2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案6.pdf

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1、2 0 2 3年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共 5 小题,每小题6 分，满分30分。）1、如图，有一块矩形纸片ABCD,AB=8,A D=6。将纸片折叠，使得A D 边落在A B 边上,折痕为A E,再将4 A E D 沿DE向右翻折，A E 与BC的交点为F,则4CEF的面积为（）A、2 B、4 C、6 D、8E答:A解：由折叠过程知,DE=AD=6,NDAE=NCEF=45,所以4CEF是等腰直角三角形，且 EC=8 6=2,所以,SACEF=22、若M=3_?-8 旬+9y2 -4x+6y+13（x,y 是实数），则 M 的值一定是（）A、正数 B、负数 C、零

2、 D、整数解：由于M=31-Sxy+9y2-4 x +6y+13=2(x-2 y)2+(x-2)2+(y+3)2 0且 x-2 y,x 2,y +3这三个数不能同时为0,所以M 203、已知点I 是锐角三角形A B C 的内心,Ai,Bi，5 分别是点 I 关于边BC,CA,A B 的对称点。若点B在A iB iG 的外接圆上，则N ABC等于（）A、30 B、45 C、60 D、9 0答:C解：由于I Ai=IB i=I Ci=2r（r 为a A B C 的内切圆半径），所以点 I 同时是AIBICI的外接圆的圆心，设IAI与 BC的交点为D,则 IB=IA i=2ID,所以NIBD=30,

3、同理/IB A=30,于是，ZABC=604、设 A=4 8 x(-+32-4 42-4；)1002-4则与A 最接近的正整数为（)A、1 8B、20C、24D、25答：D解：对于正整数mn 2 3 ,有 =-(-)，所 以 A =n2-4 4 n-2 +24 8 x14)2 9 8 5 6 1 0 2s 八 1 1 1 1=1 2 x(1 +-+-+-2 3 4 9 91l o o-)1 0 1 1 0 2，1 1 1 1、2 5 -1 2 x(-1-1-1-)9 9 1 0 0 1 0 1 1 0 2由于1 2 x(-1-1-1-)1 2 x ,所以与A最接近的正整数为2 5。9 9 1

4、0 0 1 0 1 1 0 2 9 9 25、设 a、b是正整数,且满足5 6 W a+b W 5 9,0.9 W 0.9 1 ,则 一 标 等 于（）bA、1 7 1 B、1 7 7 C、1 8 0 D、1 8 2答：B解：由题设得 0 .9 b+b 5 6 ,所以 2 9 b 3 2。因此 b=3 0,3 1。当 b=3 0时，由0.9 b a 0.9 1 b,得 2 7 V a 2 8 ,这样的正整数a 不存在。当 b=3 I 时，由 0.9 b a 0,9 1 b,得 27a 0）与 x 轴交于A、B两点，若 A、B1 1 2两点到原点的距离分别为OA、OB,且满足-=则 m的值等于O

5、 B OA 3答：24解：设方程x2+m x-m2 O 的两根分别为王,而且对 超，则有4八 3X+工2=/%0，XX2=机 01 1?所以有修 ，由-=一，可知O A O B,又 m 0,所以，抛物线的对称轴OB OA 31 1 O在 y 轴的左侧，于是OA=k|=-%,O B=%2,所以由一+=得 m=2再 x2 38、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是:第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A、2、3、J、Q、K 的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层,再把第三张丢掉，把第四张放在

6、最底层,如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_ _ _ _ _ _ _答：第二副牌中的方块6解：根据题意，假如扑克牌的张数为2,22,23,-2n,那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第6 4张牌。现在,手中有1 0 8 张牌，多 余 108-6 4=44（张），假如依照上述操作方法，先丢掉44 张牌，那么此时手中恰好有6 4 张牌，而本来顺序的第8 8 张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是本来顺序的第88张牌。按照两副扑克牌的花色排列顺序,8 8-5 4-2-26=6,所

7、剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块6。9、已知D、E 分别是AABC的边B C、C A 上的点，且 BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结A D 和 BE,它们相交于点P,过点P 分别作PQCA,PRC B,它们分别与边AB交于点Q、R,则aP Q R 的面积与AABC的面积之比为攵40 01089解：过点E 作 E FAD,且交边BC于点F,则 上CF二 二C匕E=2 所以FD=5-XCD=?5QRFD EA 55+27BA又由于PQCA,所以PQ BP BDEABEBF44+-72833丁曰 140于是P Q=33由QPRS/AC B,故 包 处=（型）2=（型）2=幽SACAB C

