2023年山东省济南市中考数学试卷及解析.pdf

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1、2023年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3 分，共 45分）1.（3 分）（2023济南）在实数0,-2,3 中，最大的是（）A.0 B.-2 C.D.32.（3 分）（2023济南）如图所示的几何体，它的左视图是（）3.（3 分）（2023济南）20 23年 5 月 5 日国产大型客机C91 9首飞成功，圆了中国人的 大飞机梦，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数1 68人，最大航程约5550 公里.数字5550 用科学记数法表示为（）A.0.555X1 04 B.5.55X1 04 C.5.55X1 03 D.55.5X1 034.（3 分）（2023济

2、南）如图，直线ab,直线I 与a,b 分别相交于A,B 两点,AC_LAB交 b 于点C,Z l=4 0,则N 2 的度数是（）A.40 B.45 C.50 D.605.（3 分）（2023济南）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）6.（3分）（2023济南）化简工?坟+的结果是（）a-bA.a2 B.C.D.7.（3分）（2023济南）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2,则另一个根是（）A.-6 B.-3 C.3 D.68.（3分）（2023济南）九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物

3、，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）A.卜 电=3 B.0一8x=3ly-7x=4 17x-y=4（8x-y=3 j8x-y=3ly-7x=4 I 7x-y=49.（3分）（2023济南）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C,D,E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C,D出口离开的概率是（）出口L 1人口C出口一4 _.E.|入口 出口A.B.C.D.10.（3分）（

4、2023济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，NCAB=60。，若量出AD=6cm,则圆形螺母的外直径是（）DAA.12cm B.24cm C.6cm D.12cmIL （3 分）（2023济南）将一次函数y=2x的图象向上平移2 个单位后，当y0时，x 的取值范围是（）A.x-1 B.xlC.x-2 D.x212.（3 分）（2023济南）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D 点离地面的高度DE=0.6m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为（）A.B.3 C.D.413

5、.（3 分）（2023济南）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=3,E 为 OC上一点，OE=1,连接B E,过点A 作A FLBE 于点F,与 BD交于点G,则BF的长是（）14.（3 分）（2023济南）二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象经过点（-2,0）,（xo，0）,1 X O 0；2aV b；2 a-b-lV 0；2 a+c V 0.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.415.（3分）（2023济南）如图1,有一正方形广场A B C D,图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以A B为半径的圆弧形道路.如图2,在该广场的A处有一

6、路灯，。是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m）,根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3,则他行走的路线是（）A.A-B-E-G B.A-E-D-C C.AE-B-F D.A-B玲D玲C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16.（3 分）（2023济南）分解因式：x2-4x+4=.17.（3 分）（2023济南）计算：|-2-4|+（）=.18.（3分）（2023济南）在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示,则这1 0名 选 手 成 绩 的 众 数 是.19.（3分）（2023

7、济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300ncm2,ZBAC=120,BD=2AD,贝U BD 的长度为 cm.20.（3 分）（2023济南）如图，过点。的直线AB与反比例函数y=的图象交于A,B 两点，A（2,1）,直线BC丫轴，与反比例函数y=（x x-l 23.（4分）（2023济南）如图,在 矩 形ABCD,AD=AE,D FAE于 点F.求证:AB=DF.24.（4分）（2023济南）如图，A B是 的 直 径，ZACD=25,求/B A D的度25.（8分）（2023济南）某小区响应济南市提出的 建绿透绿 号召购买了银杏树和玉兰树共1 50棵用来美化小区环境，购买

8、银杏树用了 1 20 0 0元，购买玉兰树用了 90 0 0元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？26.（8分）（2023济南）中央电视台的“朗读者 节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生 多读书，读好书，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最 多 的 有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：（1）统计表中的a=，b=本 数（本）频 数（人数）频率5a0.26180.36714b880.16合计C1（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4

9、）若该校八年级共有1 20 0 名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7 本及以上的人数.27.（9 分）（2023济南）如图1,口。ABC的边OC在 y 轴的正半轴上，OC=3,A（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2,直线MN分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M,N 两点，若点。和点B 关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；（3）如图3,将线段OA延长交y=（x 0）的图象于点D,过 B,D 的直线分别交 x 轴、y 轴于E,F 两点，请探究线段E D与 BF的数量关系，并说明理由.28.（9 分）（2023济南）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图 1,在ABC

