2021年高考数学模拟试题2.pdf

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1、笑傲考场模拟操练2021年高考数学模拟试题广东省中山市第一中学许少华一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 4=%|%2-6%+8|6|是 干 叫6|的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图 1,是函数/(%)=4 s i n(5+巾)(4(),a)0,()(t)7 T)的一个周期的图像则/(%)的解析式为()A.2 s i n（等+子）4 4B.2 s i n（今+手）4 4C.2 s i n（岑-7）4 4D.2 s i n（4 -T）4 45.如 图2,E,尸在边长

2、分别为2和1的矩形边D C 与 B C,若 祠 疗=6,则 密 疗=（）A.3 B.2C.1 D.6.已知两条直线a,6与两个不同的平面a、d 4_ 1 _.若a _ L/,则a a.若则a 仪若a 邛，W b/Z p.其中正确的是()A.B.(D C.D.7.设随机变量X的分布列如下表：X015p3_4ab5若 EX=0.7 5,则6-a的 值 为()A-8 B-2 C 8 D-l8.一个样本容量为1()的样本数据，它们组成一个公差不为0的 等 差 数 列 ，若的=8,且内，的，劭成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()A.1 3,1 2 B.1 3,1 3 C.1 2,1 3 D.1

3、 3,1 4二、选择题：本题共4小题，每 小 题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.设函数/(久):收2+6%+(“6)的图像经过点A(w,/(z n i)和点8(,/(g),/(l)=0.若/+火西)伏加2)卜4/(叫)/(加2)二0,则()A.6N0 B.a 0C.3a+c0D.3a-c01 0.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心少为一个焦点的椭圆，如图3所示，已知它的近地点/1(离地面最近的点)距地面加千米，远地点8(离地面最远的点)距地面.千米，并且足4、2三点在同一直线上，地球半径约为衣千米，设该椭

4、网的长轴长、短轴长、焦距分别为2、2,八2 t,，则()A.a-c=m+R B.a+c=n+R图3C.2a=m+n D.b=V(m+R)(n+R)1 1 .P为正方体对角线8,上的一点，且BP=A BDi(A (0,1).下面结论正确的是()A.4,O C,P.B.若8 0 4平 面*C,则入=；.C.若/%(;为钝角三角形，W A e (0,).D.若则 PA C为锐角三角形.12 .已知函数.f(x)R 2-2 x co s x,则 下 列 关 于 的 表 述 错 误的 是()A./&)的图像关于y轴对称 B./U)的最小值为-1C J G)有4个零点 D./Q)有无数个极值点三、填空题：

5、本题共4小题，每小题5分，共2 0分.13.函数/(%)=2()2 132：+2 02 2/+1,记/(冤)为/(无)的导 GU A NG D O N G JIA O Y U G A O Z HONG数，则 f(2021%(2021)欣-2022)必(-2022)的值为.Ix-2W 0,14.已知点P&,y)在不等式组:y-l WO,表示的平面区lx+2y-20域上运动，则Z K24y的取值范围是15.设?!的内角A,&C所对的边长分别为明 儿c,且 a tan,b sin 4=4.若ABC 的面积 S=10,则 cos4c 的值为.16.已知点4是抛物线=2p4上一点，为其焦点，若以/为 圆

6、心，以|四|为半径的圆交准线于/?,C且即。为正三角形，当4 8。的 面 积 为 时，抛 物 线 的 方 程 为.四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题 满 分10分)已知向量z=(sinx,),二(1,cos%),且函数f(x)=mn.(1)若久 w(0,羽)，且/(%)=|,求 sinx 的值.(2)在锐角中，角4,8,(7的对边分别为a,A,%若a=4,Z U B C的面积为4 v亨，且/(/1+5)=:词 也，求4 3 C的周长.18.(本小题满分12分)设公差不为零的等差数列凡)的前5项的和为5 5,且%/恁+。7 ,成等比数列.

