2022年 年专升本《高数》真题及答案解析.pdf

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1、2022年河南省普通高等专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号*二三四五总分6 02 05 01 461 5 0本卷须知：答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析:易 分）中（7 7 分）难（3 2 分）选 择：1/2/3/4/7/8/9/1 1/1 3/1 4/15/1 6/2 1/2 2/2 7/3 0填空：3 6/3 9计算：4 1应用：证明：选 择：5/1 0/1 7/1 8/1 9/2 0/2 3/2 4/26/2 8/2 9填空：3 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 7/3 8/4 0计算：4 2/

2、4 3/4 5/4 8/4 9应用：5 1/5 2证明：选 择：6/1 2/2 5填 空：计算：4 4/4 6/4 7/5 0应 用：证 明：5 3x_一、选 择 题（每 题2分，共60分）在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.L函数/（x）=sinx+3x 是（）.A.偶函数C.非奇非偶函数B.奇函数D.2.函数/（幻=的定义域是（）.x-5A.（-oo,5C.(-oo,5 u5,+oo)B.(5,+oo)D.5,+oo)3.设函数 y=cos 5x-3cos 3x,那么/=().A.-5sin 5x-3cos 3xC.cos 5x-3cos 3xB.

3、5 cos 5x+3sin 3xD.cos 5x+sin 3x4.设 Z=6/y 2,那 么 _/=(.办A.Sx2y2B.2犬 yC.D.6x2y25包 卜6皿1+皿卜().b-加u。7.8.A-Jx ln(l+x)C.x ln(l+x)B-Vxln(l+x)D.Vx(1+x)为正项级数，E x收敛，那么级薮n nn=I，i=lA,条件收敛C.发散B.绝对收敛D.敛散性无法确定以下积分可以用牛顿-莱布尼茨公式计算的是（）.2A.f xexdxJo24B.dxJ。l-xe4c.卜 dxJexlnxD.i 1 I,dx-1I-%2sin bx极限lim=1,那么Z?的 值 是（）.1 0 5X)

4、.A.5B.1C.01D.-59.定积分 j(2 x +k)dx 2 ,那么攵的 值 是().A.B.C.D.01-1210.二元函数z=2%2+孙3,d2z=().dxdyA.4 xB.C.3 y 21).极限l i m +:35 x*T 8 X3-11.的值是).A.4B.1C.2D.512.当x -0时，以下无穷小量中阶数最高的是().A.X2B.1-c o s xC.l x 1D.s i n x-t an x1 3 .函 数 y=3 x4-4 x3().A.在(-o o,l)内单调递减C.在(0,+0 0)内单调递减B.在(-o o,0)内单调递增D.在(0,+o o)内单调递增兀y

5、=c o s x在闭区间 上符合罗尔中值定理结论的J是().2 2A.071B.一4冗C.271D.-4717 5 c o s X的 一 个 原 函 数 是().2乃 乃A.s i n x2 22 71B.s i n x乃 471 2C.s i n x2 71c.乃D.s i n2 21 6 .极限l i m e T=().COSX-1A.o oB.2C.0D.-2r .3 s i n 3 x y1 7 .l i m x s i n +,=().x-o -2)向量。+2垂直于。一4，向量。+4垂直于。一2/7,那么向量。向量力之间的夹角为().A.0式B.471C.2TCD.62 1 .设a

6、x。，/(幻 aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件2 3 .曲线 =/*与直线x =-l 的交点为，那么曲线=6 /在点处的切线方程是().A.2 x y 2 =0B.2 x 4-y 2 =0C.2 x +y +3 =0D.2x y +3 =02 4 .函数f(x)=l n|x 的导数是().A.K x)=j 7 7B./(x)=7x-lC.r(x)=J-1-xD.不存在OC 002 5 .级数X。和级数Z 都发散，那么以下结论正确的选 项 是().n=l?z=l00A.(a.+a)必发散00B.U(a/“)必收敛00C.工(|人+|“|)必发散D.Z

7、(a 2+后)必发散n nn=1x2s i n 1 ,x w 02 6.设/(x)=X.那么/(x)在 x =0 处().1i 0，x =0A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.连续且可导2 7.设/(x)=x c o s x,那么.1A.-2B.1KC.2D.2 2 8.设微分方程R =y +V的通解是().3B.一 +Cx2C.+Cx4r 3D.2 J-C4平面Lil:如+y 3 z +l=0与平面n 2 :7 x 2 y z =0,假设口1 _ 1口2,那 么 的 值是（）.1A.-71B.7C.7D.-73 0.设X。是函数/（x）的极值点，那么以下命题正确的选项是（）

