2021年高考数学考点40直线平面平行的判定与性质必刷题文【含答案】.pdf

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1、考点4 0直线、平面平行的判定与性质1.如图，在棱长为2的正方体4BCD-4I%CWI中，的中点是p,过点占作与截面P B C 平行的截面,A.2 潟 B.2 G C.2 m D.4C【解析】在棱长为2的正方体A B C D-儿B i Q D：中，&员的中点是P，过点人作与截面P B Q平行的截面,则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：贝|J E F=2、2,iC =2v/3,EF LA X则截面的面积S =zEF -A,C=2展故选C2.如图，在正四棱台“B C D-劣/。/中，上底面边长为上 下底面边长为8,高为5,点M W分别在isi Aci,且&M =D

2、IN=1 过点M,N的平面 与此四棱台的下底面会相交，则平面a与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A.18/7 B.30J 5 C,阪 D,3源B【解析】当斜面a经过点B C N M时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此 时a为等腰梯形，上底为MN=4,下底为B C=8此时作正四棱台A B C D-4灵 俯 视 图 如 下：则M N中点在底面的投影到B C的距离为8-2-1=5因为正四棱台4B C D-的高为5,所以截面等腰梯形的高为、亨 彳 亨=5、与所以截面面积的最大值为S =：x (4+8)x 5V 2=30攵所以选B3.如图，在三棱柱4B C-4B 1G中,侧 棱，底面&

3、B 1 G,底面三角形&B 1 G是正三角形,E是B C中点,则下列叙述正确的是A.C G与 是 异 面 直 线 B.4C J平面4B B/1C.AE,为异面直线且A E l B R i 口.&口/平面c【解析】对于A项，CQ与 在 同 一 个 侧 面 中，故不是异面直线，所以A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故，平 面 员 也 不 可 能，所 以B错；对 于C项，因为月E,B工C力在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，所 以C正确；对于D项，因 为 所 在 的 平 面 与 平 面.4殳E相交，且.4.C _与交线有公共点，故 必。)/平面48式不正确,所以D项不

4、正确；故 选C.4.如图，在 四 棱 锥0-4 B C D中，底 面A B C D是边长为2的正方形，%，底 面ABCD,0 A=2 ,M为%的中点，N为0B的中点.求 证：MN 平 面0 CD；(2)求异面直线0C与MD所成角的正切值的大小.(1)见解析T(1)解：M 为 0A的中点，N 为 0B的中点,M N/AB.又 CD/AB,M N/CD.M N C 平面 O CD,CD c 平面 OC D,.M N”平面 0 CD(2)连 接 於，设线段/C的中点为 ,连 接 磔，DE,则ME C ,NEMD为异面直线o c与3所成的角或其补角).由已知可得。E=,E M=事,M D=V弓,v(V

5、 2)=+(V 5)2=(V 5)=,EM D为直角三角形，tan z E A fD=,EM 6 3:.异面直线o c与MD所成角的正切值为百5.如图，在四棱锥P-4B C D中，四边形4B C D是直角梯形，AD/BC,AD=2 CD=4,z S C D=90,P MAC L BD,M是棱P C上一点，且 入 一，P 4平面MB D.(1)求实数%的值；(2)若平面P 4DJ平面4B C D,P AD为等边三角形,求三棱锥P -MB D的体积.及(1)见解析；(2)TT(1)如图，连接A C交 于E,因为P 4平面MB。所以P 4ME,P M _AE从 而 无 一版，又由4C J.B D可得

6、B C=1,AE _AD _4 _ P M _AE _4ECBC,P CAC5,4 4 1 1 -(2)M 8 D=J p -BCD=gx x q x l x 2)x 273=-j y6.如图，在四棱锥P-4B C D中，底面4B C D为平行四边形，AB=2 AD=2,P D=BD=y/3 AD,且P DJ底面ABCD 证 明：B C J.平面P B D；（2）若Q为尸。的中点，求三棱锥4-P B Q的体积.（1）见解析；B Q-4【解析】（D 证明：AD2+BD2=AB2,J.AD 1 BD,：AD/BC,S.BCL BD.又：PD_L底面ABCD,.PD J.B Cc BD=D,.BC

