2022年福建省泉州高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2 B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5 亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2 .答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的 直 径（单位：m m）服从正态分布N（80,52）,则直径在（75,90 内的概率为（）附：若则P（-b X

2、,+b）=0.682 6,P（-2 b X,，4 +2 b）=0.9544.A.0.682 6 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95442 .已知S “是等差数列 a,J的前项和，若 8 3+4=8 2,4=6,贝!|S.5=0”是“S 9S 8”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.我国南北朝时的数学著作 张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（

3、）A.多 1 斤 B.少 1 斤 C.多!斤 D.少!斤3 35.已知抛物线C：d=8 y,点 P为。上一点，过点p作 P Q _ L x 轴于点Q,又知点4（5,2）,则归。|+|网的最小值 为（）A.B.4M-2 C.3 D.526.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为八 大圆柱底面半径为弓，如 图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为九，如图2 放置容器时，液面以上空余部分的高为九，则7r=（）%阳I4rR2/、24J,/、3GJ,2 27.若双曲线1r 5 =1的离心率为G，则双曲线的焦距为（）A.2 76 B.2 75 C.6 D.88.已知4=旧 国

4、1,8=乂2*,函数/(x)=s i n 2 cox3I?J在区间（肛2万）内没有最值，给出下列四个结论:f（x）在（肛2万）上单调递增;曲 上,且12 2 4 A x）在 0,兀 上没有零点;/（X）在 0,汨上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.10.已知函数/(x)=ln x +ln(3-x),则()A.函数/（X）在（0,3）上单调递增 B.函数/（X）在（0,3）上单调递减3（3、C.函数/（%）图像关于尢=不对称 D.函 数 图 像 关 于 弓,0对称11.已知a b 0,椭圆G的方程+=1，双曲线&的方程为W-4 =1，G和C，的离心率之积为且，a b a

5、b 2则G的渐近线方程为（）A.x+y/2y=0 B.y/2x+y=0 C.x2y=0 D.2xy=012.已知函数/(x)=fe2x+(2)e-x (/0),若函数f(x)在xw R上有唯一零点，贝！I/的 值 为()A.1 B.工或 0 C.1 或 0 D.2 或 02二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与6 A之间的概率为.14.(2五-声)的 二 项 展 开 式 中，含五项的系数为.15.已知函数/。)=1(第2、在 区 间1,2上随机取一个数天,则使得了(毛注0的 概 率 为.16

6、.在平面直角坐标系xOy中，点p在曲线。：丁 =%3一10%+3上，且在第四象限内.已知曲线C在点P处的切线为y=2x+b，则实数b的值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)已知 aw(0,与)，匹(冬 兀)，cos/?=-1,sin(a+0 得.(1)求s in a的值；(2)求tan(a+的值.18.(12分)已知抛物线/=2PMp 0),过点C(-2,0)的直线/交抛物线于A,3两点，坐标原点为。，况.丽=12.(1)求抛物线的方程；(2)当以A 3为直径的圆与)轴相切时，求直线/的方程.19.(12 分)设 函 数/(x)=|x+a|+|X

7、-/-a 13 R).(1)当a=l时，求不等式/(x)W 5的解集；(2)若存在“右-1,0,使得不等式/(x)2人对一切x e R恒成立，求实数匕的取值范围.丫2 2I20.(12分)已知椭圆C:二+/=l(a 力 0)与X轴负半轴交于A(-2,0),离心率e=.(1)求椭圆C的方程；设直线/：y=依+加 与 椭 圆c交于M(尤l，y),N(x2，y2)两点，连接AW4N并延长交直线x=4于/、/1111后(*3，%)，/(X 4，乂)两点，若 +=+，直线M N是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是,1 2%”请说明理由.21.(12分)已知非零实数。力满足a b.(1)求证：a

8、3-b3 2a2b-lab11(2)是否存在实数2,使得!一段之几(一一3)恒成立？若存在,求出实数几的取值范围；若不存在,请说明理由22.(10分)如 图 1,四边形ABC。是边长为2 的菱形，Zfi4Z)=60。，E 为 C O 的中点，以座为折痕将ABCE折起到 AP8E的位置，使 得 平 面 平 面 A B C D,如图2.(1)证明：平面P A 6 L 平面P8E；(2)求点。到平面P A B的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】根据服从的正态分布可得=80,a =5,将所求概率转化为P

