2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题34线性规划含解析.pdf

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1、专题3 4线性规划学习目标【学习目标】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合.二.知识点总结【知识要点】1.二元一次不等式表示的平面区域（1）二元一次不等式+故+0 0 在平面直角坐标系中表示直线4 x+/+C=0 某一侧的所有点组成的平面区域（半平面），不包括边界直线.不等式A x+B y+C Q所表示的平面区域（半平面）包括边界直线.（2）在平面直角坐标系中，设 直 线 加+如+

2、kx+b表示直线上方的半平面区域y0B0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域Ax+By+CVO表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域联系：将Ax+By+C=O表示的直线转化成y=kx+b的形式即是第一种.第三种：选特殊点判定（如原点），取一点坐标代入二元一次不等式（组），若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略（1）解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；移：由z=aX+by变形为y=-表+今 所求z的最值可以看成是求直线丫=一声+旌y轴上的截距的最值（其中a,b是常数，z随x,

3、y的变化而变化），将直线ax+by=O平移，在可行域中观察使注最大（或最小）时所经过的点；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值;答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.四.命题陷阱类型分析1.简单的线性规划x+y lA.2 1 B.1 7 C.1 4 D.5【答案】B【解析】作可行域为如图

4、所示的 C,其中/(L 5)田(U),C(4,2),设z=2x+3y,则y=-x+-z ,表示斜率为一:，纵截距为;的直线，作直线=g x并平移，使其经过可行域内的点,3 3 3 3 3当直线过点X(L5)时，z取得最大值，2皿=2x1+3x5=17.故选X K尤21练 习 1.已知实数X,y满足 x 2y+l0,则 z =x+3y的最大值是()x+y W317A.4 B.7 C.8 D.3【答案】B【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过点B（l,2）时，z =x +3 y最大，即z =l +6=7,故选：By 3x-l2.已 知 实 数 满 足 x+y Q例2已知 实 数x、y满 足 x

5、2y+4 2 0 ，求2=区的 最 大 值 是（）x+13x-y-3 W 0157A.9 B.C.3 D.7 15【答 案】C【解 析】2x+y-2 0由线性约束条件 x-2 y +4 2 0作出可行3 x-y-3 0域如图,2=答的几何意义为可行域内的动点与定点耳-1-1）连线的斜率一斤1%=2_(T),.1 -(-1)2%0-(-1)”誓的最大值为3故选C.x-y+21 oA.6 B.3 C.-D.15【答案】A【解 析】画 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域（如图阴影部分所示）.q表示可行域内的点M（x,y）与原点连线的斜率.结合图形可得，可行域内的点A与原点连线的斜率最大.由

6、，解得 ,故得A（l,6）.x-y=6所以（上=M=6,选 A.I%/m ax练习2.实 数 满 足 d+y2+4x+3 =0,则上的取值范围是（）XA.B.（0 0,有 M 3+8）C.D.【答案】C【解析】设）二h即kx-y=Q,x由圆方程，+/+以+3 =0,得到（x+2）2 +/=1得到圆心坐标为（-2,0）,半径广，由题意,圆心到直线的距离 金,即-=Q，解得：等“邛,则女的取值范围是一 理、故选：c.【方法总结】：利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(以+公，型)、斜 率 型(上 了 型)

7、和 距 离 型(x +a+(y +0)2 型).(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.3.已 知 实 数 满 足 x+2y-5W0,求 以=9匕 的 取 值 范 围 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】4,_ 3 _【解析】作出可行域如图所示：令t=1表示可行域内的点(x j)到原点的斜率，由图联立直线可得A(L2)1(3)=t c N1=色宜=，+2孙+/=*+2=t+1+2.孙 y y x t易知=t+；+2在；单调递减，在 L2单调递熠.t=时,u=,t=