7、J 平面PBD.（2）三棱锥力-PBQ的体积匕-BQ与三棱锥-Q5C的体积相等,所以三棱锥A-PBQ的体积匕T S Q=；.7.在四棱锥A-B C DE中，底面B C DE为菱形，侧面A B E为等边三角形，且侧面A B E L底面B C DE,0,F分别为B E,DE的中点.CB(I)求证：AOCD；(II)求证：平面AOFJ_平面ACE；AP(H I)侧棱AC上是否存在点P,使得111平面人0尸？若存在，求出丽的值；若不存在，请说明理由.(1)见解析；(2)见解析；AP _1(3)P为4c上靠近4 点的三等分点时，B P|面4。；PC2【解析】(D 证明：A48E为等边三角形，。是BE的中

8、点，A 0 1 B E.湎 ABE 面 D E,0.45E nBCDc=5cAO c 面A B E A O 1 面BCDE,CD c 颜 CDE：AO 1 CD.(2 薄 接 EE BD,EC湎 ABE l B C D E,面ABE C面BCDE=EE又 由(1)有AO 1 BE,AO c 面ABE,：,AO 1 BCDE,EC c B C D E,贝 MO 1 EC.底边BCDE是菱形，EC 1 BD,又O F 分别是BE,DE的中点，；.OF II BD,：-EC 1 OF.又OFM虑 平 面.4 内的两条相交直线，二EC 1 颜 OF.又EC c 面ACE,：.曲AOF 1 谢EC(3)

9、当P为4C上靠近4点的三等分点时，BP II平茴AOF.证明如下：设CE与BD.OF的交点分别为M M连接.4M PNL 底边8CDE是菱形,0.F分 别 是 甑DE的中点：二 学=不又P为4C上靠近A点的三等分点，二笠=攀=匕PM II AN.rL.；AN c 面AOF,PM U AOF.：.PM l|面AOF.-BD II OF.OF c 阚OF,BD 丰&AOF.：.BD II 初OF.即8M II 面AOF又BM a PM=M,-丽MP II 面AOF;：BP u 鄙MP.：.BP II 面AOF.二侧榛4c上存在P,使得SP II面AO F,且.嘿=：.8.如 图 1,在矩形A B

10、C D中，A B=2,B C=4,E为 A D 中点，把a A B E 沿 B E 翻折到4 B E 的位置，使得A C=2 p,如图 2.(1)若 P为 A C 的中点，求证：DP 平面A B E；(2)求证：三棱锥A -B C E 的体积8.(1)见解析；(2)(I )法 1取 A B的中点M,连接P M,E M.由 A P=P C,A M=MB,.*.MP/B C,B C=2MP,X DE/B C,B C=2DE,A MP/E D,MP=E D,四 边 形MEDP为 平 行 四 边 形，.DPEM,PD/21 2.在三棱锥P-4 B E中,P-ABE P A，底面4 B E,1AB AE

11、.AB=AP =-AE=21AB=AP =-AE=22 0是4 E的中点，C是线段B E上的一点，且4 C =6,连接P C,P D,C D,P D(1)求证：C D平面/M B；(2)求点E到平面P C D的距离.r 解析】（D因为：4E=2,所以4E=4.又月8=2,AB LA E,所以在Rt ABE中,由勾股定理，得BE=AB-+AE-=V2=+4=2、区因为AC=布=B E,所以AC是Rt A月 BE的斜边BE上的中线.所以C是BE的中点.又因为D是AE的中点，所以直线CD是2 ABE的中位线，所以CD 1又因为CD C平面P血AB u 平面P A B,所以8 平面PA（2）由（1）得

