1里 上 一两边取对数得X l n Q一(1 +九)X 0对xe(-LO)恒

23、成立,此时尸(x)在(-1,0)上单调递增，故尸6)/(0)=0恒成立，符合题意,当2 w(0,l)时，2-1 e(-1,0),则xe(4-l,0),F (x)尸(0)=0,不符合题意.综上所述，21.法 2.r i aX-.-+1 =X,+1 n e*.*_v=X,+1公出炉 9 x,+l令，f f 八。)，则 行所以不等式占+4赴*0 0l+l-e (I)e +1:-1 4-：-e -le 1-l2 0 =4(f-l)e -e +r +zl +l N O令h(t)=2(z-l)e,-e,+r +2 +l(r 0),依题意h(t)0恒成立.g Q)=h(t)=Ate-e+1,g (f)=A(

24、t+l)e -e =(加+2 -l)ez当4 2 1时，g )2 0,1 )递 增,从而 “(0)=0,所以在(0,e)上 递 增,故力0恒成立.当0 /1时，由g (/)0得o r一，所以“在(0,一上递减,所以，/?()=0,/?)在(0,一上递减,故V。，号，(0)=0,不合题意.当;I V O时，由王0知芭1.54.(2 02 2广东清远高三期末)已知函数/(x)=e*T-a(x-l).(1)讨 论 的 零 点 个 数.(2)若/)有两个不同的零点片,巧，证明：%+4.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解

25、;(2)将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.(1)因为/(1)=1X0,所 以1不是八。的零点.当/(x)=e i-a(x-l)=0,可变形 为=0,令g(x)=，则f(x)的零点个数即直线y=”与g(x)图象的交点个数.(X 一 2)因为g (x)=,、，g (x)=0,得x=2,又xw l,所以g(x)在(F,1),(1,2)上单调递减，在(2,+O上单调递增.因为g(2)=e,且当x l时,g(x)0,所以当a e 0，e)时，/(x)没有零点；当a e(Y O,0)u(e 时，/有一个零点;当a e(e,+o o)时，/(x)有两个零点.(2)证明：由(1)知，当a e(e,+o

26、 o)时，f(x)有两个零点.设占%,则用 4,即证1 2 4%.因为 2,4-%2,且(x)在(2,+8)上单调递增，所以只需证()(4一百).因为(瓦)=/?(%),所以即证/?(%)力(4一为).令 F(x)=h(x)-(4-x)=x-l n(x-1)-(4-x)+l n(3-x)=2 x-4-l n(x-l)+l n(3-x),XG(l,2),则 尸=2-+2(x-2 y F(2)=0,所以(x)-(x 4)0.因为为(1,2),所以故为+4.55.(2 0 2 2广东揭阳高三期末)已知函数/(x)=A e*-a x-a l n x+a.若 a =e,判断函数/(x)的单调性，并求出函

27、数“X)的最值.(2)若 函 数 有 两 个 零 点，求实数。的取值范围.【答案】(1)在(0,1)上单调递减，在(1,收)上单调递增，最小值为/(l)=e,无最大值(2)(e2,+o o)【分析】(1)把。=e 的值代入函数“X)的解析式，从而根据导数判断函数的单调性，进而可求函数f(x)的最值；(2)利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求函数的最小值；根据题意列出满足条件的。的不等式,从而求出。的范围，然后验证即可.(1)易知函数的定义域为(0,+8),当 =e 时，/(x)=x ev-e-e l r i Y4-e ,所以尸()=(+1)6，_ _：=(+1)卜-：),当x 0,l)时,