10、和4ADE 中,ZACB=ZAE D=90,ZCAB=ZE AD=60,点 E,A,C 在同一条直线上，连接B D,点 F 是 BD的中点，连接EF,C F,试判断A CE F的形状并说明理由.D问题探究:（1）小婷同学提出解题思路：先探究4 C E F的两条边是否相等，如EF=CF,以下是她的证明过程证明：延长线段EF交CB的延长线于点G.是B D的中点，ABF=DF.VZACB=ZAED=90,，EDCG./.ZBG F=ZD EF.X V Z B F G=Z D F E,/.BGFADEF().EF=FG.CF=EF=EG.请根据以上证明过程，解答下列两个问题:在 图1中作出证明中所描述

11、的辅助线；在证明的括号中填写理由（请 在SAS,ASA,AAS,SSS中选择）.（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出NCEF的度数，并判断CEF的形状.问题拓展：（3）如 图2,当4 A D E绕 点A逆时针旋转某个角度时，连 接C E,延 长DE交BC的延长线于点P,其他条件不变，判断4 C E F的形状并给出证明.29.（9分）（2023济南）如 图1,矩 形OABC的顶点A,C的坐标分别为（4,0）,（0,6）,直线 AD 交 B C 于点 D,ta n Z O A D=2,抛物线 M i：y=ax2+bx（aWO）过A,D两点.(1)求点D的坐标和抛物线M i的表达式；(

12、2)点P是抛物线M i对称轴上一动点，当NCPA=90。时，求所有符合条件的点P的坐标；(3)如图2,点E (0,4),连接A E,将抛物线M i的图象向下平移m(m 0)个单位得到抛物线M2.设点D平移后的对应点为点D，当点D”恰好在直线AE上时，求m的值；当lWxWm(m l)时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围.2023年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共15小题，每 小题3分，共45分）1.（3 分）（2023济南）在实数0,-2,3 中，最 大 的 是（）A.0 B.-2 C.D.3【考点】2A：实数大小比较.【分析】根据正负数的大小比

13、较，估算无理数的大小进行判断即可.【解答】解：2V V 3,实数0,-2,3 中，最大的是3.故 选 D.【点评】本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围.2.（3 分）（2023济南）如图所示的几何体，它的左视图是（）【考点】U2：简单组合体的三视图.【专题】55F：投影与视图.【分析】根据几何体确定出其左视图即可.【解答】解：根据题意得：几何体的左视图为:故选A【点评】此题考查了简单组合体的三视图，锻炼了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力.3.（3分）（2 0 2 3济南）2 0 2 3年5月5日国产大型客机C 9 19首飞成功，圆了中国人的 大飞机梦，它颜值高性能好，

14、全长近3 9米，最大载客人数16 8人，最大航程约5 5 5 0公里.数字5 5 5 0用科学记数法表示为（）A.0.5 5 5 X 104 B.5.5 5 X 104 C.5.5 5 X 103 D.5 5.5 X 103【考点】I I：科学记数法一表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a X l（T的形式，其中i|a|1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负数.【解答】解：5 5 5 0=5.5 5 X 103,故选C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a X 10n的形式，其中lW|a|V 10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4.（3

15、分）（2 0 2 3济南）如图，直线a b,直线I与a,b分别相交于A,B两点,A C L A B交b于点C,Z l=4 0,则N 2的度数是（）A.4 0 B.4 5 C.5 0 D.6 0【考点】J A：平行线的性质；J 3：垂线.【分析】先根据平行线的性质求出N A B C的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出N 2的度数.【解答】解：.直线a b,，N1=/C B A,VZ1=4O,.,.ZCBA=40,VACAB,/.Z2+ZCBA=90,A Z2=50,故 选C.【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等.5.（3分）（2023济南）中国古代建筑中

16、的窗格图案美观大方,寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：B是轴对称图形又是中心对称图形，故选：B.【点评】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转180度后两部分重合.6.（3分）（2023济南）化 简 反!坟+的 结 果 是（）a-bA.a2 B.C.D.【考点】6A：分式的乘除法.【分析】先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可.【解答】解：原

