2021年高考数学考点46直线的倾斜角与斜率直线的方程必刷题理【含答案】.pdf

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1、考点4 6直线的倾斜角与斜率、直线的方程x 2 y 2,-=1(Q 0,b 0)1.设双曲线C 42 b2 的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A.2 B.$C.2 D.4B【解析】.双曲线小与一号=l(a 0.&0)的两条渐近线互相垂直，展 加渐近线方程为y=x,/.a =b.顶点到一条渐近线的距离为1,.孚=1,。=b =yf2 二双曲线C的方程为9一?=1,焦点坐标为(一2.0),(2.0),.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d=三=0V-2 .数学家欧拉在17 6 5 年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人

2、称这条直线为欧拉线.已知/6 C 的顶点/(2,0),6(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点。的坐标为A.(4,0)B.(3,-1)C.(5,0)D.(4,一 2)A/2 +m 4+m设。(勿，)，由重心公式，可得力回的重心为(3，3 12 +m 4+mF 2 =0代入欧拉直线有：3 3-,整理得加一+4=0 .4-045的中点为(1,2),3?=0-2=2,1加的中垂线方程为y-2=2(x l),即彳一2夕+3=0,联立(x-y +2=0 可得：(y=l,所 以 的 外 心 为(一 1,1),外心与点 6 的距离：d=7(1-4)2+(-1-0)2=V10,外心与点方的距离与

3、外心与点C的距离相等，则：5+1)2+(-1)2=1 0,整 理 得/+/+2 k 2 =8 ，联立，可得加=4,刀=0 或勿=0,4=4.当勿=0,=4 时，B,，两点重合，舍去，当加=4,=0 时满足题意.所以点C的坐标为(-4,0).本题选择力选项.3.已知双曲线，-2y2=i 的一个焦点为F,则焦点F到其中一条渐近线的距离为()&1A.2 B.1 C.2).2C【解析】设双曲线犬一2尸=1 的焦点F n l+f 0 Z 即F0/N -一条渐近线方程为)，=等 即有d=故选：C.4.过抛物线=2py(p 0)上两点4B 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点P(l,-2),则直线4B的

4、方程 为()1y=-X 4-2A.2B.y=-x+24y=|x +3C.2y=-x+3D.4Bt解析】由x二=2 p y,得y=排 X=?设外)，B(X2I y-),则y L tf=彳 y I f =彳，抛物线在点4处的切线方程为y=*-4点B处的切线方程为)，=：x-胃p-P p-P(y=4M=但由、,髀得厂上，V 7X ()邛又两切线交于点P(L-2),+*2=Jx,x,，故得+孙=2 X/=-4p(*).-=-Z-P过4 B两点的切线垂直，彳=-1,故 X lM M-p,：.p=4,故得抛物线的方程为x二=8y.由题意得直线A5的斜率存在，可设直线方程为)，=kx+b,由F t m 消去

5、y整理得K-8X-8b=0,.xx+x二=8k xxx2=-86(*),k J由(*)和(*)可得 4且b=2,1y=-x+2直线4B的方程为 4.故 选B.5 .已知小为实数,直线 1：加 尤 +y -1=0 l2：（3m _ 2）x +m y -2 =0,贝 q =1”是“j/Q”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件A【解析】当m=l时，两直线方程分别为直线h：x+y-l=0,h：x+y-2=0满 足h h,即充分性成立,当m=0时，两直线方程分别为y -1=0,和-2 x -2=0,不满足条件.当 m四 时，贝ij h II=*,m 1 一

6、 工由=T得 m2-3 m+2=0 得 m=l 或 m=2 m 1由注*得m#2,则m=l,X-X即“m=l提 h H 的充要条件，故答案为：A6 .已知圆C：/+y 2=i,点p 为直线x +2 y-4=0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P 4P B/,B 为切点，则直线4B 经过定点.（）设P(4-2 m,m),v P 4P B 是圆C 的切线,-CA 1 PA,CB 1 PB.：,是圆。与以P C为直径的两圆的公共弦,可得以P C为直径的圆的方程为x -(2 -7 n)z+(y -=(2-7 7 1/十9,X v x2+产=1,得A B：2(2 -?n)x +my=1,化为 4x -

