2020-2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（九）（解析版）.pdf

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1、2020-2021学年高三数学第三次月考模拟卷(九)注意事项：1.本试卷共6 页，包含单项选择题(第1题 第 8题，共 40分)、多项选择题(第 9题 第 12题，共 20分)、填空题(第13题 第 16题，共 20分)和解答题(第17题 第 22题，共 70分)四部分.本卷满分150分，考试时间 120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5毫米黑色墨水的签字笔将

2、答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用25铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：(本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1.设集合M =1|1,N=x|x 2,则M C N =()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题.解不等式求出集合仞，结合集合的交集运算定义，可得答案.【解答】解:集 合 M =x|x-l|l=x|-l

3、 x-ll,解得集合M =(0,2),N=xx 2,即集合N=(-8,2),M C N=(0,2),故选c.2.已知曲线C i：y=cosx,C2：y=s i n(2 x +y),则下面结论正确的是()A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移巳个单位长度，得到曲线C 2B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移盘个单位长度，得到曲线C.把G上各点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移*个单位长度，得到曲线C 2D.把G上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移专个单位长度，得到曲

4、线C 2【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把G上各点的横坐标缩短到原来的：倍，纵坐标不变，得到函数y =c o s 2%图象，再把得到的曲线向左平移2个单位长度，得到函数y =cos2(x+,)=c o s(2 x +=s i n(2 x +争的图象，即曲线G，故选D.3,已知命题p：3%G /?,%2一%+12()命题0若a2Vb2,则Q V b,下列命题为真命 题 的 是()A.p 八 qB.p A qC.p A qD.”A%【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判

5、断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题,不等式与不等关系，属于容易题.先判断命题p,q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案.【解答】解：命题p：Bx =0 G/?,使2-乂+1 2 0成立.故命题p为真命题；当a =1,b =-2时，a 2c b 2成立，但a b,则()A.a o b c B.C.a2 b2 D.a3 b3【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题考查不等式的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题.利用作差比较大小和特殊值法逐个判断即可.【解答】解：当c =0时，选项A不成立；当Q 0,b 0,则选项O正确，故选。.5 .某校全体学生参加物理实验、化学实验两项操

6、作比赛，所有学生都成功完成了至少一项实验，其中成功完成物理实验的学生占62%,成功完成化学实验的学生占5 6%,则既成功完成物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是（）A.4 4%B.38%C.18%D.6%【答案】C【解析】【分析】本题主要考查利用雅 ”图进行集合的运算，属于基础题.根据条件两种实验都成功完成的比例等于成功完成物理、化学的比例和减去1即可解答.【解答】解：依题意成功完成物理实验的学生占6 2%,成功完成化学实验的学生占5 6%,则两种实验都成功完成的比例62%+5 6%-1=18%,故选C.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在 0,+8)上递增，那么一定有()

7、A./(；)/(a2-a +l)B./(;)/(a2-a +l)D./(1)/(a2-a +l)【答案】B【解析】解：.-a 2_a +1=(a_ l)2+2 2,/(x)在 0,+o o)上递增，/(;)则 可(而 +无)=2x2-2痘y+2y2=2 x2+(y-y)2-;.当 x =0,y=4时，瓦？(丽+正)取得最小值,其最小值为2 x(-$=-右故选8.8.已知 f(x)=x2+3 x x 0 则不等式“4一2)/(4-/)的 解 集 为()X+S x,x 0A.(-1,6)B.(6,1)C.(-3,2)D.(-2,3)【答案】C【解析】【分析】本题考查函数奇偶性单调性的应用，属于中档

8、题.画出函数/(x)的图象，即可判断函数f(x)的奇偶性和单调性，去括号，解不等式即可.【解答】存解卫：/-。X)=二+3%3,一%00,不等式/(x -2)f(4 -X2),即x -2 4 x2解得-3 x 2.所以不等式/(x -2)/(4 -M)的解集为(-3,2).故选C.二、多项选择题：(本题共4小题,每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.下列叙述不正确的是()A.；2的解是”得B.“00”是“|x 1|1的充分不必要条件D.函数/(x)=x2+品 的最小值是2 g-2【答案】A B C D【解析】

