2021届全国高考数学方向试卷(B卷)附答案解析.pdf

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1、2021届全国高考数学方向试卷(B卷)单选题(本大题共7 小题，共 35.0分)1.若集合4 =x R|y =l g(2-x),B =yERy=2x-1,xe A,则 施巴 感=()2.3.4.A.R B.(-oo,0 U 2,+oo)C.2,+8)D.(-oo,0如果复数z =2-a i满足条件|z-1|0，b 0)的一条渐近线与抛物线y =x2+2只有一个公共点，则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.V3D.y/5二、多选题(本大题共4小题，共 2 0.0分)8.当x 0,y0 时，下列不等式中恒成立的有()A 丽 4历 Bq+产 石C.-+-X y fxy J x+y9,下列四个函数中

2、，以兀为周期的偶函数为()A./(%)=sin2x B./(%)=cos2xC./(X)=si n(x +)D./(x)=tanx10.以下命题正确的是()A.直线，的方向向量为五=(1,一1,2),直线m的方向向量方=(1,2,1)，则，_ L mB.直线，的方向向量益=(0,1,1),平面a 的法向量记=(1,1,一1),则，_ L aC.两个不同平面a,0 的法向量分别为元=(2,-1,0),芯=(一 4,2,0),则 的 D.平面a 经过三点4(1,0,-1),B(0,l,0),C(-l,2,0),向量记=是平面a 的法向量，则a +t=111.已知函数/(x)=2 s讥(3 X +w

3、)(3 0,(p 9的一条对称轴方程为 =卷，相邻的一个对称中心为G，o),则下列说法正确的是()A.3 =2,p=3B.函数/(x)在 上 单 调 递 减C.将 函 数 的图像向右平移%个单位长度，可得到一个奇函数的图像D.若方程f(x)=m,x e 一5,0 有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是(2,-三、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)12.曲线y =x co s x 在x =g 处 的 切 线 的 斜 率 为.13 .下列4个命题：3%G R,x2-x+1 0；已知随机变量X 服从正态分布N(3 8 2),?(%b 0)的右焦点尸与抛物线。2的焦点重合，G的中心与。2的顶

4、点重合，过F 且与无轴垂直的直线交Q 于4 B 两点，交。2 于C,。两点，且|C D|=g|4 B|.(1)求G 的离心率；(2)设M是G 与G 的公共点.若|M F|=5,求G 与C 2 的标准方程.2 1 .己知函数/(X)=/+然/(1).(1)求(1)和函数x 的极值；(2)若关于 的方程/(x)=a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围；(3)直线，为曲线y =f(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程.参考答案及解析1.答案：B解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，求出4 中函数的定义域确定出4求出B中函数的值域确定出B,求出4 与B的交集，找出交集的补集即可.解：由4 中的函

5、数y=lg(2 x),得到2-x 0,即x 1,x E A,得到0 yW 2,B=(0,2,二 ACB=(0,2),则CR(A C l B)=C-oo,0 U 2,+8).故选B.2.答案：D解析：利用模的定义，从两个已知条件中消去z,再由得数的模的公式转化为转化a的不等式，解出a的取值范围；本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解题的关键是理解复数的代数形式及其几何意义，将问题转化不等式求解或将问题转化为图象利用几何关系求解，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，是复数中较为典型的题，解析：解：z=2-a i(a e R),|z-l|2,得|2-出一1|2,即|1一 出|2,即“+2解得 a

6、 0/0)的一条渐近线为丫=，由渐近线与抛物线y =x2+2 只有一个公共点，可得/一 +2 =0 有两个相等的实数解，a即有=4 8 =0，a2即b =2&a,可得c=yja2 4-b2=3 a，即有e=3.a故选：A.可设双曲线捻-5=l(a 0,b 0)的一条渐近线为y =g x,由题意可得久2 扛+2 =0 有两个相等的实数解，运用判别式为0,可得b =2/a，再由a,b,c的关系和离心率公式计算即可得到所求值.本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线与抛物线相切的条件：判别式为0,考查运算能力，属于中档题.8 .答案:AB D解析：解：因为 0,y 0,所以 4-y 2

7、yxy,所以(x +y)历 2 24，即 箸 V 同，当且仅当x =y 时取等号，A正确；也+3=2+1 +受22 +2”=4,当且仅当 =3 时取等号，8正确；X y x y yjy x x y因为x +y 2 2yxy,所以3+工 一 曰=把 匕 且=故：+：之 展，C错误；x y yfxy xy xy x y yjxy%3 +y 3 2 2 j x 3 y 3,x+y 2y/xy,当且仅当*=y 时取等号，故(炉+y3)(x +y)4x2y2,所以炉+丫 3 之?龙，。正确.x+y故选：AB D.由己知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断.本题主要考查了基本不等式及相关结论的应