8、lB寸,徂=4,t=2 时，”=3 3 2所以 G .故答案为：4,._ 3 _【方法总结】：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.与距离有关的线性规划x 2 所表示的平面区域记为M,不等式x-y+2 0(x-4)2 +(y-3)2 l 所表示的平面区域记为N,若在M 内随机取一点，则该点取自N的概 率 为()A.B.-C.-1)

9、.-1 6 8 4 2【答案】Ai 7E 7【解析】M的面积为一x 4 x 4 =8,半圆的面积为一，故概率为一.2 2 1 6x 0练 习1.设点P(x,y)是平面区域 x+y +140内的任意一点，则炉+)2-4的最小值2 x+y +2 2 0为()19A.B.1 C.D.522【答案】B【解析】作可行域如图，x2+y2-4 x=(x 2 +y 2 _ 4 =A/p 2 4，其中M (2,0),因为四4=亚 =石 二x2+/-4x的最小值为5-4=1,选B练习2.M在不等式组 3 x +4yN4所表示的平面区域上，点N在曲线y-3 0/+y 2+4 x +3 =0上，那么|M N|的最小值

10、是()1 2前 八2加,c ,A.-B.-C.-1 D.12 3 3【答案】D【解 析】如图，画出平面区域（阴影部分所示）,由 圆 心c（2,0）向直线3 x+4 y 4 =0作垂线,圆 心。（一2,0）到 直 线3 x +4 y 4 =0的距离为|3 x(-2)+4 x 0-4|3=2,又 圆 的 半 径 为1,所以可求得|M N|的 最 小 值 是1.故 选D.【方法总结】利用线性规划求最值的步骤:（D在平面直角坐标系内作出可行域.（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型（火+外 型）、斜 率 型（1三型）和距离型（x+a）2+（y +O）2型）.（3）确定最优

11、解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.%y +2 2 03.若 实 数 满 足 不 等 式 组 x +2 y 420，且3（x a）+2（y+l）的最大值为5，则a等2 x+y-5 0于（）A.2 B.-1 C.-2 D.1【答案】Ax-y+2之0【解析】实数x,y满足不等式组（4+2丁-4之0,的可行域如图:2x+y-5 03（x a）+2（y+l）=3x+2y+2-3a 的最大值为：5,由可行域可知 z=3x+2y+2-3 a,经过 A时，z 取得最大值,x-y+2=0由 ，可得 A

12、（l,3）可得 3+6+2-3a=5,2x+y-5=0解得a=2.故选：A.【方法总结】：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.对于实数x,定义国是不超过x 的最大整数，例如：2.3=2.在直角坐标平面内,若（x,y）满足x-1 2+y=4,则（x+2）2+V 的最小值为【答案】2 解 析 .x _ iy+y _ l2=4x-l=2y-i=o或者x-

13、1=0y-l=2即-2X-1-1BJC2X-130 y-i 1或0 x-l l-2 y-l-lsK 2 y-l25.P(x,y)满足 xy-lW 0,则/+产的最小值为x+2yQ,例 4.若 实 数 x,y满足 y x,且 z =2x+y 的最小值为4,则实数6 的值为（）y-x+b,A.1 B.2 C.-D.32【答案】D【解析】作出不等式组对于的平面区域如图：且 y=-2 x+z,则直线y=-2 x+z的截距最小时，z 也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=-2 x+z 的上方,=4=0;,解 得 广 y=2即 A （1,2）,此时A 也在直线y=-x+b 上,即 2=-1+b,

14、解得b=3,故选：D【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.y 0练 习 1 设不等式组（x+y W l ,所表示的区域面积为Sw R）.若 S W1,则（）y m xA.m -2 B.-2 m 0 C.0 m 2【答案】A【解析】如图:当了+丁=1 与 y=式交点为（-1,2）时面积为1,此时加=一2,若 S W1则/w W-2故选Ax-y 0练习2.已知不等式组 x+y NO表示平面区域的面积为4