9、(一b X W+2 b),结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，=80,b =5,贝！|P(75X,85)=0.6826,P(7 0 X 90)=0.9544,所以 P(85 X,90)=；x(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75 o,则 s Sg 成立，则 S9-Ss-a9=448（），即%0,故“4 0”是“5 9$8”的充要条件，故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.4.C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 4 ，则4+4+%=4,%+%+即）=3,由等差数列的性4 4 1质得。2

10、=，佝=I,。2 _。9 =_=,故 选 C5.C【解析】由=归日-2,再运用P,A三点共线时和最小，即可求解.【详解】闸+照|=|叩-2+附 耳 E 4|-2 =5-2 =3.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题.6.B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在 图1中，液面以上空余部分的体积为町也;在图2中，液面以上空余部分的体积为左不等因为町2%=乃&2他，所,(2以 邑=0 .%故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.7.A【解析】依题意可得。2 =4,再 根 据 离 心 率 求 出 即 可 求 出c,

11、从而得解；【详解】2 2解：.双曲线a 3 =1的离心率为6,所以e 2=l+5 =3,.=2,.指,双曲线的焦距为2而故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.8.D【解析】分别解出集合A、6然后求并集.【详解】解：A-1.x|x|1 =x|-1 x 1 ,B =卜,1 =x|x I-.再根据I 3；12 2 2 4 12 2 2 4已知求出!母，g,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数f(x)=s i n 2(y x-1在区间(巴2万)内没有最值.所以 2 4%-效以y-4a)7r-2k兀一，或强 必-4,所以一以，一.2co 3 3 2令人=0.可得。e.且/

12、(x)在(肛2万)上单调递减.当x e O,扪时,_ 71 71 _ 71 -7 T 71 7 万2s-,2砌-,且 2加y-G,3 3 3 3 2 1 2所以/(X)在LO,n J上只有一个零点.所以正确结论的编号故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.C【解 析】3依 题 意 可 得/(3-幻=/(幻，即函数图像关于x=对 称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性;【详 解】解：由/(3 x)=ln(3 x)+ln3 (3 x)=ln(3 x)+lnx=/(x),3./(3-x)=/(x),所 以 函 数图像关

13、于x 对 称，i i 2 尤 3又 八 为=一 一-/(X)在(0,3)上不单调.X 3 X J)故 正 确 的 只 有C,故选：c【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.11.A【解 析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结 合G和G的 离 心 率 之 积 为 无，即 可 得a1的关系，进而得双曲线的离心率2方程.【详 解】椭 圆,v2G的方程方=1,双 曲 线C2的方程为2 2_ _ y_a2 b2则椭 圆 离 心 率q=如 一 段，双曲线的离心率=1 9a由G和C的离心率之积为B,2gn Ja2-b2 5/屋+庐 73即/功=-x-=，a a 2解 得2

14、=也，a 2所 以 渐 近 线 方 程 为v=Y2x,2化 简 可 得x C y =0,故选：A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.1 2.C【解析】求出函数的导函数，当/()时，只需/(-l n f)=O,即 奴 +1 =0,令g =l n -l +l,利用导数求其单调区间,t t即可求出参数 的值，当/=()时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：./*)=f e2 x+Q-2)e*-x (r 0),:.(x)=2te2x+Q 2)e*1 =1)(2 e+1),.当r 0时，由/(x)=0得x =I

15、 n r,则f(x)在(f,-I n/)上单调递减，在(I n/,”)上单调递增，所以/(-I n f)是极小值，.只需/(I n f)=0,即I n f 1+1=0.令g =l n f 1 +l,则g (f)=1 +4 0,.函数g Q)在(0,+o o)上单t t t t调递增.；g =0,=当r=0时，f(x)=-2 e -x,函数/(x)在R上单调递减，=2 e 1 0,/(-2)=2 2 e0,函数/(x)在R上有且只有一个零点，t的值是1或0.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。11

16、 3.一3【解析】在 圆 上 其 他 位 置 任 取 一 点B,设 圆 半 径 为R,其 中 满 足 条 件A B弦长介于R与 班R之间的弧长为；2nR,则A B弦 的 长 度 大 于 等 于 半 径 长 度 的 概 率 =叫!;2万R 3故 答 案 为：1 4.-1 6 0【解析】写出二项展开式的通项，然后取K的 指 数 为:求 得，的值，则 项的系数可求得.【详解】C厂点=（-1/-2 j,5 r 1由3-1=,可 得r=3.6 2含 五 项 的 系 数 为（一1户2 1.或=1 6 0.故答案为：-1 6 0【点睛】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.2