7、(1)求数 列&的通项公式；(2)设数列6.=7-4 TT，且数列瓦)的前“和为S”证明：5A等.19.(本小题 满 分12分)如 图4在RtZU“。中，乙A BC二9 0,。、后分别为线段4 8、A C的中点，A B=4,B C=2 VT.以D E 为 折 痕,将RlZUO七折起到图5的位置，使平面40_L平面连接从K.A B,设尸是线段4 K上的动点，满足才 植(I)证明：平 面 FBE工A，D C；(H)若二面角F-BE-C的大小为45。，求 人的值.图420.(本小题满分12分)某 学校举行知识竞赛，第一轮选拔共 设 有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则

8、如下：每位参赛者计分器的初始分均为10分，答 对 问 题1,2,3分 别 加I分，2分，3分，答错任一题减2分.每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局.当 累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮.当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局.已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依 次 为?，4；.；,且各题问答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率.(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X的分布列和数学期望.21.(本小题满分12分)已 知 椭 圆C：胃+；=1(必c)的a-b左、右焦点分别为生，为，P为

9、椭圆上任意一点，内面积的最大值为3V手，且1P11/与1的最大值为12.(1)椭 圆C的左顶点为月|,过椭圆右焦作直线交椭圆于4,乱 试 求 三 角 形 面 积 的 最 大 值，并求面积最大时直线.48的方程.(2)椭 圆C的左、右焦点分别为R,松，在椭圆C上是否存在点”，使丫 工，)加 成等差数列？若存在，求出IHrll 1阳 ln r2l旧人|与|H对 值.若不存在，说明理由.22.(本小题满分12分)已知 函 数/(%)=窘(。卢0),g(x)=1+21n(x+2),x+2(1)若/(%)在区间(-2,+8)上的最大值为%求a的值.(2)若 a l,是否存在劭,x2e|使(欠2).(3)

10、若P是曲线g(%)上任意一点，求尸到直线8黑+y+15=0的最小距离，并求此时的点的坐标.参考答案一、选择题1.D.由 xM x+8 0,得 2 4 ,则 A=x|2x 0,则 a|6|a3/)21 b|.若 6=0,则 a b (?b2 b.笑傲考场模拟操练若6|b|o/乂2 1 .故g 1 6 1是 冉 从 周 的 充 要条件.4.A.由图像可知 4=2,=7-(-1)=8,又由 27 r=8,得 8=1,得 f(x)=2 s i n(+)CD 4 4结合八-1)=0,即 2 s i n(-+)=0,得那么.f(x)=2 s i n(7+Z)5.C.以4为原点，H 8为x轴，A”为y建立直

11、角坐标系，则4(0.0),8(2,0),0(0.1),设 E G)，F(2,y),则 豆=(x,l),4/=(2,y),由显得 2 x t y=6.B?=(x-2,1),/=(2,y-l),则-0?=2 (x-2)+y-1 =2+3-5 =1.6.A.根据线面垂直的性质可知正确.中，当a _ L b时，也有可能为“C a,所以错误.垂直于同一直线的两个平面平行，所以正确.中的结论也有可能为6QB,所以错误，所以命题正确的有(，选A.8.B.设等差数列 a,J 的公差为 d(d 0),a3=8,ata7=a)=6 4,即(8-2 4)(8+4 4)=6 4 也 就 是(4-d)(2+d)=8=2

12、 d-屋=0 义1*0故 d=2.故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,2 0,2 2,平均数为=-0+2 2)x 5=1 3 b c,得 a+6+c 0.又 3a+c 2a+b+c-a0.若c 2 0,由a6c,得a+6+c 0,这 与a+6+c=0矛盾，所以c (),c 0,所以 1)N ().10.A B D.因为地球的中心是椭 圆 的 个焦点，并且根据图像可得(*).=；+/f,故A正 n=a+c R确故B正确.(*)两式相加m+g2 a-2 R,可得2 G+n+2 R,故C不正确.由(*)可得;一,两式相乘可得(m+R)(+/?)=a2-c)n+R=a+c(-c2/

13、2,.,.b2=(rn+R)(n+R)=b=y/m+R j n+R)t 故 D 正确.11.A B D.可推得4 Q _L平 面4 8 G O i,所以小。_L GP,所以A正确.因为过A的平面A H。与垂直，平面与B 的交点尸恰好三等分8,所以8正确.当A=；时，/为球心，设球半径为a,则/l C=V T o.由c os 2 3=华 子 某。()时，x+1 2,当且仅当XX冥=1时 取*=当%=1时，2 c os 2 f(x )=2 0 2 1 ac os x+3 x2 0 2 2 6/可以看出/，(4)为偶函数，于是/(-2 0 2 2)d/(-2 0 2 2)=0.而/(*)-1 =2

