2023年上海市宝山区高考数学二模试卷及答案解析.pdf

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1、2023年上海市宝山区高考数学二模试卷一、单选题(本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.若a：x2=4,：%=2,贝Ua是 的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.已知定义在R上的偶函数/(%)=|%-m +1|-2,若正实数a、匕满足/(a)+/(2b)=则工+,的最小值为()9-5A.8-5C9D83.将正整数n分解为两个正整数七、七的积，即。=七/2，当心、的两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如20=1 x 20=2 x 10=4 x 5,其中4 X 5即为20的最优分解，当心、心是兀的最优分解时

2、，定义f 5)=|七-心1，则数歹U/(5n)的前2023项 的 和 为()A.51012 B,51012-1 C.5 2023 D,52023-14.在空间直角坐标系。一 x y z中，已知定点4(2,1,0)、8(0,2,0)和动点。(0/+2)2 0).若。4。的面积为5,以。、力、B、C为顶点的锥体的体积为V,则W的最大值为()1一54-5DB二、填空题(本大题共12小题，共5 4.0分)5 .已知集合力=(1,3),B=2,+00),则4 nB=.6.不 等 式 后0的 解 集 为.7 .若累函数、=”的图像经过点(遮,3)，则此幕函数的表达式为-.8.已知复数(根237 7 1-1

3、)+(机2一5巾一6=3(其中 为虚数单位)，则实数m=.9 .已知数列%的递推公式为仁:二 和 t+1(n-2),则该数列的通项公式an=.10.在(x +6的展开式中，常数项为 _ .(结果用数字作答)11.从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为4,“第二次摸球时摸到蓝球”为B,则P(B|4)=.12.若数列 斯 为等差数列，且&2=2,5 5 =20,则该数列的前n项和为S”=.13.已知 4B C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a si n竽 =bsinA,则B =.14.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出 5 0

4、,60),19 0,100)的数据)和频率分布直方图，P J i J x -y=_ .15 .已知函数/(%)=靛匕-X。0且。1)，若 关 于 的 不 等 式+f a x 4-c)0的解集为(1,2),其中力(6,1),则实数Q的取值范围是.16.已知非零平面向量方是不平行，且 满 足 五 不=才=4,记，=，五+；，则当石与 的夹角最大时，I五一3|的值为 一.三、解答题(本大题共5小题，共7 8.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 7 .(本小题1 4.0分)已知函数/(x)=sinxcosx V 3 c o s 2 x +号.(1)求函数y=/(x)的最小正周期和单调区间

5、；(2)若关于x的方程/(X)-m =0在x 6 0,刍上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.1 8 .(本小题1 4.0分)四棱锥P -4 BC。的底面是边长为2的菱形，4DAB=6 0,对角线4 c与BD相交于点0,PO 1底面力BCD,P B与底面ABCC所成的角为6 0。，E是P B的中点.(1)求异面直线DE与P 4所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)证明：O E平面P 4 0,并求点E到平面P 4 0的距离.1 9.(本小题1 6.0 分)下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量x(4 x 0)为0.(1)分别判断点4(0,1),B(l,2)是否在W的某条直线上，并说

6、明理由；(2)对于给定的正实数%。，点P(&,%)不在0 的任意一条直线上，求的取值范围(用与表示)；(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求0的包络和3 的包络.答案和解析1.【答案】B【解析】解：a：x2=4,即 =2,0：%=2,故Q是夕的必要非充分条件.故选：B.根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解.本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.2.【答案】A【解析】解：/(%)=|x-m+1|-2为R上的偶函数，m+1=0,m=1,/(%)=|x|-2,又 正实数a、

7、b满足f(a)+f(2b)=m,(Q-2)4 (2b 2)=1,即a+2b=5,4+H(a+2灰+$=抑+与+加抑+2后/当且 仅 当 用 吟 即 a=|时，等号成立，即工+沏最小值为台a b 5故选：A.由/(X)为偶函数可得-力+1=0,进而求出山的值，得到/(X)的解析式，再由正实数a、b满足/(a)+/(2b)=m,可得a+2b=5,结合基本不等式求解即可.本题主要考查了函数的奇偶性，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.3.【答案】B【解析】解：当n=2k(keN*)时，52fc=5kx 5k,则/(52k)=|5k-5k|=0,当n=2k l(k G N*)时，S21=5T X