12、，CD=zAB=1.又因为DE=2,DE 1 CD.所以 5“D=;C D-D E=i x l x 2=1.又因为”=2,所以25?皆 _ 皿=汽 血 AP=：x 1 x 2=渴 知 PD=2、Z且PD LCD,所以S v”=；CD.PD=1 x 2在=、，2设点E到平面PCD的距离为d,则由，三 交！YD2=V三 夜 些E-PCD，得 衿 8 k d=：,即:X V2 X rf=解得d=在.即点E到平面PCD的距离为、21 3.如图，已知矩形4BCD中，E、F分别是4B、CD上的点，BE=CF=1,BC=2,AB=CD=3,P是DE的中点，现沿着DE翻折,使平面ADE 1 平面BCDE.FA

13、D(I)Q为4c的中点，求证：PQ平面4BE.(I I)求异面直线4D与BC所成角的大小.7 T(1)见解析；(2)异面直线AD与 BC的所成角为【解析】(I)取BC的中点M,连接PM Q M,易证PMVBE,PM U 平面ABE.EB c 平 励 BE.PM 平面ABE.QM是 必 BC的中位线,：.QMHAB,QM 0 平面ABE,AB c 平丽平面dBE.PM n QM=M,PM c 乎 前 QM,QM u 平面PQM,平 面 PQM平面.4BE,P Q 平面ABE.(n)连接 AP、PB,.AD=AE点 P 为 DE 的中点，.AP1DE,.平面ADE1平 面 BCDE,平面4DE 评

14、 面 BCDE=DE,:.A P I平面8CDE,AP1PB.AP=PE=根据余弦定理可求得PB=、弓,同理可求得PC=41-A B=港2+PB2=J2+5=j,1 1同理可求得4C=a1 ,S“AARBC =-2 x 2 x*A/6=”-/6,SAgP8RCr =-2 x 2 x 2 2_ 1三棱锥力-P B C的高为A P ,乙 一 PBC=X点、2=逑3 ，设点P到平面4 B C距离为d,VA-P BC=VP-ABCt3 V 3 =也3 ,点E是4 B的中点，点尸是B C的中点，点M是4。上的点，且1AM=-MD1 4.如图，在边长为2的正方形ZB C D中,(1)求证：P D J.EF

15、；(2)求证：P B平面E FM.(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)证 明:.,折懿前4 D 1 AE.DC 1 CF.折会后P D 1 P E,P D L P F又；P E c P F=P：.P D评 面P E F,而“u 平面P E F：.P D L EF.(2)连接8 D交E F于N,连接NM,在正方形月B C D中，连接A C交B D于。,贝J 8 N =8 0 =tB D,所以B N =N D,4 3又月即PM=：DM,在d P B D中，黑=%=：,3 4J D 1 0 3所以P B M V,P 8 U 平面E FM,MNu平面E F M,所以P B/平面E FM.1 5.如

16、图，在四棱锥P-4 E C 0中，平面P 4 B _ L平面4 B C D,四边形4 B C D为正方形，P A B为等边三角形,E是P B中点，平面4 E D与棱P C交于点F.(I )求证：AD/EF.(I I)求 证:P B,平面4 E FP；（I l l）记四棱锥P-4 E FD的体积为吟，四棱锥P-4 B C D的体积为七，直接写出乙的值.（1）见 解 析（2）见 解 析（3）/8（I）证明：因为正方形4 B C D,所以4 D B C.因为 的 评 面PBC,BC u平面PBC,所以月D/平面PBC因为;ID u 平面A E F D,平面/lEFDri平面PBC=EF,所以ADEF

17、.(I D证明：因为正方形4 B C D,所以A D I AB.因为平面PHB _ L平面A B C D,平面PABn平面dBCD=A B,月D u平面ABCD,所以AD _ L平面PAB.因为PB u 平面PAB,所以RD 1 PB.因为/PAB为等边三角形，E是PB中点，所以PB 1 AE.因为/IE u 平面AEFD,4 D u平面dEFD,AEnAD=A,所以PB _ L平面AEFD.(i n)解：由(D 知，v,=vc_AEFD,VE_ASC=VF_ADC=VC _AEPD=v ,BC-AEFD=/L则%-有8=匕+；匕=；以，吃 B1 6.如图，已知P 4,平面4BC D,底面4B

