2022届高考数学考前热身题及答案.pdf

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1、2022年高考数学考前热身题1.如图，在长方体ABCD-Ai81clz)1中，AiA=4,A B=A D=2,E 为 Aih的中点.平面E C C 与棱AO交于点F.(I)证明：EF平面 B1BCC1；AA 1(II)点 M 为棱A41上一点，且不=二，求直线M尸与平面所C i所成角的大小.AAr 4【分析】(I)由长方体的结构特征可得CC1 平面A 4 iP。，由线面平行的性质定理可得CC/EF,由线面平行的判定定理即可证得EF平面BiBCCi；(II)以。为坐标原点，以 D4,DC,所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，求 出 向 量 而 和 平 面 的 一 个 法 向 量，即可

2、求解直线M F 与平面FBG 所成角的大小.【解答】(I)证明：在长方体4 8 8-4 8 1 0 0 1 中，CO 平面441。，因为平面ECiCC平面A4IOIO=EF,CCiu平面EC1C,所以 CCiE F,因为 EFC平面 BiBCCi,CCiu平面 B18CC1,所以EF平面BiBCCi.(I I)解：以。为坐标原点，以 D4,DC,所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 F(l,0,0),M(2,0,1),B(2,2,0),C(0,2,4),则 麻=(-1,0,-1),FB=(1,2,0),FCy=(-1,2,4),设平面FBC的一个法向量为蔡=(x,y,z

3、),n FB=0ji-FC】=0则产+2y=0(%+2y+4z=O取 x=2,则 y=-1,z=l,所以九=(2,-1,1),设直线M F与平面FBC所成的角为0,则 sin8=|cos=陆 而=厘 =在nMF&1+1+1 2，所以。=多7 T所 以 直 线 与 平 面FBC所成角的大小为3【点评】本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.2.已知AB是圆。的直径，且长为4,C 是圆0 上异于4,B 的一点，点 P 到 A,8,C 的距离均为2 6.设二面角P-A C-8 与二面角P-B C-4 的大小分别为a,p.1 1(1)求 二

4、 +1 不的值；tan1a tan2(2)若tan0=yfStana,求平面A P C与平面P B C所成锐二面角的余弦值.【分析】(1)连接P。，0 C,分别取AC,8 C 的 中 点 M连接PM,OM,PN,ON,利用全等三角形的性质以及线面垂直的性质，证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明PO_L平面ABC,4C_L平 面 P M O,由二面角的平面角的定义得到NPM O=a,Z1 1PNO=B，在三角形中，利用边角关系表示+正，化简求解即可；tanza tanzp(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面朋C 和平面P8C 的法向量，由

5、向量的夹角公式求解即可.【解答】解：(1)连接PO,OC,因为。为 AB的中点，所以POLAB,因为C 是圆O 上异于A,B 的一点，AB是圆。的直径，所以 AC_L8C,从而 AO=C。，又因为=PC,PO=PO,所以用。丝PC。，则/PO C=N PO A,H P POLAC,又 AO,COu平面 ABC,AOQCO=O,故 PO_L平面ABC,分别取AC,BC的中点M,N,连接PM,OM,PN,ON,则在圆。中，OM_LAC,由 PO_L平面 ABC,ACu平面 A B C,贝 U PO_LAC,又 POCOM=O,PO,MOu平面 PMO,故 AC_L平面尸历。，又 PMu平面PMO,

6、所以 A C L PM,所以NPM O=a,同理 NPNO=0,-1 1 OM 7 ON 7 OC?OC2 1于 ZE-+-=()+()=()=-=;tan2a tan2/?VOPJ VOPJ VOP)AP2-OA2 2(2)因为tan0=V5tana,所以 BC=V3AC=2V3,在 圆 O 中，CACB,以点C 为坐标原点，C 4所在直线为x 轴，CB所在直线为y 轴，过 C 且垂直于平面ABC的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C-x y z,如图所示，则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2V3,0),又因为PO_L平面A B C,所以。P z 轴，从而P(l,V3,2夜)，则

7、2 1 =(2,0,0),CB=(0,2遮，0),CP=(1,V3,2位)，设平面B 4 C的法向量为m =(x,y,z),m-CP=O 卜+何+2/z =。令y =2鱼，则 x=0,z =-V 3,故蔡=(0,2 V 2,-V 3),同理可得平面P 2 C的一个法向量1 =(2混，0,1),r-r-i.i ，T、m n 一 ，”/3 3所以皿加正丽=痂=一 年故平面A P C与平面PBC所成锐二面角的余弦值为4j【点评】本题考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，二面角的平面角的定义的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量

8、问题进行研究，属于中档题.3.如图，在几何体A B C D E尸中，四边形A B C D为等腰梯形，且4 B=2 C D=2,乙4 B C=6 0 ,四边形A C F E为矩形，且F 8=2,M,N分别为EF,A B的中点.(1)求证：M N平面F C B；(2)若直线A F与平面P C B所成的角为4 5 ,求 平 面 与 平 面M A C所成锐二面角的余弦值.M【分析】(l)取 BC的中点Q,连接N。，F Q,由中位线定理证明四边形MNQF为平行四边形，可得MN 尸Q,根据线面平行的判定定理证明即可；(2)利用线面垂直的判定定理证明A C,平面F C 8,结合线面角的定义可得，N A F

9、C 为直线A F 与平面FC8所成的角，故/A F C=45,由此求出FC=百，利用勾股定理证明FC BC,建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面M 48的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【解答】(1)证明：取 BC的中点Q,连接NQ,FQ,贝 IJNQ夕C,且 N Q=/c,又 MF/C,且 M F=yC,所以M 尸N Q,且 M F=N Q,则四边形M N Q F为平行四边形，故 M N FQ,因为FQu平面FCB,MNU平面FCB,所 以 平 面 FC8；(2)解：由四边形A8C。为等腰梯形且AB=2CD=2,NABC=60,可得 8 c=1

10、,A C=V3,所以 NAC8=90,B|J A C IBC,又四边形4CFE为矩形，所以 4C_LCF,又 B C C C F=C,BC,CFu平面 FCB,故 ACJ_平面FCB,则N4FC为直线4尸与平面FCB所成的角，故N4R7=45,所以FC=V3,因为 F B=2,则 FB2=F C2+CB2,所以 FCA-BC,以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,则2(遮,0,0),8(0,1,0),M(,0,V 3),所 以 总=(坐，0,-V 3),AB=(-V 3,1,0),设 平 面 的 法 向 量 为=(%,y,z),则,可.区4 =0,即 坐 x 8z=0,(7 7 1 -AB=0 V 3 x 4-y =0令 x=2,则 y=2 b，z=l,故?n=(2,2 /5,1),又平面MAC的一个法向量为 =(0,1,0),所以|c o s O i,m =m-n _ 2 /3 _ 2 7 5 1|m|n|J 4+1 2+1 X 1 1 72 V 5 1故平面M A B与平面M4c 所成锐二面角的余弦值为 一.【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行和线面垂直的判定定理的应用，线面角的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.