8、.A.r（xo）=oBJLc.f M=0 或 f（x0）不 存 D.7 5）不 存 在3 8.设y =dy=U.3 1 ./(x+1)=x +2,13 2 .极限 l im l -4-y r+13 3 .函数y =x a r c ta n x3 4.设 y =s in3(2 x +l),3 5.不定积分J e 2 c o s 33 13 6 .定积分 j-dx=_X 1 y 3 7 .设 直 线 口 =J1 -2那么/(c o s x)=_ .-+.+1 J=_.1 2 +2 yln 4-7I2J,那么y包.，y=Bxdx=_.3 z+4-=与平面2 x y -z +5 =0平行，那么p=.P

9、二、填 空 题（每 题2分，共2 0分）3 9.平行于向量=2 3,1 的单位向量为40.设某级数S1船 产 鸟 V 的收敛半径分别一与 _，那么累级数Z-x 的收敛半径 q a 八 2w=l n=J J =%是.三、计 算 题（每 题 5分，共 5 0 分）41 .求函数z =x2y2+*在点（1,1）处的全微分.42 .计算定积分fe%.c o s2dx45 .求微分方程2（孙+x）y =y的通解.8 1 n（+1）,、/n I46 .求基级数 X的收敛域.47 .设函数y =y（x）由方程l n（f+），）=尤3 丁 +5 皿兀确定，求 当dxx=e cost 九4 8.求曲线 在，=一

10、处的法线方程.y =/s in,249 .设了=心（）,求 y.5 0.D是由y =d 和X =y 2 所围成的闭区域，计算二重积分J J（x+y）0f y.四、应 用 题（每 题 7分，共 1 4 分）5 1 .欲围成一个面积为1 5 0加2 的矩形场地，所用材料的造价正面6元/加t其余三面3 元/，四面墙的高度相同，试问场地的长和宽各是多少米时，才能使所用的材料费用最低5 2 .求由抛物线2 y 2 =x与直线x-2=4 所围成平面图形的面积.五、证 明 题（每 题 6 分，共 6 分）5 3.函数/(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=0,/=1,证明：(1)存在J

11、w(0,l),使得/6)=13；(2)存在两个不同的点 小 G(0,1),使 得/()=L2 0 2 2年河南省普通高等专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选 择 题(每 题 2分，共 6 0 分)1.【答案】B【解析】因s in x和3 x 均为常见的奇函数，由结论“两个奇函数之和仍为奇函数”知 选 B.2.【答案】C【解析】假设使函数有意义，工一5 工0=%工 5,应 选 C.3.【答案】Af f【解析】y =-s i n 5x-(5x)-c o s 3x-(3x)=-5s i n 5x-3c o s 3x,应选 A.4.【答案】B【解析】对 y 求偏导，把 x 当做常数

12、，故竺应选民Sy5.【答案】A【解析】利用变上限积分求导公式，知板 l n(l +0 力=J 7 1n(l+x),应 选 A.6.【答案】B与 收 敛,且 XL收敛，原n=l n=l n级数绝对收敛，应 选 B.7 .【答案】A【解析】牛顿-莱布尼茨公式只能用于定积分的计算，而选项B C D 在积分区间内均有使分母为 0 的点，即属于奇异积分，应 选 A.【答案】A【解析】s i n xb x,故hm=_ =1 ,得b =5,应选A.a。5 x 59.【答案】B【解析】f(2x+)Q心:=(?+依=1+左=2,得左=1,应选B.JoIo10.【答案】Cdz _ 3 52Z 2【解析】=4x+y

13、,-=3y,应 选C.dx dxdy11.【答案】A【解析】l i m 4f 15x _ H mr 4+51=4,或直接套用有理分式结论，应 选A.2 XT8L%尸 人 x J12.【答案】D 解析x-0时，B选项：l-c o s x-%25 C选项：上 下 一 1 x；D选项：2 2s i n x-t a n x-J x3,应选 D.213.【答案】A【解析】y =12x3-12?=12x2(x-l),令y0,得xl,故函数在(l,+o o)内单调递增；令y 0,得x 0 1 2-x217 .【答案】C【解析】l i mf xs i n +=l i mxs i n +l i ms i n 3

