2023年广东省专升本《高等数学》知识点考点大纲复习资料.pdf

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1、考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编学习资料整理汇编（考点或配套习题突击训练）第1页，共4 9页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编第一章函数、极限、连续第 一 节 函 数考 点1：判断函数是否为同一函数方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数。1.下列函数/(x)与g(x)为同一函数的是(A./(x)=|x|,g(x)=xB./(x)=x,g(x)=C/(M =-g(x)=x-1x +1D./(x)=l n x g(x)=3 1 n x【答案】D【考点】函数的三要素：定义域、值域、解

2、析式【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域与解析式样，D选项定义域和解析式都一样，是同一函数。A选项解析式不一样。考 点2：求函数定义域(1)具体函数求定义域2 0l o g“x,x 0ar c s i n x,ar c c o sx,-1 x 0,(x-3)(x +4)0,x e(-o o,-4 U3,+o o)2.设函数y=f(x)的定义域为-2,2,求函数2 x 4)的定义域.【答案】x e l,3【考点】考察函数的定义域。【解析】解：2 2X-4 W 2,1 WXW3,X G1,3 考 点3：函数的解析式、反函数的求法函数的解析式：配凑法，换元法反函数：解出x =g(y)1.已

3、知/(x)=l则必切=()XA.x B.-C.1 -x D.-x 1 1 x【答案】D【考点】求函数的解析式。【解析】解：/r/(x)i=i一一)=i一一=L八，1 x-1 -x1 X2.已知函数y=J由，求反函数/T(x).1 r2【答案】广(力=/？【考点】求解反函数。2第3页，共4 8页1 0/1 2考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编【解析】解：y=.,y2V 1 +xi-y2i+r1-x-；-,X=1 +x考点4：函数的基本性质基本性质:单调性:利用导数判断奇偶性:/（X）,偶函数-/（X）,奇函数有界

4、性,周 期 性（不常考）1 .函数/(x)=l +l n x 在(0,e)内()4严格单调递增且有界3.严格单调递减且有界C.严格单调递增且无界。.严格单调递减且无界【答案】C【考点】函数的基本性质。【解析】解：/（x）=l +l n x在（0,e）内是单调递增函数，且无下界。2 .判断函数、=1!1卜+/公+1）的奇偶性：【答案】奇函数【考点】函数的基本性质。=I n(ZPT T+x)=-歹(x),y 为奇函数.第 3 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编第 二 节 极 限考

5、 点1：数列的极限如果当无限增大时，数列 x 无限趋近于确定的常数a,那么a就叫做数列 x“当 8时的极限,记作l.i m怎=a或X”f a(一 8).1.根据题意填空：(1)数列一1,一1,一,2 3 4 5 6,1【答案】x=(-l)-n【考点】求数列的通项公式。【解析】解：通 项 为 乙=(-1设数列L r?高nl-imx Sn=_.【答案】见解析【考点】求数列的极限。【解析】解：通 项 为 =2”、t 3工”0口 1-2 3 +6 52.计算极限h m“T 8 3 +2 +1【答案】-3-.其通项为_.,则数列的前项和S,=_1-仕 丫 r 12 f l V7，S,=2 1-1 i m

6、 S.=224第3页，共4 8页1 0/1 2考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编【考点】求数列的极限。2+6 5 解析解：hm：-=hm-，一“-*8 3/7+2/7+1 1 8 2 1J 2 3n n23【总 结】:0,limX+q +qx+ao=%x x bnxn+b 一 +x+bo b8,m n考 点2：函数的极限【总 结】计算极限的常用方法:有 7 种未定式：一,一,oo 00 0,co 1x co0 00 001.求下列函数的极限（9,3型，又称基本型）0 00方法有:约去零因式法（此法适用于；0 0

7、,、8除以适当无穷大（适用于X 8）时，-）；00分子或分母有理化（适用于带有根号的极限问题）；通 分（适 用 于 8-8）；利用基本极限公式（适用于，,）；等价无穷小替换：无穷小量的性质（无穷小无穷小=无穷小，无穷小有界量=无穷小）;利用夹逼原理（进行适当放缩）：取e 法或取对数法（适用于0和 8 ）：5第 6 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编洛必达法则(Q,).0 0 01.求下列极限,.a r c t a n x-x es i n x-ex(1)l i m-(2)l i m