8、5k,则/(52k-i)=15k -5卜-1|=5k-5-1,故数列/(57 1)的前20 23项的和为(5-1)+0 +(52-5)+0 +(53-52)+-+(510 11-510 10)+0 +(510 12-510 11)=510 12-1.故 选:B.根据己知条件，结合/5)=|七-七|，分奇数、偶数讨论，即可求解.本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题.4.【答案】C【解析】解:由己知瓦？=(2,1,0)，OB=(0,2,0).OC=(0,t,t +2)(t 0).设直线0 4 的单位方向向量为A，贝=(一,?,0),所以C 到直线。4 的距离h=J 留猊口=J t 2+

9、2)2=J 9产*+20.所以s =J x 仁 x 升 郃+20=17 9 t 2+20 t +20,2 V 5 Z =1-5A O,1 B-(t +2)=i x|x 2 x 2 x(t +2)=y ,则V一厂呼一 4/+36 t+36人 J 9t2；2a+2。9 Y 9t2+20C+201 6X悬痣令m=t 4-l(m 1),则 =m 1,所以 1+i =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=-17 rM9产+20+20 9(m-l)2+20(m-l)+20 9m2+2m+9=L W 9 m+-+2 2J 9 m 4+2 20,当且仅当9 nl=3,即m=l 时

10、等号成立,所%4 J l +1 6x/=噌,瞋的最大值为埠.115故选：C.由已知万 0)，设直线。4的单位方向向量为口，根据空间向量公式求出C 到直线0 4 的距离，得到 0 4C 的面积为，根据锥体体积公式得到以。、4、B、C 为顶点的锥体的体积为V,利用分离常数法和基本不等式求解即可得到最大值.本题考查空间几何体的体积的计算，考查基本不等式的应用，属中档题.5.【答案】2,3)【解析】解：:4 =(1,3),B=2,4-o o),A C B=2,3)故答案为：2,3).进行交集的运算即可.本题考查了集合的区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.6 .【答案】(0,1)【

11、解析】【分析】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.由不等 式 喜 可得x(x-1)0,由此解得不等式的解集【解答】解：由不等 式 喜 0 可得x(x-1)0,解得0 c x 1,故答案为(0,1).7 .【答案】y =7【解析】解：.鼎函数.=/的图像经过点(诲,3),(V 3)a=3，a =3,则此幕函数的表达式为y =3.故答案为：y=x3.由题意，利用暴函数的定义和性质，求得a 的值，从而得出结论.本题主要考查暴函数的定义和性质，属于基础题.8 .【答案】1【解析】解：复数(T n?3 m 1)+(m2 5 m 6)j =3,C：5：6：0 解得故答案为：-1.根据已知条件，结合复

12、数相等的条件，即可求解.本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.9.【答案】3 x 2*1-1-1【解析】解：当n N 2时，厮=2即-1 +1,即+1 =2(an.1 +1),又 的=2,1%+1 =3,.数列 an+1 是首项为3,公比为2的等比数列，二 c 1n+1 =3 x 2nt ,斯=3 x 2n-1 1.故答案为：3 x 2n-i-l.当n N 2时，a n=2 a n_i +l,所以即+1 =2(an_1+1),即构造等比数列 册+1 ,再利用等比数列的通项公式求解即可.本题主要考查了数列的递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.1 0.【答案】1 6 0【解析

13、】解：二项式(+的展开式的通项为7；+1 =C X6-r(1)r=2 y x 6*,令6 -2 r=0,得r 3,故常数项是2 3 .Cl=1 6 0.故答案为：1 6 0.利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的工的指数为0,列出方程求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中常数项即可.本题考查二项式定理的应用，属于基础题.1 1 .【答案w【解析】解:由题意可知，P(4)=,，P(4B)=,X，=9故 P(8|4)=需=1 故答案为：|.根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.本题主要考查条件概率公式，属于基础题.1 2.【答案】n2-n【解析】解：设等差数列 即 的公差为小