14、j c=0+3=3,应选 C.x f 0（O X X）10 x 1 X18 .【答案】D1 1【解析】l i mx，=l i m l +(x l)，=e,又x w 1,故无=1是/(x)的可去间断点，应选X-1 X-1D.D.19 .【答案】D【解析】对 于 A选项，s i n2x-x2；对 于 B选项，l n(l+2x)2x；对 于 C选项,2 3 十 n 咫 p H 1-J l +X -y/l-X.2Xxs i n 光 x；对于 D 选项，h m =l i m/-,-=1,应选 D.2 x D尤 W+X-J l-X J20.【答案】C【解析】由题意，-、/-2 f T _2a+2b-a-4

15、 b =a-2a-h-S b=0 ,2 2a+2 a-b-S b -0以上两式联立得:a-b=0 f 那么 a A_b y之间的夹角近，应选C.221.【答案】B【解析】由广(幻 0,知 y=/(x)在(氏匕)内单调递减，由/(x)a xTal i m/(x)存在是f(x)连续的必要条件，应 选 B.xTa23.【答案】D即 2x-y+3=0,应选 D.24.【答案】B【解析】由公式()，应 选B.25.【答案】C00 00 00【解析】由收敛，那 么 绝 对 收 敛，根据逆否命题同真同假知，假 设 发 散，那么?i=ln=w=l必发散，应 选C,对于A选项，反例：a=-,b=一,；对 于B选

16、项，反例：对于D选项，反例：a=b =一,应 选C.n n26.【答案】D【解析】尸(0)=l i m，一八)=7 x-0处可导，可导必连续，应 选D.27.【答案】C(解析f(x)=c o s x-尤 s i n x,28 .【答案】B -【解析】盯=y+d可化为y-1XRV X+CXI L J l29 .【答案】Bn n 2n32.1x s i n l i m%=l i mx s i n =0,故函数/(x)在 x=。x-0 X XT X所 以/f(-)=-,应 选c.2 2y=,代入公式得n 2、i应 选B.(2)2【解析】平面n 1的法向量|=?,一3 ,平面L的法向量小=7，-2,-

17、1，假ri|_Ln2,1-1 T I 潘么 即%=7机+1 =0,_ ,应选 B.3 0.【答案】C【解析】极值点可能位于驻点或一阶不可导点，应 选C.二、填 空 题（每 题2分，共2 0分）31.【答案】cos2 x-2 cos x+3【解析】由/（*+1）=/+2 =+1）1 1+2,所以/（cos x）=（cos x-11+2=cos2 x-2 cos x+3.32.【答案】1n 1 1 1 n【解析】因为 W+,又n n（1 1 1 ）lirn-/:=hm-=1 ,所 以liml +-.+.-i/I =1 .层 也+yn+n）33.【答案】【解析】/=a r c t a n x+x-=

18、arctanx+l+x2 1+x2y9=1 1 +12-x 22_x_ _2_ _1+X_（1+x2 J （l+x2）3 4.【答案】6 sin?（2戈+l）cos（2x+l）或3sin（2%+l）sin（4x+2）【解析】y=3sin2（2x+1 ）-sin（2x+1）=3sin2（2JC+l）-cos（2x+l）（2x+1）=6 sin2（2x+l）cos（2x+1）.2 33 5.【答案】_ecos3x+_ e2 tsin 3x+C13 13【解析】/=je2 cos 3xdx=-jcos 3xdel x=e2 xcos 3九+J/*sin 3xdx 2 2 2=e2 vcos 3x+-

19、sin 3xde=ecos 3+e2 sin 3x-fe2 rcos 3xdx2 4 J 2 4 4 J13 i 3 2 3即 _1=e2 vcos 3x+e2 rsin 3x,所 以/=e2xcos 3x+e2 rsin 3x+C.T 2 4 13 1313 6.【答案】6【解析】广，公=一 1=+=1 .J2 x2 X 2 3 2 63 7.【答案】4【解析】直线方向向量;丰 平面法向量7=2,-1,1 ,由直线与平面平行知，-s_L，即 s =2+2-p =4-p =0,即 p=4.3 8 .【答案】eACOS(cos x-xsin x)dx 解析由 y=excos(cosx-xsinx