7、1+?n(y -2 x)=0,C 5 i：oy =：4i，可得（；，总满足直线方程，即A B过定点G，9,故选B.7.已知直线为+2町-1=0与直线（3*1卜7-1 =0垂直，则。的 值 为（）A.0 B.1 C.6 D.3B因为两直线垂直所以：l x(3 a-l)+2 a x(-l)=0,解得a =l故选B.8.已 知 人B、P是双曲线a?b2 上不同的三点，且4 B连线经过坐标原点，若直线P 4、P B的斜率乘积跖4 即8 =3,则该双曲线的离心率为（）A.嘉 B.G C.2 ）.3C【解析】由题意，设A G i.y J B L x L y J.P C v ；：）贝此 4.七8 =言第=/

8、=3将A、P坐标代入双曲线方程，得 接一杀=1.学一昌=1a-o-a*-o-两式相减得所以探=3,即m=3所以e =2所以选C9 .关于直线/：%-W y +2 =o,下列说法正确的是（）A.直线/的倾斜角为6 0 B.向 量 =（、8 1）是直线/的一个方向向量C.直线2经过点D.向量n=（1，杂）是直线/的一个法向量B因为直线廉-姆，+k=0.a=n.2 =0,所 以 斜 率=于 倾斜角为 一 ,一 个 方 向向量为可,，因此（G，l）也是直线 的一个方向向量，选B.210.设抛物线G =4x的焦点为尸，过 点（-2,0）且斜率为 的直线与C交 于 明N两点，则F%.欧=A.5 B.6 C

9、.7 D.8D【解析2 2y=-（x +2）根据题意，过 点（-2,0）且斜率为3的直线方程为 3 ,（2卜=炉+2）与抛物线方程联立I /=4x ,消元整理得：y2-6 y +8=0,解得M（1,2）,N（4,4）,又F（L 0）,所以血=(0,2),前=(3,4),从而可以求得F .项=0 x 3 +2 x 4 =8,故选以-y2=1ii.已知双曲线a 3 ,。为坐标原点，尸为c 的右焦点，过厂的直线与c 的两条渐近线的交点分别为材,%若。脏为直角三角形，贝3A.2 B.3 C.2 邪 D.4B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为土且右焦点为广(2 Q),*从而得到4ON=3 0=,所以

10、直线MN的倾斜角为6(/或1 2 0、根据双曲线的对称性，设其倾斜角为6 0：,可以得出直线MN的方程为y =、，3(x -2),分别与两条渐近线F =4 和J =-姆、联立，求得用(3.、存)/(3-卓)，所以|M M =J(3-乎+(次+4)二=3,故选B.1 2 .直线x +y +2 =0 分别与X轴，V轴交于4 B 两点，点p在圆(X-2)2 +/=2 上，则AABP面积的取值范围是A.2,6 B.4,8 c.0 3 的 D.2 隹，3 阕A【解析】分析：先求出A,B 两点坐标得到IA B I再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线x+y+2=0分别

11、与蚌由，蚌由交于A,B两点A(2,0),B(0,-2),贝 i|AB|=2在,点 P 在 圆 夕-2广+=2上圆 心 为(2,0),则圆心到直线距离d_=殁3 =2在故点P 到直线x+y+2=0的距离d二的范围为R 2 3、则S u”=ABd:=v7d;e 2,6故答案选A1 3.直线x +y +2 =0 分别与项，V轴交于4 B 两点，点P在圆(x-2)2 +y 2 =2 上，则力B P面积的取值范围是A.2,6 B.4,8 C.痣3 的 D.A 直线无+y +2 =0 分别与x 轴，y 轴交于4,B 两点.4(-2,0)3(0,-2),贝|4 8|=2 嫄点 P 在 圆(*-2)?+y 2

