2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练（二）（含答案解析）.pdf

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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练（二）学校:姓名：班级:考号：一、单选题1 .已知集合A,8 满足8=1,2,3,若且 A&司，3&A 表示两个不同的“AB互衬对“，则满足题意的“A8 互衬对”个 数 为（）A.9 B.4 C.2 7 D.82 .己知z=1-3 i,则下列说法正确的是（）2 2A.z2+z-1 =0 B.z2-z-1 =0C.z2-z+l=（）D.z2+z+l =03.若整数N 被 p整除后余数为q,则表示为N =g（m o d p）,贝 iJ“N x（）（m o d 2）或N#0(m o d 3y是“Nw0(m o d 6)，()A.充分不必要条件 B.必

2、要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4 .已知向量4 =（1,2,1）,6 =（-1,1,1）,则 在b 上的投影向量为（）A-222、B-匕（444、U I*D.一 半，半省13 3 （333）5 .我国古人智慧体现在建筑学上的成就颇多，著名的太和殿的一角中所体现了中国古人智慧中的“七踩斗拱”技术，内分为“头”和“拱”.具体介绍为“七踩斗拱有头翘一件，头昂后带翘头一件，昂后带六分头一件.蚂蚱头后带菊花头一件,撑头木后带麻叶头一件；正心瓜拱、正心万拱各一件，外拽单材瓜拱、单材万拱各两件，厢 供 一 件 若 从 翘 头、六分头、菊花头、麻叶头”中选择1 个，从“单材瓜拱、单材万拱、

3、正心瓜拱、正心万拱、厢供一件”中选择2个，则“单材瓜拱”与“麻叶头”同时被选上的概率为（)A.以84,1 B.C.1 4 D-1 3846.若=s i n s+（y 0）在（0,兀）上有且只有两个零点，则0的取值范围为（）2 则=()8.已知a=2e&，A.bc aC.c a b2/?=ee,c=,试比较a,b,c 的大小关系为（）In 2B.b a cD.cba二、多选题9.有关平面向量的说法，下列错误的是（）A.若：/力，hUc，则。忘 B.若与b 共线且模长相等，贝 L =0C.若且。与6 方向相同，则D.（九?”=义（。力）=（/16”恒成立10.已知。0,e -g e 4 学 恒 成

4、 立，则下列说法正确的是（）b bA.若（0,e）,则aw（0,+oo）B.a=n b-C.a+/?N2恒成立 D.1 的最大值为b 2e11.在平面直角坐标系xOy中，A 为坐标原点，8（2,0）,点列P 在圆卜+：J +y 2=/上，若对于V w N*,存在数列 a,J,q=6,使得7,则下列说法正确i 2PA-%2n-的 是（）A.a,为公差为2 的等差数列B.4 为公比为2 的等比数列C.a2023=4（）47.22023 D.a,前项和 S,=2+（2 l）212.已知 x）=l,g（x）为 导 函 数，a w R,。#0,则下列说法正确的是（）aeA./（x）为偶函数 B.当a 2

5、 且awO时，对恒成立o（XC./（）的值域为-11D./（X）与曲线y=无交点a三、填空题1 3.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要试卷第2 页，共 5 页如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若1 0 0 人中有5 2 人回答了“是”，4 8 人回答了“否”.则问题二“考试是否做过弊，回答“是，的百分比为(以1 0 0 人的频率估计概率).1 4 .若对

6、于e,e ,1,”)，使得不等式4+ln(x+l)+(2 0 2 3?)x l k）0.0 5 0 0.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k3.8 415.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8)n(ad-bc f,K=-rr 77-7-7-n=a+b-c-d(a+6)(c+d)(a+c)b+d)是否有9 9.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；若k为函数/(X)=在极小值的；倍，求S,+%与S1T+q,i的递推关系式.1 8.对于数列4=(+1)2 ,w eN 的前项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差x等比数列“

7、，也可以使用“裂项相消法“求解，以下是她的思考过程：1 1 1为什么=二一7 7 7可以裂项相消？是因为此数列的第小+1项有一定关系，即第项的后一部分与第n+1项的前一部分和为零不妨将q=(+1)2 ,“e N*也转化成第，+1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得%=(P+4)2 -|(+1)+4 2用=(+1)2 ,通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数将数列q=(+l)2 ,N 表示成见=(8+q)2 -M +l)+2 M形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握.(1)

