2023年上海市高考数学试卷(理科)2.pdf

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1、上海乌托邦教育2023年上海市高考数学试卷（理科）一、填 空 题（共14题，总分值56分）1.（4分）（2 0 2 3 上海）函数y=l-2 c o s 2 （2 x）的最小正周期是.2.（4分）（2 0 2 3 上海）假设复数z=l+2 i,其中i 是虚数单位，那 么（z+工）.Z2 23.（4分）（2 0 2 3 上海）假设抛物线y 2=2 p x的焦点与椭圆工+=1的右焦点重合，那么该抛物线的准线方程为_9 5X,x（_ 8,a）4.1 4 分）（2 0 2 3 上海）设 f（x）=，假设f（2）=4,那么a 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.,x2,x a

2、,+0）5.（4分）（2 0 2 3 上海）假设实数x,y 满足xy=l,那么x?+2 y 2 的最小值为.6.（4分）（2 0 2 3 上海）假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，那 么 其 母 线 与 底 面 角 的 大 小 为 （结果用反三角函数值表示）.7.（4分）（2 0 2 3 上海）曲线C的极坐标方程为p （3 c o s B-4 s i n。）=1,那么C与极轴的交点到极点的距离是8.（4分）（2 0 2 3 上海）设无穷等比数列 a“的公比为q,假设a尸（a3+a4+.an）,那么q=.n 829.（4分）（2 0 2 3 上海）假设f（x）x 2,那么满足f（x）4 是a 2 且

3、 b 2 的（）A.充 分非必要条B.必要非充分条件 件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件1 6.（5分）（2 0 2 3 上海）如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i （i=l,2,.8）是上底面上其余的八个点，那 么 标 硒（i=l,2，8）的不同值的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.41 7.（5 分）（2 0 2 3 上海）P i （a i,b i）与 P 2 （a2,b2）是直线y=k x+l&为常数）上两个不同的点，那么关于x 和a.x+b i Y=ly的方程组1 1 1 的解的情况是（）a?x+b 2 y=1A.无论 k,P i,P 2 B.

4、无论 k,P i,P 2如何，总是无解 如何，总有唯一解C.存在 k,Pl,P 2,D.存在 k,Pl,P2.使之恰有两解 使之有无穷多解(x-a)2，x4018.(5分)(2023上海)设f(x)=1 ，假设f(0)是f(x)的最小值，那么a的取值范围为x0 x()A.-1,2 B.|-1,0 C.1,2 D.0,2三、解 答 题(共5题，总分值72分)19.(12分)(2023上海)底面边长为2的正三棱锥P-A B C,其外表展开图是三角形PiP2P3,如图，求 PiP2P3的各边长及此三棱锥的体积V.20.(14分)(2023上海)设 常 数aZO,函数f(x)=2 工.2X-a(1)假

5、设a=4,求函数y=f(x)的反函数丫=丁|(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.21.(14分)(2023上海)如 图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌C D,其中D为顶端，AC长35米，C B长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为a和0.(1)设计中CD是铅垂方向，假设要求a*B，问C D的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得a=38.12。，0=18.45。，求C D的长(结果精确到0.01米).22.(16分)(2023上海)在平面直角坐标系xO y中，对于直线1

6、：ax+by+c=0和点Pi(x i,y i),P2(X2,y2),记q=(axi+byi+c)1ax2+by2+c),假设n a2,.ak的公差.2023年上海市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填 空 题(共14题，总分值56分)1.(4分)(2023 上海)函数y=l-2 co s2)的最小正周期是工.22.(4分)(2023上海)假设复数z=l+2 i,其中i是虚数单位，那 么(z+工)=6.2 23.1 4 分）（2 0 2 3 上海）假设抛物线y 2=2 p x 的 焦 点 与 椭 圆 二+1 的右焦点重合，那么该抛物线的准线方程为上9 5-2x,x（-8,a）4.（4分）

7、（2 0 2 3 上海）设 f （x）=|，假设f （2）=4,那么a的取值范围为（-8,2.x2,xE a,+8）5.（4分）（2 0 2 3 上海）假设实数x,y 满足x y=l,那么x?+2 y 2 的最小值为6.（4分）（2 0 2 3 上海）假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，那么其母线与底面角的大小为典处工（结果用反三3角函数值表示）.7.（4分）（2 0 2 3 上海）曲线C 的极坐标方程为p （3 c o s 0-4 s i n。）=1,那么C 与极轴的交点到极点的距离是工.38.（4分）（2 0 2 3 上海）设无穷等比数列a n 的公比为q,假设a i=l i m （a3+a

