2021考研数学（一）真题及答案解析.pdf

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1、2021考研数学(一)真题及答案解析2021考研数学真题及答案解析数学(一)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)e l 0函数 在x =0处Lx =0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(。可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.(解析)因为l im /(力=l im =1=/(0),故f(x)在x =0处连续；x-M x-M*.一1 x因为l im -f=l im 心二十”故/(0)=，正确答案为D.7 X-0 7 x-0 7 X-2 2(2)设函数/(x,y)可微

2、，且/(X+L，)=X(X+1)2,f(x,/)=2./l iix ,则/(1,1)二(A)dx+dy.(B)d x-d y.(C)dy.(D)-d y.【答案】C.解析】f；(x+1,。)+e 4(x+1,/)=(x +l)2+2x(.r+1)，(”,/)+2式(工,=4 x l n x+2 x fx =0 fx =1分别将 八，带入式有I b=i工。1)+曲,1)=1，曲,1)+2力(1,1)=2联立可得(U)=o,(1,1)=1，#(1,1)=ZU,l)v +f；(,Y)dy=dy,故正确答案为 C.(3)设函数/(.X)=誓 在x =0处的3次泰勒多项式为ax-bx2+c x 则l +

3、.r7(A)尸(4)，则尸(7|方)尸(N)(。若P(AB)P(A 夕)，则P(AB)P(A).(D)P(A AV)B)P(AAJ B),则 P(4)尸(3).【答案】D.【解析】尸(N|/U 8)=尸(心U B)/Q U 8)/(尸(/)+尸(8)-尸(.姐)隔MU8)，(疝/U 5)_ P(AB)_ P(B)-P(AB)P(A U B)尸(/)+尸(8)尸(4 5)因为尸QMU8)尸(i MUB),固有尸(N)尸(B)尸(4 5),故正确答案为D.(9)设(乂 北),(乂$),(元,匕)为 来 自 总 体/“；,咛 )的 简 单 随 机 样 本，令-1 -1 八 -0 =-iX =-y X

4、,iY=-Y YnO=X-Y,则(A)3是e的无偏估计，()=，+%(B)。不是e的无偏估计，D(=3詈(O 0是e的无偏估计，。(=红卫产眄(D)。不是9的无偏估计，D=%+巧 2的【答案】C.【解析】因为x,y是：维正态分布,所以刀与F也 服 从：维正态分布，则N-齐也服从二维正态分布，即E()=E(灭-=E(万-E(力=4-外=0.D(初=D(N -1)=D(乃 +D(f)-c ov(冗f)=U 生:二2丝故正确答案为 C.11(1 0)设X，X”，6是 来 自 总 体N(,4)的 简 的 随 机 样 本，考 虑 假 设 检 验 问 题：Z f0：A 1 0.P(x)表示标准正态分布函数

5、，若该检验问题的拒绝域为歹=刀4 1 1 ,其中N=上 之X,则“=1 1.5时，该检验犯第二类错误的概率为1 6(A)l-(D(0.5)(B)1-(D(1)(0 1-0(1.5)(D)1-0(2)【答案】B._ _ 1【解析】所求概率为尸 X v 1 1 X N(1 1 5,_),-1 1.5 1 1-1 1.5P 1 1 =PT-M212=1-0(1)故本题选B.填 空 题(本 题 共6小 题，每 小 题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(1 1)rdxX2+2X+2【答案】【解析】7T=一7T4 4冗(1 2)设函数y=y(x)由参数方程x=2e+t+l,x dv 4 re

6、r+2/团 d2y(4er+4ter+2)(2er+l)-(4ter+2t)2er【解析】由；-=K，；,得 六 -二 ,二3-，dx 2 d+l dx(加w 祖 d2y I 2将，=0用入得不 L o=.(1 3)欧拉方程/+专，4 y=0满足条件y(l)=1,/(I)=2得解为y=.【答案】X2.1解 析】令x =e ,则 孙 =女0=噌 -型，原 方 程 化 为 起-4 y=0,特征方程为dt dx dx dxA2-4 =0,特 征 根 为4=2,4=-2,通解为y=G e +G e=G x 2+G x-2,将初始条件)，(l)=l,y(l)=2带入得G =1,C2 =0,故满足初始条件