14、则劭=%+d=2,S5=5al+10d=2 0,解得%=0,d=2,所以 Sn=na+d=n(n-1)=n2 n.故答案为：n2-n.直接代入等差数列通项公式，前九项和公式即可.本题考查等差数列通项公式，前几项和公式，属于基础题.1 3.【答案【解析】解：由题设可知：利用正弦定理有：sinA s i n=sinB-sinA又由W(O,TT),则si九 4 WO,则sin与三=sinB,BPsin=cos?=2sincos,又由8 6(0,兀)，则cos?W 0,D即2s讥2=1,由0 B 0,则 岛 一：0，:.ax 0；当a 1时，%0的解集为(1,2),Q 1,ax2+bx 4-c 1,a

15、 G (1,2),即实数a的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2).先解/(%)。的解集，再将a/+b%+c当做一个整体，结合不等式/(Q/+hx 4-c)0的解集形式即可化简该不等式，从而建立方程，解出a,b的关系式，最后再由b的范围即可求得a的取值范围.本题主要考查了指数不等式、一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于中档题.1 6.【答案】4【解析】解：由非零平面向量。石不共线，且 满 足 己 方=片=4,建立如图所示的平面直角坐标系：则4(2,0),8(2,6),b Q,则为=(2,0),b =(2,b)，K1-4QT+3-4=由则C(2，S，则直线O B,0 C的斜率分别

16、为黑,4Z O由两直线的夹角公式可得:tanZ-BOC当 且 仅 当 旨 去 即b =4时取等号，此时B(2,4),则行一方=(0,4)，所以|1一 =4.故答案为：4.先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量加进而通过运算求得|a-b 的值.本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.1 7.【答案】解：(l)/(x)=sinxcosx A/-3 c o s2x +?=sin2x A/-3 x +3 _ 1 cos2x=s i n(2 x 今,故7 =,=兀,令一5 +2kn 2x +2kn,k&Z

17、,则 x G kn ,卜 兀 +骂,k&Z,故函数f(x)的单调递增区间为际 一 居,而+汾 k&Z.令5 +2/C T T 2,x 2/C T T+k Z,则x G kit+瑞，kn+，k Z,故函数f(x)的单调递减区间为%兀+居,而+岑 ,k&Z.(2).关于x的方程/(x)-m=0在x e 0,且上有两个不同的实数解，.m=/(x)在 0,学上有两个不同的实数解，即函数y=M与函数y=x)的图象在 0,夕上有两个不同的交点，令2 x/则小 冶,争，即函数y=巾与函数g(t)=s讥t的图象在-果 刍上有两个不同的交点，函数g(t)在 一弓,刍上单调递增，在生等上单调递减，且g 6)=1，

18、端)=5(y)=?，7?1 故实数小的取值范围为 行,1).【解析】(1)根据三角函数恒等变换的应用化简可求解析式/(X)=s i n(2 x-9，再结合正弦函数的图象与性质即可求解.(2)原问题可转化为函数y=6与函数y=/(x)的图象在 0,夕上有两个不同的交点，再结合正弦函数的图象与性质即可求解.本题考查三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质的应用，考查了函数思想、转化与化归思想和运算求解能力，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)因为P。J 底 面4 8 c 0,BO=OD,所以P B =PD,又因为P 8与底面4 8 c o所成的角为6 0。，所以APB。为等边B三角形,因为E 为P

19、 B 的中点，所以P。=0E=q，因为四边形力B C D 边长为2 的菱形，/.DAB=60,所以 4 8。为等边三角形，即B D =2,所以D E=C，AO=DF=y/3,取4 B 的中点F,连接EF,D F,可得EF/P 4,所以D E 与EF 所成的角即为O E 与R 4 所成的角，则EF =：P 4，PA=V P O2+A O2=V 3 +3 =6,所以EF=?,在A O E F 中，c o s zD F F =请+月产一。产2DEEF-3+尹3 S2 x C x竽-4所以 N D EF =a r c c o s 即异面直线D E 与2 4 所成角的大小为a r c c o s，；4（