17、式=%应_ =,a-b故选：D.【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.7.（3分）（2023济南）关 于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2,则另一个根是（）A.-6 B.-3 C.3 D.6【考点】AB：根与系数的关系.【分析】设方程的另一个根为n,根据两根之和等于-,即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论.【解答】解：设方程的另一个根为n,则 有-2+n=-5,解得：n=-3.故 选B.【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键.8.（3分）（2023济南）九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最

18、高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会 多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）fy-8x=3 fy-8x=3y-7x=4 17x-y=48x-y=3 j8x-y=3ly-7x=4 I 7x-y=4【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：8 X人数-物品价值=3,物品价值-7 X人数=4,据此可列方程组.【解答】解：设合伙人数为X 人，物价为y 钱，根据题意,可列方程组：8xp=3

19、,ly-7x=4故选：C.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.9.（3 分）（2023济南）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和 B 为入口，C,D,E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A 入口进入、从 C,D 出口离开的概率是（）出口L 1i入口C出口 _,E._ 1入口 出口A.B.C.D.【考点】X6：列表法与树状图法.【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小红从入口 A 进入景区并从C,D 出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

20、【解答】解：画树形图如图得：开始A BC D E C D E由树形图可知所有可能的结果有6 种，设小红从入口 A 进入景区并从C,D 出口离开的概率是P,.小红从入口 A 进入景区并从C,D 出口离开的有2 种情况，：.P=.故 选:B.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.10.（3分）（2023济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上,【考点】MC：切线的性质.【分析】设圆形螺母的圆心为0,连 接OD,OE,O

21、A,如图所示：根据切线的性质 得 到A O为N D A B的平分线，O D L A C,又NCAB=60。，得至NOAE=NOAD=/DAB=60。，根据三角函数的定义求出O D的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径.【解答】解：设圆形螺母的圆心为0,与A B切 于E,连 接OD,OE,O A,如图所示：VAD,AB分别为圆。的切线，.AO 为N DAB 的平分线，ODAC,O D A C,又NCAB=60。，,Z OAE=Z OAD=Z DAB=60,在 RtAAOD 中，ZOAD=60,AD=6cm,tanZO AD=tan60=,即=,.*.0D=6cm,则圆形螺母的直径为12cm.故

22、选D.DA【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.11.（3分）（2023济南）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y0时，x的取值范围是（）A.x -1 B.xlC.x -2 D.x2【考点】F9：一次函数图象与几何变换.【分析】首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即 可 得 出y0时，x的取值范围.【解答】解：将y=2x的图象向上平移2个单位，平移后解析式为：y=2x+2,当 y=0 时，x=-1,故y 0,则x的取值范围是：x-1.故选A【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得

23、出平移后解析式是解题关键.12.（3分）（2023济南）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处 的D点离地面的高度DE=0.6m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的 坡 度 为（）A.B.3 C.D.4【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】先 过C作CFLAB于F,根 据DEC F,可得=,进而得出C F=3,根据勾股定理可得AF的长，根 据CF和BF的长可得石坝的坡度.【解答】解：如图，过C作CF_LAB于F,则DECF,即=,解 得CF=3,.,.ACF 中，AF=52_32=

24、4,XVAB=3,BF=4-3=1,石坝的坡度为=3,故选：B.【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.13.（3分）（2023济南）如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=3,E为。C上一点，O E=1,连 接B E,过 点A作AF_LBE于 点F,与BD交于点G,则BF的 长 是（）DA【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明GA。丝/X E B O,得到OG=OE

25、=1,证明B F G s a B O E,根据相似三角形的性质计算即可.【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=3,/.ZAOB=90,AO=BO=CO=3,VAFBE,，NEBO=NGAO,在a G A O和EBO中，Z G A 0=Z E B 0 A 0=B 0 ，Z A 0 G=Z B 0 E/.GAO AEBO,.*.OG=OE=1,，BG=2,在 RtABOE 中，BE=O B2+O E2=,VZBFG=ZBOE=90,ZGBF=ZEBO,/.BFGABOE,即=,解得，BF=3画,5故选：A.【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握

26、相关的判定定理和性质定理是解题的关键.14.（3分）（2023济南）二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象经过点（-2,0）,（xo，0）,l x0 0；2aV b；2 a-b-lV 0；2 a+c V 0.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.【分析】由图象开口向上知a 0,由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x i，0）,且1 V X 1 V 2,则该抛物线的对称轴为*=-=之区 -,即 0；故正确；由x=-2时，4a-2b+c=0得2a-b=-,而-2 V c 0,解不等式即可得到2 a b,所以错误.由知2 a-

