2021年高考数学考点22正弦定理和余弦定理必刷题理【含答案】.pdf

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1、考点2 2正弦定理和余弦定理1.在ABC 中，三个内角 A,B,C 满足 sin2A+sin2Bsin2C=G sin Asin B,则角 C 的 大 小 为()A.30 B.60 C.120 D.150A【解析】由正弦定理知：a2+b2-c2=、活ab则cosC=二/1 =%,又0。180%则 C=30.故选42.已知ABC的内角4B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,acosB+bcosA=ccosC则“a 6(2,4)”是“ABC有两解”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件,D.既不充分也不必要条件B acosB+bcosA=也 ccosC,sin 4cos B+s

2、in Bcos A=y/2sin Ceos Csin(4+8)=&sin Ceos C,W r n cos C=C =2,4当 ABC有两解时，则a s in C C a,解得a 6(2,人历)1 6(2,4)”是“AABC有两解”的必要不充分条件故选&tanA 2c1 _|_ _3.在aABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2&,c=2&,tanB b则 N C=()7T7T7137r 3nA.B.4 c.4或 4 D.4B【解析】由题意，可 知 在 中，满足1+黑=三t a ns o由正弦定理和三角函数的基本关系式可得1+差翳=誓,CO S A S ino S 1 H5

3、即空嗡泮=蓍，即制 月+B)=2 sinc c os4,又由A +8 +C=开=sin(/l +B)=sin。，所以sin。=2 sinCc os4,即c osA =J又由C e(0.JT),所以A =P 贝 iJsinA =3,在2 UB C中，由正弦定理可 得 急=就=sinC=差.sinA =釜 x 号=W,SIHA sm c sc 八 3 二 二又由Ce(O.JT),所以C=%故 选 B.44.在 Z U B C 中，内角4 B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足2 b c osB =a c osC+c c os4,若b=#,则a +c 的最大值为()3A.2G B.3 C.2 D.

4、9A2bcosB=acosC+ccosAf 贝 i j 2 s出B c osB =sinAcosC+sinCcosAf所以 2 sE B c osB =sin(A+C)=sinB,1 ncosB=一 B=一2,3a2+c2-b2 a2+c2-3 1又有 cosB=-2-a-c-=-l-a-c-=2,将式子化简得a?9 +c?9=3 +a c,(Q+c)2 =3 +3ac 3 +则3(Q +c)2,所以-4(a +c)2 3,a+c o，y。，则x+y=()BA.1+邪B.1 +2&C.2 +W D.由题意得，若设 AD=DC=1,则 AC=、，%AB=2在,BC=、E,由题意知，DB=xDC+

5、yDA.BCD 中，由余弦定理得 DBXDCACBZDOCB+cos(45。-90。)=l+6+2xlxv/6x=7+2y,DB=xDC+yD4.x O,y 0,Z*WC=90,/.DB:=x-y*,/.x2+y2=7+2DB=xDC+y;DA.x O.y 0.如图，作 DC-=x DC,D A-D A,则 丽=而+而7,CC=x_ 1,CB=y,RSCCB中，由 勾 股 定 理 得 B G Y C M：呼，即 6=(x-D y2,由可得x=l+G,y=G,故答案选B.6.在 A 4 B C中，乙4/B/C,所对边分别为a,4 c,已知 n=(h,2 c),m =sinC.sinB cosA)

6、,且 m In.(1)求”的值；(2)若 =2 ,c =2,求A 4 B C的面积.2 7 r(1)3 .(2)邪.【解析】(1),记L 元，(sinC.sinBcosA)(&,2c)=0.hsinC+2csinBcos/l=0.,:一=一be+2cbcosA=0,sin5 sm C:匕 h 0,c h 0 1+2cos-4=0,:.cos月=，v 0 12=&2+4 4bcosl20%二炉+2匕-8=0.b=-4(舍 去)或b=2,:A B C 的面积之=bcsia4=0,故cosC=力 得C=(2)由 而=)出+而)得3=；(2二+。二+22acos60。)，从 而。=2 或。=一 4(含

7、)，故SM B C=ab-sinC=x 2 x 2 x sin600=后,1,b=acosC+-c1 0.在A A B C中，内角/、8、C的对边分别为a、久 c,已知 2 .(D 求角4 若 油 死 1=3,求a 的最小值.7 T(1)3；(2)水C(1)A B C 中,b -a c osC=2 ,_ 1 _ 由正弦定理知，sinB -sinA c osC=2 sinC,V A+B+C=n,1_/.sinB=sin(A+C)=sinA c osC+c osA sinC,A sinA c osC+c osA sinC-sinA c osC=2 sinC,/.c osA sinC=2 sinC,