18、CD是矩形，PA=AB=1,AD=3,F是PB中点，点E在BC边上.(1)求三棱锥E-PAD的体积；求证：4 F，PE；(3)若EFII平面P 4 C,试确定E点的位置.p(1)4(2)见解析 5【解析】(D 解：三棱锥E-PA D 的体积等于三棱锥P-E A D 的体积；PA1 平面 ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,AD=/.VP Ex-x A D x A B x P A =-2 2 6三棱锥E-PA D 的体积为b(2)证明：PA1 平面 ABCD,EBu平面 A B C D,.EB1PA,/EB1A B,PACAB=A.E B I 平面 PAB AFu平面 PAB/.A F1E

19、B.PA=AB=1,F 是 PB 中点，.AF1PB,.,EBnPB=B,.3 1 平面 PBC：PEu 平面 PBC二.A FlPE;(3)解：E 是 B C 中点 EF”平面 PAC,PCu平面 PAC,.EF/PC：F 是 PB中点，.E 是 BC中点.1 7.如图，在三棱锥P-4BC中，平面P4B_L平面ABC,PA1PB,MJV分别为4B,P4的中点.(1)求证：P B 平面M N C；若4 C =B C,求证：P 4 J L平面M N C.(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)因 为 分 别 为4 B.P A的中点，所以 M N/P B.因为MNu平面M N C,P B

20、所以P B 平面M N C.(2)因为P R J.P B,M N H P B,所以2 4 1 M N.因为A C =BC,AM =B M,所以C M 1 AB.因为平面P 4 B _ L平面A B C,CM u 平面A B C,平面P/1 B C平面A B C =.4 5,所以C M 1平面P A B.因为P 4 u 平面P 4 B,所以C M P A.因为P 4 1 M N,M N u 平面M N C,CM u 平面M N C,M N n CM =M,所以P nJ 平 面M N C.1 8.如图，在直三棱柱4 B C-4 B 1 G中，点也及分别为线段&B,B C的中点.(1)求证：M N平

21、面4 4 1 G q(2)若乙4 B C =9 0 ,4 B =B C =2,=3,求点/到面为B C的距离.B6V13（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接BC：,.四边形BCJB显平行四边形，N是B：（:的中点，.N是B J的中点，又M是A：B的中点，MNA：C：,又A二 Ju平面AAaJC,VN 仁平面AA_C_C,二 VN平面AA_JC.解：ABI BC,BB：1 BC,ABc BB：=B,二 BC 1 平面A B B A，V C-A,B B=S B B.BC=?x；x 2 x 3 x 2 =2,又A工 B=v AB 2+AA;=V U，二 S 4ARe=三 x vTJ x 2=

22、y13.设B：到平面A：BC的距离的距离为h,则V B,.A,BC=必,BCh=?,v V =V B i-A B C，2二$h=雪 点B 一到面2BC的距离为第.这个题目考查了线面平行的证明方法，以及点面距离的求法；点面距离一般可用的方法是等体积转化的方法，通过应用棱锥体积相等得到棱锥的高，进而得到点面距离.1cn AD=AB=BC=1 l1 9.如图，在四棱锥P-4BCC中，乙1BC=NB4D=90,2,PC JL平面4BCD,PD=乖,M为PC上的动点.(I)当”为尸。的中点时，在棱PB上是否存在点N,使得MN平面PD4?说明理由：(ID ABDM的面积最小时，求三棱锥M-BCD的体积.(

23、I)见解析.(II)12.【解析】(I)当N为PB中点时,MN平面PDA.证明如下：取PB的中点N,连接MN,M,N分别为PC,PB中点,.,.MN/BC,又 BC#AD,/.M N/AD,又DAu平面PDA,M N,平面PDA,二.M N 平面 PDA;(H)由 PD1 平面 ABCD,DBu平面 A B C D,知 PD1BD,又 BD1CD,CDHPD=D,.BD_L平面 PCD,又 MDu平面PDC,/.BD1NID,.DBM为直角三角形.当 M D 1PC时ABDM的面积最小.在底面直角梯形ABCD中，由NABC=NBAD=90。，AD=AB壬B C=1,得 C D=Z在 R3PDC