9、【分析】本题考查了不等式求解、充分必要条件判断、基本不等式求解最值，考查推理能力，属于中档题.根据对应知识点逐项判断即可.【解答】解：(1)显然当x 0时，：2恒成立，于是:2的解是 x|x *或x 0),因此A选项不正确；(2)令/(X)=n ix?+z n x +1,当m =O时，恒有/(x)=10成立，所 以 0 S 4”是“m/+mx +1 2 0”的充要条件不成立，因此B选项不正确；(3)由题意，对不等式|x -1|1去绝对值得到一1 x -1 1,解得0 c x 0”有“|x-l|0”是的必要不充分条件，因此C选项不正确；(4)由题意，变式得 f(x)=/+2 +岛 一22 (/+

10、2)./-2 =2 7 3-2,当 且 仅 当 +2=高，即M=B-2 0）,即抛物线位于y轴的右侧，以x轴为对称轴，设过焦点的弦为P Q,P Q的 中 点 是 到 准 线 的 距 离 是4而2到准线的距离由=|P F|,。到准线的距离d 2 =|Q F|,又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d =由抛物线的定义可得：|PF|+|QF|=|PQ|=半径，所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切，故答案为BCD.1 1.已知函数f(x)=Asin3%+0,co 0,0(p11)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为工和工，图象在)，轴上的截距为行，给出下列结论正确的

11、是()A.f(x)的最小正周期为“B.f(x)的最大值为2;C.吟=1；D.f(x)+1 的零点从小到大可构成等差数列.【答案】A B C【解析】【分析】本题考查利用三角函数图像求解函数解析式，考查函数y=4 s 讥(3 x+w)的图象与性质,考查函数的周期性，时称性和三角函数的最值，属于中档题.根据函数/(x)=4 s in(0,3 0,0 0 兀)的部分图象求出函数的解析式，再根据函数解析式判断四个结论即可得解.【解答】解：对4由图象，得函数/(%)的最小正周期7 =2 x(工一盘)=九，所以A正确.对B:3 =竿=2,即f (%)=Asin(2x+cp),又/脸)=A s in(2 x-

12、+(p)=4 s in(*+伊)=所以s in6 +s)=1,结合0 (p DE直接证明的不等式为()A.V a b 0,b 0)B.Vab (a 0,b 0)C.a2+b2 2ab(a 0,6 0)D.早 0,b 0)【答案】ACD【解析】【分析】本题考查归纳推理及基本不等式的几何意义，属于中档题.由CDNDE得 相 之”,即可判断.a+b【解答】解:由射影定理可知CD?=DE。）,即E=而=等=不，由CD DE得 信 2能，故由CO DE直接证明的不等式为选项B.故选ACD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.记S为等比数列 cm的前 项和.若的=1,S3=：,则54=

13、【答案】|O【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题.利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解.【解答】解：数列。为等比数列，臼=1，5 3=5,T 1-Q3 3二 qv H 1,-l-q=4整理可得q 2+q+?=0,解得q =-1故 叉=等=至4故答案为小O14.已知四棱锥的底面是边长为企的正方形，侧棱长均为遥.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【答案】;【解析】【分析】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础

14、题.求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，由线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可.【解答】解：由题可知，该四棱锥是正棱锥，又底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2,由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于点由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1,则该圆柱的体积为：V=S h=7 r(i)2 x 1=%故答案为方1 5.已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C:M +(y +3)2=1外切，那么动圆圆心M的 轨 迹 方 程 为.【答案】

15、x2=-12y【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查圆与圆的位置关系，属于中档题.根据动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：/+。+3)2=1外切，可得动点用到C(0,-3)的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义知，点 M的轨迹是抛物线,由此易得轨迹方程.【解答】解：由题意动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：M+(y +3)2=1外切，二动点M到C(0,-3)的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义知点M的轨迹是以C(0,-3)为焦点，直线y =3为准线的抛物线，故所求M的轨迹方程为：x2=-12y.故答案为/=一 12y.16.设/(x),g(x)是定义在R上的两个周

16、期函数，f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(X)是奇函数.当x 6(0,2 时，/(X)=7 1-(x-l)2-g(x)=(k(x+2),0%0.若在区间(0,9 上，关于x的方程f(x)=g(x)有 81%S z,个不同的实数根，则 的 取 值 范 围 是.【答案】净【解析】解：作出函数f(x)与9。)的图象如图,由图可知，函数/(x)与g(x)=-1(1 x 2,3%4,5 x 6,7 x 0,sinA=V1-cos2l=,7由正弦定理可得缶=fsinC.八 csinA 7X7 A/3A sinC=-=-,a 8 2:.SABC=cibsinC=x 8 x 3 x =6/3.选择