7、的解为y=./.(1 4)设E为 空 间 区 域(.r,y,r)|.V+4 v2 4,0 z 2 表 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分j j x2dyd:+ydzdx+zdxdy=.【答案】4 .4 解析】由高斯公式符原式=(2.r+2y+l)rf K=小 小dxdy=4葭nD(1 5)设4 二4为3阶矩阵，劣 为代数余子式，若/的每行元素之和均为2,且卜|=3,4 1 +&+4 i =-Aa=2,a=，则/的 特 征 值 为 回，对应的特征向最为AA 知/力=口。而/=4,M；4I+4I+4IA*1 =An+i d 1/0+八 十 儿,即4 i+4 i+4】=万(1 6)甲乙两个盒子中各装

8、有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取球令X.Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与丫的相关系数.【答案】1.(0,0)(0,1)(1,0)(1%(o n(o r【解答】联合分布率(x,y)3 1 1 3 ,x 1 1 r 1 1co v(XK)=.D X=-,D Y =-,px r=-.三、解答题(本题共6 小题，共 70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 7)(本题满分1 0分)求极限l iin1s iii.v【答案】上21+e c i t 1 s in x-1-V erdt【解析】解：l im

9、-J =l im-应一XTO ex-1 s in.r (ex-l)s in x又因为改=1。+/+。(尸)劝=1+；/+0(./),故(X-X,+。(./)(1 +*+1/+。)-+。祥)原式=l im 卫-J-2-*一。X-X2+2 -64 x +2”二 二 3 0，求C上的点到叼坐标面距离的最大值.【答案】6 6【解析】设拉格朗日函数Z(x.y.:,4)=二 2+4/+2/一 二 6)+(4 +2 +二 一 3 0)Lx=2x A +4 =0Ly=4 y A +2“=0Z.=2z -A +w =0 x2+2y-r =64.r +2y+r =3 0解得驻点：(4,1,1 2),(-8,-1

10、6 6)C上的点(-8,-2,6 6)到 x o y 面距离最大为6 6.(20)(本题满分1 2分)设D u K是有界单连通闭区域，1(D)=jj(4 -x2-y-)dxdy取得最大值的积分区域记为P,.D求/(A)的值.(2)计 算 f-e T +，)d：+(4.,T t)外 ,其 中 是A的正向边界.x +4 y-【答案】-n.【解析】(1)由二市积分的几何意义知：Z(D)=JJ(4-X2-/M T,当且仅与4一在。上D大于。时，/(D)达到最大，故乌：.r+yZ d 且/(DJ=/d 可：(4-，”衣=8.(2)补2：/+4/=/(r 很小)，取2的方向为顺时针方向，r (xex,!+

11、y)dx+(4yex*4y!-x)dy _L x1+4 y2_ i (x eJ+y)dx +(4y eT x)dy(xex 4v+y)dx+(4yex*4r-x)dyJ o,产+4/J x2+4y2c Z J j*c Z?；J cD】J=-y e j xdx+4ydy-rer J ydx-xdy=j j-2d(y-n.r an：犯 r D j(21X本题满分12分)，a i-r已 知/=1 a-1.-1 T a，求正交矩阵尸.使得P;4 P为对角矩阵:(2)求正定矩阵C,使得不=(a+3)E-4*1国2餐【答案】。)尸=【解析】A-由|花 _4卜-1近O-17一-2当4 =a +2时2-1(”

12、+2*-4)=-1 21 1当 4 =4 =_ 所-1-1(-1)-J)=-1-1J 1Z +2、.则 严 N 尸=A=a-(2)PTC2P =PT(a+3)一月)尸=(+3)A =4、4J7n PS 尸 C P（22X本题满分12分）在区间（0,2）上随机取一点,将该区间分成两段，较短的一段长度记为X、较长的一段长度记为y,令 z二人Y.X（1）求X的概率密度:（2）求Z的概率密度.（3）求E停）|l,0 x l ,【答案】（】）=。,其 他：。”式二）=7,二之(-+1).(3)-1+21112.0,其他11,0X1I 0,其他【解析】（1）由题知：*/（4）=。）由y =2-x,wz=2;七，先求z的分布函数:X为（二）=亨 4=呜 一 卜 二 当二 1 时，FZ（=）=O：当 二 时，3=噌一 士卜川X V引=】一向田.；3（二）=七（二）=（二+1尸”o,其他工修 卜 七（/H；氏=T+2 1 n 28