8、用，属于中档题.9.答案：B D解析：本题考查了三角函数性质的判断，涉及了周期性和奇偶性的判断，解题的关键是掌握三角函数的周期公式.利用三角函数的周期公式及偶函数的定义对选项中的函数逐一的分析判断即可.解：因为/Xx)=s in 2 x,所以周期为与=兀，又/(-x)=s in(-2 x)=-s in 2 x =-/(x),所以函数为奇函数，故选项A错误；因为/Q)=co s 2 x,所以周期为手=兀，又/(-%)=co s(-2 x)=co s 2 x =/(X),所以函数为偶函数，故选项3正确；因为/(x)=s in(x +)=co s x,所以周期为2 兀，故选项C错误；因为/(x)=|

9、t a n x|,所以周期为兀，又/(x)=|t a n(x)|=tanx /(%),所以函数为偶函数，故选项。正确.故选：B D.10.答案：CD解 析:解：直线 的方向向量为五=(1,一1,2),直线m的方向向量石=(1,2,1)，五机=(1,一 1,2)(1,2,1)=1，贝与nr不垂直，所以4不正确.直线/的方向向量五=(0,1,1),平面a 的法向量五=(1,1,1),五记=(0,1,1)(1,一1,-1)=0,则2a,所以B不正确；两个不同平面a,的法向量分别为声=(2,-1,0),五=(一4,2,0),元=一：荻=(一 4,2,0),则&0,所以C 正确；平面a经过三点4(1,0

10、,1),8(0,1,0),C(1,2,0),向量元=(1,)是平面a 的法向量，可得：伊.亚=-1+&+=,贝壮+=1,所以。正确.故选：CD.利用空间向量的数量积以及向量共线判断选项的正误即可.本题考查空间向量的数量积以及空间向量的共线的判断与应用，考查转化思想以及计算能力.11.答案：CD解析：解：函数/0)=2$讥(3刀+8)(3 0,取)=1,(p p解得8 冶，可得4不正确.7 1/(%)=2sin(2x+-).由可得:(2x+g)e 年，争，可得函数/(%)在?闫上不单调,因此B不正确.将函数f(x)的图像向右平移，个单位长度，可得到y=/(x-，)=2sin2x,为一个奇函数，因

11、此C 正确.由x e 一1 0 ,可得2x+9 e?,勺，可得y=sin(2x+g)在X G _ 巳一由上单调递减,在(萼,0上单调递增.若方程=m,x e -30 有两个不相等的实根，则实数一 2 0,|例 方的一条对称轴方程为x =也 相 邻 的 一 个 对 称 中 心 为 0),可得周期7 =4x6-3)=兀=生，解得3,把久=代入结合|在 因此不存在x e R,%2-x +1 0,不正确；.随机变量X 服从正态分布N(3,02),p(x 6)=0.7 2,P(X 6)=1 -0.7 2 =0.2 8,正确；当a=l,b=-l 时，虽然有a+b=0,但/(x)不是奇函数，故错；将|口 +

12、即=|1-2 E|,两边平方整理化简得日京=%则五在3 方向上的投影为管=1,正确.故答案为：.根据含量词的命题的否定对进行判断；由于随机变量X 服从正态分布N(3 8 2),p(x 6)=0.7 2,利用对称性可得P(X 6)=1 -0.7 2 =0.2 8；通过举反例对进行判断；根据向量投影的概念，五在3方向上的投影为黄，即可得出结论.本题中考查了二次函数的单调性、正态分布的性质、奇函数、向量投影的计算，考查了推理能力和计算能力，属于难题.1 4.答案：解：如图所示，y-瓦式42八一”Q 1 1 一，R：.AN=AC,BM=1BC=(AC-A B).“.MN=MB+BA+AN=-(AC -

13、AB)-AB+AC=-A C-A B12 3故答案为：|a.解析：利用向量共线定理和多边形法则即可得出.本题考查了向量共线定理和多边形法则，属于基础题.15.答案：9x解析：本题考查简单组合体及其结构特征及球的表面积，通过对组合体的结构的分析得出正四棱柱的对角线就是其外接球的直径解：由已知正四棱柱的底面边长为2,高为1得正四棱柱的对角线长=匹后子=33所以外接球的半径=不外接球的表面积为S =442=9”16.答案：解：(1)设等差数列 即 的公差为d,.a 3 =3,a6+a8=14.(2 a +12 d t 14 解得的=d=Lan=n.(2)2nan=n-2n.二 数列 2 即 的前n项

14、和%=2 +2 x 2 2 +3 x 2 3 +n-27 1,2 Sn=22+2 x 23+(n-1)-2n+n-2n+1,-Sn=2+22+-+2n-n-2n+1=21-n.2n+1,“2-1Sn=(n-1)x 2n+1+2.解析：(1)利用等差数列的通项公式即可得出.(2)利 用“错位相减法”与等比数列求和公式即可得出.本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17 .答案：证明：因为在力B C 中，总=嘉=看a bsinA+sinB 2+7 a+b-=-c-=-sinC 7 con sinA+sinB a+b即：F=下 成 解