15、,点 P（x,y）在所给的平面区域x0A.1 0 B.8 C.6 D.4【答案】A【解析】根据题意画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数化为7 =-2 x+z,当目标函数过点(3 e)时，有最大值1 6,此时6+。=16=。=10.故答案为：A o5.目标函数含参数3 x-y-6 0)的最大值为x 0,01 8,则a的 值 为()A.3 B.5 C.7 D.9【答案】A【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为y=-a x+z当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z=4 a+6 =1 8 n a =3.故答案为：A.x+y 2 0,练 习1.若不等式组 x

16、-y +2 2 0,所表示的平面区域被直线/：皿-y+根+1=0分为2 x-y-2 0练习2.已 知 实 数 满 足 约 束 条 件 x 2 y-2 W 0 ,若z=x-a y(a 0)的最大值为4,x+j-2 0由约束条件 x 2 y 2W0作出可行域如图,x+y 2 0)x-2y-2=Q为 丁=二x 一7三.当直线y=Xt-7三.过A或8时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值.ci ci a a把A(2,2)代入z=2 +2 a =4,得a =3,符合题意；把3(2,0)代入得z=2/4 ./.a =3.故选C.x+3 y 21,若目标函数z=x+i ()取得最”0,大值的最优解有无数个，

17、则z=-x+6 y的最小值为()A,4 B.-3 C.2 D.1【答案】Bx z由 z=-x+a y,(。0)得 y=十 a a；a 0平移直线=二+4，由图像可知当直线y 和直线y=X+i平行时，此时目标函数取得最大值的a a a a最优解有无数个，此时1=1a.z=x+y二当经过点(3,0)时，z取最小值-3故选Bx-y+l 0,4.设 变 量 满 足 约 束 条 件 x-2 y 0,若目标函数z=+y取得最大值时的最优2x+y-4 0,因z=or+y取最大值时的最优解不唯一，故取最大值时动直线c+y-z=0与直线2 x+y-4=0重合，此时。=2；当。0,即a 平面区域满足条件,若-a

18、时，要使平面区域在直线丫=ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+l4 4,3 3/3/310 a -a 0例 6.已知实数x、y 满足：x 0A.-,5 B.0,53C.0,5)D.-,5)3【答案】Cu+1【解析】画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令 u=2 x2 y1,则y x ,1 2 5先画出直线尸x,再平移直线y=x,当经过点4(2,-1),B0,5)时，可知一、W u 5,二z|z/|e 0,5),故选 C.练 习 1.实数x,x 3y+4 W 0,满足 小，目标函数z=x 2 y 的最大值为()y|x-3|+lA.1 B.-1C.2 D.-2【答案】B【解析】x

19、 3y+4x+2练习2已 知 实 数 满 足 x+y lA.6 B.5 C.4 D.3【答案】CyX+2【解析】由约束条件 x+y 6 作出可行域如图,xy=x+2联立 ,解得A (2,4),y=6z=2 1 x-2|+|y|=-2 x+y+4,化为 y=2 x+z-4.由图可知，当直线y=2 x+z-4过 A时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4.故选：C.y 73 x、|2x-3+4|3.己 知 实 数 满 足 x+3 y 1 3 ,则 z=的最小值为（）x y+l【答案】D【解析】由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示,设 z=2x 3y+4,当解得x=L y=4,此时z

20、=2xl-3x3+4=-6,x+3y=13则|z|=6,此时z=（；必 取 得 最 小 值，最小值为z=（；Jq,故 选D.4.若 满 足 约 束 条 件 2 x y N O ,则|x2 y 4|+2 x 的最大值为（）（2 x+l）（x-l）0A.3 B.7 C.9 D.1 0【答案】C【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），1 3由可行域可知，一一 x l,-y 2,2 2 x 2 y 4 0)上任意一点 P(x,y),|3x-4y+6|+|3x-4y-9|的 取 值 与 无 关，则实数厂的取值范围是()A.rl B.r C.l r2【答案】B【解析】令3x-4y=f,则等价