12、 =2 上d _ 12+0+21二圆 心 为(2,0),则圆心到直线距离1 V2故点P 到直线X+y +2 =0 的距离乙的范围为”，3 也1m l A ABP=/8 向=/2 d2 e 2,6 则 乙故答案选A.产廿，f+21 4.已知变量X,y 满足鼠+yT NO,则X+1的取值范围是()S I 3 191 1A.B l B.B l C.园 D.FB【解析】由题得不等式组对应的可行域如图所示，=x+=+mx+i-x+i-x-(-iy匕日表示可行域内的点(4 y)和点D(-l,-D的线段的斜率,X-(1 J由图可知，=b D =；:;=2,kmin=kCD=。：;=0-1 ij 1-I-1

13、J -x+y+2 p3所 以 +1 的取值范围是E,故 B.x2 y2C:4-=1 (a h 0)1 5.已知 椭 圆 2 b2,0、/2 是其左右焦点，4、&为其左右顶点，B、7 1顶 点,若 呼、，岛&1=2-衣(1)求椭圆C 的方程：2 为其上下 过 公、4 2 分别作项的垂线匕、匕 椭圆c 的一条切线，:y =k x +m(k R 0),，与匕、0 交于M证.乙MF,N=LMFZNX,n I-y=1(1)4 ；(2)见解析N 二点，求【解析】(cW由题设知J a _ c =5 _ v”解得a =2,b =1,c =、，I a:=d:+c:二椭圆C的方程为？+产=1(2)由题设知，h：x

14、 =-2,lz：x=2(与C的方程联立消y得(1 +4 k=)x2+8 kmx+4(m2-1)=0-*:，与C相切:.*的=6 4 H m)-1 6(1 +4 H x m c -1)=0得 m,4k:=1 与 小 二联立得M(-2 .-2 k+m),N(2 2k+m)又0),F2(V3 0).t,.L 一 一+m.+m _ m J_ _ _ iKM F KN F Y+VT:+代 -i LM R _ L N&,即=f同理可得乙M E N =7/.MFtN=MF2N【点睛】(1瘁题主要考查椭圆方程的求法，考查直线椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力Q)解答本题的关键是

15、证明以切 kNFi=三 答-筌=也 空=-1，所以乙吆广/=三1 1-TV-TV 3 -1 .=l(ab0)p d)1 6.已知椭圆C的方程为。2 b2,I 2/在椭圆上，椭圆的左顶点为4,左、右焦点分别为Fl、F2,0明 的 面 积 是 必 2的面积的或-1倍.(1)求椭圆C的方程；(2)直线y =k x(k 0)与椭圆C交于M,N,连接“%，并延长交椭圆C于。，E,连接D E,指出&E与k之间的关系，并说明理由.r2一+y2=1 2 ;(2)见解析.(1)由P4/的面积是A PO F 2的 面 积 的/-1倍，可 得c ,即a =,又Q2=M+己所以b =c,由P（L?施椭圆上，可 得 专

16、+卷=1，所以c=1,可得a=V2,b=1,所以椭圆C的方程为三+产=1.（2）设M（xo加,则0）,故直线MD的方程为x=竽），-L0 x=1由如 消去x整理得（犬0+1）:+2。尸一 2（犬0+1）打），一 用=。，T+r=1又十%,代入上式化简得（2*0+3）尸-2（x0+IboV-yf=0,设D（xyJ,H（x2,y2）,则）。%=湍所以以=/，4 =那 九 一1M（）+3 yo又直线NE的方程为x=2 y-1,ya同理可得）！=/,小=早 光 1.-X0+3 o所 以 嚷=时必=防 卒=第2=会 守y ro v Ila)=3 所以的E=3k.1 7.选修4-4：坐标系与参数方程选讲（

17、x=2+Jcosa在直角坐标系 y中，曲线G J y=sina（a为参数）.以 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲0 线0 2 的极坐标方程为P=8C 0 S。,直线你J 极坐标方程为一 (P G R).(I)求曲线好的极坐标方程与直线1 的直角坐标方程；(I I)若直线 与口,0 啾第一象限分别交于4 B 两点,P为C 2 上的动点,求A P4 B 面积的最大值.y =2 +、”【解析】依题意得，曲线G的普通方程为5-2)=+尸=7,曲线U的极坐标方程为P：-4 pc o s -3 =0,直线/的直角坐标方程为y =v 5 x.3)曲线G的直角坐标方程为(X-4 尸+尸=1 6,设A