20、),dy=excosv(cosx-x sin x)dx.(2 3 1 )39.答案|_ _,，1714 V14 V14j一。疝 J 2 3 1 解析“=r3-r=,-l=,r=iH W14 V14 V14j4 0.【答案】5 即 R=/=1加 ,3 3 -a*那么 R=li“/4=l i m l/。（噎 J 5.9 =5.3%，冽*【MOV T 8 2n9Movl+l Ia J三、计 算 题（每 题5分，共50分）4 1.【答案】（2+e）公+（2+e）办.【解析】=2xy2+yexy,=2 f y +元d 那么dx dydz-C Z dx+C Z dy=（2xy2+yevy）dx+（2x2y

21、+x erv）jy,tk=（2+e）dx+（2+e）dy.dx dy W）4 2.【答案】2【解析】令4=f,那 么x =，dx=2tdt,又x =。时，1=0；x=1时，=1,原式=2 f tedt-2 f tde-2rd 2 f e dt-Ie2d=2.Jo Jo 0 Jo 04 3 .【答案】e6【解析】原式=*6=e6.lim|1J4 4 .【答案】x+sin x+C2 2 解 析】原式=J-dx=-J t/r+-J c os xdx=-x +_sin x+C.2 2 2 2 24 5.【答案】x=C y2e2y【解析】原 式 可 化 为 由=一，二,别离变量：=公,两边同时积分，得d

22、x 2%G+1)y 2xLnx=y+ny+C,即 x=q/e2 (其中。=e?。)24 6.【答案】一 1,1)【解析】p=lim 4 用=lim历(，旬=1,收敛半径R=1 ；-0 C l T8 +1 ln(+l)p(i)当x =-1时，原级数化为.(1厂,+，此级数为交错级数采用莱布尼兹判别法：令()=0),n x/(x)=x+(I +1)=x -(x+l)ln(j+1),x2 x2(x+1)M 4,v(x)=x-(x+l)ln(x+l)(x 0),M(x)=I-ln(x+l)-(x+1)z 1、=-ln(x +1)0,A)那 么 u(x)在(0,+8)上单调递减，即u(x)v(0)=0,

23、故(x)o,所以“(x)在(o,+8)上单调递减，即()=m(+1)为单调递减数列,n又Hm m 但1=iim 1心+1)=l i m 一 二0,故级数方 Mov,一(一 1)收敛i o n L冗 x+x+1 n=i n(ii)当X=1时，原级数化为Xm 但 H,因但D 52 2 时 成 立)，而 之 发”=1 几 几 七1 6散，故z 发散，Ti n综上所述，原基级数的收敛域为-1,1).4 7.【答案】1【解析】原方程两边同时对求x导有：2f =3 f y+/y，+c os X f+y将X=O代入原式，解得：)=1,再将x =0,y=l带入式，解得：4y L0=1.dx 一4 8 .【答案

24、】x+e2dy dyldt ef sin t+e1 c os t sin r 4-c os r dy【解析】_ =,那么 匹=一1,dx dx/dt efc os t-0,所以 X=1 0 是/(x)在(0,+00)内唯一的极小值点,x31即/（x）在 再=10处取得最小值,因 此，当 正 面 长 为 10 m,侧 面 长 为 15 m时，所 用 材 料 最 少.5 2.【答 案】92yZ=x【解析】联立 ，得交点（2,-1）,（8,2）,那么平面图形的面积为（x _ 2 y =4五、证 明 题（每 题 6 分，共 6 分）53.【答案】见解析【解析】(1)令 F(x)=f(x)+x-l,那么

25、万(0)=/(0)+0 1 =1,F(l)=/(l)+l-l =l,F(0)-F(l)=-l0,由零点定理知：至少存在一点J e(0,1),使尸0=0,即/C)+J 1 =0,得证/C)=l J 由 知，存在e（0,1）,使f C）=T设点（04），由于/（X）在 0,1上连续，在（0,1）内可导，那么对 于 e（O,J）,那么/（x）在 上 0同 连 续，在（0石）内可导，由拉格朗日中值定理得：存在左（/0八，八），使叶；/，（,）、=侑）一 o）飞i-丁-o =1%金对于（4，1）,/（X）在 体,1上连续，在怎,1）内可导，由拉格朗日中值定理得：存在（虞1）,使()=f-口 =/1-l-J 1-所 以 八 力 /（）=上W=1.T