21、于|/+6|+”9|的值与f无关，所以-6 r 9,即一6W 3x-4y26.变 量 满 足 约 束 条 件 2x+yW4，则目标函数z=2刎*T 的取值范围是()4 x-y -lA.I，9 B.-1,6 C.-2,3 D.2,512【答案】D【解析】不等式表示的区域为如图所示的阴影部分,三个交点坐标分别为(0#别，(2,0).目标函数m=3国+仅一3|=3x-y+3,B P y=3x+3-m目标函数过0)时,取得最大值为9,过 时,取 得 最 小 值 为,，3目标函数加=3|x|+|y 3 的取值范围是1,9则z =2驷由T的取值范围是 2&,51 2 .本题选择。选项.7.设 满 足 约

22、束 条 件 .I.,2x+y2则z =|x|+|y|的最大值是【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.=N+N=x+y,且当直线经过点A（o,2）时Z有最大值2,故可得z =W+|y|的最大值为2.答案：27.其它的非线性规划x 0）过点4（56,5）,若可行域 尤一y NO的外接圆”0直径为2 0,则=.【答案】1。小由题意知可行域为图中。岱及其内部，解得胤孔 0)J 1 =J s-5后)2+25,又由叱4。巳=军，则/N g30。，3由正弦定理得 AB=IRsinAAOB=20 x$加 30。=10,解得月=1 0 4.故答案为：1 0AA.y-2 x 0练 习1

23、.设 实 数 满 足 约 束 条 件 2x+y-6W 0”1Y 1，则2=士 +上的最小值为.2 y【答案】1【解析】画出可行域如图所示,可求得当y为常数时，要使z=：|+L最小，则x须最小，这样的点在同一水平线可行域内的最左侧，因此所有可能让z 取到最小值的点在线段A B 上，此时该点坐标满足方程y=2x,y e 1,3,2Hlz=；+1=,+当且仅当y=2wL324 y取等号.【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数

24、最值取法、值域范围.练习2.)已知l o g (%+y+4)3 x+y-2 0,可行域如图中阴2 2影部分所示，不包括边界.而了一尺力恒成立等价于(xy)而W 4，由可行域知，z=x-y过点4(3,-7)时取得最大值1 0,而点4不在可行域内，所以儿的取值范围是 1 0,+8).【方法总结】：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3.己知实数。、。满足一lWaW2,且0匕一2 1,则3/+3+8

25、H。+为 的3 3取值范围是【答案】一,57 4、244【解析】3a2+-b2+8ab-a+-b =3(a+-b3333 )4/、令 a+-b=r,则当过（2,9）时，*=5 74,所以原式的取值范围是-1-,57 4 。_ 1 2x 04.己知点尸（x,力的坐标满足 yNx 则的取值范围为V 0.1 Jx1+y2y 0，0,求他 的最大值；（2）当兀目0,1时，恒成立，且2a+3匕2 3,求z=的取值范围.r 7-【答案】（1）（ab/m ax=16：（2）5,3.【解析】试题分析：（1）由=m可得4+8=8,利用基本不等式即可求得的最b-a 1大值；当XG 0,1 时，/（力 yfab f

26、 ab 0,h 0,当且仅当a=h=4 时等号成立，即（必）=16.（2）.当X G0,1时,恒成立，S.2 a+3 b3,/（0）1”1）1b-a ,且 2。+3 2 3,即 b+2 a 32。+3人 2 3满足此不等式组的点（。泊）构成图中的阴影部分,7由图可得，经过两点（。/）与 的 直 线 的 斜 率 的 取 值 范 围 是 1,2.。+/?+2 b+1 A.T T.-,/士 Z=-=-F 1白 J取值氾围是。+1 。+1r3五.高考真题演练2 x+3 y-3 0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当6 V 0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时