24、 中，由 PD=E,CD=、Z 可得 PC=2、M D=.贝 CM”,.SiMCD=7 xx 2 2 2 4-BCD=B-M C D=:S.VCD,8。弋 /、2=.求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积.的 一些特殊方法一一分割法、补形法、等体积法.割补法：求一些不规则儿何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过己知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过

25、具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.2 0.如图，在四棱锥P-4 B C D中，底面4 B C D是菱形，DAB=6 0 ,P D _ L平面4 B C D,P D=4 D =1,点E F分别为4 B和P D中点.(1)求证：直线4 F/平面P E C；求 证：4 C J.面P B D；(3)求P E与平面P D B所成角的正弦值.(1)见解析.(2)见解析.更(3)1 4.【解析】证明：作FM C D交P C于.点F为P D中点，.*.FM=：C D,.2=；,=.,.4 E M F为平行四边形，：AF 评 面P C E,E M u 平面P E C,.,.直 线/

26、怦 面P E C.底面 BCD是菱形，.2 C 1 BD,：PD 1 平面月BC D,月 C u平面dBCD,：.PD LAC:PDCBD=D,.C J _ 平面PBD;(3)连接PE,PG,.点E,。分别为AB和AC中点，MO II EG,.FC 评 面 P B D,.EG1 平面PBD,根据直线与平面所成角的定义可得：4EPG为PE与平面PD5所成角或补角,EGP中，AO=,EG=；D E=W，PE=1+：=3正 k.sMEPG=,=号，.PE与平面PDB所成角的正弦值为手.-工 4 14D本题考查了空间直线平面的平行，垂直，空间夹角问题，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题

27、求解，直线，直线，平面之间的转化问题.21.四棱锥中，AD/BCf AD=AE=2BC=2AB=2,AB 1 ADf 平面E4D J 平面ABCD,点尸为DE的中点.(1)求证：CF平面E4B：(2)若C F14D,求四棱锥E-4BCD的体积.(1)见解析；(2)1【解析】(D证明：如图，取月E的中点G,连接G F,GB.点F为D E的中点，：.GF/AD,且G F=；A D,y.AD/BC,AD=2BC,：.GF/BC,且G F =B C,.四边形CF G B为平行四边形,则CF/BG,而C F仁平面E A B,BG u 平面E A B,：.C F/E AB.(2)V C F 1 AD,：.

28、AD 1 B G,而片B 1 R D,：.AD 1平 面 E A B,：.AD 1 EA,又平面E A D _ L平面力B C D,平面E R D 评 面A B C D =AD,：.EA 1 平面 B C D,-VE-ABCD=:$携 和BCD-EA=1.2 2.在多面体4 B C D E F中，底面A B C D是梯形，四边形4 D E F是正方形，AB/DC,C D V A D,而4 B C D J.面ADEF,AB=AD=1 CD=2.(1)求证：平面E B C,平面E B D；(2)设M为线段E C上一点，3 EM =E C,试问在线段B C上是否存在一点7,使得M /平面BD E,若

29、存在,试指出点7的位置；若不存在，说明理由？(3)在(2)的条件下，求点人到平面M BC的距离.(1)见解析.(2)见解析.(3)6.【解析】(1)因为面月BCD 1面月D E F,面ABCD c 面月D E F =A D,ED 1 A D,所以E D 1面ABCD,ED 1 BC.故四边形ABH D是正方形，所以乙4D B=45：在4BCH中，BH =CH =1,：/BCH =4 F.BC=:/BDC=45c,:/DBC=9 0 W S C 1 BD.因为BD O ED=D,BD u 平面E BD,ED u 平面E BD.：.BC 坪 面E BD,B C u平面E B C,二平面E BC 评