17、1 5 .-3【解析】试题分析：/。）=1。8 2%2。可以得出X之1，所以在区间；,2 上 使/（x）2 0的范围为 1,2 ,所以使得了（与注0的概 率 为P=T=3.Z.-2考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.1 6 .-1 3【解析】先设切点P（x0,y0），然后对y=V 一 1 0%+3求导，根据切线方程的斜率求出切点的横坐标与，代入原函数求出切点的纵坐 标 先，即可得出切得。（毛,）,最后将切点代入切线方程即可求出实数b的值.【详解】解

18、:依题意设切点P（5,%）,因为 y=x 3-1 0 x+3,则 y =3 x2-1 0,又因为曲线C在 点P处的切线为y=2x+6,y =3/2-10=2,解得 x=2,又因为点尸在第四象限内，则 =2,%=23-l()x2+3=-9.则 P(2,-9)又因为点尸(2,9)在切线y=2x+6上.所以一9=2x2+b.所以b=-13.故答案为：-13【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本题属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)-(2)亚3 2【解析】(1)先利用同角的三角函数关系解得sin p和cos(

19、+尸),再由sin a=sin(a+4)-川，利用正弦的差角公式求解即可；(2)由(1)可得tanc和ian,利用余弦的二倍角公式求得tan,再由正切的和角公式求解即可.2【详解】解：(1)因为,4),cos=-；,所以sin.=Jl-cos?1一卜;=芈又&e(吟 故0+匹 年)所以 cos(a+/?)=-/l-sin2(fz+/?)所以 sin a=sin(a+)-/?=sin(a+)cos/?-cos(a+0)sin p所以t a n a =包 区=正,co s a 4n a C OS-SH T；1 -t a n-i因为co s/=co s2g-s i n2g =-%-=-=-=-且 c

20、o s 4=一；,2 2 co s2 4+s i n2 4 1 +t a n 咚 32 2 21-t a n2即-飞=，解得 t a n24=2,1 +t a n2 专 3 2因为夕乃),所 以,e 卦 所 以 t a n 专0,所以 t a n y=A/2,/n t a n a +t a n 所以t a n（a +人=-%1 -t a n a -t a n 2乎+0 _ 5近2【点睛】本题考查已知三角函数值求值，考查三角函数的化简,考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函数关系的应用，考查运算能力.1 8.(1)/=4 X；(2)x +岛+2 =0 或 x-底+2 =0【解析】试题分析：本题主

21、要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到yi+y2,yiy2,玉/，代 入 到 次 砺=1 2 中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出|AB|的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.试题解析：（I）设 1：x=m y 2,代入 y2=2 p x,得 y?-2 p m y+4 P=1.（*）y.必设 A(x”yi),B(X2,y2),则 yi+y2=2 p m,yiy2=4 p,则七2=亍 寸=4.-4P因 为

22、 丽 丽=1 2，所以 x ix z+yiy2=1 2,即 4+4 p=1 2,得 p=2,抛物线的方程为y2=4 x.5 分(II)由(I)(*)化为 y2 4 m y+2=l.yi+y2=4 m,y i y a=2.6 分设 AB 的中点为 M,贝！|AB|=2 x m=x i+x 2=m(yi+y2)4=4 m 2-4,X|AB|=J1 +/帆 -必|=7(l +2)(1 6 m2-3 2),由得(l+m 2)(1 6 m 2 3 2)=(4 m2-4)2,解得 m2=3,m 5/3 .所以，直线I的方程为x +G y +2 =0,或 x-V J y +2 =0.1 2 分考点：抛物线的

23、标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.1 9.(I)%|-2 x 3 .(II)(,0 .【解析】(I)a=1 时,根据绝对值不等式的定义去掉绝对值,求不等式/(x)h的解集为R ,等价于/(x)m in 泊，求出“X)在。目一1,0 的最小值即可.【详解】2 x+1,x W 1(I)当a=l 时，力=卜+1|+|一2 3,-1 x 2不等式化为-2 x+l W 5,解 得 血-2,即-2 W E一 l x 2时,不等式/(x)W 5 化为3W5,不等式恒成立，即一l x b 的解集为 R.-./(x)n.n b,.,/(x)=|x+|+|x-a2-|(x+a)-(x-a2-aj