17、条件（I）在力8C中，sinA 0,sinB 0,。=加一（4+3）,.1 n 9v cosA=cosB=8 16s in A=-M=筝 sinB=V l-c o s =笠、由正弦定理可得号=bsinBa sinA 6 ,b sinB 5a+b=11,Q=6,b=5,故 Q=6;（n）在ABC中，C=7T-（4+8）,.z.c、.c i A r 3夕 9 5V7 1 x/7A sinC=sm（4+B）=sinAcosB+cosAstnB=x +x-=-y1 1 V7 15V7 SABC=2 absinC=-x 6 x 5 x =1 8.如图，四棱锥P-4B C D 的底面是边长为2 的正方形，

18、侧面PCD J底面ABCQ,且PCPD=2,M,N分别为棱PC,AO的中点.(1)求证：BC1PD；(2)求异面直线B M 与P N 所成角的余弦值；(3)求点N到平面M B D的距离.【解析】本题考查了线面垂直的性质，考查了异面直线所成的角，考查了空间中点到面的距离，求解的方法是利用空间向量，解答的关键是熟练掌握利用空间向量求空间角的公式及点到面的距离公式，是中档题.因为侧面P C D J 底面A B C D,取。C中点。，因为P C =P D =2,则P。_ L 交线C ),所以P O _ L 底面A B C D,由此可想到利用空间向量来解决该题.(1)标出所用点的坐标，求出8 c 和 P

19、 Z)所对应向量的坐标，山两向量的数量积等于。可证明1 P D；(2)求出与8M和 P N 所对应的向量的坐标，直接利用两向量的夹角公式求异面直线B M与尸N所成角的余弦值；(3)求出平面M B D的一个法向量,在平面M B D内任取一点，和 N连结后得到一个向量，直接运用向量求点到面的距离公式求距离.【答案】(1)证明：由题可知，侧面P C D J 底面4 8 C D,取 OC中点。，因为P C =PD=2,则P。，交线CO,所以P。，底面ABCD,如图，过。平行于D4 直线为x 轴，以 O C,0 P所在直线分别为)，轴和z 轴建立空间直角坐标系，则4(2,1,0),8(2,1,0),C(

20、0,l,0),D(O,-1,O),P(0,0,V 3).N(l,-1,0)，B C=(-2,0,0),R D =(0,-l,-V 3)-则 就 而=0，所以B C _ L P D；(2)解：由(1)可得，.-1 V 3P N =(1,-1,-V 3),B M =(-2,-,)设异面直线BM 与 P N 所成角为-I 丽 I _ T+2 _ 3、-|PN|-|BM|V5-V5 5所以异面直线BM 与P N 所成角的余弦值为|；(3)解:因 为 前=(一 2,2,0),丽=(一2,最多.设平面M BD的一个法向量为记=(%,y,z),由g得|1 V 3 n 取y=_ l,得x=l,z=V 3.(沆

21、 =0(-2%-j y+y z=0所以沆=(1,一1,百)，又 而 =(1,0,0)，所以点N到平面M BD的距离d =号 颦=%=|m|V5 51 9.某校园内有一块三角形绿地4 E F(如图1),其中4E =20 m,AF=10 m,EAF=,绿地内种植有一呈扇形A M N的花卉景观，扇形A M N的两边分别落在A E和A F 上,圆弧MN与 E F 1 相切于点P.(1)求扇形花卉景观的面积；(2)学校计划2 0 2 0 年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形4 B C D(如图2),其中空，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABC

22、。的边上，圆弧都与8。相切，若扇形的半径为8 n，求平行四边形A B C D绿地占地面积的最小值.【解析】本题考查基本不等式的运用，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等.(1)A4EF中，由余弦定理可得E F,设扇形花卉景观的半径为r,贝 I 由EF r=4E 4F sinE A F,得到r,即可求扇形花卉景观的面积；(2)设28=xm,AD=y m,则8。=J#+y2+孙7 n,由平行四边形A3C)的面积得8Vx2+y2+xy=f x y.求出“的最小值，即可得出结论.【答案】解：(1)HE/中，由余弦定理可得EF=J400+1 0 0-4 0 0 co sy =10V7