8、-；xi o x s i r r x【答案】见解析【考点】求函数的极限。【解析】解：Li 二 i l i m竺粤二=l i m史=l i m上4=x-o x3 I。3 x2 i o 3X2 3/c、r esmx-ex./(e m x-l)s i n x-x r c o s x-1 1x-0 x s i t r x 1。x i x A0 3 x 6考 点3：无穷小量的阶设 l i m a(x)=O,l i m 夕(x)=0.(1)如果l i m 2 =0,就 说 是 比a高阶的无穷小，记 作/=o(a),a(2)如果l i m 2 =o o,就说夕是比a低阶的无穷小.a(3)如果l i m 2

9、=cwO,就说 是比a同阶无穷小.特别地，当c =l时,a即l i m 2 =l,此时称夕与a是等价无穷小，记作a月.a1.当x-0时，下 列()是x的高阶无穷小量.A B V l +x-1 C.x s i n-D.1 -c o s x,x6第 0 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编【答案】D【考点】考察无穷小量。1-x 2I C C S X G【解析】解：lim =lim 2 =0,可判断D正确。X TO%x-0%2.当x-0时，n(cosx)与4/是等价无穷小，则常数/=,常数

10、上=.【答案】A=-,k =22【考点】考察无穷小量。_ hx2【解析】解：lim-n C V=lim CS V-1=l i m,A=-,k =2io Ax 1。Ax io 2考点4：用极限解决参数问题(2x2+1、I.已知lim -a x-b =2,求常数a,6的值.XT8 r+1【答案】a=2,b=-4【考点】考察无穷小量。.(2x2+1)F 2x2+l-(x +l)(ax+b)解析解：lim -a x-b =lim-2X+l)X f X+l(2.x+1 ax bx ux-.(._,x _=lim-=lim(4 x-2 ax-b-a)=2,左 I x+1 J a ga=2,a b=2,b=

11、4第 8 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编第 三 节 连 续考 点1：函数的连续性判断函数在某一点是否连续遵循以下步骤：/(x)在 点 处是否有定义：左右极限是否都存在；左右极限是否相等并且等于函数在这一点的值.-31.若函数(1 +X)，X H 在x =0处连续，试确定a的值a,x=0【答案】A=-,k =22【考点】考察无穷小量。3【解析】l i m x)=l i m(l +x 1欲/(x)在x =0处连续,必须使X TO X TOl i m/(x)=/(O)故 a =1.x

12、-0考 点2：求函数的间断点及其类型第一类间断点(/(/-),/(/+)存在)可去间断点：/(玉；)=/(X/)：跳跃间断点：/(/-)/(/+)：第二类间断点(/(%-),/(%+)至少有一个不存在)无穷间断点：l i m /(x)=8 或 l i m/(x)=8X T X屋 X-XQ*1.设函数“x)=1 :J，则x =0是/(X)的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _间断点.矶 x -1)【答案】跳跃8第 8 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编【考点】函数间断点类型

13、的判断。【解析】解：lim/(x)=lim r7=2,iim/(x)=lim!7=-2 左 右 极限都存在，但不相等。x=。是跳跃间断点。考 点3：求渐近线1.水平渐近线如 果Ji m=就称直线 =/为 曲 线 歹=/(x)的水平渐近线.注：有时需要考察X 7 +8或X-00时的单侧水平渐近线.2.垂直渐近线如 果lim/(x)=oo,就称直线x=x为曲线y=/(x)的斜渐近线.3.斜渐近线如果曲线存在渐近线，且既不是水平渐近线，又不是垂直渐近线，就称之为斜渐近线.斜渐近线的求法。设直线y=ox+6(a w 0)是曲线y=/(x)的渐近线，则有从而得到lim f (x)-ax=bXT0 0 X

14、 XT8 L.，y-a x+b为斜渐近线.I,求y=，+ln(l+e、)的渐近线。9第 卬 如，赛4质10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编【答案】见解析。【考点】求函数的渐近线。【解析】解：l i m y =o o,l i m y =0,y =0 为水平渐近线：X-+oc XT-00l i m y =o o,x =0为铅直渐近线：x-0歹 1l n(l +e)e*1l i m =l i m +l i m -=I n n-=1,X foo X XTCO X X oc X X oc 1+ev|，1 +e*

