2021级高一暑假数学周周练试卷4.pdf

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1、2021级高一暑假数学周周练试卷学校:姓名：班级:考号：一、单选题1.已知复数Z=二（i 是虚数单位），则的虚部为（）1+1A1 5 5 A.B.-C.D.-12 2 2 22.某社区为迎接2022农历虎年，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10：13：1 2,如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（）A.20B.22 C.24D.263.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2 的半圆，则圆锥的体积是()A夜A.-71B.旦兀 C.2一 乃D.33334.已知平面向量;：=（3,1）,1

2、二（苍-3）,且3,石,则 尢=（）A.-1B.1 C.D.-335.已知aw 除乃），cos 2a=4sin2 a 4-sin a ,则 tana=()A.3B.-C.4-6D.一 2夜6.在正方体ABC。-A/B/C/D 中，E 为棱Q C 的中点，则异面直线AE与 8 G 所成角的余弦值为（）A 6 口 石 R N/W n Vio25 5 5 107.周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、兑八卦，每一卦由三根线 组 成（表示一根阳线，一 一 表示一根阴线），现 有 1 人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根1A.1 4D.7

3、2 8B,衰c-28.如图，在AABC中，点。是线段B C 上的动点（端点除外），且 而=尤而+丁正,9 1则一+一的最小值为（）x yA.1 6 B.1 7二、多选题9.下列命题不正确的是（）A.三点确定一个平面C.一条直线和一点确定一个平面1 0 .若复数z 满足Z（l-i）=日，则（A.z=-l +i B.z 的实部为1C.1 8 D.1 9B.两条相交直线确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面）C.z =1 +i D-z2=2 i1 1 .在 A B C 中，A B =c，B C =a cA=b 下列命题为真命题的有（）A.若同 M，则s i n A s i n BB.若那在0，则A

4、ABC为锐角三角形C.若小5 =0,则AABC为直角三角形D.若 晨）.（+:）=0,则AABC为直角三角形1 2.如图，正方形A 8 C O 与正方形O E F C 的边长均为1,平面A 8 C O 与平面D E F C 互相垂直，P是 A E 上的一个动点，则以下结论正确的是（）B.P D+P F的 最 小 值 为-立C.当 P 在直线AE上运动时，三 棱 锥 尸 的 体 积 不 变D.三棱锥A-D C E的外接球表面积为37t三、填空题13.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间 0,10 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽

5、取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的80%分位数是.14.甲乙两人下棋比赛，两 人 下 成 和 棋 的 概 率 是 乙 获 胜 的 概 率 是:，则甲不输的概率是.15.已知耳(-G。),居9 0)分别是椭圆C:：+=l(a 6 0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，且|尸|=旧闻.若以点尸为圆心，|P段为半径的圆与直线x=-c 相切，则椭圆C的离心率为.16.在三棱锥 A8C中，点。是棱AC上 的 点.OC=2Q4,O D =OB=O C =B C =6,DC=1G,DB=8,则三棱锥 一 ABC 的体积是.四、解答题17.已知AAB

6、C的内角A、B、C 的对边分别为久b、c,且而=(cos4,l),n=(2h-a,2c),m H n.(1)求角C 的大小；求 2cos A+cos8的取值范围.18.如图，在正方体A B C D-A B C Q 中，E 为。的中点，3 0 与AC交于点。.求证:(1)B R/平面 A E C；(2)平面A E C 平面B B Q Q.1 9.我校在2 0 2 1年的自主招生考试成绩中随机抽取4 0名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组 7 5 ,8 0),第2组 8 0,8 5),第3组 8 5 ,9 0),第4组)，9 5),第5组 9 5,1 0 0 ,得到的频率分布直方图如图所示，

7、同时规定成绩在8 5分以上的学生为“优秀”，成绩小于8 5分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.(1)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和 良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？2 0 .己知Z k A B C的角A,B,C的 对 边 分 别 为h,c,且s i n A-s i n C =-(s i n B-s i n C).求角A；(2)从两个条件：a =3；ABC的面积为3省 中任选一个作为已知条件，求A A B C周长的取值范围.2 1 .如图，四 棱 锥 的 底 面