27、b V 0,于是得到2a-b-1 0（因为b 0）,等量代换得到2 a+c 0,由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（xi,0）,且l x i-,即 0,两边都乘以a得：b a,V a 0,对称轴 x=-V 0,/.b 0；故正确；由 x=-2 时，4a-2b+c=0 得 2a-b=-,而-2 c 0,所以错误.当 x=-2 时，4a-2b+c=0,/.c=-4a+2b.V c -2,：.-4a+2b-2,.*.4a-2b-2 0,A2a-b-l0（因为 b 0）,当 x=l 时，a+b+c0,；.2a+2b+2c 0,/.6a+3c0,即2 a+cB-E-G B.A-E-D-C C

28、.AE-B-F D.A-B玲D玲C【考点】E7：动点问题的函数图象.【分析】根据函数图象的中间一部分为水平方向的线段，可知沿着弧形道路步行,根据函数图象中第一段和第三段图象对应的X的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，即可得出第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD,第三段函数图象对应的路径为BC或DC.【解答】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对

29、应的路径为正方形的边AB或AD,第三段函数图象对应的路径为BC或DC,故行走的路线是A玲B fD玲C（或A-D玲B玲C）,故选：D.【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,解题时注意：在点光源的照射下，在不同位置，物体高度与影长不成比例.二、填 空 题（本大题共6小题，每 小题3分，共18分）16.（3 分）（2023济南）分解因式：x2-4x+4=（x-2）2.【考点】54：因式分解-运用公式法.【分析】直接用完全平方公式分解即可.【解答】解：x2-4x+4=（x-2）2.【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式.完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2.17.（3 分）（202

30、3 济南）计算：|-2-4|+（）=7.【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕.【分析】直接利用绝对值的性质结合零指数幕的性质计算得出答案.【解答】解：|-2-4|+（）=6+1=7.故答案为：7.【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数基的性质，正确化简各数是解题关键.18.（3分）（2023济南）在学校的歌咏比赛中，1 0名选手的成绩如统计图所示，【分析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案.【解答】解：根据折线统计图可得：90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；故答案为：90.【点评】此题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数是本题的关键.19.（3分）

31、（2023济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300mm2,ZBAC=1 20,BD=2AD,则 BD 的长度为 20 cm.A【考点】MO：扇形面积的计算.【分析】设A D=x,则AB=3x.由题意300n20冗（3x）2,解方程即可.360【解答】解：设A D=x,则AB=3x.由题意 30071=120冗（3x）2,360解得x=10,BD=2x=20cm.故答案为20.【点评】本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.20.(3 分)(2023济南)如图，过点0 的直线AB与反比例函数y=的图象交于A,B 两点，A(2

32、,1),直线BCy 轴，与反比例函数y=(x 2(x-2)(2)解不等式组：x、y x-l【考点】4J：整式的混合运算一化简求值；CB：解一元一次不等式组.【分析】(1)根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题；(2)根据解不等式组的方法可以解答本题.【解答】解:(1)(a+3)2-(a+2)(a+3)=a2+6a+9-a2-5a-6=a+3,当a=3时，原式=3+3=6；3 x-5 2(x-2)I X、/1 x-l 由不等式，得x21,由不等式，得x2故原不等式组的解集是1WXV2.【点 评 工 本题考查整式的混合运算-化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法

33、.23.（4分）（2023济南）如图，在 矩 形ABCD,AD=AE,DF_LAE于 点F.求证:【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到NAEB=NEAD、Z A F D=Z B,从而证得两个三角形全等，可得结论.【解答】证明：四边形ABCD是矩形，ADBC,NB=90,/.ZAEB=ZDAE,VDF1AE,，ZAFD=ZB=90,在aA B E和4 D F A中，Z A E B=Z D A E 0）的图象于点D,过 B,D 的直线分别交 x 轴、y 轴于E,F 两点，请探究线段E D与 BF的数量关系，并说明理由.【考点】GB：反比例函

