2021届全国Ⅲ卷高三模拟数学（理）试题（四）解析.pdf

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1、2021届全国in卷高三模拟数学(理)案(四)试卷及答一、单选题1.已知集合A 7=口,+8),/=x|x2+x o ,贝！J 6/M=()A.(-,1)B.(-8,-1)C.(0,1)D.(，-1)u(0,1)答案：D解题思路：可求出集合/,然后进行补集的运算即可.解：解：松 1,+8),/=+X 0解得/=(-8,-1)U (0,+8),故选：D.2.已知复数z在复平面所对应的点的坐标为4(1,-2),则|z|=()A.2 B.6 C.4 D.5答案：B解题思路：先求出复数z,进而可以求得结果.解：由已知可得z=l-2/,则 忖=jF+(_ 2)2=6.故选：B.c os(乃一 a)3.已

2、知t a n a =L(兀、=(2 c os+a12 A.-B.一2 2答案：C解题思路：先 用“奇变偶不变，符号看象限”将(7V、化简为 c os+a-sin a)C.2D.-2c ospr-a,结合同角三角函数的基本关系来求解.解：因为t a n a =2c os（乃一 a）广“-7-v-cosa 1所以（71、二 一;-=-=2.c os 二 十 a -sin c r t a n a（2）故选：C点评：对于诱导公式，同角三角函数基本关系式要数练掌握，注意计算的准确性.4.已 知 眇 儿cdf则下列关系式正确的是（）A.acbda&bc B.acbcKadbcC.acbd D.acbf c

3、d,a c+0小（a*6c）二（a-力）（b中 0,故 4 正确，8 错误；对 于C：当 ZFO,C0时，ac b 0,c 心0 时，acbd,故错误；故选：A.5.疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计,服从正态分布N（9,代）,则 100名同学中,每天学习时间超过10小时的人数为（）（四舍五入保留整数）参考数据：P（一b Z,+b）=0.6826,P（2 b Z p +2c r）=0.9 545,3c r 10）的概率，然后再乘以100即可.解：根据题意可得：P（Z 10）=P（Z +夕）=；x（l0.6826）=0.1587,故

4、所求人数为100X 0.1587七16.故选：B.6.已知命题p:t/a e R,a 2+i 0,命题（y:/（x）=s i n 2 x +g）的最小正周期为，则以下是真命题的是（）A.PQB.(p)A 0 ,是真命题；711 2 4 T C命题q(x)=s i n 2 x +2|,其最小正周期为x =,则。是假命题:I 33)2 2 2故p人（一 q）是真命题，（i p）A q,（-p）A（-1乡）,/?八q都是假命题;故 选:D.7.如图所示是某几何体的三视图，图中的四边形都是边长为a的正方形，侧视图和俯视图中的两条虚线都互相垂直，已知几何体的体积为亍，则 平（)答案：CD.V 2解题思路

5、：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积.解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为a的正方体挖去一个底面为边长为a的长方形，高为区的四棱锥构成的凡何体P-AB C D；2如图所示:故丫=/xa2_q=Z23 2 6 3 1解得a=2,故选：C.2 28,椭圆3+f r =l(a 6 0)的上、下顶点分别为4，匕 右 顶 点 为 4右焦点为居B F工B#,则椭圆的离心率为()A-I B.乎 C.渔 二 1 口.每I222答案：C解题思路：求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.解：解：椭 圆f靛+5v2=1360)的上

6、、下顶点分别为耳(0,打,5 2(0,_ 勿，右顶点为/(a,0),右焦点为Q(c,o),BFt B2A ,可得_C2=_,c a巴二匚二1,解 得 必 二 1.ac2故选：c.9-函数尸t a n (3 户 的 一 个 对 称 中 心 是()A.(0,0)B.(2,o)64 4C(7,)D.以上选项都不对答案：C解题思路：根据正切函数尸t a n x 图 象 的 对 称 中 心 是 呼，0)求出函数片t a n (3”)图象的对称L6中心，即可得到选项.解：解：因为正切函数尸t a n x图象的对称中心是(，0),kWZ；2AkjT,k k/C 7 C令3户一二，解得x =-，kGZ；6 2