8、 为 正 方 形，所有棱长都是2,E、F、G分别是棱P B、P D.BC的中点.p求二面角8-P C-。的余弦值；(2)求 PB与平面EFG所成角的大小.2 2.已知。为坐标原点，对于函数 x)=asin x+b co sx,称向量OM=(a,6)为函数“X)的伴随向量，同时称函数 x)为向量丽的伴随函数.(1)设函数g(x)=&sin(x-兀)-sin 兀-x),试求g(x)的伴随向量0M ;记 向 量 丽=(1向 的 伴 随 函 数 为“力，求 当 行)=且x e 尤)时 cosx的值;(3)由(1)中函数g(x)的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2 倍，再把整个图象向右平移胃个单位长

9、度得到(力的图象，已知A(-2,3),3(2,6),问在y=(x)的图象上是否存在一点P,使 得 都，丽.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.参考答案:I.B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z,再由共规复数的概念得答案.【详解】5 2-3i(2-3i)(l-i)2-2i-3i+3i2-l-5 i解：*(i+g=7=丁，z=-+-i,2 2所以 的虚部为I故选：B.2.C【解析】【分析】由分层抽样的等比性质，求 70人的样本中抽取的青年人数.【详解】12由分层抽样的等比例关系，可得：x70=24.故选：C3.B【解析】【分析】首先设圆锥底面圆的半径为，高为h,根据题意得到r

10、=l,计算出人=石，再求体积即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为伍如图所示：答案第1 页，共 17页h由 题 知:2r=-x 2 x 2,解得厂=1.所以h=亚 H =后故圆锥的体积 V=X-X I2 X 5/3=-71.3 3故选：B【点睛】本题主要考查圆锥体积的计算，同时考查了圆锥的侧面积，属于简单题.4.B【解析】【分析】根据向量垂直，利用向量数量积的坐标运算：占 +乂%=。，即可求解.【详解】平面向量a=(3,1),=(x,-3),且 _ 1 _ ，则 力=0,即3x-3=0,解得x=L故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，向量垂直数量积的关系，考查了基本知识的掌握情况，

11、属于基础题.5.B【解析】【分析】由余弦的二倍角公式变形后求得s i n a,由平方关系求得c o s a,再由商数关系得tanc.答案第2 页，共 17页【详解】因为cos2a=4sin2 a+sina,所以 1 一 2sii？2=4sin2 a+sina,7 16sin2a +sincr-l=0,(3sincr-l)(2sin+l)=0,sina 0,.1I,f l?2正所以sina=,cosa=-J l-l-I=，sin a V2tan a=-=-cos a 4故选：B6.C【解析】【分析】平移直线8 G 至 A C-设出正方体棱长，再解三角形即可.【详解】因为AB CD -A1 B 1

12、 C1 D)是正方体，故可得B CJ/AD、,连接A R,R E,如下图所示：则N RA E即为异面直线A E与B Ci所成角或其补角，不妨设正方体棱长为2,在三角形 中，A E =ylAD2+D E2=/22+12=/5 答案第3 页，共 17页DE=AE=EAD=22+22=272.4疗+4炉-*2 W故可得cosNA AE=2AD、xAE又异面直线夹角的范围为（吟故异面直线AE与BG所成角的余弦值为叵故选：C.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，属基础题.7.C【解析】【分析】八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎.离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数=C；=2 8,这两卦的六个线中恰

13、有两个阴线包含的基本事件总数有：，=C；+C；C；=6,由此能求出这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率.【详解】解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎.离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数 =C =28,这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：m=C；+C；C；=6,这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率为。=二=堤.n 28 14故选：C.8.A【解析】【分析】由题意可得x+y=i,则乙+=-+-u+y）,化简后可利用基本不等式可求得结果答案第4 页，共 17页【详 解】因 为 点。是 线 段B C上 的 动 点(端 点 除 外)，且 而=通+)，近，所 以x+y =l,且x 0,

14、y 0,门，9 1 (9 1 Y、所以一+=|一+(x+y)x y y j=9+1x y 1 0 +2 f c -=1 6,X y9 v x 3 I当 且 仅 当 二 二 一，即x =7，y =；时，取等号，X y 4 49 1所 以 一+一的 最 小 值 为1 6,x y故 选：A9.A C【解 析】【分 析】利 用 立 体 几 何 的3个公理与推论即可判断出答案.【详 解】对 于A选 项：若3点在同一直线上时，则不能确定一个平面.错误；对 于B选项：两条相交直线确定唯一一个平面.正确；对 于C选项：当点在直线上时，则不能确定一个平面.错误；对 于D选项：两条平行直线确定唯一一个 平 面.正