27、，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大。2x+y0,x+2 y-2 0,2.1 2 0 1 7天津，理2】设 变 量 满 足 约 束 条 件 ,则目标函数z =x+y的最x0,J 4 3,大值为2 3(A)-(B)1 (C)-(D)33 2【答案】。3 2 4【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中(0,1),5(0,3),C(-,3),2)(-:-),所以直线z=x+y过点B时取最大值3,选D.【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求

28、参数取值范围；(3)线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.%-y +3 0(A)0(B)2 (C)5 (D)6【答案】C【解析】试题分析：由jc-y+3 0Sx+y+5 0当其经过直线3x+y+5=。与x=-3的交点(-3,4)时，z=x+2y最大为z=-3+2x4=5,选 C.【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4.120

29、17山东，理 7】若ab0,且。6=1,则下列不等式成立的是(A)l o g2(t Z +(B)1r l o g 2(a +b)a +31b(C)ciH l o g o(a +0)b 6 2 v 7 T(D)og2(a+b)a +1,0 ZJ 1,l o g2 2-Jab-1,2 h a+a+b=a+log2(a+h)，所以选 B.b b【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较基或对数值的大小,若基的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的

30、性质及基本不等式作出判断.5.12017课标3,理9等差数列 4 的首项为1,公差不为0.若 改,备，色成等比数列,则%前6项的和为A.-24 B.-3 C.3 D.8【答案】A【解析】试题分析：设等差数列的公差为d，由食，&,a成等比数列可得：，即：(l+2d)2=(l+d)(l+5 d)，整理可得：d2+2d=Q,公差不为0,则 1=一2,数列的前 6 项和为S6=6q+6 x(,1)d=6x 1 +6 x()x(-2)=-24.故选A.【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前项和公式，共 涉 及 五 个 量a,d,n,S,知其中三个就能求另外

31、两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.x3,6.【2017北京，理4若x,y满足则x+2 y的最大值为y通过求直线的截距:的最值间接求出Z的最值；（2）距b b b离型：形如z=（x-a）2 +（y-5）3（3）斜率型：形如z =T,而本题属于截距形式.x-ax 07.1 2 0 1 7浙江，4若x,y满足约束条件 x+y -320,则z =%+2 y的取值范围是x-2 y 0A.0,6 B.0,4 C.6,+o o）D.4,+o o）【答案】D【解析】试题分析：如图，可行域

32、为一开放区域，所以直线过点（2,1）时取最小值4,无最大值，选。.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式A x+B)，+C?O转化为y W Z x+b (或y?Z x+b),“V”取下方，取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.x2-x+3,x 1.f(x)2|+a|在 R上恒成立，则a的取值范围是(A)-,2 (B)(C)-2 百,2 (D)-2 y/

33、3,1 6 1 6 1 6 1 6【答案】AXX【解析】不等式：为/(x)V 2+a W/(x)(*),2 2xY 3当 x W l 时，(*)式即为一丁+x-3 x +3,X2 H-3 a x2x +3,2 2 2r又 _*2+/_ 3 =_(x _1_)2 47 (x =-时取等号)，2 4 1 6 1 6 42 x 2 3 2 x 2当 x l 时，(*)式为一 x +-x-a 2|x 1 =2（当x=2时取等号），所以一47综上-V a 4 2.故 选A.16【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足f（x）x +a转化为Y：r去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对

34、x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围.x-y 09.12017课标3,理13若x,y满足约束条件 x+y 2 W 0,则z=3 x-4 y的最小值”0为.【答案】-1【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，1 1 3 1目标函数即：y：z,其中z表示斜率为左=：的直线系与可行域有交点时直线的截距值的-;倍,4 4 4 4截距最大的时候目标出数取得最小值,数形结合可得目标函数在点K。/）处取得最小值z=3x-4y=-l.【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数2=数+36=0）的最值，当方 0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z

