2021中考数学分类练习：定角夹定高.pdf

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1、定角夹定高（探照灯模型）啥叫定角定高，似右图，直线BC外一点A,A到直线BC间隔为定值（定高），N BAC为 定 角。那么A D有最小值。又 因 为，像探照灯同样所以也叫探照灯模型。咱们可以先看一下下面这弓长动图，在 三 角 形ABC之中，/B A C是一个定角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高A D为 定 值。从动态图中（似图定角定高1，gsp）咱们可以看到，介入顶角和高，都 为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也定是半径，是 会 跟 着A点的运动而产生变化的。从而弦B C的长也会产生变化，它会有一个最小值，因 为它的高A D是 定 值，是以三角形ABC的面积就有一个最小值。咱们

2、可以先猜想一下，A D过圆心的时辰，那个外接圆是最小的，也 定 是，BC的 长 是 最 小的，从而三角形ABC的 面 积 也 是 最 小 的。定角定高l.gsp 定角定高.html（定长可用圆操作，特别，定长做为高可用两条平行线操作）那么该如果何证明呢？起首咱们毗连OA,OB,O C o过0点作OH_LBC于H点.（似 图1）清楚0A+0H 2A D,当且仅当A,O,D 三点共线 时 取“=。因为NBAC的大小是一个定值，同时且 它 是 圆。的圆周角，是以它所精确的圆心角NAOB的 度 数，也是一个定值。是以OH和圆O 的 半 径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和。的 半径，有一个固定的等

3、量关系。再依照咱们刚才讲的，0A+0H 2A D,就 能 求 得 圆 0 半径的最小值。简证：OA+OHADOEDH 为 矩形，OH=ED,在 RtA AOE 中，A O A E,二 AO+OH=AO+EDAE+ED=AD下面咱们依照一道例题来讲明它的使用。例：似图，在 四 边 形 ABCD中，AB=AD=CD=4,ADBC,上 的 两 个 动 点，且/EAF=60。，那么4A E F 的面积是否存在最小值？如 果存在，求出其最小值；如果不存在，请讲明出处。NB=60。，点 E、F 分不为 边 BC、CD【简答】图中有角含半角模型，是以咱们想到扭转的方式来操作.将4A D F绕 A 点顺时针扭

4、转120,得 ZABF 那么 NEAF=60,易证AAEF A A E F,作4A E F 的 外接圆。O,作 OHLBC于点H,AG1BC 于点 G,那么 NF OH=60,AG=94B=OF r2 V 3,设。0 的 半 径 为 r,那么OH=-=不.2 2:0 A +O H 2 A G T+a 2 2 /3,r 2 Z F A E=Z F,A E=-Z F 0 E=6 0 2.,.F,E=V 3 rSAAEF=|-7 1 6 =|X V 3 r -2 V 3 4 V 3 A A E F 的 面积最小值为 4/3以下是两到相关的面向锻炼题，各人进修完往后可以去自主的实现一项，背面也有具体的

5、解答环节，做完往后各人可以对比一下答案，学会了这类类型题的解法。解题步调：I,作定角定高三角形外接圆，同时设外接圆半径为r,用 r 示意圆心毕竟边间隔及底边长；2,依 照“半径+弦心距2 定高”求 r的取值范畴；3,用 r示意定角定高三角形面积，用 r取值范畴求面积最小值。【面向锻炼】1,(1)似 图 I,在 AABC中，Z A C B=60,CD为 AB边上 的 高，如果C D=4,试判断AABC的 面积是否存在最小值？如果存在，要求出面积最小值；如果不存在，请讲明出处.(2)似图2,某园林单位要假想把四边形花圃分割为几个区域栽培差不花草。在 四 边 形 ABCD中，ZBAD=45,ZB=Z