15、 确；故答案为：A C.1 0.BD【解 析】【分 析】根据复数的模长公式以及除法运算可得z=l+i,进 而 可 判 断A,B,根据共轨复数可判断C,根据乘方运算，可 判 断D.【详 解】由z(l-i)=|l-得：z(l-i)=2 n z =2 =l +i,因 此A错 误，实 部 为1,则B正确，答 案 第5页，共1 7页Z =l-i,故 C 错误，z2=(l+i)2=l+2i+i2=2 i,故 D 正确.故选:BD11.ACD【解析】【分析】利用正弦定理判断选项A,利用数量积的性质判断选项B 和 C,利用数量积的性质和余弦定理判断选项D.【详解】解：A：若同 W，由正弦定理得2RsinA2R

16、sin3,/.sin A sin B.则 A 正确;B：若2 4 0，则cos(万 一 ZAC8)0,cosZ A C B S+a-c)=0，贝 心-(a-c)2=0-=-cosB,由余弦定理知 cos B，.cosB=-co sB,贝 ijcos8=0,：.B=-,AABC为直角三角形，故 D 正确.故选：ACD.12.CD【解析】【分析】A：连接PC、P D,证明 PC。是直角三角形即可根据OP最小值求CP最小值；B：连接BF、P D、P F,将AADE翻折到与平面ABFE共面，当。、尸、尸三点共线时，P D+P F .答案第6 页，共 17页得最小值。F；C：作于”，易知。，为 到平面3

17、PF的距离，易证S。叩为定值，从而可判断三棱锥D-3P 尸的体积变化情况；D：根据几何关系，可将三棱锥A-O CE补为正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，据此即可求解.【详解】对于A,连接P、CP,CZ），平面 AE,易知。&s =半，则CP=JDL +C D：=10产+1 2 J曰+1=亭，故 A 错误;对于B,如图，连接8/、P D、P F,将AAE翻折到与平面他庄共面，如图,答案第7 页，共 17页B则当。、P、厂三点共线时，PD+P尸取得最小值。尸，易知/1=135。，D E=EF=,在 D E F中，由余弦定理得D F=J l+l-2xlxlxcosZD E F=&+&，故 B

18、 错误;对于C,作于P在直线AE上运动时，P8尸的面积等于矩形ABFE面积的一半，矩形的面积为定值，故APB尸的面积是定值，由选项 A 可知 CC_L平面 AOE,JEF/AB/CD,.EFl.平面 ADE,E F U 平面 A B F E,：.平面 ABFEJ_ 平面 AD E,平面 AOECl平面 ABFE=AE,D H LAE,ZWu 平面 AOE,平面 ABFE,即点。到平面Afi正 的 距 离 为 定 值 故 三 棱 锥。-囱 手 的体积不变，故 C 正确:对于D,将该几何体补成正方体，答案第8 页，共 17页B则该正方体外接球即为三棱锥4-D C E 的外接球，其半径为R,则（2R

19、）2=3 x fn 4/?2=3,.外接球表面积为4兀斤=3兀，故 D 正确.故选：CD.13.8.5【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出.【详解】数据 3,4,5,5,6,7,7,8,9,10 共 10 个，且 10 x80%=8,所以80%分位数是78+9=8.5.故答案为：8.5.-I【解析】【详解】甲获胜的概率是9，所 以 甲 不 输 的 概 率 是 故 填：6 2 6 3 31 5.显3【解析】【分析】根据椭圆定义可知|根|=2。-攵，根据圆与x=-c 相切得|P Q|=2 a-2 c,进而根据两个三角形中余弦值相等，即可列出关系式求解“，c 关系.【详解】答案第9 页，共 1

20、7页如图，过点尸作PQ垂直直线x=-c,垂足为Q,连接尸匕由|用=|耳国得|PK|=2c,所 以 周=2a 2 c,则|P Q|=2 a-2 c,所以c o s/f；PQ=笺 3=.在尸耳居中，由余弦定理知，cos/P F F，=d(2 2 c f =。T 2。因为c o s/；E=cosN K P。，所以2 弋2 =,则“=&、，所以e=.2c2 C 3故答案为:在316.12711【解析】【分析】设点。在平面8 8 的射影为点G,推导出点G 为C。的中点，计算出8 8 的面积和0G的长，结合锥体的体积公式即可得解.【详解】设点。在平面8 8 的射影为点G ,因为。B=OC=O D,所以，G