30、 面E BD.(2)在线段BC上存在点7,使得M T平面BD E在线段BC上取点T,使得3的=而，连接M 7.在4E BC中，因 为 黑=誓=%所 以/CM T与 CE B相似，所以M T E BO C C 又M T C平面BD E,E B u平面5 D E,所以M T平面BD E.(3)点内到平面M BC的距离就是点A到平面E BC的距离，设A到平面E 8C的距离为h,利用同角相等可得,7 X x h=7 X 7 X 2 X 事,可得h=-y.1oAB=AD=CD23.如图，矩形CD E F和梯形4BCD所在的平面互相垂直，/.BAD=LADC=90,2,BE L DF,(1)若M为E 4的

31、中点，求证：4c平面M D F；(2)若4B=2,求四棱锥E-4BCD的体积.见 解 析 VE-ABCD=4【解析】3)证明：设EC与DF交于点,V,连接MN,在矩形CDEF中，点N为EC中点,为期的中点，又C平面MDF,MN u平面.4C 平面 M D F.(2)取CD中点为G,连接BG,EG,平面CD E F 1平面4BCD,平面CD E F C平面ABCD =CD,AD c A B C D,AD L CD,二.AD 1 平面CD E F,同理E D _ L平面4BCD,E D的长即为四棱锥E -4BCD的高，在梯形月BCD中月B=；CD =D G,AB/DG,二.四边形4BG D是平行四

32、边形，BG/AD,：.BG J _平面CD E F,又,：DF u 平面CD E F,.BG 1 DF,又BE 1 DF,BEaBG=B,二J 平面BE G,DF 1 EG.注意到At D E G，R tEF D,：.DE:=DG-EF =8,DE=2、-E-ABCD q$ABCD,E D 4V 224.如图，四边形 ABCD 为梯形，AB/CD,P。，平面 ABCD,BAD=ADC=9 0,DC=2 AB=2 a,DA=邪a,E为 BC 的中点.(1)求证：平面P BCJ平面P D E.（2）在线段P C上是否存在一点F,使得P A平面BD F?若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，请说

33、明理由.（1）见解析.（2）当点打 位于线段P C的三等分点（靠近点P时）满足条件.t解析】（1）证明：如图，连接BD,由题意KBAD=D C =90,AB=a,DA=a,所以BD=DC=2 a,因为E为BC的中点，所以BC 1 DE,又PD J平面ABCD.BC u 平面B C D,所以BC 1 PD,又DE LPD=D,所以BC 1平面PDE,又BC u 平面PB C,所以平面PBC坪 面PDE.（2）当点5位于线段PC的三分之一分点（靠近点P）时，PA/平面B D F,证明如下:如图，连接AC交 于 点。，连接OF.BEDF,因为ABC D,所以1AOBCOD,因为 18=：。，所以4

34、0=；0 C,即,又P F=：P C,所以。FP4,又O F c平面BD F,P/C平面BD F,所以孙平面B”25.如图所示，正三棱柱的高为2,点D是 的 中 点，点E是BiG的中点.(1)证明：D E平面.事(2)若三棱锥E-D BC的体积为适，求该正三棱柱的底面边长.(1)证明见解析；(2)1.t解析】(D如图，连接因为D是工5的中点，E是生C_的中点,所以在d B 4 G中，DE“ACDE 0平面从C Q4，AClc 平面ACC&A”所以D E 平面4 C Q 4(2)解：由等体积法，得/_ D 8C=%Y B C，因为D是A-B的中点，所以点D到平面5 C C殳的距离是点A,到平面BCC：灵的距离的一半.如图，作AF J.8C交BC于点尸，由正三棱柱的性质可知，AF,平面BCQ B.设底面正三角形的边长a,则三棱锥的高力=：月5=。，SAERU=X(IX2 =F L,所 以%-3C=-h=77 n:=77,解得a=1,所以该正三棱柱的底面边长为L