6、D=90,C B=C D=6J2,点 E、F 分不为边 AB、AD 上 的 点，如果连结 CE1.CF,那么四边形AECF的 面 积 是 否 存 在 最 大 值，如 果存在，要求出面积的最大值；如果不存在，请讲明出处。8VCO+HOCD 即 得 r -2 3匚A=g 匚 =g x V3Q x 4=2V3 I 2V3 x|=yV 3（2）解析：此处求面积最大值，而定角定高同样求面积最小值。因为:S 四 边 形 AECF=四 边 形 ABCD-A-A=72V 2+72-&+A)是以，只 要A+A.最小，四 边 形AECF面积最大解：似 图 L 2所示在 AB上 找一点H,使 AH=HC。耽搁AB至

7、 G,使BG=FD,连 C G,作ACEG的 外接圆O 门 证 AC为/B A D 平分线图1-2求 四 边形A B C D面积。NCHB=45,AH=CH=V20E=12HB=BC=6V2 AB=l2+6V2口 四 边 形 ABCD=2口&口 口 =2 X-,=,=(12+6V2)x6V2=72V2+72CDFWA C B G,那么 4+A=求 A +A =A 最小面积/ECG=135-90=45定角，C B=6A/定高I.设。的 半径为 r,那么 EK=OK=U,EG=2EK=V2II.CO+OK CB B P r+=L 62 r 12V 2-72IILSACEG=：=g x 6&x&=6

8、 722-72 求 四边形AECF的 最 大 值。S 四边形 AECF=二四边形 ABCD -A=72V2+72-(l A+A)=72夜+72-N 72盘+72-(7 2 0 -7*=1442,已知等边 A B C,点P是其内部一个动点,且AP=10,M、N分 不 为AB、AC边 上 的 两 个 动 点，求 PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.A/N P2解析：P1 4P M N最小值立即军饮马题/目。似图2-1。BZ-XC图2-1四边 形AMPN面积该如果何示意？似图2-2AP=10,那么P在 以A为 圆 心10为 半 径 的 圆 上由轴对称性可知，1 A 7 =A 1 A 2 =

9、-A4AB C/、图2-2囱四边形 AMPN=口6口 +口 口 =口 4口 口,口 +口 人 口。口=口 口 口，口 2-aADC；A f：2=g 口 .口/2 =乂3口)(旧 口 口,=耳口口2=25 V 3，只 要 A最小，那 么；四 边 形._ 最大，最小，且NMAN=60。定值，AD=：LJUi=；口 =5定值，即定角定高题目解：求APMN周长最小。作 P对于A B 的 对 称 点 作 P关 AC 的对称点口2，连必口2。此刻，PMN周 长 即 为 最 小（两点之间线段最短）四边形AMPN面积表达式。连八匚口 2，过 A 作 AD，、“=2，匚=60./+2=+=60心口 2=U,即匚

10、+万 2 5,r yIII.A=g-UL=x5xV3E=1V3L yV 3二四边形口。匚=4 1 2 A=25V3-,A 25V3-y -3=y/.四边形AMPN面积最大值为yV 3这定是咱们所讲的订价定高类隐形圆的操作方式。相对来讲难度仍是对比大的，这类题同样会做为中考压轴题展示，介入没有进修过解题方式的话，自己是非常难想出来它的做法，但愿同学们上来往后多加锻炼。只要方式把握了往后，事实上也是非常简单拿到满分的。【同类配题】I,似图3,四边形ABCD中，AB=AD=4V2,ZB=45,/D=135。，点 E,F 分不为射线CB、CD 上 的动点，同时且NEAF=NC=60。，求 AEF的 面积的 最小值.2,似图 4,四边形 ABCD 中，NA=135。，ZB=60,ZD=120,AD-5,AB=6,E、F 分不为 边 BC及射线CD 上 的 动点，/EAF=45。，求AAEF面积的最小值.图3图43,似图 5,四边形 ABCD 中,ZB=ZD=60,ZC=90,AD=2AB=2,M、N 分不在 直线BC、CD 边 上，ZM AN=60,求 AMN面积最小值.4,似图6,四边形ABCD边 长 为 6 的 菱形，其中，=60,E、F 分不在射线 AB、B C ,ZED F=90,求 EDF 面积的最小值.图6