28、r(x)0；所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,一)上单调递增：由此可得，“X)的最小值 为 l)=e-e-e l n l +e =e,无最大值.(2)因为/(x)=W o x Hn x+q ,所以/(x)=(x+l)e*=(x+1)卜-.当“V O 时，/(x)0 在(0,+8)上恒成立，所以“X)在(0,+8)上单调递增，故可得函数/(x)至多只有一个零点，不符合题意：当。0 时，令e*-3=0,设该方程的解为看,X则在(0,%)上，r(x)v 0；在5,+o o)上,/,(x)0,所以f(x)在(0,为)上单调递减，在(,+)上单调递增；为了满足/(x)有两个零点，则有%)=为e

29、&-时,-41 叫+。0 因为方是方程/-色=0 的解，所以x 0 e*=a,两边取对数可得1 叫+与=l n a ，X将式代入式可得”为)=。(2-1 加)l,/(l)=e-a +a =e 0,所以/(x)在(O,x()上仅有1 个零点；当x f+8时，x)f+o o,故可得/(x)在(%,)上仅有1 个零点；综上，若函数/(X)存在两个零点，则实数。的取值范围是56.(2 0 2 2广东汕尾高三期末)已知函数/(x)=l n x-a x+l,是常数且a e R.(1)求曲线y =/(x)在点P(1 J)处的切线/的方程；并证明：函数/(x)=l n x-a r +l(x x l)的图象在直

30、线/的下方；(2)已知函数g(x)=；a r 2 _ /(x)+a r 有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)(l-a)x-y =0,证明见解析；(2)0 a e【分析】(1)由导数的儿何意义和点斜式可求切线/的方程(l-a)x-y =0；可构造/(x)=f(x)-(1-a)x =l n x-x+1,结合导数证明力(x)0 即可；(2)由已知化简得g(x)=:a x 2-n x _ l,求得g，(x)=厩-_ 1,对参数a 进行分类讨论，确定函数的增减区2 x间与极值，可得当0 a e 时，m,l i n 0),“-1,x当O v x v l 时,(x)O,(x)在(0,1)上单调递增

31、,当x l 时,/?(x)0,旦X R 1 时，I n x x+l 0,即I n x -ar+l(l-q)x,即函数/(x)(x w 1)的图象在直线/的下方；(2)g(x)=；ax 2_ x)+ax2-l n.r-l,%e(O,-H ),g，(x)=a r-LX当aMO 时，g (x)0时，g(x)=ax xax-1令g (x)=O,得 彳=亚 或 一 血(舍去),；.0 x当 时，g，(x)乎 时,g，(x)O,g(x 当,内 上单调递增,7.x =1 2为函数g(x)唯一极值点，且为极小值点,a，g(x)m M=|(I n a-l),：.函数g(x)在定义域(0.+O O)上有两个零点必

32、须满足g(x)m i=-(l n a-l)0,0 a 卜面证明Ova e时，函数g(x)有两个零点,VO a 显=,g T|=_ L a T|-l n-l =-0,a e e yeJ 2 e 2e.6 6 ax1-x(当且仅当 x=l 时等号成立),23 3八=0 ,a 2a0,故函数g(x)在存在一个零点,综上所述：0 a 0两种情况，利用导数研究函数的单调性,即可得出函数 力 的单调性；(2)根据题意，将原不等式转化为eM-i+lna+x-lN lnx+x=eM，+lnx，令g(x)=，+x,即g(hw+x-l)N g(lnx),根据g(x)的单调性解不等式并分离常数得出In aN ln

33、x-x+l,构造新函数/z(x)=ln x-x+l,利用导数研究(x)的单调性和最值，从而得出实数”的取值范围.(1)解：由题意得了(力=四1 1,当aVO时，x)0时，当x l-ln a时，/,(x)0,当x l-ln a时，/,(x)0时，函数f(x)在(1-Ina,抬。)上单调递增，在(3,1-Ina)上单调递减.(2)解：原不等式为ae*T_121nx Ina,等价于/m+ln a +x-lN ln x+x U ln x,令g(x)=e+x,上述不等式等价于g(lna+x-l)2g(lnx),显然g(x)为单调增函数，.又等价于lna+尤-iN ln x,即InaWlnx x+l,令(