15、)l i m (j,-x)=l i m +l n =0+0=0,y =x 为斜渐近线。XT+8、，XT+O：x 、/考 点4：零点定理、介值定理相关证明1.证明方程/-4犬+1 =0在区间(0,1)内至少有一根.【答案】见解析【考点】零点定理证明题。【解析】解：设/(x)=/4/+1,/(0)=,/(1)=-2,由零点定理知，在区间(0,1)内至少有一点J使得/纭)=0,即方程d-4/+1 =0在区间(0,1)内至少有一-根.，即证。10第 1 0 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇

16、编第二章一元函数微分学第一节导数的概念考 点1：导 数 的 定 义（记住两个公式），左导数、右导数/(%+)一/伍)1./(X)在 X =X 0 处可导，则/(X。)()A li m/(xo)-/U+2 x)一)一/(/+)A.n r n-D.n m-/(%)/(%一23C.l i mD.l i m/(/)一/(工0-)Av-+x【答案】c【考点】导数的定义。【解析】解：/（%）=淅/3二/（刈,广义化后，c符合定义。IX。X-Xo/（X。）存在。（%）和（X。）都存在，且（x ）=（x。）.考 点2：导数的几何意义，求斜率、切线方程相关问题1.曲线y =2 x +I n x在点（1,2）处的

17、切线方程是.【答案】y =3x-【考点】求函数的切线。第1 2页，共4 8页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编 解析解：/=2+=/(l)=3,-2 =3(x-l),y =3 x-l.考 点 3：连续可导的关系函数在某一点可导，则函数在此点一定连续：函数在某一点连续则函数在此点不一定可导第二节函数的求导法则基本求导公式(1)(C)=0(。为任意常数);(3)(ax)=ax Ina；(5)(logxy=!；xxa(7)(sinx)=cosx；(9)(tanx)r=sec2 x；(11)(sec%)=s

18、ecxtanx：(13)(arcsin x)=V l-x2(4)(/)=“(6)(lnx)=；x(8)(cosx)=-s in x ；(10)(c o tx/=-csc2x；(12)(c s c x/=-cscxcotx(14)(arccosx)*=J l(15)(arctanx)=-?1+x(16)(arccotx)z1+x2考 点 3：显函数求导、反函数 参数方程求导1.求函数y=2 x 3+4-6x+4+7 的导数第 12页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年 广 东 省 专 升 本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编.,1【答

19、 案】y=6r+8x 6 H-产2&【考 点】求 函 数 的 导数。【解 析】解：/=6X2+8X-6 +2vx2.设y=x2+2x-(x 0),则 其 反 函 数x=(p(y)在y =2处 导 数 是()1A.4A 4D-4【答 案】B【考 点】反 函 数 求 导 数。【解 析】解:y=2,则/+2x-1 =2,x=l,x(y)=J,(x)1 _ 12+2-i一,x，(2)=x=1-sin/,yr.、在/=一 处 的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.y=q(l-cos。2(n 【答 案】y=ax-2 a(2 )【考

20、点】参 数 方 程 确 定 的 函 数 求 导。【解 析】解：，y=asint a 冗-,y|=a,t=一 时,1-cos/-U J 1 2x=,y=a2切 线 方 程：y-a =a x-F 1 ,y=ax-2 a 2 J V 2 J13第1 3页，共4 8页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年 广 东 省 专 升 本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编考 点 4：隐 函 数 求 导、对 数 求 导 法、幕指函数求导和高阶导数隐 函 数 求 导：方 程 两 边 同 时 对 自 变 量 求 导；对 数 求 导 法：方 程 两 边 同 时 取 对 数，然

21、 后 再 求 导；惠 指 函 数 求 导；取e法：或 方 程 两 边 同 时 取 对 数，然 后 再 求 导：高 阶 导 数：求 出 一 阶、二 阶、三 阶 导 数，找规律总结.1.方 程/+/-3个=0所 确 定 的 隐 函 数 =武 力，求（隐 函 数 求 导）【答 案】3 y-ev2y-3x【考 点】隐 函 数 求 导。【解 析】解：方 程 两 边 同 时 对x求 导，得e*+2 -3 y-3 H =0，V=型 二 竺.2y-3x2.已 知 函 数y=(cosx广 加 求(幕 指 函 数 求 导),/u+sinA F.sinx(l+sinx)【答 案】y=(cosx)cos x In c