8、4+.a n）,那么q=返 二 1n-8 22 _ 29.（4分）（2 0 2 3 上海）假设f （x）=J-x 2,那么满足f （x）V0的 x的取值范围是 1 0,1）.1 0.（4分）（2 0 2 3 上海）为强化平安意识，某商场拟在未来的连续1 0 天中随机选择3天进行紧急疏散演练，那么选择的3天恰好为连续3天 的概率是工（结果用最简分数表示）.1 51 1.（4分）（2 0 2 3 上海互异的复数a,b满足a b x O,集合a,b =a2,b2,那么a+b=-1.1 2.（4分）（2 0 2 3 上海）设常数a 使方程s i n x+J 圣o s x=a 在闭区间 0,2 n 上恰

9、有三个解x i,x 2,x 3,那么X 1+X 2+X 3=二.31 3.（4分）（2 0 2 3 上海）某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量 表示小白玩该游戏的得分，假设E=4.2,那么小白得5分的概率至少为0.2 .1 4.（4分）（2 0 2 3 上海）曲线C：x 八 _ 丫 2,直线：x=6,假设对于点A （m,0）,存在C 上的点P 和 1 上的Q使 得 下+够 3,那么m的 取 值 范 围 为 2,3 1.二、选 择 题（共 4 题，总分值20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5 分，否那么一律得零分1 5.（5 分）（2 0 2 3 上海）设 a,b G R,那么 a+b

10、 4 是 a 2 且 b2的（）A.充分非必要条B.必要非充分条件 件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解答：解：当 a=5,b=0 时，满足a+b 4,但 a 2 且 b2不成立，即充分性不成立，假设a 2 且 b 2,那么必有a+b 4,即必要性成立，故 a+b 4 是 a 2 且 b 2”的必要不充分条件，应选：B.1 6.（5分）（2 0 2 3 上海）如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，A B 是一条侧棱，Pi （i=l,2,.8）是上底面上其余的八个点，那 么 蒜 同（i=l,2,.8）的不同值的个数为（）解答：解：如图建立空间直角坐标系，那么 A （2,0,0）,B

11、（2,0,1）,Pi （1,0,1）,P2 （0,0,1）,P3 （2,1,1）,P4 （1,1,1）,P5（0,1,1）,P6（2,2,1）,P7（1,2,1）,P8 （0,2,1）,AB=（0,0,1），AP=（7，1），AP=（-2,0,I）,AP=M L l h AP=（-1,1,1),A P.(-2,1,1),AP.2,1),Ap；二(-1,2,1),AP(-2,2,1),易得 AB A.(i=l,2,.8),A B A P(i=L 2,8)的不同值的个数为1,应选A.17.(5 分)(2023上海)Pi Ui,b i)与 P2(a2,b2)是直线产kx+1(k 为常数)上两个不同的

12、点，那么关于x 和a 0 x()解答：解；当 a0EI寸，显然f(0)不是f(x)的最小值，当 心0 时，f(0)=a2,由题意得：a2x+A+a2+ax解不等式：a?-a-2 S 0,得-14aS2,0a 0,/.a=l，此时f (x)空 ，x卉 0,满足条件;2X-1综上所述,a=0 时，f (x)是偶函数，a=l 时，f (x)是奇函数.点评：2 1.(1 4 分)此题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题.(2 0 2 3上海)如 图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端，A C长 35 米，CB长 8 0 米，设点A、B在同

13、一水平面上，从 A和 B看 D的仰角分别为a和 0.(1)设计中CD是铅垂方向，假设要求a 2 2 0,问CD的长至多为多少(结果精确到0.0 1 米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得a=38.1 2。，0=1 8.4 5。，求 CD的长(结果精确到0.0 1 米).解答:解：(1)设 CD的长为x 米，那么t a n a=工，t a n 0=卫,35 8 0/.t a n a t a n 2|3,tanar SiB Pi2*8 0 1 60 x1-X2 64 0 0-X2(64 0 0解得 O x 2 0后=2 8.2 8,即 CD的长至多为2 8.2 8 米.(2)设

14、D B=a,D A=b,C D=m,那么N A D B=1 8 0-a -0=1 2 3.4 3,由正弦定理得二一=一 些 一,s in。s in/A D B即-:右F R=8 5.0 6，sinl23.43m=7 8 02+a2-160acosl8.450=26-9 31答：CD的长为2 6.9 3米.2 2.(1 6分)(2 0 2 3上海)在平面直角坐标系x O y 中，对于直线I：a x+by+c=0 和点P i(xi,yi),P 2 (X 2,y2),记n=(a xi+byi+c)(a x2+by2+c),假设n 0,那么称点P l，P 2 被直线1 分隔，假设曲线C 与直线1 没有

