2021—2022学年度高二开学分班考试（三）【考试卷+全解全析】.pdf

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1、20212022学年度高二开学分班考试（三）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在A ABC中，若AB=A，BC=3,NC=120，则A C=（）A.4 B.3 C.2 D.12.设1是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（）A.e+2e2 与 e2+2e,B.e2 与q-e2C.ex-2 e2 与 4e2-2 q D.弓 一4 与 q+e23.在 AABC 中，AB-AC 则 aABC 是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形4.在 入台。中，c=2,a=2,8=

2、60。，则“13。的面积为（）.A.当 B.V3 C.3 6 D.35.已知复数a,夕，则下列结论：若 优+夕=（）,则。=尸=0；若a 尸 0,则依 尸=a?.夕2；a.a =|a|；旧_ 月=功 力+加 正确的个数 为（）A.1 B.2 C.3 D.46.生活中有很多球缺状的建筑.一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠的面积公式为S=InRH,球缺的体积公式为V=-（3/?-”）”2,其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:3,则这两个球缺的体积之比为（）

3、7.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为加，记，=m+，则下列说法正确的是A.事件）=1 2”的概率为2 1件C.事件。=2 与 互 为 互 斥 事 件8.在平面直角坐标系x 0）中，a为第四象限角,B.事件“f是奇数”与“机=”互为对立事D.事件 8且加 3 2”的概率为上4角a的终边与单位圆O交于点P（x o,JI 4泗)，若 c o s(a n)=一,则 x()=()6 5A47 3-3 d 4 百+3 0 3 7 3-4 4 百31 0 1 0 1 0 1 0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选

4、对的得3分，有选错的得0分.9.欧 拉 公 式/=c o s 8 +i s i n。（其中i是虚数单位，0e R）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.复数e 对应的点位于第一象限 B.复数S的模长等于立1+i 2C.e行为纯虚数 D.e争+e争+=o1 0 .某人向正东方向走了 x k m后向右转了 1 5 0,然后沿新方向走了 3 k”,结果离出发点恰好后而1，则x的 值 为（）A.乖）B.2 7 3 C.2 D.3u u n1 1 .在

5、同一平面内，设A B =1,点M满 足 瑞2 一 丽2=c 为常数），则下列正确的 是（）A.若。=g,则存在满足条件的点M使 得 而/=2成B.c?R,点M构成的集合是垂直于线段4 8的一条直线C.若c=l,当M,8不重合时，点M、4、8可构成一个直角三角形D.若 C=3,贝U l M H m in=11 2.在南方不少地区，经常看到人民头戴一种用木片、竹凝或苇蒿等材料制作的斗笠,试卷第2页，总6页用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小

6、经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长2 0厘米，帽底宽20 6厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）.A.若 每 1 00平方厘米的斗笠面需要价值1 元的材料，此斗笠的制作费为20 6兀元B.用此斗笠盛水，则需要1 000兀立方厘米的水才能将斗笠装满C.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为1 2 0D.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1 00百 平方厘米三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0分.1 3 .若复数z =/2 i+（加2 一2m3）i（/e R）为纯虚数，则加=.1 4 .镇海中学

7、高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：2 5 7,3 1 1,2 67,3 0 1,2 7 9,2 9 6,2 4 6,2 8 7,2 5 7,3 2 3,2 66,2 9 3,3 0 4,2 69,3 3 2,2 7 0,则其第 5 0 百 分 位 数 为.1 5 .已知点4（1,2）,5（2,y），向量M =（1,2）,若 砺 而，则实数y的值为.1 6.如图所示，半径均为r 的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体A3CO,即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为则小球半径r=四、解答题：本题共6 小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .已知