22、osx-cosx【考 点】塞 指 函 数 求 导。【解 析】解：方 程 两 边 同 时 对X求 导，得(l+sinxjlncosx t(l+sin.v Incosx i 八 八 八 sin X Q+sifl X Jy=e 1 9y=e cosx In cosx-cosx/、i+sin x sinx(l+sinx)=I cosx)cosxIn cosx-cosx3.设 y=2 则 )=.【答 案】严=2%ln2）”.【考 点】高 阶 导 数。14第 相 页，共4 8页10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编【解析

23、】解：7 =2 I n2/=2 (I n2,=2V(I n2).第三节函数的微分考 点1：微分1.微分计算公式(1)J(C)=0(C为任意常数)：(2)d(x)=j=(3)d(ax=ax xadx：(5)d(log,x)=-dx；xlna(7)d(sinx)=cosxZr；(9)t/(tanx)=sec2 xdx；(11)d(secx)=secx tan xdx；(13)d(arcsinx)=/1dx；A/1-X2(15)i/(arctanx)=-dx；2.复合函数微分(微分形式不变性)设函数y=/()和u=/(x)都(4)d(e)=e，dx；(6)d(lnx)=dx；(8)/(cosx)=-

24、sinxcfr:(10)J(cot x)=-esc2 xdx；(12)J(cscx)=-cscxcotxdx；(14)d(arccosx)=,1 dx；(16)d(arccotx)=-:d x.，则复合函数y=/(*(x)的微分为 dy=或dy=公.15第 1 6 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编第四节中值定理考点1：罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论1.罗尔定理设函数y=/（x）满足：（1）在 闭 区 间 可上连续；（2）在开区间（a,b）内可导：（3）/（0）=/e）；那

25、么，则至少存在一点46（4/），使得f（G =O.2.拉格朗日定理设函数y=/（x）满足：在 闭 区 间 a,可 上连续；在 开 区 间（a 内可导；那么，则至少存在一点4w（a,6）,使得/（4）/伍）一小）b-a1.下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有（）4/(%)=，x +1,x 5 L B-y-I ，2 C.j/=x ev,x e 0,l【答案】D【考点】罗尔定理的验证条件。D.y=x2【解析】解：y =Y-1 在11 上满足罗尔定理的三个条件。2.函数/（x）=xJT7在 0,3 上满足罗尔定理，则 彳=（）A.2 8.3 C.O D.1【答案】A【考点】罗尔定理的验证条件。16第

26、 1 0 页，共 4 8 页1 0/1 2考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编【解析】解：/(X)=6 7丁二，令/)=0,微=2.8.设证明不等式ar c t an b-ar c t an a【答案】见解析。【考点】拉格朗日定理相关的证明题。【解析】解：证 明：设/(x)=ar c t an x,故/X x)满 足 拉 格 朗 日 定 理 条 件,在(a,b)上 至 少 存 在 一 点 点 使 得/(叽小)=-ar c t an b-ar c t an a-7-7 -，即1 +彳 2 1 +/2a 2abar

27、 c t an b-ar c t an a 0,则 y=/(x)在 a,b上单调增加;(a,b)内可导称为单调递增区间；若 在(a,b)内/(X).y=2 s i n x1x【解析】解：y=-7-1 =-7 0.1 +x2 1 +X22.求函数/(X)=X4-2X2+2的极值.【答案】见解析【考点】极值的求法。【解析】/(X)=4X3-4X=4X(X2-1),令/(X)=0,得驻点X 1 =0,x2=-l,x3=I./w(x)=1 2 x2-4=4(3 x2-1),1 8第18页，共4 8页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复

28、习资料广东专插本 考点汇编/f f（o）=-4 o,所以由第二充分条件知，点玉=0为极大值点，极大值为/（0）=2；点工 2=-1 0 3=1，为两个极小值点，极小值为/（-1）=/（1）=2.考点2：拐点及凹凸区间及拐点凹凸区间：根据二阶导数符号判定；函数的拐点：若函数/（X）在点x =x 0 左右邻近二阶导数存在且符号相反，则点（%,/（%）称为函数曲线/（X）的拐点.拐 点 存 在 的 必 要 条 件 若 点 称 为 函 数 曲 线/（X）的拐点，则/（x ）=0 或/（%）不存在；拐点存在的充分条件 若/（x）在点x =x 0 的左右邻域二阶导数存在且符号相反，则点（玉,，/（玉）为曲