35、值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当6 0,则-的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.ab【答案】4【解析】“4 +74+1:4。%：+1=叱+二2/4二 二4,（前一个等号成立条件是1=a 2,后一个等号成立的条件是而=:，两个等号可以同时取得，则当且仅当。2=更1 2=在 时 取 等 号）.2 2 4【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）a,b&R,a2+b2 2ab,当且仅当a=b时取等号；（2）a,b&R+,a+b 2 4 a b,当且仅当a=b时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用

36、“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.x+2 y l1 1.【2017课 标1,理13】设x,y满足约束条件 2x+y 1,则z=3 x-2 y的最小值x-y 人1,0。1,则()(A)ac bc(B)ahc ba(C)a logft ch logn c(D)loga c 2 选项A错误，3x23 2x35,选2项B错误，310g2 g log2 g,选项D错误,故选C.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幕或对数值的大小,若幕的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.x-y W 0,2.1 2 0 1 5 高考北

37、京，理 2】若工，y 满足则z =x +2 y 的最大值为（）0,3A.0 B.1 C.-D.22【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于z =x +2y,则y =lx+令 Z=0,2 2作直线y =在可行域中作平行线，得最优解（0,1）,此时直线的截距最大，Z取得最小值2.考点定位：本题考点为线性规划的基本方法【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题，要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令z =0,画出直线y =在可行域内平移该直线，确定何时z取得最大值，找出此时相应的最优解,依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题

38、.4 x +5 y 83.1 2 0 1 5 高考广东，理 6】若变量x,y满足约束条件 1 4 x 4 3 则 z =3 x +2y的最小0 y 2值 为（）3 1 2 3A.B.6 C.D.45 5【答案】C.【解析】不等式所表示的可行域如下图所示,3 7 3 z由z=3x+2y得y=+由上图结合题意可知当目标函数直线/：y=-x +-.2 2 2 2(4、4 23过A 6 时，z取得最小值即Zmm=3xl+2 x =,故选C【考点定位】二元一次不等式的线性规划.【名师点睛】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在

39、于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解，属于容易题.4.12016高考浙江理数】在平面上，过点尸作直线，的垂线所得的垂足称为点?在直线/上的投影.由区域x-2 0 0 中的点在直线户y2=0上的投影构成的线段记为4 8,贝ij|仍|=()x-3 y+4 0A.2近 B.4 C.3应D.6【答案】C【解析】试题分析：如图AP0K为线性区域，区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成了线段五，。，即 国,fx-3 j+4=0(x=2而=P2,由 八 得。(T 1),由 八得砥Z 2),x+y =Q x4-j=0AB=12Kl=#一1一2尸+。+2尸=3后

40、.故选 C.考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定|AB|的值.画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误.5.12015高考山东，理5】不等式|x 1归一5|5xl x+5 2解(I)得：x l,解(I I)得：1%4，解(IH)得：xe(t),所以，原不等式的解集为x|x4.故选A.x 1 lx5（乂 （/）l-x+x-5 2 x-l+x-5 Q6.12 015高考山东，理 6】已 知 满 足 约 束条件,x+y W 2 ,若 z =o x +y的最大值为4,”0贝 ij a =()(A)3(B)2 (C)-2 (D)-3【答案】B

41、x-y 0【解析】不等式组，x+y 0若 z =a x +y的最大值为4,则最优解可能为x =l,y =l或 x =2,y =0,经检验，x =2,y =0 是最优解，此时a =2 ；x =l,y =1不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.2 x-y 07.【2 016 年高考北京理数】若 x,y满足 0A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当z =2x+y经过点P时，取最大值，而

42、尸(1,2),.所求最大值为4,故选C.考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2,需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.8.12015 高考陕西，理 9】设/(x)=ln x,O a 若 p=/(而)，r=g(/(a)+/3)，则下列关系式中正确的是()A.q=r p C.p =r q【答案】C【解析】p =f(yab)=In/ab,q=：/r =；(/(a)+/(b)=；lnab=ln /,函/