21、 B =y1OB-OG2 G C =JOC2-O G2-GDyJOD2-O G2 则GB=GC=G ,即点G 为BCD的外心，因为。C=10,DB=8,B C =6,B C2+B D2 C D2,则 5C，3),所以，点G 为CO的中点，答案第10页，共 17页D因为0 C =0 D =6,8 =1 0,则OG L C。，且。0 =辰 匚6 F =J H，S&BCD=；BC-B D =24,-.-O C=2O A,VA.B C D=|.B C D=|x|x SA B C D-G G=l x 24x 7n=12/n.故答案为：12日.17.(I)j(。，行|【解析】【分析】(1)根据向量的平行的

22、充要条件及正弦定理，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的值及角的范围即可求解；(2)根 据(1)的结论及三角的内角和定理，再利用两角和的余弦公式及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解.(1)因为仇元，所以2CCOS4-2 6 +4=0；由正弦定理知：2s i n Ce o s A-2s i n(A+C)+s i n A =。所以 2s i n Ac o s C=s i n 4,又 0 4 0,所以COSC=1，0C7T；所以c =2.2 37 E 2元由(1)知，C =-,所以 8 二下一43 3，C A n C/2兀 4 1 c .2兀.2n.所以 2c o s A+

23、c o s B =2c o s A+c o sA =2c o s A+c o s c o s A 4-s i n s i n A答案第11页，共17页=cos/A+sin/A=5/3 sin I A+|2 2 I 3)因为0 A|,所以 4 +兀，所以0sinA +)41,即0(后411(4+三)46,所以 0,B Bt 1 A C ,BBq BD=B,即可证明A C,平面BBQ。，由面面垂直的判定定理即可证明.(1)如图，连接。E,在中，0 E为三角形的中位线，所以O E/B D-又B O y平面AC,O E u平面A C,所 以 平 面AEC.(2)易知AC_LB O,因为 期J.平面AB

24、C。，AC u平面A8C),所以 8 q _ L 4 C,因为 B B CB D =B,B B、,B)u 平面 S B Q Q,所以 AC L平面 8 B Q O,因为AC u平面A E C,所以平面AEC_L平面88QQ.答案第12页，共17页19.(1)中位数为2 K 平均数为8 7.25；(2)得【解析】【分析】(1)计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x,进而根据(x-8 5)x 0.06=0求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.(2)由分层抽样得良好”的学生有2 人，“优秀”的学生有3 人，进而根据古典概型求解即可.【详解】解：(1)第一组的频率为0.05,第二组的频率为Q

25、3 5,第三章的频率为0.30,第四组的频率为0.20,第五组的频率为0.10,所以中位数在第三组，不妨设为,则(x-8 5)x 0.06=0.5 0.05-0.35,解得.5 260工=8 5+=-，3 3平均数为 77.5 x 0.05+8 2.5 x 0.35+8 7.5 x 0.3+9 2.5 x 0.2+9 7.5 x 0.1 =8 7.25；(2)根据题意，“良好”的学生有40 x 0.4=16人，“优秀”的学生有40 x 0.6=24人，所以分层抽样得“良好”的学生有5x 翌=2 人，“优秀”的学生有5 x 空=3 人，40 40将三名优秀学生分别记为A 8,C,两名良好的学生分

26、别记为a 1,则这5 人中选2 人的基本事件有：AB,AC,B C,Aa,Ab,B a,B b,Ca,Cb,ab共10种，其中至少有一人是“优秀，的基本事件有：4 氏4(7,8。,44,47,&,附。,或共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是7120.(1)A=(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】(1)由正弦定理将已知式子统一成边的形式化简，再利用余弦定理可求出角A；(2)若选，则由正弦定理可得b =2Gs i n B,c =2石 s i n C,从而表示出三角形的周长，化简后利用正弦函数的性质可求出其范围，若选，由工人比=3 6 结合已知条件可得bc=2,再利用余弦定理表示出“，然

27、后表示出三角形的周长，结合基本不等式可求出其答案第13页，共 17页范围(1)因为s i n A-s i n C=(s i n A-s i n C),a+c所以 一c =上e一c),n b2+c2-d2=bc,a+c所以c o s A=上；一，=；,2bc 2因为Ae(O,),所以A=。(2)选择。=3,因为A =(,a =3,由 正 弦 定 理 得 二=三:=2 6,s i n n s i n e s i n A所以8 =2百s i n B,c =2石s i n C即 AABC 的周长/=a +6+c =2g s i n B+2/3s i n C+3./=2/3s i n B+2 瓜 i n