29、线/（X）的拐点，若符号相同，则点（/，/（x。）不是拐点.1 .讨论下列函数图形的凹凸性：（1）y-e;（2）=x3+3x2+5;【答案】见解析。【考点】导数的应用。【解析】解：y =2xJ;,=2 0 +2 x 2）/0;,所以N =在（一 8,+8）内是凹的.（2）y=3x2+6 x;,y =6x+6=6（x +1）;.当 x 1 时，歹 0y”0;；当 x -l 时，/0,曲线为凹的；在（1,+8）内歹”.J.f(xZx=F(x)+C【答案】D【考点】不定积分的性质。【解析】解：f(x)d x =f(x)+C2.若/(x)的导函数是cosx,则/(x)有一个原函数为()A.1 +sin

30、 x B.1-sinx C.1 +cosx D.1 -cosx【答案】D【考点】导函数与原函数之间的关系。【解析】解：/(x)=sinx 为 cos 崩一 个 原 函 数 J/(x)=-cosx+C.C=13.求不定积分/卜/一：1公.【答案】见解析【考点】求不定积分。【解析】解：原式=(3)公-在=2 x(兀 e)122第23页，共48页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编考点2：不定积分的第一换元法（凑微分法）核心思想：配对，目的主要在被积函数中找到/（X）与“（X）J汨成【答案】见解析。【考点】第

31、一换元法求不定积分。【解析】解：2x _ 1J-丁x=+1 jdx=e+x+C2.j tan3 xdx【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：J tan3 xdx=j（sec2 x-ljta n xdx,令=secxJ（sec2 x-1 ）tanxdx=j-lu【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：23第 2 3 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编js i n4 xdx-2 c os 2x+c os2 2x=；J (1 -2 c os 2x+c

32、os2 2xdx=-(x-s i n 2x)+J c os2 2xdx=1 (z x-s.m2、x)、+Jr l+c os 4xa,x=1 (,x-s i.n-2 x)+1 x+s-i n 4x F CC考 点3：不定积分的第二换元法（主要是三角换元：c os2x =l-s i n2x s e c2x-tan2x =l ：根式换元）p x/4-x2【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：A令 x =2 c os t,dx=-2 s i n tdt,r -v-4-i x dfx =r-/4-4-c o-s-tdtJ x J 4 c os*t=(sin|出=-f t/cost=-

33、+C =-1-CJ 2co s-t J 2 c os2 c osz 2co s 2f占-92.-dxJ x【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：.-令 x=3 s e c/,公=3 s e c/t a n tdt,-dxJ x=3 f 色U s e e t t a n 7力=3 j*t a n，力=3 f(s e c2J sect J J t-1 )dt=3 t a n t -3t+C24第 2 3 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年 广 东 省 专 升 本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编=-Jx2-9 -

34、3arccos+Cx3.f-,dx【答 案】见解析。【考 点】第 二 换 元 法 求 不 定 积 分。【解 析】解：令x =2tan/,iZr=2 sec2/Jr,r 1 ,r 2sec2 tdt r,._J V/447 dx=J-2-s-e-e-r-=J sectdt=In 1sect+tan t+C1=Inx x+4+-2 2+C4x+3J2x+1dx【答 案】见 解 析。【考 点】第 二 换 元 法 求 不 定 积 分。【解 析】解:1 f 2x+6 1 r 2x4-14-5,=-dx=2 J V2x+1 2 J J2x+1172x4-1 2bi!x=|/2x+dx+j(2x+113 C

35、 1 _1)2d x-(2x+1 )24-(2x+1 )24-C6 2考点4：不定积分的分部积分法（反、对、幕、指、三；不要忘方程）25第2 6页，共4 8页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编设=M(X),V=v(x)是可微函数，且或“(x v (x)有原函数，则有分部积分公式:|w(x)-vx)dx=w(x)-v(x)-j v(x)u(x)dx或1.求 xexdx【答案】见解析。j udv=u v-j vdu.【考点】分部积分法求不定积分。【解析】解：J xedx=-1 xdex=-1-J exdx

36、)=xex ex+C2,求 j ex s in xdx【答案】见解析。【考点】分部积分法求不定积分。(解析 解:原式=s in xdex=ex s in x-ex co s xdx-e s in x-co s xde=e*s in x-ex co s x+Jexd co s x=ex(s in x-co s x)-jex s in xdx.所以，jex s in xdx=ex(s inx-co s x)+C.第二节定积分考 点1：定积分的定义I.定积分的值与哪些因素无关()4积分变量 A被积函数 C积分上限。.积分下限【答案】A26第26页，共4 8页1 0/1 2考点或配套习题一一突击冲刺训