34、数综合题.【分析】(1)利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；(2)根据两直线垂直的条件，求出直线M N的解析式即可解决问题；(3)结论：BF=DE.如图3中，延长BA交x轴于N,作DM_Lx轴于M,作NKEF 交 y 轴于 K.设 ON=n,OM=m,M E=a.则 BN=,D M=.由 E D MSE BN,k推出=,即一5=詈，可得a=n,由KNO也口“，推出DE=KN,再证明四边irrl-a-n 2Ln形NKFB是平行四边形，即可解决问题；【解答】解:(1)如图1中，四边形OABC是平行四边形，；.AB=0C=3,VA(2,1),AB(2,4),把B(2,4)代入y=中，得到

35、k=8,.反比例函数的解析式为y=.(2)如图2中，设K是0 B的中点，则K(1,2).直线0 B的解析式为y=2x,/.直线M N的解析式为y=-x+,AN(0,),：.ON=.（3）结论：BF=DE.理由如下：如 图3中，延 长BA交x轴 于N,作DM_Lx轴 于M,作NKEF交y轴 于K.设ON=n,OM=m,M E=a.则 BN=,DM=.V A E D M A E B N,k可得 a=n,m+a-n iLn.NKEF,/.ZKNO=ZDEM,ZKON=ZDME=90,ON=EM,.,.KNO ADEM,；.DE=KN,；FKBN,NKFB,四边形NKFB是平行四边形，NK=BF,/.

36、BF=DE.【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力.28.（9分）（2023济南）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图 1,在ABC 和4ADE 中，ZACB=ZAED=90,ZCAB=ZEAD=60,点 E,A,C在同一条直线上，连 接B D,点F是B D的中点，连 接EF,C F,试判断A C E F的形状并说明理由.问题探究:（1）小婷同学提出解题思路：先探究4 C E F的两条边是否相等，如EF=CF,以下是她的证明过程证明：延长线段EF交CB的延长线于点G.是B D

37、的中点，BF=DF.VZACB=ZAED=90,，EDCG./.ZBG F=ZD EF.又.,NBFG=NDFE,/.BGFADEF(AAS).，EF=FG./.CF=EF=EG.请根据以上证明过程，解答下列两个问题:在 图1中作出证明中所描述的辅助线；在证明的括号中填写理由（请 在SAS,ASA,AAS,SSS中选择）.（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出NCEF的度数，并判断CEF的形状.问题拓展：（3）如 图2,当4 A D E绕 点A逆时针旋转某个角度时，连 接C E,延 长DE交BC的延长线于点P,其他条件不变，判断A C E F的形状并给出证明.【考点】RB：几何变换

38、综合题.【分析】（1）由证明过程即可作出图形；根据判断三角形全等的方法即可得出结论；（2）先判断出EH=D E,进而判断出四边形BGEH是平行四边形，得出NDEF=NH=3 0,即可求出NCEF=NAED-N D E F=60,即可得出结论；(3)先判断出D EFBG F(S A S),得出N C A E=N C B G,再判断出 BG=B C,进AE-AC而得出 BCGs ACE,得 出/BCG=N ACE,进而判断出=90，即可得出CF=EF=EG,再求出=,最后用锐角三角函数求出NCEG即可得出结论.【解答】解：(1)由题意作图如图1所示图形，证明：延长线段EF交CB的延长线于点G.是B

39、 D的中点，BF=DF.VZACB=ZAED=90,，EDCG.A ZBGF=ZDEF.又.NBFG=NDFE,.BGFADEF(AAS).EF=FG.CF=EF=EG.故答案为AAS；(2)如图3,延长BA,DE相交于点H,VZBAC=60,，NEAH=60=NEAD,VZAED=90,A ZH=30,EH=DE,由(1)知，B G F之DEF,，DE=BG,，EH=BG,.,DEBG,，四边形BGEH是平行四边形，ZDEF=ZH=30,.,.ZCEF=ZAED-ZDEF=60,VCF=EF,/.CEF是等边三角形；(3)如图2,延长EF至G使，FG=EF,点F是B D的中点，DF=BF,V