8、(巩固基础)请你帮助小周同学，用“错位相减法“求%的前项和s.；(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求 ,的前n项和S.1 9.已知底面为正方形的四棱柱A B C。AB C。，A Q=A 4 =4,E,F,4分别为4 4 ,FPA。，C Z 的中点，三角形S相 的面积为4,P为直线尸”上一动点且=彳PH(2)是否存在力 ,使得线段BP与平面3CE夹角余弦值为!.试卷第4页，共5页2 0 .已知在三角形A B C 中，a,b,c 分别为角4,B,C的三边，若sin2 A+6 sin2 B+3 sin2 C=6 /3 sin Asin BsinC(1)求/C的大小；(2

9、)求汉鱼的值.3 b2 1 .己知在 A B C 中，以B 为坐标原点，角 A,B,C所对应的边分别为“，c,且 a=4,若 2/+c c os8 =1 6.(1)求 4点的轨迹方程0(2)已知坐标原点为O,若过点P(-8,0)的两条直线与C分别交于M,N 两点,设用a，y3N G 2,%),两直线斜率分别为K，%且&2=1，连接M，N 交 x 轴于点Q,OMQ,OWN 面积分别为S-邑，求 3 s 五-S?的最大值.2 2.己知函数/(x)=(x-l)e*-ar-l,g(x)=(x-l)l nx-bx-1 若 a=l,b=2,试分析/(x)和 g(x)的单调性与极值；当 a=b=l 时，/(

10、、g(x)的零点分别为毛，巧；x3,匕，从下面两个条件中任选一个证明.(若全选则按照第一个给分)求证：In鼻+In5 金 宗；e T A l .+2.2参考答案:1.c【分析】直接列举可得.【详解】当A=0时，集合B 可以为1,2,3；当4 =时,集 合 B 可以为2,3,1,2,3；当4 =2 时，集合8可以为1,3,1,2,3；当4 =3 时,集 合 B 可以为1,2,1,2,3；当4 =1,2 时,集合 B 可以为,1,3,2,3,1,2,3；当4 =1,3 时，集合 B 可以为2,1,2,2,3,1,2,3；当4 =2,3 时,集合 B 可以为,1,2,1,3,1,2,3；当4 =1,

11、2,3 时，集合 B 可以为。，,2,1,2,1,3,3,1,2,3.故满足题意的“A B 互衬对”个数为2 7.故选：C2.C【分析】根据复数的运算求解z2,z +l,z-l 即可判断成立的等式.【详解】因为z =_ 3 i,所以=；+i2 i =_i,2 2 I 2 2 I 4 4 2 2 2故 z 2 +z-l w0,z2-z-l*0.z2-z +l =0,z2+z +1 0.故选：C.3.C【分析】写出逆否命题，利用原命题与逆否命题的关系判断.【详解】因为6的因数包含2、3,且 2 x3 =6,故 N =0（m od 6）”是“N =0（m od 2）且 N=0（m od 3）”的充要

12、条件，由逆否命题的等价性，则 N w O（m od 2）或 N x O（m od 3）”是“*0（1 1 1。1 6）”的充要条件.故选：C.4.A【分析】利用投影向量的定义可求得“在b 上的投影向量.答案第1 页，共 2 0 页,a-b 2 J2（详解】由空间向量的数量积可得cos=丽=显 力=,所以，。在6 上的投影向量为 麻。s o,x e（）,7T）,得0、+三（1,即+三），结合正弦函数性质，确定0 X+1 的位置范围即可求出”的范围.【详解】*0 x e（0,7 T）,（W X +q W （,6?兀 +耳），函数/（幻=$访（5 +（0 0）在区间（0,兀）上有且只有两个零点，7

13、T 5 X则27r 冗口+耳0 3兀.解得;故选：A7.D【分析】将 V+3 x 中含有x 的项都写成x 2 的形式，即可得解.W 1 （X-2）4（X2+3X）=（X-2）4（X-2）2+7（X-2）+1O=（X-2）6+7（X-2）5+1 0（X-2）4,所以6=1，5=7，%=10，所以3-=T.a4 5故选：D.8.B答案第2 页，共 20页【分析】先利用I n x 常见的不等式，估计出l n 2 的范围，精确估计出1.7 3 正 1.8,然后利用作商法比较大小.【详解】先证明两个不等式：(1)2nx 1),i/(x)=2 1 n x-x +(x l),则X Xr u)=-i =-1