34、x)=lnx-x+l,贝=在(0,1)上，(x)0,网力单调递增;在(1,m)上,/(x)0,/i(x)单调递减,所以InaN O,即aZ l,.实数。的取值范围是口，+2.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出 g(x)=(x+0(e，-2?),分加4 0、0 m m -y m =讨论且(1)的单调性即可；(2)令/(x)=x e，/n d =0得e，=优，代入对刍两式相除得，e z=土，设令/=刍-%求出=,反解出玉=士，则再+电=工+，即 证 工+f 2,等价于证明：2r+(r-2)(e,-l)0,X e 1 e 1 e 1构造函 数 咐=2/+-2m-1)(0),利

35、用导数求出单调性可得答案.(1)g(x)=A ev mx2 hnxx&R),g (x)=(x+l)(e*-2?)，时，ex-2 m 0,当x-l时g (x)0 ,g(x)是单调递增函数，当x T时g (x)0时，令g (x)=O,得与=-1,9=l n(2m),当-l l n(2加)即0 相-l或x 0 ,g(x)是 单 调 增 函 数,l n(2/n)x-l时g x)0,g(x)是单调递减函数,当-l l n(2加)即?时，x l n(2m)时g (x)0 ,g(x)是单调增函数，-l x l n(2m)时/(x)0,g(x)在xeR上是单调增函数,综上所述“M0时，g(x)在(-1,+功是

36、单调递增函数，在(,1)上是单调递减函数；0 ，”0,所以e /n r,4,F(x)=ex-m r(x 0),/?(A;)=O,F(X2)=O,两式相除得，%，%不妨设七 为，令t=xX ,贝h 0,x2=?+%,，代入得：e=4,反解出：=工，则芭+&=2芭+/=+/,$e-1 e-12t故要证玉+2即证二二+f 2,又因为e -l 0，e 1等价于证明:2/+(r-2)(e,-l)0,构造函数仲)=+-2乂1-l)(f0),则ht)=(r-l)e+1,h(t)=te0,故h(t)在(0,+8)上单调递增,h(t)/0)=0,从而K t)在(0,+8)上单调递增，/?)/7(0)=0.即 x

37、1+X22.59.(2022江苏通州高三期 末)已知函数凡t)=sinx+tanA-2 2%.当。=0时，判断并证明式x)在 卜 去 上 的 单 调 性；T T(2)当X G(O,万)时，,)0,求a的取值范围.【答案】(1)函数Ax)在 卜 宗 上单调递增；(2)(-oo,0【分析】(1)求函数/(x)=sinx+tanx-2x的导函数，判断其值为正，由此完成证明；(2)先证明s in x l,0。COS2X：.fx)c o s x+-2cos2x+-2 2 0(当且仅当x=0时等号成立)C O S X C O S X 函数府)在卜会9上单调递增；(2)令;?(x)=sin%-x,则 p*(

38、x)=c o s x-l,T T J T当xe(0,0时，p(x)0,所以p(x)=s in x-x在(0,1)上单调递减，T T又。(。)=0,所以P(x)0,故x e(0,5)时，sinx。,当 a 0时，/(x)=sinx|1 +-!-ax2-2xx 1 +-|-cos 1 ；2于是 f(a)(-cr-1)=(1-6Z2 cos a-cos d),cos a cos a2而 1 -6 cos a-cos a=2sin2 a2 cos a-a1 cos a=a1(cos a)02 2 2/()0,不合题意,综上，满足条件的的取值范围为(Y,0.60.(2022江苏宿迁高三期末)已知函数f(

39、x)=lnx,g(x)=ar+1-5.(1)证明：(2)若函数x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)(0,3).【分析】(1)构造函数尸(x)=lnx-五，利用导数求得F(x)a 0,问题转化为直线y”X X X X X与函数(x)的图象有两个交点，利用导数分析函数(X)的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.(1)解：要证/(x)4,即证：当XW(O,M)时，不等式In尤&0恒成立.令尸=则 F(X)=L%=上 正，X 2x故当0 x0,F(x)单调递增；当x 4时，F(x)0,尸(x)单调递减.则 F(xL x=F(4)=l