7、 6 1 8所以函数尸t a n(3*+C)的图象的对称中心为(红土，0)，kQZ；6 6 1 8当A=3时,C正确，故选：C.1 0 .已 知 上 的 内 角 A,B,。所 对 的 边 分 别 为a,b,c.lA B C 内 一 点 满 足：a 加+/?荻+C 砒=0,则 一 定 为 上 的()A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心答案：D解题思路：由题意可设A B =c q ,A C =be2,BC=ae3,其中q,e?,6分别为彳耳，AC，血方向上的单位向量，把已知向量等式变形，即可证明材在三个内角的角分线上，则答案可求.解：解：由题意可设 A3=CG,AC =be,BC=ae3,其中e

8、 ,分 别 为 丽，AC*就方向上的单位向量，a-M A+b-M B+c M C=O：.a M A +b(MA+AB)+c(M A+AC)=6,(a +b+c)MA+hAB+cAC =O,MA=-(bAB+AC)=-(bee.+cbe.)=-(e,+e2.a+b+c a+b+c-)a+b+c.M在N 为C的角分线上，同理M在ZABC与ZACB的角分线上.为1的内心.故选：D.点评：关键点睛：解决本题的关键是利用向量关系变形判断出.在三个内角的角分线上.9 211.已 知 双 曲 线=1(4 0力 0)的左、右焦点分别为6，工，过 耳 作 圆/+的切a b线，交双曲线右支于点M，若/耳M八=4

9、5。，则双曲线的离心率为()A.GB.2C.V 2D.不答案：A解题思路：设切点为N,连接0N,作F 2作与N LM N,垂足为A,由|QV|=a,得至i j忻 川=2心在 直 角 三 角 形 中，可得卜20 a,得至！耳|=+2a,再由双曲线的定义，解得b=&，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.解：设切点为N,连接O N,作 鸟 作 KN J.M N,垂足为A,由|ON|=a，且 Q N 为的中位线，可 得 怩 川=2 引耳N|=片=,即有忸/=,在直角三角形A g A 中，可得|M用=2 缶，即 有 阿 周=力+2 ,由双曲线的定义可得|用一|巴卜 抄+2。-2 缶=2。，可 得 匕=拉

10、。，所以c=瓜,所以e =/=J5，故选A.点评：本题考查了双曲线的几何性质一一离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，c,代入公式e =；只需要根据一个条件得到关于a/,c 的a齐次式，转 化 为。的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围).1 2.已知函数 F()满足：对任意 xWR,x)=-fx),/(2 -x)=f(2+x),且在区间 0,2 上，AA)=+co s x-1,n p f(6),n=f,i=f(10),则()A.欣 K t B.永威力 C.nA t g(0)=0,即当XG 0,2 时,f

11、 (x)0,所以f(x)在 0,2 上单调递增,即当 x e 0,2 时，f(x)f(0)=0./.-f(1)0,0 f(y/3)f(2),:.f(1 0),即水成故选：B.点评：关键点点睛：本题的关键点是：探究得到/。)的周期为8,将1 都化到 0,2 上对应的函数值.二、填空题13.某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：1 班 3 0 人，优秀率3 0%,2班 3 5 人，优秀率 60%,三班3 5 人，优秀率4 0%,则 全 年 级 优 秀 率 为.答 案:44%解题思路：利用加权平均数直接求解.解：解：某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：1 班 3 0 人，优秀率3 0%

12、,2班 3 5 人，优秀率60%,三班3 5 人，优秀率4 0%,则全年级优秀率为：3 0 x 3 0%+3 5 x 6 0%+3 5 x 4 0%-=4 4%.3 0 +3 5 +3 5故答案为:4 4%.1 4 .%=J ln2也则C；+C；岩+C；铝+C：铝=.答案：72 9解题思路：先利用定积分求出数列的通项公式，然后代入所要求解的式子，由二项式定理进行分析求解即可.解：由题意，4=2/2公=2+=2 -1,0故吟+C咛+C；4 +12+C；%+12=C；2。+C?+C；2?+CQ6=(1+2)6=36=729.故答案为：729.15.板 中，左4,.4co s/csin 8,则被7面

13、积的最大值为.答案：4+472TT解题思路：根据题意可得才A o sG c si n 昆通过正弦定理整理化简可得si n 展c o s，可得庐一，再4由 余 弦 定 理 结 合 基 本 不 等 式 可 得16=力2=。2+。2 -2QCCOSJB 2 2QC 可得acK”=8(2+0),2-V 2代入面积公式即可得解.解：4 9C 中，ZF4,年4 c o sG c si n 反整理得：a=6c o sG C si n 反利用正弦定理：si n 力 二 si n 氏o sG si n C h i n，故 si n J=si n(伊。二 si n 氏o s仆c o s8si n C si n 厌