20、2）证明:连接O F,由(1)可得0F4D,EF/PA,E F Q O F =F,所以面O E F 面P AD,因为O E 1 面O E F,所以0E 面P A D；所以。到面P A。的距离等于E 到面P/W 的距离，设九，则-P 4D=Vp-AOD,而力-A。=P 0=sh A B D.P O=，；x?x2 x2 xq,SPAD=PA-J 402 _ g）2=l-3 0,x1-x2=18,故 p 4B|=/+g+P =20；(3)存在，理由如下：设直线MN：x=m y 4-n,M(x3,y3),/V(x4,y4),联立方程)消去不 可得，y 2 4m y 4九=0,则/=16(m2+n)0,

21、y3+y4=4m,y 3y 4=-4n,P M =(x3-lty3-2),而=(x4-1斤4-2),若以线段MN为直径的圆恒过点P,则 丽1丽，丽 丽=(%3 1)(%4-1)+(73-2)&-2)=(m y3+九 一 1)(小+九 一 1)+(为一 2)(y4 一2)=(m2+l)y 3y 4+(mn-m 2)(y3+y4)+(n l)2+4=(m2+1)(-4n)4-(mn-m 2)(4m)+(n l)2+4,=-4(m +l)2 4-(n -3)2=(n +2m l)(n -2m -5)=0,解得n+2m 1=0或九-5m-5=0,若九 4-2m 1=0,即n =1 2m,直线MN：%=

22、m y +1-2m =m(y -2)+1,过定点(1,2),与点P 重合，不符合题意，若九2 m 5=0,即九=2m+5,则4=16(m2 4-n)=16(m2+2m 4-5)=16(m 4-1)2 4-4 0,则直线MN：x=m y +2m+5=m(y +2)+5,过定点(5,2),综上所述，直线MN过定点Q(5,-2)；【解析】(1)根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解；(2)根据已知条件，先求出直线4 8 的方程，再与抛物线联立，推得/-18%+1 =0,再根据韦达定理，以及抛物线的定义，即可求解；(3)根据已知条件，设出直线MN,并与抛物线联立，推得y 2 47n y-47i =0

23、,再结合向量垂直的性质，以及韦达定理，即可求解.本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题.21.【答案】解：(1)将点力(0,1)代入直线族2(a-2)x +4 y-4 a +a 2=0,可得4 一4。+。2=0,解得a =2,故点4 在直线y =1上；将8(1,2)代入直线族2(。-2)久 +4丫一4&+12=0,可得2(a-2)+8-4 a +a 2=0,该方程无解，故点B 不在中的某条直线上；(2)若点P(x(),y o)不在0的任意一条直线上，则关于t的方程y()=3 t2x0-2t3 无解，令f(t)=3 t2x0 2t，则/(t)6 tx o-6 t2-6 t(x0

24、 t),当te(O/o)时，/(t)o,t)单调递增，当te(x(),+8)时，(t)XQ,即%的取值范围为(就,+8)；(3)由(2)的结论猜测0的包络是曲线y =/，x 0,则y =3/,由3%2=3 产，解得 =t,在曲线y =x3,x 0 上任取一点(t,f 3)(t 0),则过该点的切线方程为y -t3=3t2(x-t),即y =3t2x-2t3,而对任意的t0,y =3 严-2f 3 的确为曲线y =3,x 0的切线，故0的包络是曲线y =乂 3,x 0：将 2(a 2)x +4y 4a+a2=0 整理为关于 a 的方程 a?+2(x 2)a+4(-x +y)=0,若该方程无解，则

25、/=4。-2)2-16(-刀+、)+i，4猜测3的包络为y =5+1，则;由;=得 =2 Q,Z4在抛物线y =5+1上任取一点(2-见0 3+1),则过该点的切线方程为y -+1 =矶久-(2-a)即2(a-2)x+4 y-4 a +a2=0,而对任意的a C R,2(a-2)x +4 y -4 a+a2=0 的确为抛物线y =1的切线，4故W的包络为抛物线y =3+L【解析】(1)根据直线族的定义判断即可；(2)根据题意可得%=3户&-2t3无 解,令/仕)=3产&一2户,利用导数求出f(t)的最值，即可得解；(3)猜测0的包络是曲线y=/,x0,W的包络为y=3+l，再结合已知条件判断其符合定义即可.本题以新定义为载体，考查导数的几何意义，曲线方程等知识点，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于中档题.