8、/.c osA=2 ,A=3 .(2)由(1)及 NB/C=3 得b c =6,所以a 2 =b 2 +c 2-2 b c c os2 4 =b 2 +c 2-62bc-6=6,当且仅当b =寸取等号“所以。的最小值为优.1 1.A力 BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,4 BC的面积为S,若4 4 S=八+,2-。2(1)求角4(2)若a=2,b=2y/3,求角C.nA=-(1)6；n nC 2或6【解析】(1)/ABC中,b二 +c。二=S=4、纣-bcsinA=2bc、”sin4 cos/4=土=V5sin4 tan4=-3V 0 月 J T.%A=-6(2)v a=2,b=2

9、V5,A=-6 由-=;得siru sinsD bgiaA”年V 3sinn=-=-s=-a 2 27 0 B A6，就1 2.在ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2-b2=abcosA+ccosB,(1)求角B；依.c f-tanC=若b=2 j,2,求ABC的面积.nB=1-3(2)6【解析】（1）因 为+/-匕二=abcos月+a2cosB,由余弦定理，得2 accosB=a b cos A+a2cosB?所以 2ccosB=bcosA 4-acosB,由正弦定理,得2sinCcosB=sinBcosA+sinAcosB=sin(4+B)=sin g又C e(0,/r

10、),sinC 0,所以c o s B=i B e(O.JT),所以B=彳(2)由tan。=，C (0.JT),得cosC=r22所以 siih4=sin(B+C)=sinScosC+cosBsinC=兰+=铝=由正弦定 理 扁=高，得situi sinsbsiru 2yf7 a d ca=-=:-=Sins 12 14所以 B C的面积为 absinC=：.6 2咛=6次7 1i 4 二 一1 3.在A4 BC中，角4,B,C的对边分别为aec.已知 4,(1)求角区(2)若a=2&,求A4 BC的面积.B=-n(1)8 (2)2nJIbsin(-+0-c sin(+B)=a4 4【解析】（1

11、）由b s i n G+。）一 c sin（E+8）=。应用正弦定理,得sin8 sinG+C)sinC sin+=sia4sinB(WsinC+?c osC)sinC(今 sinB+岑 c osb)=坐,整理得sinBc osC-c osBsinC=1,即 sin(B-C)=1由于0 B,C 从而B C=三 因为B+C=：JT,联立解得B=：JT(2)由(1 居。因为 a=22,A=。得 b =4 sin JT同理得c =4 sin所以 A BC的面积5 =bcsinA=1 x 4 sin-n x 4 sin-x?=4 vz2 sin-n sin-2 8 9.8 8=4 V2 sin(7 4

12、-)sin-=4 c os-sin-=2 V2 sin-=22 Q 8 8 8 4cosC 3a-c1 4.在A4 BC中，角4 B,C的对边分别为a,瓦 c 且c osB b.求 sinB；(2)若b =4 招,。=c,求A4 BC的面积.,_2y/2(1)SB_ 3 .(2)SA4 BC=8.cosC _ 3sin 4-sin C【解析】(1)利用正弦定理得到cosB-sin 5 ,然后化简得到sin d =3sin A cosB ,从而求出cos 5 =,3,再由同角三角函数的基本关系式可求出sinB=萨；(2)由余弦定理得cosB=节产，结合b=47,a=c,cosB=，求出c的值，利

13、用三角形的面积计算公式5 配=csinB =：c，sinffj导到三角形的面积1座/ABC中，由正弦定理可得；=鬻5=翟cosC _ 3sin-血 C又因 为 篝=誓，所以益 臣-一一即 sin B cos C+cos 5 sin C=3 sin A cos B sin(5 +C)=3 sin 5 cos C又,:B+C=JT-月,所以sin(B+C)=sinA：.血 乂=3 血.4cos 5 ,又因为sinX 土 0cos 5 =-3,又因为0 B /r sinF=V1-cos2 B=/1-=9 3(2)由余弦定理得cosB=人+L-b,将b=4v0cosB 弋入得a。+c2-ja c =3