40、n4-20,则 小)，1:*+3 =4-4 皿,X X X当O vxvl时，4-4x0,lnx 0,此时函数(x)单调递增，当11时，4-4x 0,则”(x)l 时，(x)5x-20,当0 x：时，o(x)5 x-2 0,故存在时，使得(与)=0,即/?(%)=0,作出函数力(x)与 尸。的图象如下图所示:由图可知，当0“3时，函数/z(x)与y=的图象有2个交点，因此，实数。的取值范围是(0,3).【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：(1)宜接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数

41、的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；(3)参变量分离法：由x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线产。与函数y=g(x)的图象的交点问题.6 1.(20 22.山西运城市景胜中学高二阶段练习)已知函数x)=a co sx+b e*(a,A e R),曲线y=x)在点(O J(O)处的切线方程为=一匕(1)求实数a,b的值；(2)当x e-时，/(x)c(ce Z )恒成立，求c的最小值.【答案】(1)。=1,b =(2)1【分析】(1)求出导函数/(X),由/(0)=1,/(0)=0求得1；

42、(2)求出导函数/(幻，并设g(x)=,f(x),再求导函数g (x),确定了*)的单调性，得/(元)存在零点方,即/*)的极大值点，求出/(%)的范围，再由不等式恒成立得。的范围，最小值.(1)因为/(X)=-a sin x +b ex,所以=1f(O)=a+h=Oa=1解得 0,e、0，所以g (x)。；当X (一1,+8)时，-1 C O S X 1,所以g (x)v。.所以，当-,+8 时，g (X)0,g(x)即/(X)单调递减.IL 1/2因 为 以0)一e 2,所 以 曾 。.所以女,e(-?，。)使 得/(为)=一sin%-e*=0,即e&=-sinx().所以，当x e 卜寸

43、，_f(x)0,/(x)单调递增；当了 玉,+00)时，f x)-e&=co s 与+sin X。=&sin(x(+?).因为飞(-(,0),所以a+(w(0,9,所以sin(%+?)w 所以/)w(O,l).由题意知，c f(xQ),所以，整数。的最小值为1.6 2.(2 02 2山东济南高三期末)已知函数/(x)=e*+i+(l-a)x+b.(1)若曲线y=/(x)在(O J(O)处的切线方程为丁=,求实数a,b 的值；(2)若不等式/(x).O 恒成立，求2的最小值.a【答案】(1)a-,b =-e(2)T【分析】(1)根据题意可知/(0)=0,r(0)=e,从而可得出答案：(2)不等式

44、/(x).O 恒成立，即/(刈.之。即可，求出函数的导函数，分l a 0,1-=0,1 a 0,即a 0,f(x)在 R上单调递增，因为当 x c-1 时，x)(l-a)x +b +lV(l-a)x +例+1 ,所 以 取%=-1-此-1,贝 厅(%)0,f(x)在 R上单调递增，b h若不等式/(x)=e、”+b N 0恒成立，则力N0,所以 2 0,即士的最小值为0;a a(iii)若 1一。l时，令/”(x)0，解得,令/解得,所以“X)在(Y n(a-1)T 上单调递减，在(加(。-1)-1，+8)上单调递增；若不等式/(x)2 0恒成立，则/(ln(a-l)-l)=2(a-l)+(l