8、复数Z =，/+加一（z +l）j,?夫，/为虚数单位.（1）当 Z 是纯虚数时，求，”的值；（2）当加=1 时，求 z 的值.1 8 .某通讯公司需要在三角形地带。4c区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站,甲中转站建在区域80c内，乙中转站建在区域AO8内.分界线QB固定，且0 5 =（1 +百）百米，边界线AC始终过点B,边界线Q 4、0C满足Z A O C=7 5,Z A O B =3 0,Z B O C=4 5.设 Q A =x（3xK6）百米，OC=y 百（1）将 y表示成x的函数，求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S.OAC最小，并求出其面积的最小值.1

9、 9 .如图，在四棱锥PA3CD中，A B/C D,且 N B 4 P =NCDP=9 0.（I）证明：平面平面？AO；（2）若 P A =P D=A B =D C =a,Z A P D 90,求四棱锥尸-ABCD 的侧面积.2 0 .随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2 0 1 9 年 6 月 2 5 日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6 户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住

10、户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：试卷第4页，总6页住户编号123456A小区(分钟)2201802102202002303小区(分钟)200190240230220210(1)分别计算A、3小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差：(2)如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元(按照28天计算标准)计算，则每位住户每月至少需要承

11、担的生活垃圾分类费是多少？3小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员(每天工作8小时)月工资按照4000元(按 照28天计算标准)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？21.已知函数/(6=百5亩(5+夕)-8 5(5+9)(0 0)为偶函数，且函数 =/(%)图象的两相邻对称轴间的距离为兀(1)若/(a)-s in a =；,a ,求/(c)+2sina 的值；(2)将函数y=/(x)的图象向右平移弓个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐

12、标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.22.在 AABC 中，Z C A B =nQ0.(1)如 图1,若点P为AABC的重心，试 用 通、坛 表 示 衣;(2)如图2,若点P在以A为圆心，A B为半径的圆弧8 C上运动(包含3、C两个端点)，且AB=AC=1,设 市=2而求 力/的取值范围；(3)如图3,若点P为AABC外接圆的圆心，设 丽=加 丽+/(m,e R),求机+的最小值.试卷第6 页，总 6 页2 0 2 1 2 0 2 2学年度高二开学分班考试（三）数学.全解全析1.D【详解】由余弦定理知：A B2 BC2+AC2-2BC AC

13、COSC/A C2+3 A C-4 =0,解得A C =1,故选：D2.C【详解】解：；，是平面内不共线的两个向量，对A,.+2 与1+2不共线，故可以作为基底，故A错误；对B,工1与,一最不共线，故可以作为基底，故B错误；对 C,q 2 e?=耳（4 02 2 e J,故q 2 e?与 4 e,2 q 共线，不可以作为基底，故C正确；对D,.-与 不 共 线，故可以作为基底，故D错误；故选：C.3.C【详解】解：.丽/=而，X c o s A0,；.（：0 5 4 8且相 3 2 的点数有：答案第2 页，总 12页Q 1（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

14、（6,3）,（6,4）,（6,5）,共 9 种，故概率为六=；，选o x o 4项正确；综上可得，选 D.点睛:事件A 和 B 的交集为空,A 与 B 就是互斥事件，也可以描述为:不可能同时发生的事件，则事件A 与事件B 互斥，从集合的角度即A A 8 =。；若 A 交 B 为不可能事件,A 并 B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生，其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.8.A【详解】解：由题意，Ao=C O S 6t.p 万 4 百又 c o s(a +)=一 y x +6 =0,解得 x =或 x =.故选：AB

15、11.ACD【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x,y),而8(1,0),则 府=(x,y),丽,7I因 为 磁2 _丽2=故/+y2 a I 1 y 2=c,整理得到：X=_ _它是一条垂直于线段A B的直线，但当。变化时，M的轨迹为垂于线段A B的无数条直线，故B错误.若c =；,则M的轨迹为直线：x =g,取则A V =C，8 M =(-；,0),止 匕 时 而7 =2加，故A正确.答案第4页，总12页若 c =l,则 M 的轨迹为直线：x=,此 时 丽 =(),)，而彳月=(1,0),故加A Q =0 即 丽 _L 通,因 为 为 不 同 三 点，故可构成直角三角形，故 C 正