14、o s仆si n th i n E,可得cos3sinC=sin C sin B,且由sinBwO,所以 sinB=cosB,故 tan庆 1,71由于0 B 2ac-/2ac 所以 ac -j=-8(2+V2)2 J2所以448c=-csin B -x 8(2 +V2)x =4+4722 2 2故答案为：4+4 0.三、双空题16.多面体欧拉定理：件后研2,其中是顶点数，尸是面数，为棱数，并且多面体所有面的内角总和为(/-2)360,已知某正多面体所有面的内角总和为3600,且各面都为正三角形，则该 多 面 体 的 顶 点 数 片,棱数B=.答案：12 30解题思路：由正多面体所有面的内角总

15、和公式求得K,设过每个顶点的棱数为n,把正多面体的棱数与面数用含有的代数式表示，代入欧拉定理求得，则答案可求.解：由题意，(2)360=3600,得 V-2=10,即片 12；设过每个顶点的棱数为n,c,nV 12 /Vn 12 “则 E=-=-6n,P=-=4 ，2 2 3 3代 入V+FE+2,得12+4-6炉2,解得炉5.故 后6/7=6 X 5=30.故答案为：12；30.点评：关键点点睛：掌握多面体中欧拉定理是解题关键.四、解答题1 7.已知等差数列%满足4 =2,4 =4,正项等比数列 4 满足首项为1,前3项和为7.(1)求 4 与 也 的通项公式；(2)求 加 也 的前项和S.

16、答案：(1)bn=2-；(2)+解题思路：(1)设等差数列 4 的公差为d,运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得a,；设正项等比数列 2 的公比为,。0,由等比数列的通项公式，解方程可得s进而得到公；(2)由(1)可得a/“=.2T,利用错位相减法求和，即可得答案.解：解：(1)设等差数列 4 的公差为4由。2=2,牝=4,可得q+d =2,q+3d=4,解得%=d=1 ,则=1 +-1=；设正项等比数列出 的公比为,9 0,由首项为1，前3项和为7,可得l+q+d=7,解 得 7=2,则2=2、(2)由(1)可得=.2小，所以S“=l-2+2 l +3-22+.+n-2n-,则 2S

17、“=l2+2 +3 +.+两式相减可得-s“=1 +2、2 2+.+2 一一-2 =_!.2 =(1 所以 S“=1 +(-1)2.点评：解题的关键是熟练掌握等差、等比数列的公式、错位相减求和法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.1 8.如图，多 面 体 侬 物 中，底 面 的9为正方形，EA!/F C,且 肝 於3 4,侬 侬(都是(1)证明：6FJ _平面板及 1 (2)若-B/，求诚与平面应户所成角的正弦值.2答案：(1)证明见解析；(2)述.3解题思路：(1)法一：利用勾股定理推导出比工。汽，C F L C D,由 此 能 证 明 平 面/比。法二：连接4G交 切 于0,则四边形4

18、C唔为平行四边形，推导出力反陷的,NEA WNF CO,F CV 0C,BDVA C,B D V F O,从 而 弧L平面4 7王，进而夕劭，由此能证明 工平面/比。(2)由 4,平面4颇，以/为原点，次，而，醺方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出，舱与平面砌,所成角的正弦值.(1)证法一：,:C六B O 4,跖=方户4后，切都是正三角形,BC2+CF2=BF2,CF2+CD2=DF2,：.BCVCF,CFX.CD,*：BCCCD-C,BC、Cm 平面/18CD,.血 平 面 ABCD.证法二：连 接44交 初 于。，则四边形/性 为 平 行 四 边 形,*/OA=O

19、C,0E=OF,AE=CF,：.AEO/XCFO,:.NEAO=NFCO,：EAI!FC,:./E A/F C W 9 Q ,：.FCVOC,：BDVAC,FD=FB,：.BDVFO,：ACCFO=O,平面叱您，；.3 _ L平 面”您V CFa.ACFE,：.CFLBD,Y OCCBD=O,OC、B灰：平面 ABCD,；.的 _平 面 ABCD.(2)由(1)知：用_ L平 面4 8(第,以力为原点，方X,通,通方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则 夙0,4,0),0(-4,0,0),以0,0,4),A-4,4,4),BD=(-4,-4,0),B F =(-4,0,4),：B M