15、析：直接利用正弦定理的变形形式即可.本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题目.18 .答案：解：(I)由频率分布直方图得：1,3)的频率为0.1+0.3 =0.4,3,4)的频率为0.2 5,依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为：(H)依据分层抽样，4 组有2 人，设为x,y,B 组有3 人，设为a,b,c从中任选2 人，可能的情况为x y a、xyby x y c、xab、xbc、xac yab ybc.y a c、a bc共10种情况，其中B 组户数有2 户的有x a b、xbc、xac、yab ybc、y a c共6 种，因此选出的B 组户数为2 的概率为卷=|.解析：(I)由频率分布

16、直方图，依据面积中位数两侧面积相等能求出中位数.(E)依据分层抽样，4 组有2 人，设为x,y,B 组有3 人，设为a,b,c从中任选2 人，利用列举法能求出选出的B 组户数为2 的概率.本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.答案:(1)解：侧面B&C 1 C,且.四棱锥的高=1.(2 分)又S 度的=2 1 C 8 C C 1 si n4 G C B =V3 .（4 分）四棱锥的体积为（返.1=f.（6 分）（2）证明：在ABCG中，B C=1,C G =2,乙 B C G =|,.B C =J l +4-2-l-2-1 =V3.

17、4cB ei=9 0,二 B C B C1,：AB _ 1侧面B B i G C,BJ u 面B B i Q C,B C 1 AB,：AB C B C=B,：.B g 1 平面S B C.(12 分)解析：(1)利用锥体的体积公式，即可求解；(2)证明QB _ L 平面A B C,根据本题条件，需要证明B C p4 B _ L,由4 8 _ L 侧面8 8 也传就可以解决；而耍证明GB1 BC,则需要通过解三角形来证明.本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键.2 0.答案：解：(1)因为F 为G的焦点且ZB l x 轴，可得

18、F(c,0),|4 B|=(，设C 2 的标准方程为V =2px(p 0),因为F 为C 2 的 焦 点 且 轴，所以尸，CD=2 p,因为|C D|=：M B|,q,C 2 的焦点重合，所以f 23 1 2p=”消去p,可得4 c =%,所以3 a c =2b 2,3a所以 3 a c =2a 2 2c2,设Ci 的离心率为e,由e=%则2e 2+3 e-2 =0,解得e=：(2舍去)，故 g 的离心率为点(2)由(1)可得a =2c,b=V 3 c,p=2c,所以 G：=19 Q：y 之=4 c x,联立两曲线方程，消去y,可得3/+1 6 CX-1 2c 2=0,2所以(3 x -2c)

19、(x +6 c)=0,解得=或 =-6 c(舍去)，从而=%4-=|c 4-c =|c =5,解得c =3,所以G和C2的标准方程分别为|j +，=1-y2=i 2x.解析：【试题解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.(1)由F为G的焦点且AB l x轴，F为 的 焦 点 且CD l x轴，分别求得F的坐标和|4 B|,|CD|,由已知条件可得p，c,a,b的方程，消去p,结合a,b,c和e的关系，解方程可得e的值；(2)由(1)用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c,进

20、而得到所求曲线方程.21.答案：解：(1)由/(x)=炉+/(1),求导/(x)=3/+2/(l)x,则/=3 +21 ，解得：/=一3,.1/(x)=x3 3x2,f(x)=3 x(x 2),令/(x)-0,解得：x=0,x=2,由 ,f(x),/(%)变化,X(8,0)0(0,2)2(2,+8)八X)4-00+/(X)T极大值01极小值一 4T则当工=0,/(%)取极大值0,当x =2时，取极小值一4；(2)由题意可知：y =a与/(为有三个不同的交点，由函数图象可知：-4 a 0,(3)设切点(&,舄-3将)，切线斜率k=3诏-6&,则切线方程y-(%o-3%o)=(3%o-6x0)(x

21、 一 配)，由切线过(0,0),则一/+3%o=-xo(3%o-6%0),解得：%0=0，或%o=|，当%o=0,切线k=0,切线方程y=0,当X o=：,切点(|,一当，切线k=-,切线方程丫 =一沃，直线I的方程y=0或y=一 第解析：求导/(x)=3x2+2尸x,1(1)=3+2尸(1),解得:1 =-3,则1(x)=3x(x-2),令r(x)=0,解得：x=0,x=2,由函数的单调性与导数的关系，即可求得/(久)的极值；(2)由题意可知：y=a与 有 三 个 不 同 的 交点，利用函数的图象即可求得实数a的取值范围；(3)设切点(沏,球一 3球)，斜线斜率1=3就一 6殉,求 得切线方程，由函数过(0,0),即可求得&,即可求得直线，的方程.本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.