37、练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编【考点】定积分的定义。【解析】解：定积分的数值与积分变量无关。2.已知/(X)在 区 间 句上可积，则.dxJa【答案】/(x)【考点】定积分的性质。【解析】解：#：f(x H x=f(x)考点2：定积分的几何意义(1)设/(x)0,则的值等于/(x),x=a,x=b,x轴所围成曲边梯形的面积.设 力 0)；1 7【答案】(1)3(2)-7ta-4【考点】定积分的几何意义。【解析】解：通过画图计算面积即可。考点3：定积分存在的充分条件1.下列说法正确的是()27第2 8页，共4 8页10/12考点或配套

38、习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编4若/(X)在 兄目连续，则 人 力 公一定存在：8若/(X)在 a,可 可导，则去 不一定存在；C.若 f xdx存在，则x)在 a,b上一定连续：。.若公存在，则/(X)在k肉 上一定可导.【答案】A【考点】定积分的性质。【解析】解：函数在区间上连续，则定积分一定是存在的。考点4：定积分的性质设/(x)，g(x)可积，定积分具有以下主要性质：性质 1 J：/(x)g(x)k J：/(x)a xJ：g(x)d x.即函数线性运算的定积分等于它们的定积分的线性运算.同时,这个性质也适用于

39、有限多个函数线性运算的情形.性 质2 夕(戈)公=4：/a)d x.(左为常数).即被积函数的常数因子可以提到积分号前面.性 质3无论a,瓦c三点的相对位置如何，恒有，/(x)t Z r=/(x)dx+J：f(x)dx.这表明定积分具有区间可加性.1.求定积分J【答案】见解析【考点】定积分的性质。2 2 1【解析】原式=J：(T)公+fxd x=-”|+3：=5+2=h28第 2 8 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编2.求 定 积 分J+cos2xdx.【答案】见解析【考点】定积分

40、的性质。【解析】原式_ JT=V 2co s?xdx=2|c o s x团=g _ J 02c o s M r+(-c o s x 9L2=V 2 s i nx J-s i nx ；二6(1 _ 0 _ 0+)=2后 2y性 质4若在区间 可 上，/(x)20,则，/(x)d x N O.推论 1 若在区间 a,b 匕/(x)K g(x),则 J：/(x)d x 4 g(x)去.推论 2 J f(x)dx 0%x-0Lx21 -C O S X 7 1-：=li m =-；3x i o 3X 6考 点6：定积分的计算L牛顿-莱布尼茨公式设函数/(X)在 a,可上连续，户(x)为/(X)在 a,句

41、上的一个原函数，则f，(x)=E(x)|/0)一 口4).2.换元积分法如果/(x)为 a,6 上的连续函数，x =w(1)满足下列条件：(p(a)=a,(p0=b;%=在 a,闭(或 夕,a)有连续导数,尹 的值域(&可,则，/一 拉 可：/夕 0m M 3.分部积分法j udv=uva-j vdu.1.计算定积分j f x2+-dx【答案】-530第 3 0 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编【考点】定积分的计算。【解析】解：/卜+卜=3 3；一/|；=_|r-j j.r4 x

42、+22.-：-axy/2x+22【答案】3【考点】定积分的计算。【解析】解：令 x/2x +1 =t,x-(Z2 l),c L v=以7,x =0/=l,x =4 =3,则原定积分。a _ (厂 7)+2f4 X +2,r3 2,一r一dx=-tdtJ o J 2x +1 J l t=J i(/+%=(.+1 川;2 6、22+3=.6 3考点7：偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数/(x)在 -凡。上连续，则 0，/(x)为奇函数；Li=12j：/(x*x J(x)为偶函数1.j x3eWf Z r=【答案】0【考点】定积分的计算。【解析】d e 凶为奇函数，奇函数在对称区间上的定积分为

43、0.31第 3 2 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本考点汇编第三节广义积分和定积分应用考 点 1:广义积分的概念和计算J f xdx=li m f(x)dx;J a b f f(x)dx=li m|f(x)dx;J-X a J af+00,0 f-K Of(x)dx=J f(x)dx+J。f(x)dx.1.求 )xex d x.【答案】-2【考点】广义积分的计算。【解析】原式=li m Cxe dx=-li m =-li m (eh-1)=.考 点 2：定积分的应用求 面 积：函 数 y