23、m.设扇形花卉景观的半径为r,则由EF-r=AE-AF-sinEAF,得到=2。蜷=X叵m,1077 7二扇形花卉景观的面积s=lTrr2=17 T m2；(2)设AB=xmf AD y m,则8。=y/x2 4-y2+xym由平行四边形4BC。的面积得8，工 2+丁 2+X丫 =/孙，,J%2+y2+盯 2xy 4-xy=V3 yfxyy xy 8V3-BPxy 2 5 6,当且仅当x=y=16时，盯的最小值为 256,此时平行四边形ABC。的面积为曰孙=128V W,.平行四边形ABCD的面积的最小值为128gm 2.2 0.已知椭圆 C：，+=1过点4(2,1),且a=2b.(1)求椭圆

24、。的方程；(口)过点B(-4,0)的直线/交椭圆C 于点M,N,直线M4,M4分别交直线 =-4 于点 P,Q.求需的值.【解析】(I)由题意可得 2 +表=1,解得=2,a2=8,即可求出椭圆方程；la=2b(II)设直线方程为y=fc(x+4),设/V(x2 ly2),可得直线AM的方程为y+1=磊(4+2),直线AN的方程为、+1=黑0 +2),分别令=-4,求出yp=一色一管，_”2与2y 代入化简整理即可求出.本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，【答案】解：(I)椭 圆 C：1过点4(-2,1),且。=2b,则+匕 2 1,解得=2,Q

25、2=8,la=2b 椭 圆 方 程%+三=1,(口)由题意可得直线/的斜率存在，设直线方程为y=fc(x+4),仅=k(x+4)叫=1 8 2消 y 整理可得(1+4fc2)%2+32k2 x+64k2-8 =0,*=-32(41 1)0,解得-设W(x2,y2).32 k2：X1i +XN2 =-l-+-4-k727,64k2-8Xi1%2=7-，z l+4 k2则直线AM 的方程为y+1=笠(x+2),直线AN的方程为y+1=案(x+2),分别令=4,-2(yi+l)_ xx+2(l+2k)%i+(8k+4)必+2(l+2k)&+(8k+4)X2+2|PB|=yP=I(l+2 k)M+(8

26、k+4)Xi+2I，QB=yQ=(1+2的必+您+4).X2+2可得力=-PBBQ=(2k+l)/+(8k+4)3 +2)一(2k+1)&+(8k+4)(修+2)_(2k+1)%1%2+(4k+2)(/+x2)+8(2fc+1)+(4k+2)x2(2fc+l)x%2+(4 k+2)(%i+%2)+8(2fc+1)+(4/c+2)x(2k+1)x62+(软+2)(/+x2)+8(2k+1)=4#”,(2k+l)%2+(4Z+2)Cq+%2)+8(2/c+l)+(4k+2)%2 _ .(2/c+l)(4 fc 2+i+2x2)_ +x2)+2x2(2 k+l)x1x2+(4k+2)(x1+X2)+

27、8(2fc+l)+(4k+2)x1(2 k+l)(翠 土+2%1)-(xi+X2)+2XI喘”2 1.已知数列 加 的前项和是S“，且S n+：an=l(n e N*),数列 匕 是公差d 不等于 0 的等差数列，且满足：瓦=|%，b2,b5,瓦4成等比数列.(I)求数列 即，匕 的通项公式；(口)设7 =a2 n-i-b2n+,求数列%的前n 项和0nDn+l【解析】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查了裂项相消法与错位相减法求数列的前 项和，考查计算能力，是中档题.2 I Sn a,-1(I)由已知求得即=：,当nN 2时，有 2 i,可得即=:即-式葭2 2),3 1S_i=l-通_i