43、N数=在(O,+8)上单调递增，因为与2 舟，所以/(竽)痴 分，所以g p =1故选C.【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题.解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误.本题先 判 断 竺 2 和J 拓的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小.29.12015高考陕西，理 10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最

44、大利润为()A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元甲乙原料限额【答案】DA(吨)3212B(吨)128【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y 吨，则利润z=3x+4y3x+2yQy 0当直线3x+4y z=0 过点A(2,3)H寸，z 取得最大值，所以z.”=3 x 2 +4x3=18,故选D.【考点定位】线性规划.【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值.解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组

45、所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误.是平面区域必须作正确，且要有一定的精度；二是目标函数的几何意义必须理解正确才能正确作出答案.1 0.12016高考浙江理数】已知实数a,A c()A.若|a+frM+1 4+c,则 a+cYOOB.若|a+Z/M+|a+6-c|W l,则 a+ZZ+cYooC.若|a+A+cl+|护6-c1 W l,则才+5+我 100D.若|a?+c|+|济方-c|W l,则才+4+我 100【答案】D【解析】试题分析：举反例排除法：A.令a=10,c=1 1 0,排除此选项,B.令a=10,=-100,c=0,排除此选项，C.令a=100,=-100,c=

46、0,排除此选项，故选D.考点：不等式的性质.【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法.解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式.1 1.【2015高考四川，理9】如果函数/(工)=*/?一2卜2+(一8)%+(?20,”之0)在区间2上单调递减，则 腿 的最大值为()_2 _O 1(A)16(B)18(C)25(D)2【答案】B【解析】加。2时，抛 物 线 的 对 称 轴 为 心.据题意，当机 2时，4*2 2即m-2 m-2/2/77+n2m+n2.v y2m-n-6,mn 1 8.由 2加=力且 2m+=12得2n_Q 1加=3,=6.当，”2

47、时，抛物线开口向下，据题意得，一。2 4上即m-2 218.:J2”m 2+9,/.mn 2,故应舍去.要使得加取得最大值，应有加+2 =18(加 8).所以=(18-2/1)/?013.1 2 0 1 5 高考天津，理 2】设 变 量 满 足 约 束 条 件 y +,则目标函数2 x+y 3 W 02 =尤+6 丁 的 最 大 值 为()(A)3 (B)4 (C)1 8 (D)4 0【答案】Cx+2 0【解析】不等式 x-y +320所表示的平面区域如下图所示，当 z =x+6 y 所表示直线2x+y-30经过点3(0,3)时，z 有最大值1 8.10 15【考点定位】线性规划.【名师点睛】

48、本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域,与平时教学中的练习题有出入，是易错问题.1 4.【2 0 1 5高考湖北，理1 0】设x e R,力表示不超过x的最大整数.若存在实数f,使得=1，产=2,”网时感妾，则正整数的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】因为国表示不超过x的最大整数.由团=1得 2,由俨=2得2 4产 3,由 力=3得4 W/5,所以2V尸 君，所以2V d若，由/=3得

49、3 4/4,所以64p 4、后，由 6=5得5=门 6,与6WQ,1 5.1 2 0 1 5高考福建，理5】若 变 量 满 足 约 束 条 件 0,最小值等于（）A.B.-2 C.D.22 2【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为y=2 x-z,当/z 最小时，直线y=2 x-z 的纵截距最大，故将直线y=2 x 经过可 工+2广产 2 行域，尽可能向上移到过点5(-l,g)时，z 取到最小值，最小值为 Az=2 x(-l)-i =-,故选 A./、2 2【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类

50、题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题.x+y-1 6.12015湖南理2】若变量x,y 满足约束条件 2x,则 z=3xy 的最小值为y()A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线/：3 x-y =O,平移/,从而可知当x=-2,y=l 时，Zm in=3 x(-2)1 =-7 的最小值是一7,故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率