24、=|a2+2|(x*n =U +2 a|N 对任意 a e T,0 恒成立a+2|=|(a+1)-1.当a=0时，,2+2 4取得最小值为0实 数 的 取值范围是(0 0,()【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.2 22 0.(1)亍+与=1(2)直线MN恒过定点。,0),详见解析【解析】(1)依题意由椭圆的简单性质可求出。力，即得椭圆C的方程；(2)设直线A M的方程为：x=t,y-2,联立直线A M的方程与椭圆方程可求得点”的坐标，同理可求出点N的坐标，根 据 的 坐 标 可 求 出 直 线 的 方 程，将其化简成点斜式，即

25、可求出定点坐标.【详解】c(1)由题有 a-2,-.h2-aa 2x-t(2)设直线A M的方程为：x=t,y-2,贝！J，/-F-1 4 一 3=或M=3 f；+4工 玉=/一2 =可6 (6、当工3=4时，由 七=4%2有%=丁.；E 4,一八 f .3 1+4 3以+4/马 +/2)(3 y2+4 1 *f -1 2 z,1 2 f2 6 6 1 2品当时，率2=-4；直线MN的方程为 一)1 2 z,，-3片+4 6 r,2-8 6 d 8 1 3?.2+4 3片+4-3 1+4一0 2=3.二 椭 圆 方 程 为 三+二=1.4 3y-2y2=(3 z,+4)/-1 2 z,j=0=

26、13。6彳-8 6匕-82=”,同理/，3 4+4 3考+4(6 1 1 1,同 理 尸4,又 一+=T1 t2)X%3 _ 4 +G6%X)x-x2-3 f：+4 :+3 彳+4)4 4 6 r-8 12 f.4 4(3?,+4)4 (八=y=-x-+,=-x-/,、,=-(X-1)t+t2 t1+t2 3 i+4 3 1+4 t+t2(3Z,2+4)(/I+r2)tx+t2直线MN恒过定点(1,0),当4+。2=0时，此时也过定点(1,0)“综上:直线MN恒过定点(1,0).【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生

27、的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题.2 1.(1)见 解 析(2)存在，2 e-l,3【解析】(1)利用作差法即可证出.(2)将不等式通分化简可得 一 土2人,讨 论 功 0或。0,分离参数，利用基本不等式即可求解.ab ah【详解】-(2。力-2加)=(-/?)(/+他+/?2)-2 (-/?)=(fz-/?)(t z2-ab+=(a-b)(加g)a b,.a-b0I 2 j 4a3-b3 Ap jcrb1-a b)当 o时，(*)即沿恒成立，a2b2 a h（当且仅当a=时取等号），故4S 3当时 ,所以 AS，B E.又 P Ec BE=E,所以 4?_L平面 QB E.又平面Q 4

28、 B,所以平面PA B _L平面P5E.p（2）在A B D中，A B=A D=2,NB A =6 0。，所 以%皿=6.由（1）知，PE _L平面,且 P E =1，所以三棱锥P A B O的体积V=x G x l =3.3 3在 R MBE中,P E=1，B E =6 得 P B =2,由（D知，A B L平面P3E,所以A B LPB,所以Si=2，设点。到平面Q4 B的距离。，则三棱锥E P4 3的体积V =，x 2x d =3,得（1=立.3 3 2解法二：（1）同解法一；（2）因为 D E/AB ,平面 Q4 6,DEa平面 P A B，所以D E平面P4 8.所以点E到平面P A

29、 B的距离等于点D到平面P A B的距离.过点E作P B的垂线，垂足尸，即 所，由（D知，平面平面P8E,平面P A B c平面P B E =P B,E F u平面P B E,所以 所，平面Q 4 3,即石户为点。到平面RLB的距离.由（1）知，P E上B E,在 R t B E 中,P E=L B E =6 得 PB =2.又 P Ex BE=P Bx EF,所以 E F =.所以点。到平面Q 钻 的 距 离 为 且.2【点睛】本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：等体积法；作（找）出点到平面的垂线段，进行计算即可.