16、确.若 c =3,则尤=2,故 的 =(l,y),故|丽 卜 J 1+：/21,当且仅当y=。等号成立，故|丽|=1,故 D正确.I 1mm故选：ACD.【详解】由题知此 灯罩斗笠 对应的圆锥中，母线/=20厘米，底面圆半径r=10百 厘 米，高h=J/?-产=0厘米.圆锥侧面积为=2006万平方厘米，若 每 100平方厘米的斗笠面需要价值1 元的材料，此斗笠的制作费为2 6兀元，故选项A错误；圆锥的体积V=g 乃刁=1000万立方厘米，故选项B 正确：过圆锥的顶点和底面中心的截面图形为等腰三角形，因为该等腰三角形腰长2 0 厘米，底边长为2 0 6厘米，因 为 迪 =3 =COS30。，所以

17、底角等于3 0。，顶角等于120.故选项C 正确；20 2第5页 共1 8页过圆锥顶点和侧面上任意两母线的截面三角形面积最大的为顶角为90的等腰三角形，其面积为-x 20 x 20 x s i n90 =200平方厘米.故选项D错误.2故选：BC.13.1【详解】解：因为复数z=m2-+(m2-2加一 3)i(m G R)为纯虚数，所以相2-1=()且/一 2根一3 工0，由m 2 一1=(),得 加=1 或加=一1,由7?z2 2m 3 0，得加。一1且加0 3,综上，m =,故答案为：114.28 3【详解】数据从小到大排序如下，246,257,257,26 6,26 7,26 9,27

18、0,27 9,28 7,293,296,3 01,3 04,3 11,3 23,3 3 2共 16 个数据,第 8、9 个数据为27 9,28 7,7 7 Q 4-?8 7则其第50百分位数为竺：=28 3 ,2故答案为：28 3.15.8【详解】由题意，点 A(1,2),B(2,y),可 得 而=(3,y 2),又由向量4=。,2),且通,可 得;=与 2,解得y =8,即实数V 的值为8.故答案为：8.V6 -116.-a10答案第6页，总12页【详 解】四个球心组成一个棱长为2r的正四面体，设 它 的 中 心。到各面的距离为d,正四面体高为，且 二局（哈）2=半r，由等体积法可得，g S

19、底而力=g S表 面d =4 x g S底 面d ,所 以d =且4=逅 尸4 6正 四 面 体O-A 5 c的各面分别与上述正四面体的各面平行，距 离 均 为r,它们有公共中心0,且两正四面体位似，位 似 中 心 为。，而位似比为:星d T 1d+r 76 76 +1 r+r6所 以正四面体。一ABC的边长为:2 r x号二2/函+1),又 正 四 面 体D-A BC的 边 长 为a,所以 a=2 r(V6+1),/口 aT-j r=T=2(+1)V6 11 0a故答案为:V6-11 0a1 7.（1）m=0：（2）z=2-2 i.【详 解】m+m =0解：（1）由题意，当z是纯虚数时，有

20、，解 得 加=（）；?+1 H 0(2)当 加=1 时，z=l2+l-(l +l)z=2-2 z.1 8.（1）y=lL（3x K 6）;（2）当x=4（X）米 时，整个中转站的占地面积S“c最小,x-2最 小 面 积是（2 +2石）x 1 04平方米.【详 解】解：（1）结合图形可知，S.oc+=S 第7页 共1 8页于是，g x（l +百）s i n 3 00+g y（l +百）s i n 45 =g孙s i n 75 0,解得 y=立x.（3%6）.x-2（2）由（1）知，y =2 L l（3 x =缶，所以四棱锥 P A BCD 的侧面积为 S&PAD+4APCD+S4PB C +S4