14、0 2 l as inx+2 0 2%/为奇函数，于是/(2 0 2 1)-14/(-2 0 2 1)-1=0=!/(2 0 2 1)4/(2 0 2 1)=2.故/(2 0 2 1)(2 0 2 1)-2 0 2 2)tf (-2 0 2 2)=2.14.；.5.如 图6,阴影部分为可行域，由 于 小+/表示区域内的点到原点距离的平方于是可以看出其最大值由A点原点的距离产生，最小值由原点到直线x+2 y-2=0的距离产生，因为4的坐标为(1,2)故(坦 土2 1产 这炉旷近一+2 2VT=:W.r+y2近5.15.-4.由 bsinA=4 得 as inB=4,由 alanB=与 as in

15、B=4 GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG两式相除，有cosB=/0.又 通 过tan8=个-知：tan80,则 cos8=-；,sin/?=；,lai 山二弓.(舍去)故数列%的通项公式为%=7+25-1)即%=2计5.(2)由(1)a=2n+5,得 bn=名rv=/(2n+5-5)(2n+5-1)n(n+2)(J I)2 zi n+2 则 o=5.lil S=-acsinB,得到 c=5.：A=C.由 cos4C=2cos22C-1 =2cos2(4+C)-1=2cos2B-1 =2x(-)2-l7-25-16.r=8x.由题意，如图 7 可得=cos30。及 DF=

16、2p=nrB F=-,从 而 V T VT由抛物线的定义知点4到准线 的 距 离 也 为 一 虬，因为V TA 48c的面积为1 8,即_Lx卫x=侬2 V T V T 3=p=4,故抛物线的方程为y,2=8x.四、解答题BI)图7那么 S=6I+62+,-,+/,.=y(1-y)+(y-)+(j-y)+,+1 1 n_ 1 1 1 1 x 3 1 /1 上 1 、3江 一 能 上2(1+2_而 一 嬴)=彳-2(市+该)19.(I).平面/TOEJL 平 面。ACE,A g D E,.平面 DBCE、分别为中点，DE=BC=VT,Bf)=!AB=2.2在 宜 角 三 角 形DEB41,v t

17、 a n Z f=V T皿/=浮,1 -tan Z.BED-tan Z.CDE=O,Z.REO+Z CQE=90。得 BE 1 DC.17.(1 y(x)=mn=(sinx,-Vr3),(1,cosx)=sinx-VT co&v=2sin(x-),/(；r)=；,.sin(%-；)8_L平面 AOC,乂 BEU平面 FEB,平 面 比B_L平面IO C.(II)作FG_LOC,垂足为G,贝ij尾_L平 面。8C尸,设BE交DC于0点、,连。八由(I)知，乙FOC为二面角F-BE-C的平面角由 FG/AD,能=异.除AA2人.又xe(O,乎)，.3 日 e(-o J 3丁)2 7,所以 siiu

18、=siii (x)+：=1.1 12V T.V T =I+2 V T3 2 2 3 3 2 2-6 6.(2)因为/(4+孑)=；csinB,所以 2siiM=；csiiR,即4sinA=csinB.由正弦定理可知4a=be,又a=4所以be 1 6.由已知A4EC的 面 积 csin4=4/3,可得sin/1二 笞 一，又 4 (0.)*4吟.由余弦定理得M+C2_26CCOS4=1,故长三3 2,从而“长 产 二64.所以A4EC的周长为12.18.(1)设等差数列的的首项为外,公差为应则5 1+；4d=55,(Vai+5d+ai+6d)2=(a.)+J)(a1+36/-9)7d=2或供

19、二11,d=0.同理，得 CC二 九CO,DG=(1-A)CP=2VT(1-A).00=/芈=T X ,0G=DG-D0=2VT(1-A)-BE 3 T ,在 RtAOG/中，由 tan 4 FOG=-2A 2V T(1-A)-2V X=L得，A=1-当 .方 法2：以。为坐标原点08.DE.4分别为OX,(*,0Z轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为(0,0,0),夕(0.0.2),8(2,0,0),C(2,2V T,0),(0,V 7,0).(1 溷=(-2,V T,0),=(2,2 3(2+V T)故三角形4/18面积的最大值为2V T+3,此时，直线48的方程为y=号-(工-3).(2