20、=B F,AX-2,4,2),荻=(2,-4,2),设平面占勿7的法向量为n=(a,b,c),则 n.一BF=-4 a+4c=0h.BD=-4 a -4 b =0取 a=L 得 G =(L设 物 与平面应圻所成角为则加?与 平 面 质 所 成角的正弦值为:sing=I c o s 1M E-n 8IMEI-InT V24-V32V2 V-1,1),点评：对于证明线线垂直，线面垂直，勾股定理要数练掌握，利用图形的几何特征建立空间直角坐标系，注意点的坐标的准确表示，以及sin6=|c o s|.19.过 直 线 尸-1上动点m 作抛物线f=2 p y(p 0)的 切 线 以 奶，48为切点，NAM

21、B9 0。.(1)求抛物线方程；(2)若面积为3 2,求直线四的斜率.答案：(1)f=4y；(2)6解题思路：（1）设”（七，-1），眼，如的斜率分别为匕，右，设出直线也的方程，联立直线与抛2物线方程，根 据 秘2=1，可得匕%2=-一=一1，由此得解；（2）直 线/昆k k/m,与抛物线方程联立，结合韦达定理及点到直线的距离公式，再由物6面积为3 2,即可求得上解：解：（1）设M（X o，T），物，物的斜率分别为匕，卷，:NA MB=90,A kyk2=-1,直 线 岫：y +l =K（x-x（）,即 =仁（尸 毛）-1,即y =尤-匕/-1,y =匕（%一%）1?联立c ，消y并整理可得X

22、 -2 p K x+2 p%d o +2 p=0,x=2py相切，A =4p2k-4（2pktxa+2p）=0,g|J pk=2kxx0+2,同理可得pkf=2 4 2 Ao+2 ,2即 尢&是 以2 -2 5-2 =0 的解，故&=-=-1,：.p=2iy-kx+m（2）设直线4 6：尸kx+m,联立2 ,r=4 y消y并整理可得，4kx-4m=0,设 4 6,乂）,8（孙 网），则由韦达定理可得，%+%2=4左，X jX2=-4m,V Z A MS=90,A M -M B=0 可得（m I）?+（%o 2左）=0,=x=2k,|A B|=V l +2 7 16+16-点”到 直 线 四 的

23、 距 离 为d =2乒1.行.4历?=3 2,解得k=A/3.点评：方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为A（%,y）,B（%2,%）：（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或）的一元二次方程;(3)写出韦达定理;(4)将所求问题或题中关系转化为玉+工 2,大形式；(5)代入韦达定理求解.2 0.由 于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中

24、心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5 人.若将频率视为概率，求至少有3 人每周活动时间在 8,9)(单位：h)的概率；若抽取的5 人中每周活动时间在 8,1 1 (单位：h)的人数为2人，从 5人中选出3人进行健康情况调查，记 3 人中每周活动时间在 8,1 1 (单位：血的人数为6,求 f的分布列和期望；(2)将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于0.7 4 h时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老

25、人中随机抽取1 0人，且抽到女人为“活动爱好者”的可能性最大，试求的值.(每组数据以区间的中点值为代表)答案：(1)g；分布列答案见解析，数学期望：I；(2)2.解题思路：(1)记“至少有3人每周活动时间在 8,9)(单位：”为事件4 求出产(/)的值即可；分别计算户(f=0)，尸(f=l),尸(f =2)的 值,求 出 E(f)的值即可;(2)求出二6(1 0,0.1 9),若衣人的可能性最大，则 P(X=A)=C1P*(1-0 尸”,=0,1,2,3,-1 0.得到Pn (Yv =k().P二(/Xv =k,-l):、，得到关于的不等式，求出在的范围即可判断.P(X=k).P(X=左+1)

26、解：解：(1)由图表的直方图可知,事 件“到活动中心参加活动的老人任意选取1 人，每周活动时间在 8,9)内”概率为片段,记“至少有3人每周活动时间在 8,9)(单位：4”为事件A,则 P(A)=cl-9923 1 2 52随机变量f 所以可能的取值为0,1,2,则 p=o)，$,pe=D=咎=|，%=2)=告 得,f的分布列如下:012P11 03531 0故 四)=1*|+2得4(2)老人的周活动时间的平均值为：6.5 X0.0 6+7.5 X0.3 5+8.5 X0.4 0+9.5 X0.1 5+1 0.5 X0.0 4=8.2 6(A),则老人中“活动爱好者”的活动时间为 9,H ,参