44、=/(x)在 区 间 上 的 定 积 分 的 数 值 等于由函数y=/(x),x =a,x=b和x轴所围成的平面区域D的面积的代数和.求旋转体体积：1.由连续曲线y =/(x)与直线x =a,x =6(a 6)和 x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为匕=可：/2。)心.2.由连续曲线x =/(y)与直线y =c,y =d(c X0,X2+/x 0,x2+y2 y0方法：转化成一元函数求极限。x2(、-1.讨 论lim 1 +-.(aw O常数)34第 箫 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习

45、资料广东专插本考点汇编【答案】【考点】多元函数的极限。,n(.r+-)【解析】解：原式=l i mX T 8y-a1 +1 令,=个 .-/l ixy)l i m (1 +-、而 l i my-axyj/T O O又l i mXT8y-ux2盯G+y)=lim/1 Xif8 1 y.-a 1 +乙I x)1 一 -=一.原式=eaa7考 点3：偏导数的求法、全微分1.偏导数的定义:/；(x0,J o)=H m/(x0+A x,0)-/(x0,y0)A r/；(x()，K)=H mAP TO/(*0，汽+)-/(/，V o)2.高阶偏导数dx2=，(x，y)d f dzydyydx)dxdyd(

46、dzdxydy J dydxd dz=/*y)73 5第 3 6 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编3.全微分,dz,dz,az=ax+aydx dy 1 .求函数Z =fy+2 q?的 偏 导 数 包 和 空.dx dy【答案】见解析。【考点】多元函数求偏导。【解析】解：=2xy+2y3,=x2+4x v2.dx dy 考点4：复合函数的导数复合函数微分法一链式法则1 .设函数z=u=w(x,),v =v(x,y).dz dz du dz dv dz dz du dz dv-+=

47、Hdx-du dx-dv dx-dy-du dy-dv dy2.设 =有连续的一阶偏导数，函数=(x),v =v(x),则du df du df dv-+-dx du dx dv dx考点5：隐函数的求导隐函数微分法设函数尸(x,y)=O确定y =/(%),则 包=一 二.dx Fy设函数万(确定z=/(X,力,则 生=_与 生=_ 与dx F_ dy FzT 7.1.设二元函数z=z(x,y)是由方程二一l n =0所确定的隐函数，求z y36第 3 6 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本

48、考点汇编d z d zfix dx2【答案】见解析。【考点】复合函数的导数。【解析】解：令F(x,z)=-ln-,F x,y,z)=-,F(x,y,z)=-=-,z y z z z z当 (x,y,z)w0d z F，z,即zwO时，由&=一 占=,两 边 同 时 对x求偏导d x F：x+z数，并注意到z=z(x,y)为x j的二元函数,得：彖曳x+z)一ZI+全I d xZ2 2x+z)x+z)3 37第 3 8 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编第五章二重积分考 点1：二重积

49、分的几何意义、性质几何意义：二重积分。是一个数值，当时，其数D值等于以区域O为底，以曲面z=/(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积：当/(x,y)W O时，其数值等于前述曲顶柱体体积的相反数.性质：性质1 (线性性)“i/(x，J)2 g(x j)dc r=K j J/(x,y)dc r士 左2 j j g(x,y)db .(为常数).D D D性质2 (区域可加性)如果区域。=且。与。2无公共内部交点，则J J/(X,v)d(T =J J/(x,y)db +j j/(x,.v)dc r .D D2性质3 (保号性)在区域。上，若/(xjRO,则J J/(x,y)dc r J J g(x,y)db

50、 .D D性质4 (保序性)在区域。上，若 x,y)4 g(x,y),则J J/(x,y)dc r 4 j J g(x,y)db .D D性质5(积分绝对值不等式)在区域。上，J J 7(x,j，)dc r w J /(x j)|db .D D性质6(二重积分估值定理)设、机分别是函数/(x,y)在有界闭区域。上的最大值和最小值，。为 Q 的面积，则 J J/(x,y)dc r Ma .D38第 3 8 页，共 4 8 页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料广东专插本 考点汇编性质7（二重积分中值定理）设函数/（