45、-a)ln(a-l)+b N 0,即6 2 2(l-a)+(“-l)ln(a-l),所以。2 2 0-。)+(。-B M。-1)；a a设a-I=r (f 0),则 2(-a)+(a T)m(a T)=(lnL2),a r+l设g-Q；2)(f 0),则g )注意到()=f+ln/1 为增函数，/(l)=0所以当fe(O,l)时，g 0,g(f)单调递增,所以g(f)2 g(1)=-1,此时。=2,即，的最小值为T,综上所述2的最小值为T.a6 3.(2 02 2山东莱西高三期末)已知 0,b Q.(1)求/(x)在 0,+)上为减函数的充要条件；(2)求 y=f(犬)在(f,+)上的最大值：

46、(3)解关于x 的不等式：ln(l+Jsin2 x+co s2 x)+l2 Jsin2 x+co s2 x +ln2.【答案】(1)0 a blnb,0ab(3)x k 7r4 x W k jr 或 k/c +W x W k冗 +二,k e Z 8 4 8【分析】(1)先对函数求导，然后由f(x)4 0可求出结果，(2)设/-e Q+oo),则问题转化为求y=/(。在fe。y)上的最大值，然后分0 8 两种情况求了的最大值即可，(3)取a =6 =l,则/(x)=ln(x +l)-x,由(1)可知Ax)在 0,+8)上为减函数，将原不等式转化为/(V sin2 x +co s2 x)/(l),

47、从而可得 Jsin2 x +co s2 x M l,进而可求得结果(I)由 x)=ln(a r+A)_x,得 f(x)=-1 =,x e 0,+o o),ax+b ax+b充分性：因为x N 0,a 0,b 0,所以当f(x)W O时，a-b 0,即0。(匕，必要性：当0。0,8 0,所以o r+Z?0,a 。-OYW O,g p/(x)0,所以x)在 0,+e)上.为减函数的充要条件为0 W b,(2)设/=,0,+o o),则问题转化为求y=/(f)在，w 0,4 w)上的最大值，由(1)可知，当 时,/在Z w。”)上为减函数，所以yma x=/()=lnb,当、“冷时 ，八，、)=力a

48、-t 下a-b工-a t由于0 4 f 0,则/Q)在 0,a_a-ba上为增函数，当r F时，/，则/在入上为减函数,所以%=/1 a-b=na-a综上，V ma x(3)lnb9Oaba取 a =b =l,则/(x)=ln(x +l)-”,由 In(1+Jsin2 x +co s 2 x)+1 Jsin 2JC+C O S2X+ln2 ,得In(1+Jsin2 x +co s2 x)-V sin2 x +co s2 x ln2-l,所以/(/sin2 x +co s2 x)2 /(I),由(1)可知，(%)在 0,+o o)上为减函数,所以 V sin2 x +co s 2x 0，明sin

49、2 x+co s 2 x 1y/2 sin(2 x +?)之0V 2 sin(2 x +j 12k/c 2x+2k7r+IkTT+2 x 4-/(l),再利用函数的单调性可求得结果，考查了数学转化思和计算能力，属于较难题6 4.(2022山东淄博高三期 末)已知函数.f(x)=e(x2+o x+l-a).(1)讨论 x)的单调性；(2)当a=l 时，若/(，)/()J(z)=1,试比较l n m +ze，l n，z+e,l n z+?e 的大小，并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)Inmn+ze:nmz+ne.nnz+me!【分析】(1)分类讨论T V a W O,a 0 两种情况，利

50、用 导 数 得 出 的 单 调 性；(2)由(1)得出函数/(X)在(z,+o o)上单调递增，进而得出构造函数g(x)=l n x-xe,利用导数得出g(M g 5)g(z),进而得出大小关系.(I)f(x)=ex x2+(a+2)x+1 当+4。0,即-4 a 0,则八幻一。故函数/(力 在(F,y)匕单调递增.当。0 时，方程 Y+或+2)x+1=0 的两根为丁 =-2四,X：=当 XVX1 或 时，/(x)0；当 v xv 看时，fr(x)0.故函数/(穴)在(-不)和(天,”)上单调递增，在(芭,/)上单调递减.(2)(3+石)2+V5 2+62e 2当4=1时，X=-与 叵，当=与