21、PAB 答案第8页，总12页-a2+-a2+乌 伍 产 +la2=3/+与 2.2 2 4 2 2 2OQA X752 0.(1)2 1 0分钟，2 1 5分钟；，；(2)1 5元；6 4元.3 3【详解】(1)=-(2 2 0+1 8 0+2 1 0+2 2 0+2 00+2 3 0)=2 1 0(分钟)，1=-(2 00+1 90+2 40+2 3 0+2 2 0+2 1 0)=2 1 5 (分钟)，6s；=3 (2 2 0 2 1 0)2+(1 8 0-2 1 0)2+(2 1 0-2 1 0)2+(2 2 0-2 1 0)2 +(2 00 2 1 0)2+(2 3 0 2 1 0)2

22、=?,sj=(2 00 2 1 5)2+(1 90 2 1 5)2 +(2 40-2 1 5)?+(2 3 0 2 1 5)?+(2 2 0-2 1 5)2+(2 1 0-2 1 5)21 =；3(2)按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是 5 x3 000=1 5 000 元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为空 史=1 5 （元），1 000由（1）知，3小区平均每位住户每周需要2 1 5分钟进行垃圾分类，一月需要2 1 5 x4=8 6 0（分钟），5小区一月平均需要8 6 0 x 1 000=8 6 0000分钟的时间用于生活垃圾分类，.一位

23、专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照2 8天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果，.8小区一月需要专职工作人员至少 860,1 6 （名）,8 x6 0 x2 8 x4则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为此巴S=6 4（元）,1 0002 1.(1)-；(2)8k九 -(k Z).3 L 3 3 J【详解】第9页 共1 8页解：(1)/(x)=y/3 s i n (cox+(p)-cos (cwx+9)冗=2 -s i n (cox+(p)-cos (cox+(p)=2 s i n (公什夕-),2 2 6rr jr因为/

24、(X)为偶函数,所以8-卜 kit,kz,6 22 7r2 4B P(p=+k7if攵 WZ.又因为0 30,cos a 03/(a)+2 s i n a=j 4(l +2 s i n acos a)TVj r(2)将/(x)的图象向右平移占个单位长度后，得到广2 8 s J-的图象.6 61 7 1再将所得图象横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到产2c o s(-X-的图象.4 61 汽所以 g (x)=2c o s(x-).4 6令 2 k后 土-=(AB+AC)=AB+-A C；3 3 2 3 3(2工)以A为原点，建立如图坐标系，A x则 3(1,0),2万设 P(cos 仇 s

25、in 6),0 G 0,因 为 而=4通+所以(cos 0,sin 6)=1,0)+(一 g,日)，/t=cos6+且sin。所以 心3广空sind1 3所以=sine cos+sin=-sin2+sin2-3 I 3 J 3 3=g(G sin 2e cos2e+l)=gsin(2 e-/)+:n isin 26+(1-cos 2。)第11页 共1 8页因为0,营,所以26 f e ,_ 3 J 6 6 6所以；0出(2。一7 +彳0,所 以 加G 0,1 ；3 1 6 J 3(3)因为N C 4 3 =1 20。，所以N C P 8 =1 20。由 A P =m A B +n A C 可得

26、 AP =mAP+P C)+n(AP+PB)即(I-tn-n)AP=m P C +nPB平方可得(1 一 根)2 万*=M P C+/方2+2 mnPC -PB(l-m-n)2|AP|2=m2|P C|2+/?21 PB|2+2m/?|P C|-|P B|c o sl 20(1 -m n)2-m2+n2-mnm2+A?+1 2 m-2 n+2 mn-nr+n2 m n，即 3mn+1 =2m +2 n2r-l根据平行四边 形 法 则 可 知+令加+=，则根 =-,t3根据基本不等式可得mn (m)-,4所以二二!解得或3 4 3所以，之2,所以2 +之2,所以2+的最小值是2.答案第12页，总12页