28、 仔-8)+3=3/5s i n B+3c o s B+3=6s i n(8 +V)+3,因为B e(0,?),所以 8+2”如(8 +2卜1,3 6 6 6 2 /3 得 历=1 2,3 A。2 4由余弦定理得标=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-3 6,即L.AB C 的周长/=a +A +c=/b +cf-36 +b+c 因为人+c N 2病=4不，当且仅当6=c=26时等号成立所以/2小4国-3 6+4 6 =6 6即AABC周长的取值范围是 6石,+o o).2 1.(1)-1；答案第1 4页，共1 7页o【解析】【分析】(1)取 PC的中点/,连接8/,D I,

29、B D,由二面角的定义可知二面角B-P C-O 的平面角为，再由余弦定理求其余弦值.(2)根据匕由正四棱锥的性质、线面4 o o垂直的判定及性质证明E F _ L EG,进而求 (；,再求尸到面E F G 的距离，最后由线面角的定义求尸B 与面E F G 所成角的正弦值，即可知其大小.(1)取 PC的中点/,连接W,D I,BD.P B C 为边长为2的等边三角形，/为 PC中点：.BI L P C ,同理 /_ L P C,二N B H)为二面角5-P C-O 的平面角.3+3 8 I在4 BDI 中 BI=DI=6 BD =2 4 2,由余弦定理得：cosZ BID=2-3 3二面角8-尸

30、。-。的余弦值是-3.(2)设 P到面E F G 的距离为，PB与面E F G 所成角为夕答案第1 5页，共 1 7页p由 VP-EFG=F-EPG4=-VD.PBC=-VP.flCD=-V2.-2.2=,由题意及上图知：尸-C O 为正四棱锥，故面ABC。,:.PH 1 B D,又 AC_LBD,P H cA C =H,PH,4C u 面 PAC,二 8。_ L 面 PAC,P C u 面 PAC:.B D 1 P C,又 EG=LPC,EGUPC,EF BD,EF/BD,2 2/.E F V E G,故5 r=、芯/：6 =1 a =立G 2 2 2x/2:.h=I2六=；,而sinS=-

31、=L上兴2 PE 23 2PB与平面M G 所成角为o22.加=卜 6,1)c、4 s +310存在点P(0,2),使 得 丽_L而.【解析】【分析】(1)利用诱导公式求出g(x)=-6 s in x+c o s x,从而得到g(x)的伴随向量；(2)根据向量得到f(x),利用利用凑角法得到cosx；(3)先 求 出 (x),再设出产点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到(2cosx-2 1=空 一/，根据等式左右两边的取值范I 2 2；4围，得到当且仅当x=0 时，(2cosgx和 等 同 时 等 于 手，此时尸(0,2).答案第16页，共 17页(1)3g (x)=G s i n

32、(x 一 兀)-s i n(兀-x)=G s i n x+co s x,故 而=卜 亚1卜由题意得：/(A-)=s i n x +V 3co s x =2 s i n x+71xe71 兀3f6,所以1+三(0，擀)，所以co s x+co s X =co s兀x +37 1=co s7 17 13 1 4G4 6+31 0兀 7 1 .兀).x+co s +s i n x+s i n X +X-=5 2 5 2兀23p故疝卜+今兀323，所以兀兀34 十 ,由于33333(3)g(x)=-G s i n x +co s x =2 co s(x +J,所以/z(x)=2 co s；x,假设存在

33、点尸口,2 co s g x)使 得 衣，丽，则AP-B P =ix+2,2co s；x-3)(x-2,2 co s；x-6)=x?-4+4co s2 gx-1 8 co s；x +1 8 =0 即2 5 1 1 3 1 9 5-x2,因为一2 K 2 co s x K 2 ,所以-K 2 co s x 4 2 2 2 2 2所以 f 2 co s-!-x-T ,又因为生-/4至，所以当且仅当x =0时，(2 co s 1 x-2 1和4 t 2 2 j 4 4 4 2 2)同时等于?，此时*0,2),故在函数y =/i(x)的图象上存在点*0,2),使得AP A.JP-答案第1 7页，共1 7页