28、 3则数列 即 是以|为首项，以3为公比的等比数列，则通项公式可 求.由 瓦=|%=1,且，b5,打4成等比数列，可得等差数列%的公差，则%的通项公式可求；(n)由“=。2吁1 出”+最=2(旷 1.2(2n)-1+(2$+】)=6(.一 D.(3 +；(三;一 七)分 组后利用裂项相消法与错位相减法求数列 d 的前项和【答案】解：(I)n=l 时,=即=|,Sn=1-C Ln 1九之 2时，有,?,即Sn Sn_i=(an_i-an),5九 一1=1-2 n-l 。7 1=：。71-1(九之2),.数列也九 是以:为首项，以：为公比的等比数列，则 册=|X T =2(1)由 瓦=|%=1,且

29、无，阮，瓦4成等比数列，贝”据=力2瓦4，得：(l+4d)2=(l+d)(l+1 3 d),即d2 2d=0,d W 0,解得d=2,A&n=2n-1；1(n)d =a2n-%+=；1 1 2(-)-2(2 n)-l+(2 n_i)(2 n +1)=6(4 n-l)-(-)n+i(-).J k97 2 v2 n-l 2n+ly=63 (1)+7 (1)2o +(4n-1)-(-1)+1-(1 -1)+(1-1)+(2 n 1-11-2 n +l令A”=3 (i)+7($2+.+(4n 1),=3-)2+7(3+(4 n-5).+(4n-1)(+】.g 111 I 1 nAn=3-(-)+4(-

30、)2+(-)3+(-)n-(4n-1)-(-)n+1v v v v v v=1+4-立 鲁 -(4 n -1)9.T =6f 8n+7.1 1 _ 1 _ =至 _ 3(8n+7)1 3n_*n L16 16 J 2 4n+2 8 8 4n+22 2.已知函数/(x)=五 一 Z n x.(I )若/(X)在X =*2(尤 1 于 2)处导数相等，证明：/。1)+/(尤2)8 -8 仇2;(1 1)若 13 3-4 m2,证明：对于任意k 0,直线y=kx +a 与曲线y=/(x)有唯一公共点.【解析】(I )推导出X 0,/(X)=氏 一 3由/(%)在X =%1，X2(X j丰%2)处导数

31、相等，1 1 1 -1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _得 到 高+方=5,由基本不等式得：A/%1%2=+V 2 N 2Vx 1%2,从而X 1%2 256,由题意得f(9)+/(%2)=后 +V 2 一%2=-l n(X iX2)设SO)=-I nx,则g (%)=4),利用导数性质能证明/(/)+/3)8 -8 仇2.(H)令m=8-(1 什幻，n=(-)2+1 则f(m)k m Q|a|+k k a N 0,推导出存在%o G 使/(无()=kx0+a,对于任意的a G R 及k G (0,+8),直线y=kx +Q与曲线y=f(x)有公共点，由f(x)=kx +a,得k

32、=H产,设九(%)=,则(酒=竺 =*1 山，利用导数性质能证明aW3-4 6 2 时，对于任意k 0,直线y=kx+a 与曲线y=f(x)有唯一公共点.本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力,【答案】证明：(】)函 数 f(x)=a m x,0,小)=氏-3,/(%)在X =%!，%2(xl H%2)处导数相等，1 1 _ 1 12yx1 X21 .1 1.=1 内 2,；扃+诟=户由基本不等式得：三 取 五=后+后,N 2黄 而,*H%2，*,工 1%2 256,1 f.由题意得/(/)+/(x2)=-lnxr+x-lnx2=-V i 2 _ l n(

33、x1x2),设g(x)=：百一仇x,则g (x)=专(石-4),.列表讨论:g(x)在 256,+8)上单调递增,X(0,16)16(16,+8)g(x)0+g。)i2-4ln2T g(%i%2)9(256)=8 8ln2f:./(%!)+/(x2)8 8ln2.(n)令加=?-(同+外,n=(应量92+1,贝 km-a a+k-k a 0,/(n)-k n-a n(熹k)n(=一)V 0,存在&(血,几)，使/(X()=kXo+Q,对于任意的Q G R及k 6(0,d-oo),直线y=kx+a与曲线y=f (%)有公共点，由/(x)=kx+a,得k=NxT；x-a,设/1c o=衣-,则 力，(幻=m x-j+a =工2上 上，xk 7 X2 X2其中 gQ)=-y Inxt由(1)知g(%)2g(i6)，又Q W 3 4仇2,g(%)1+Q W -g(16)1+a=-3+4Zn2+Q W 0,”(x)0,直线y=kx+Q与曲线y=/(%)有唯一公共点.