20、)假设存 在 点7满足题 设.由；;+(=1可 知.l/f,l+I HF,I=4 V T .I F冉=6结 合 堇 算=盛+盛，得同与T HFI r j?J l/7 F|l nr=12.由 I HF J+HF J=4 MT j呐z _ 4 M yH KI+12m=H F J=I HF,I-1 1=122 V 3 ,此时点为椭圆的上(或下)顶点.故点存在,且因川=1&1=2/可.22.(1)由/(*)=宇，二 吟 但)2+x 2+x若a 0此时函数递增.当(-1,+8)时，/(x)0此时函数递减.于是，当*=-1时，函数有最大值/(-I),由题意得/(-I )=-e,B|1 ae=-e,从而得

21、0,则当x c(-2,-)时，/(工)0此时函数递增.于是，函数/(#)在区间(-2,+8)上有最小值无最大值，与题意不符.故/(*)在区间(-2,+8)上的最大值为-e,则a的值为-1(2)当”1 时，由(1)可知，当 x e(-2,-1)时，/(x)递减.因此，工引-今，-。时，/()递 减.由 此 可 得*e-g.-2-a I时，/(动的值域为,2优刁.2-a GU A NG D O N G JIA O Y U G A O Z HONG由g(*)=+21n(*+2)=g，(止-甚 严 显然，当工右(-2,-9)时，/(#)0,函数g(x)递增.因此，时，gU)递增，由此可得6 -1,同

22、时，g()的值域为xe2-21n2,J-+21n(2-a).2-a若存在必，为卜微，-a ,使/(%i)g(#2),则只需2,#2-21n2即 与 竺.Ve由于a l,故必存在阳，x2&-:,-,使/(阳)g(%2)(3)设与直线8x+)+20=0平行且与g(x)相切的切点坐标为&,n).由于 H(%)=-T9亓 +，则 k=-1八，+=-8 n(%+2)x+2(%0+2)%Q+2省 产-:或 须 1(舍 去)得 切 点 坐 标 为(-,4(l-ln 2).此时，切线方程为-4(l-ln2)=-8(%+：)即尸-8/4(l-h】2)-14.令 r(x)=g(x)-y-=-L +21n(.x+2

23、)-8x44(l-ln2)-14,“+2则 r，-_1 2$.8a+2)2+2a+2)T_ N+5)(4T+7)AJ r U)-(x+2)2+x+2 G+2)2(x+2)2 由于函数r(x)的定义域为(-2,+8),于是当*w(_ 2,-，)时，r(x)I-x8+4(l-ln2)+15l到直线8.t+y+15=0的最小距离，于是得 4V 6 5=5-4M2V 6 5 责 任 编 辑 徐 国 坚(上接第26页)求数列 叫的通项公式；(2)求数列 )的前”项 和 7,.解析 当，2 时，a,$)M(n-l)=2/i+3,.当n=1时,ai=Si=12+4x 1=5,也满足式,所 以 数 列 的 通

24、 项 公 式 为%=2+3.(2)-5=_1 _=_L(_ 1 _ 1)。必1M-(2n+3)(2n+5)2 2n+3 2n+5 所 以4=/卷+)+(尹 卷)+(磊-焉)1+(J L _)=J.5 2n+5 5(2n+5)【评注】本题考查了数列%的通项与前n 项和S“的关系、裂项求和法，考查了分类讨论思想，旨在考查逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.例 1 2.已知数列,满足卬=1,a,41=6 a+l,(l)证明数列(a+1 )是等比数列，并求数列 4)通项公式；(2)证明：+5L +3.2%5(1)证明：由a向=64+1得。向+=6(%+；),又处+；=:，所以数列 q+1-是首项为专，公比为6 的等比数列，所以a+j =|x 6-,所以数列 乐 的通项公式为“”=6了.(2)由(1)可知工=7,%61-1因为当n才1时，6-1注5x6 j 所以J-W-J -F-,6H-1 5x6，i于 是1这，于 是1+1&1 +)+Ju=a 6 Oo%6 6O1-6吟x(l$)吟.【评注】本题考查了构造法、等比数列的通项公式、前项和公式、放缩法，旨在考查逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.责 任 编 辑 徐 国 坚