40、ZDFE=ZBFG,/.DEFABGF(SAS),，BGDP,/.ZP+ZCBG=180,在四边形 ACPE 中，ZAEP=ZACP=90,根据四边形的内角和得，ZCAE+ZP=180,.,.ZCAE=ZCBG,在 RtAADE 中，NDAE=60,tanNDAE=,即：毁 坛，AE 73同理：AC J；i BG _BC；AEAC5VZCBG=ZCAE,A BCG ACE,A ZBCG=ZACE,.,.ZECG=ZACE+ZACG=ZBCG+ZACG=90,在 RtaCEG 中，EF=GF,，CF=EF=EG,V A B C G A A C E,CG BC=C E A C，在 RtACEG 中

41、，tanZCEG=,；.NCEG=60,VCF=EF,/.CE F是等边三角形.【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，四边形内角和公式，解本题的关键是构造全等三角形，难点是判断出B C G s A C E,是一道典型的中考常考题.29.（9分）（2023济南）如 图1,矩 形OABC的顶点A,C的坐标分别为（4,0）,（0,6）,直线 AD 交 B C 于点 D,tanZOAD=2,抛物线 M”y=ax2+bx（aWO）过A,D两点.(1)求点D 的坐标和抛物线M i的表达式；(2)点 P 是抛物线Mi对称

42、轴上一动点，当NCPA=90。时，求所有符合条件的点P 的坐标；(3)如图2,点 E(0,4),连接A E,将抛物线M i的图象向下平移m(m 0)个单位得到抛物线M2.设点D 平移后的对应点为点D，当点D”恰好在直线AE 上时，求 m 的值；当lWxWm(m l)时，若抛物线M2与直线AE 有两个交点，求 m 的取值范围.【考点】HF：二次函数综合题.【分析】(1)如图1 中，作 DHLOA于 H.则四边形CDHO是矩形.在RtADH中，解直角三角形，求出点D 坐标，利用待定系数法即可解决问题；(2)如图 1-1 中，设 P(2,m).由NCPA=90。，可得 PC2+PA2=AC2,可得

43、22+(m-6)2+22+m2=42+62,解方程即可；(3)求出的坐标；构建方程组，利 用 判 别 式 求 出 抛 物 线 与 直 线A E 有两个交点时的m 的范围；求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断.【解答】解：(1)如图1 中，作 DH_LOA于 H.则四边形CDHO是矩形.四边形CDHO是矩形，AOC=DH=6,tanZDAH=2,AAH=3,V0A=4,ACD=OH=1,AD (1,6),把 D(1,6),A(4,0)代入 y=ax?+bx 中，则有解得(a=-2,I b=8二抛物线M i的表达式为y=-2x2+8x.a+b=616a+

44、4b=0(2)如图 1-1 中，设 P(2,m).VZCPA=90,.,.PC2+PA2=AC2,/.22+(m-6)2+22+m2=42+62,解 得m=3,：.P(2,3+),P(2,3-易知直线AE的解析式为y=-x+4,x=l 时,y=3,：.D(1,3),平移后的抛物线的解析式为y=-2x2+8x-m,把点 坐标代入可得3=-2+8-m,/.m=3.由，消去y得 到2x2-9x+4+m=0,y=-2 x2+8x-m当抛物线与直线AE有两个交点时，(),A92-4X2X (4+m)0,.mV,x=m 时，-m+4=-2m2+8m-m,解得 m=2+或 2-(舍弃)，综上所述，当2+Wm

45、V时，抛物线M2与直线AE有两个交点.【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题.考点卡片1.科学记数法一表示较大的数(1)科学记数法：把一个大于1 0 的数记成a x io n 的形式，其 中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10n,其 中 lW aVlO,n 为正整数.】(2)规律方法总结：科学记数法中a 的要求和1 0 的指数n 的表示规律为关键，由 于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律,

46、先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n.记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于1 0 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号.2.实数大小比较实数大小比较(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.3.实数的运算(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.(2)在进行实数运算时，和有理

47、数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.【规律方法】实数运算的 三个关键1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0 指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.4.整式的混合运算一化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代

48、入求整式的值.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.5.因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式:a22ab+b2=（a+b）2；2、概括整合：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.6.分式的乘除法

49、（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.（4）分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即 先乘方，再乘除（5）规律方法总结：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序.7 .零指

50、数累零指数暴：a=l（a W O）由 a m+a m=l,am+am=am m=a。可推出 a。1（a W O）注意：0 l.8 .由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知 转化为 已知 的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符.（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有；时一般；前后各一层，分别找出两个等量关