8、A 33 10891 0 已知修，82,，4 0都是正整数，且 匹+工2 +%)=58,若X：+X；+X：o的最大值为A,最小值为B,则 A+B的值等于答：4 94解:由于把5 8 写成4 0 个正整数的和的写法只有有限种，故+就)的最小值和最大值是存在的。不妨设修这工2.,若X 1,则X +X 2=(X -1)+(+D，且(X|-1)+(X 2 +!),*X；+X-7 +2(%2 X )+2 X +Xj所以当匹1时,可以把看逐步调整到1,这时，寸+年+x；o将增大；同样地，可以把2,与，与9逐步调整到1，这时X：+x +将增大。于是，当X ,8 2,均9均为1,4 4 0=1 9时,X：+云

9、+谥 取 得 最 大 值,即A=l2+12+-+12+192=400。-Y-39个若存在两个数占，勺，使得勺一天2 (IW i V j W 4 0),则(Xj+1)2+(Xj-I)2=x?+xj-2(Xj-Xj-1)n。-得 m2-n2=2 4 0 即(zn+n)(m-n)=2 4 0 =24 x 3 x 5由、可知，/、M 都是8的倍数，所以m、n 均能被4整除。于是m+n,m-n均能被4整除。所以+=6。加 一 =4+=2 0m n=T2解得:m =32 =2 8,、m =1 6或，=4所以,8X=，2 -1 2 0 =32 2 -1 2 0 =9 0 4 或 8%=帆2 1 2 0 =1

10、 6z 1 2 0 =1 36。故原长方形队列有同学1 36人或9 0 4人.1 2、已知p,q都是质数，且使得关于x的二次方程X2 (8 p 1 0 q)x +5p q =0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p,q)。解:由方程两根的和为8 p-l 0 q 可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数。由方程两根的积为5p q，知方程的另一个根也是正整数。设方程的两个正整数根分别为回，巧(当 1 0 p 8 p-1 0 q ,故此时无解。当 X i+X 2=p q +5 时，p q+5=8 p T 0 q,所 以(p+1 0)(q 8)=8 5由于p、q都是质数，只也许H 一 所 以(p

11、,q)=(7,3)p +1 0 =1 7,8 5当 X 1 +=p+5 q 时，p+5 q=8 p-1 0 q ,所以 7 p=1 5 q ,不也许。当*+X 2=5p +q 时,5p+q =8 p 1 0 q ,所以 3P=1 I q,于 是(p,q)=(1 1 ,3)综上所述，满足条件的质数对（p,q ）=（7,3）或（1 1,3）1 3、如图,分别以AAB C（Z A BC 为锐角三角形）的边A B,B C,CA为斜边向外作等腰直角三角形D A B,E BC,F A C 求证：(1 )AE=DF；(2)A E _ L D F。证明：（1）延长B D至点P,使 D P=BD,连结A P、C

12、 P。由于AB 是等腰直角三角形,所以NA D B=9 0 ,A D=B D,=B D 2在等腰直角三角形E B C 中,NBE C=9 0,BE=C E,BE _所 以 翁BEBC由于 N P B C=N P B A+N A B C=4 5 +Z A B C,Z A BE=Z C BE+Z A BC=4 5 +Z A B C所以N PB C=N AB E。于是ABES/PBC,处=立即AE=PCP C BP 2 2同理，在 4 A D F 和 A A P C 中，有 把=处=交,N D A F=/P A C=4 5 +ZDACA C A P 2所以 ADFsaAPCD F _ A D _ V

13、 2P C -A P -VJ7即 D F=JPC。2所以,A E=D F。(2)由于AA DFsaAPC,所以N ADF=N APC,又由ABES A P B C,得N B AE=N C P B,于是/D A E+/A D F=4 5 +/B A E+NADF=45+ZCPB+ZAPC=9 0 所以，AEJ_DF。1 4、从 1,2,2 05共 20 5 个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c(a bc)，都有ab#c。解:一方面,1,14,1 5,，2 0 5 这 193个数，满足条件。事实上，设 a,b,c(abc)这三个数取自1,14,15,，20 5,若 a=l,则 ab=b l,则 ab214X 15=21 0 c另一方面，考虑如下1 2 个数组：(2,25,2 X25),(3,2 4,3X24),(13,14,1 3X 14)上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2,最大的数为13X14=1822 05所以，每一个数组中的三个数不能所有都取出来。于是，假如取出来的数满足题设条件，那么取出来的数的个数不超过205 1 2=193(个)综上所述，从 1,2,-,2 0 5 中，最多能取出1 9 3 个数，满足题设条件。