15、公共点，且曲线 C 上存在点P i、P 2 被直线I 分隔，那么称直线I 为曲线C 的一条分隔线.(1)求证：点 A 1,2),B (-1,0)被直线 x+y-1=0 分隔；(2)假设直线丫=1 是曲线x2-4y 2=l 的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M 到点Q (0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E,求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.分析：(1)把 A、B两点的坐标代入n=(a xi+b y i+c)(a x2+b y 2+c),再根据r)0,得出结论.(2)联立直线丫=1 与曲线x2-4y 2=l 可 得(1 -4k2)x2=l,根据此

16、方程无解，可 得 l-4k 2 40,从i求得k的范围.(3)设点M(x,y),与条件求得曲线E的方程为兴+(y-2)2 x2=l .由于y 轴为x=0,显然与程 联 立 无 解.把 P i、P 2 的坐标代入x=0,由 n=l x(-1)=-1 (-1,0)分别代入 x+y-1 可 得(1+2-1)(-1 -1)=-4 0,点(1,2)、(-1,0)被直线 x+y-1=0 分隔.(2)解：联立直线丫=1 与曲线x2-4y 2=l 可 得(I-4k2)x2=l,根据题意，此方程无解，故有 1 -4k2 0,k .l.2 2(3)证明：设点M(x,y),那 么 J2+(y-2 )2 eM=l-故

17、曲线E的方程为伙2+(y -2)2 卜2=1.y轴为x=0,显然与方程联立无解.又 P l 1,2)、P 2 (-1,2)为 E 上的两个点，且代入 x=0,有 n=1 x(-1)=-1 0,故 x=0 是一条分隔线.假设过原点的直线不是y 轴，设为y=k x,代入Y+(y-2)2 x2=l,可得Y+(k x-2)2 x2=l,令 f (x)=x2+(k x-2)2 x2-1,f (0)f (2)V O,f (x)=0 有实数解，即丫=1 与 E有公共点，.y=k x不是E的分隔线.通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.2 3.(1 6 分)(2 0 2 3 上海)数 列 a n 满

18、足工a n 4a n+K3 a n,n G N*,a i=l.3(I)假设a 2=2,a 3=x,a 4=9,求 x 的取值范围；设 a n 是公比为q的等比数列,S n=a i+a 2+.a n,假设2 S n W S n+i W 3 S n,n G N*,求 q的取值范围.3 假 设 a i,a 2,a k 成等差数歹U,且 a i+a 2+.a k=1 0 0 0,求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a i,a2,.a k的公差.分析:依题意：-a2=a3:C 3a2,又a 4 3 a 3 将代入求出x 的范围;(2)先求出通项：anqnT,由2al4 a23%求出&q4 3,对

19、 q分类讨论求出S n 分o o别代入不等式1 S n 4S n+区3 S n,得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围.3(3)依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k 取最大值时a i,a 2,.a k 的公差.解答:解：(1)依题意：工&3 a又 为2 a 3 3 a 2).3 x 2 7,综上可得：3 x 6 由 得，a q n I|a (a 2 3 a 4a4 4 3 a 3当 q=l 时，S n=n,l S n S n+i 3 S n,即3n+l 4 3 n，成立._n _-1 1 /_-I n _当 l q 43 时，S I S n S n+l 3 S n,即-3

20、-%q-l 3 3 q-1 飞 q-1 7 q-11 3+1 -14VTT0qn+1-3 qn+2 l,故 B q-q n-2=q 0(3 q-1)-2 2 qn-qn+1-3 qn+2 0,令 n=l,得 q2-3 q+2 0,解得 1 4q S 2,又当 1 4q S 2,q -3 0,qn+1-3 qn+2=qn(q -3)+2 q (q-3)+2=(q-1)(q -2)V。成立，l q 2,当!ql时，q-1,l S n S n+l 3 S n,即 1 1 二 S _i -n+l 1 _ rs;q-1 33 1 -q此不等式即.3 qn+1-qn-2 03 q -1 0,q -3 0,

21、3 qn+l -qn-2=：qn(3 q-1)-2 2 qn-2 q (q -3)+2=(q -1)(q -2)0时，不等式恒成立，上，q的取值范围为:(3)设a i,a 2,.a k的公差为d.由 工 a，且a i=l,3%个 an+l oan得 1+(n-1)d l+n d -2/、n=l,2,，k-1(2 n -3)d3_ 2当 n=l 时，-&d 2；3当 n=2,3,k-1 时，由 二！,_ -2,得 於 二 2 n+l 2 n -3 2 n+l所以 1 0 0 0=k a +卜(k _1).d k+k(k-1).-2,g p k2 _ 2 0 0 0 k+1 0 0 0 0,ai 2 s计 2 2 k-1得 K1 9 9 9所以k的最大值为1 9 9 9,k=1 9 9 9时，a i,a 2,.a k的公差为-I 1 9 9 9