14、22ac 3 3又a=c,故;c，=32=c二=24S上次=g ac 血 5 =：/sin B=8 g7 1 1J7Z.ADC=cosZ-C=-1 5.如图所示，在ABC中，D是BC边上的一点，且AB=1 4,BD=6,3,7 .A（2）求 AD的长和AABC的面积.3/21 105 4（1）sin/.DAC=14.（2）AD=10,SAABC=2。【解析】（D A ABC中，因为4DAC=万一（乙4DC+AC）,U D C=?所以有sinzJX4C=sin（jr-（D C+zC）=sin（7+z）=e sinz+=sinz又因为 coszZ?=哼，LC e（O.JT）所以sin/T=47所以

15、s in/D 一今。（2）在AA5D中，由余弦定理可得，ABZ=BD2+AD2-2BD-ADcosz.ADBc e c 2/r14-=6-+/4D-2 x 6 x AD x cos 整理得 4D、+6 6 D-160=0得AD=10或/ID=-16（舍）在aACD中，由正弦定理得，CD _ ADsinZ.DAC sinzCCD _ AD|一 匣1 4 7CD=1 5以S 4.BC=-BD-sinzADB 4-DC-sinLADC1 0 5 W.=2 Q1 6.在ZkABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c(sinC-sinA)=(sinA+sinB)(b -a).求 B

16、；1 AN 厂 若 c=8,点 M,N 是线段BC的两个三等分点，B M =3-BCBfM =2,J 3,求 A M 的值.7TB=-(1)3.(2)4 M=2网【解析】(D .sinC-sinA)=(sinA+sinB)(b-a),则由正弦定理得：c2-ca=炉 一a2s c .c ，c.a+c-=ca,又0 B/3ac即sin B=g AABC是锐角三角形n B=(2)由可得：/4 +C=y当b =2 时，由正弦定理可得：a b c 2 43sin A-sin B-sin C 一-3Ta=sin A,c=sinC3 3故 a+c=(s 讥 4 +s m C)=孚(5 加 A+s 讥(于一4

17、)4、/一 巡 /a?八 4、，G 事=z I si?/4 +c os4 +-s m H I =z-I4-c os4v L 乙。,乙 乙=4(-sin4 4-3 os 7 1)=4 sin 卜+:)n4 =一当 3 时，(Q+c)m5 =4n 2 /5A=-c os B=-2 0.在A/BC中，已知 4,5(1)求c os C的值；(2)若BC=2 4，D为4 B的中点，求 CD的长.V 1 0(1)-而(2)G【解析】(1)v cosB=”且8 e(O.JT),.%sinB=v l-cos2B=ycosC=COS(JT 4 B)=cos(*B)37T D.3.D s 2V5,V5 v10=c

18、os-cosB+sin-smB -F-.4 4 2 5 2 5 10(2)由(1)得,sinC=v 1 cos2C=由正弦定理 得 名=即c m b二行=T TT4b解得AB=6.sine 由余弦定理，CD2=（2、行）+3-2 x 3 x 2、亏x萨=5,所以CD=5.21.在ABC 中.，AB=3,AC=4,BC=3,D 为 BC 的中点，则 4。=且2sB _ 32+32 _ 4,2 _ 1在A4BC中，根据余弦定理，可得cs 一-2 x 3 x 3-9,7CC/12 =32,+(3-)27 -2 x 3 x3-x-1 =一41在A4BD中，根据余弦定理，可得 2 2 9 4.AD所以A

19、/41A/412,故答案是2.22.已知AABC的三个内角的正弦值分别与4 HIG的三个内角的余弦值相等，且ABC的最长边的边长为6,则4ABC面积的最大值为.9#-9【解析】ABC三内角的正弦值等于AAIBICI的三内角的余弦值，,不 妨 设：sinA=cosAi,sinB=cosBi,sinC=cosCi,/cosA i0,cosBi0,cosCi0,.Ai,Bi,C i都为锐角，又 A 为钝角，则 B,C 为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=Ai=A-90,Bi=90-B,Ci=90-c,相加可得：A-B C+90=Ai-Bi+Ci,解得：A=%,则角A对 应 边 长 最 长 的 边 为 6,根 据 余 弦 定 理 得 到一三=b=，+”+y/2 bc=36 (2+2)bc解得be w 1 8(2-V2),三角形的面积最大为:bcsiiX c=8 的三角形ABC中，52+82-72 _ 1c osB=2 x 5 x 8 2,Be （0,兀）,7 T.B=3,2 7 r/.ABC的最大角C 与最小角A 的 和 为 n-B=3.2 7 r故答案为百2 5 .4 BC中，三内角4 B,C的对边分别a,瓦 c 且满足=2 s”（c +/,a =1）D是以BC为直径的圆上一点,则MD|的最大值为1+02