27、加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为40.1 9,若从参加活动的老人中随机抽取1 0 人，且抽到才人为“活动爱好者”，则 Z M 1 0,0.1 9),若 A人的可能性最大，则 (乂=左)=3。*(1 ，严:攵=0，1,2,3,40，(尸(y =k).尸(X=k 1)由4P(X=k).P(X=k+l)即 3(0.1 9 (0.8 1)1 0 (0.1 9)F (0.8 1)k且 C(0.1 9/(0.8 1)1 0*.C,o (0.1 9)i+,(0.8 1)9-k，解得：1.0 9 WA W2.0 9,由于左e N+，故斤2.点评：关键点睛：本题考查了随机变量的分布列和期望，考查概率求值以

28、及不等式问题，解题的关键是得出6(1 0,0.1 9),根据题意列出不等式求解.2 1.已知/(%)=(x+a)ex-a.(1)若函数第x)在(0,f(0)处的切线与直线x-2尸Z R垂直，求a的值;(2)若在-L 1 ,/U)2-l,求 a 的取值范围.e+1答案：(1)-3；(2)-,1.e-1解题思路：(1)求导，由题意，r (0)=1=-2,由此求得实数a 的值；(2)ff(x)=ex+(x+d)ex=ex+a+1),X G-1,1,然后分 d 0,-2 水0 及-2 讨论，通过/(X)min-1得出实数a 的取值范围.解：r(x)=e，+(x+a)e，=e”(x+Q +l)，r(O)

29、=a +l,函数f(x)在(0,/、(0)处的切线与直线x-2y+2=0垂直，(0)=a+l=-2,；k3；(2)/(x)=e*(x+Q+l),X G-1,1,当 a 0 时，/(x)2 0/()在-1,1 上单调递增，故只需/(x)min=/(-l)=(-l k-a.-l即可，即1 一(1 )成立，.OWaWl；若-2a 0,则 xG -1,-a-1)时，/(x)0 ,f(x)单调递增，只需/Wmin=/(-D =-e-a-a-l,h(a)=-ea-a+l,a e(-2,0),则勿(a)=ea-l,当a (-2,-1)时，h 0,力(a)单调递增，当 a (-l,0)时,hf 0,/i(-2

30、)=-e+3 0,e 当a e(-2,0)时，力(向2-1 恒成立，符合题意；若 w W-2,则 1时，x+m4W0,/(x)-,e-1V e 2.7 1 8,-心；若&4 /（x）在 旬 上 恒 成 立,则k ；若在 a,加上有解，则42/（初 僦；若&/3，即 百夕sin 6 +pcosO=671整理可得直线/的极坐标方程为：0sin（e+）=3；6由题意得，曲线C的直角坐标方程为（x-3+y 2=9,即/+丫2-6*=0,所以曲线C的极坐标方程为：p2-6 pco s =0,即/?=6 co s氏（2）由（1）可得曲线C的直角坐标方程为X2 +V-6X=0,与直线y =-、-尤+2 6,

31、联立，得2/一1 5%+1 8 =0，3解得 X =6,/=5，所以=J i+,卜 41=+；x g=3 乖 I -点评：解题的关键是熟练掌握直角坐标与参数方程、极坐标之间的互化，并灵活应用，在求直线被圆所截弦长时，常用弦长公式、垂径定理、参数方程力的几何意义等方法求解，考查计算化简的能力，属中档题.2 3.已知函数函力=|x-|+|户2,|.(1)当 斤-1时，求不等式f(x)W7的解集；(2)若不等式f(x)9有解，求实数卬的取值范围.答案：(1)-3,4 ；(2)-3,3 .解题思路：(1)代入加的值，用零点分段讨论法求解即可；(2)用三角不等式求得了。)的最小值，进而可得结果.2 x-l,x.2解：时，f(x)=|广l|+|x-2|=3,L,x 2 ,1 2 x,x 1x 2 2 时，2 x-l W7,解 得:2 Wx W4,水-1 时，l-2 x W7,解得：-3 WK-1,-1 W底2时，3|(x m)(x+2 m)|=|-3 m|=|3 m|,所以/(x)而n=|3 ，依题意可得|3时49,解得一3 Wz W3,即实数加的取值范围是-3,3 .点评：结论点睛：对于不等式有解问题，常用到以下两个结论：(1)”(x)有解O a N/(x)m h l；（2）