14、1 i),即/a)在(1,”)上单调递减，故X x x )/(x)/(l)=o,即 2 1 n x l)成立X(2)l n x (x 1),设g(x)=l n x-&(x 1),则x+1 x+1 4 (x-1)2 U)=-,x 2 0(x l),即 g(x)在。,”)上单调递增，故X(x +1)x(x+l)g(x)g(l)=O,即l n x 坐2xl)成立x +1再说明一个基本事实，显然3 兀 3.2 4,于是1.7 3 退 后 1.8.由（1）可得，取x=2,可得2 1 n 2 1.5 o l n 2 2；由（2）可得，取 x=2,可得 l n 2 2,再取 x =&,n T#l n-0.2

15、 7,即 3.3 3 3 7 3 4卜 pC 产e-1.8 0.7 5-=-=-1,显然。0,于是 a；a 2e 2 2 2e2C _ l n 2 _ /一4 3 m 7 兀 2-布-0.2 7 _ 丁.7 3-00 _ 1，显然 Q 0,于是 C Q C.j=C -C 0,恒成立.由导数法判断/()n i i n=0,可求得“为最小值点，即有。与匕的关系对 A,由a与匕的关系求范围；对 B,由a与 b的关系直接判断；对 CD,由a与 6的关系化简式子，结合导数法求最值判断.【详解】对 B,令 小 尸 e-一 手，贝 1 0,e -%4 平恒成立等价为b0,a)V0恒成立.r(a)=e-单调递

16、增，由 r(a)=0=a =l T n b,且a e(-a),l-l n fe)，r()0,a)单调递增.又藉寸-；a =l l n 6,B 错；对 A,Z?e(0,e),a =l-l n be(0,+o o),A 对；对 C,a+b=-nb+b,令 g(b)=l-l n/7 +6,g(b)=-+l,由 g(6)=0 nb =1.故 爪(o,i),gQ)o,g 单调递增.故g(6 g(l)=2,C 对;对 D,看 =器，令/;()=零,(=由(b)=0 n匕=&.故8 e(0,g 0,g 单调递增；强(五,+8),g 0,g 单调递减.故 g(6)Mg(五)=(，D对.故选：ACD.【点睛】含

17、指对数式不等式恒成立问题，一般需构造函数，通过导数法研究函数单调性及最值，结合命题，从而得到相关结论11.C DPR【分析】由圆的方程写出户的参数坐标，由两点距离公式判断=?=2,由等比中项性质判PA断 =#7为等比数列，即可依次求得、,的通项公式，即可逐个判断，其中S“由错位相减法求和.【详解】对 A B,由点列尸在圆+|)+尸=/上，则 由 参 数 方 程 得 嘲 c o s 0-|,3i n 9 ,答案第4页，共 20页则喝 22 翳 sing+2c o s e-j 2 80一 6 4cos63 Q 9)N M P-=20 16，sinO+Scos9-cosff:殁=2.PA(PB*a”

18、4n+2对于VeN”，存在数列q,4=6,使得2 P A a=5 口，即4 =4 +2%=4+6*2n-，an 2 +1,两式相除得%_(2n-l)(2n+3)%(2+1)22(n-l)+l 2(n+l)+l4277 4-12令d=奈？则%也+广 叶，则 也 为以首项442?1 1=2,公比为=7bn=2/Z7 1+11 =an n?2-z-?-r 1 4+2 2A?-1 ,T-x-7=2 的等比数歹ij.b“一1%an,x 2+l 2n-1 2+l2n-1则嘉也=2?/(2+产AB错;对 C,=(2x2O23+l)-22023=4O47-22023,C 对;对 D,S,=3?寸 5?22+(

19、2+1)2”,2S=3?22 5?23+(2/1+1)2+,两式相减得，-S,=3?2 2?22 2?23+2?2(2+1)2e2(-2/+1 1=2+22+23+2“-(2+1)2,+|=I ；)-(2+1)2小=-2-(2 -1)?2用.S=2+(2n-l)-2B+,D 对.故选：CD.12.AD【分析】对 A,由偶函数定义判断；对 B,结合指数函数的非负性，判断存在/(x)0 0,a eA所以当a 0,/(x)0,B 错；对 C,由 x)=匕T =1(e，+-V|可得 8(=/(可=，卜-二,1*=1-,aex“I e J ay e J/(x)e+1 e+1v e2 l+ie(i,-+1

20、)C 错；对 D,由 x)-f =0 n L =0,方程无解，/(x)与曲线y=无交点，D 对.a ae a故选：AD13.54%#0.54【分析】计算出摸到黑球且回答“是 的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5,所以，100人中回答第一个问题的人数为100 x0.5=5 0,则另外50人回答了第二个问题，在摸到黑球的前提下，回答“是 的概率为g即摸到黑球且回答“是”的人数为50 x；=25,则摸到白球且回答“是”的人数为52-25=27,所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为、=0.54=