18、 (生,J贝 3-4 p1c o s -3 =。即 pf -2。-3 =。得。一=域,。_ =-1(舍)，Pz=8c o s 彳=4 厕|A B|=p2-p,|=LG(4 Q 里也的距离为d =警=2、以A B 为底边的d PA 3 的高的最大值为4 +2、区贝必P4 8的面积的最大值为x 1 x(4 +2 /3)=2 +翼1 8.直线 过点P(l，4),且分别交*轴的正半轴和V轴的正半轴于4 B 两点，0 为坐标原点.当|(M|+|0 B|最小时，求/的方程；若|P川|PB|最小,求/的方程.(1)2x+y-6 =0.(2)x +y-5 =0【解析】依题意，I的斜率存在，且斜率为负，设直线I

19、的斜率为k,则直线I的方程为y 4 =k(x-l)(k 5 +4 =9.二当且仅当-k =二且k 8(fc 0)当且仅当吃=一k且 0.由 f =）得 梦-2尸H,可知yi+j尸二，卬1y=2A-k直线BM,5N的斜率之和为八 J2 电n+为八+2(.豆+打)kBM+kBX=1+2 X2+2(AJ+2)(A+2).将$=+2,修=+2及yj+yi,yij2的表达式代入式分子，可得k k电.11+町2+2(.11+.12)=2)，g +4尢(内+内)_ -8+8-V k所以的5 依v=O,可知5跖3N的倾斜角互补，所以4综上，ZAB=ZABN.2 1.已知点P（-L 2）及圆（K-3）2+（y-

20、4）2=4,一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点7,则IPQI+IQ”的值为.4 0点P关于x轴的对称点为P（-l，-2）,由反射的对称性可知，P Q与圆相切，：P Q -QT=PT.圆。一 3尸+(y -4尸=4的圆心坐标为火3 4),半径r =2 jAP2=(-1 -3)=+(-2 -4)=5 2,AT=r=2二 IP Q H Q T I=PTy/AP-AT-=4故答案为4、氏 y2/o=1(0 0 0)2 2.在平面直角坐标系x O y 中，若双曲线a?b2 的右焦点/9。)到一条渐近线的距离为2 ,则 其 离 心 率 的 值 是.22 2x y,-=1(Q 0,b 0)双

21、曲线a?b2be。人 收-=b=c.可得J1+TaT 2c2-a2-c2可得 4,即 c=2 a,的右焦点?(c,0)到一条渐近线的距离为2 ,所以双曲线的离心率为:故 2.a2 3.设函数六町=卜2-2%-1 ,若a b z l,=则对任意的实数c,(a +c?)2 +(b-c?)2 的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,_ _,1 0【解析】作出f(x)=|小一 2犬 一 1|的图象，如图，由f(a)=f(b)且a b 2 1得a-2a-1=b:+2b+1,PP(a-1)+(ft 1):=4,其中lw b 0 x 4-y-1 02 5.已知点P(x，y)满足I XN

22、。,|2 x +y-6|+|y-2 x +8的取值范围是.2,+8).分析：先画出不等式组表示的可行域，然后将R x +y-6|+|y-2 x +8|看作点到两条直线的距离之和求解.详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.|2x+)，一6|+|y-2x+8|=+=、写+.-.|2x+y-6|+|y-2x+8|表示可行域内的点到直线2犬+)，-6=0和2x-)，-8=0的距离之和的、丐倍,结合图形可得12+y-6|+|)，-2x+8无最大值.由:；二:二:解 得 /二12，所以点八的坐标为(3.-2).此时|22+y-6|+|y-2x+8|=2.由 仁：二；二：解得，所以点A的坐标为(5.-4).此时|2x+y-6|+|y-2x+8|=6.|2x+y-6|+|y-2 x+81的最小值为 2,故得|2x+y-6|+|y-2x+81的取值范围为2.+s).