21、54%.故答案为：54%.14.(-1,0.【分析】由题，有4 d +ln(x+l)+(2023-x-l L )，ln(y+l)L.利用导数可得jln(y +l)m,n=0,则可得 4/+In(x+1)+(2023-m)x-1，0,后将4V+In(x+1)+(2023-时 x-1 看成关于?的函数g(m),后分类讨论g(m)在一 1 x 0 三种情况下的最大值与0 的大小即可.【详解】4/+ln(x+l)+(2023M)X l y ln(y+l)恒成立，等价于+ln(x+l)+(2023-加)x-fL +1答案第6 页，共 20页注意到”(T O)时,r(y)0.则/.(y)在(T，o)上单调

22、递减，在(0,+8)上单调递增，则”y)z/(o)=o.贝 lj3 n(y+l)L =0,则 4 d+ln(x+l)+(2 0 2 3-/n)x-lL yln(y+l)Lo 4 x 3 +s (x +1)+(2 0 2 3 -m)x-1 *0.令 g =-xm+4 x3+2 0 2 3 x +I n(x +1)-1,/W G -e,e .当x =0,g(/w)=-1 0,则g(m)在-e,e 上单调递减,故g (川=g(-e)=ex+4 x3+2 0 2 3 x +I n(x +1)-1.令 p(x)=e x +4 X3+2 0 2 3 x +I n(x +1)-1,X G(0,+OO).则

23、p)=1 2 x2+e +2 0 2 3 +0,得 p(x)在(0,+。)上单调递增，龙 1 时，(x)(1)。，因 P()此时无最值，且3X E(0,+OO),p(x)0.则x 0 不合题意；当x v O,g(m)在-e,e 上单调递增，故g(6)=g (e)=-e x +4 x3+2 0 2 3 x +I n(x +1)-1.令 (x)=-e x +4 x3+2 0 2 3%+I n(x +1)-L x G(-1,0),贝 i j n(x)=1 2/+1+2 0 2 3 -e.V 7 X+1令/(x)=I2x2+一+2 0 2 3 -e ,x e(-l,0).)X+1则”(x)=2 4 x

24、 -1餐 rl(0)=2 0 2 4 -e 0 ,则 (x)在(一 1,0)上单调递增,则”(x)“(0)=1 6 0）,则2=一 半,所以 I 且 Q l=J(%-C)2+”屋-图J1l(-)*2m2-2c/n+a2=em-a,故 J 135故答案为：O【点睛】关键点点睛：椭圆的第二定义-平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数 e （即椭圆的离心率，e =-）的点的集合（定点F 不在定直线上，该常数为小于1 的正数），其中定点为椭圆焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线方程是x =（焦点x 轴上）C2或者y =土 幺（焦点y 轴上）17.（1）有 9 9.9%的把握认为选择登录空间站

25、的情况与性别相关联 2p“+4“-1 =g（2p“T +3 T）【分析】（1）由题意得K 2,结合题意，即可得出答案；（2）求导得k=2,分别求出凡，q ,即可得出答案.详解(1)解：,10 0 0 x(3 80 x 280-120 x 220)而椭圆的离心率e =1，则 Q到右准线V的距离|Q N|=图1 =2|居。|.2e13当;=百 且。在线段PN上时，|P N|取最小值，最小值为1P M m m =4+RF=（k2（3+1）oas所以归。+2人0 的最小值为?.O3 02答案第10 页，共 20 页.有9 9.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；(2)/。)=高，函数定义域

26、为(0,l)U(L 的)，则 广(力=黑 ，由./(_)=0 得1=6,由/乂)0 得xe,由/(x)0 得0 x v l 或l x e,：J(x)在(e,+8)上单调递增，在(0,1)和(l,e)上单调递减，.当x =e 时，/(x)取得极小值，且/(e)=e,%为函数/5)=卢 极 小值的一倍，.4 =2,I nx eC；C；1 C C 2P.=7-r =.a,=r -r =所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设尸(a,2-a,4),求出平面BCE的法向量，利用向量夹角公式列出关于。的方程，即可得出结论.【详解】(1)连接短，因为 S APE=；AE A3 sin ZBAE=4 sin Z

27、BAE=4，7 T所以 sin N BAE=1,所以 NBAE=,即 AA A B,又4)_LA4,A D o A B A,AO,A8u平面ABC。，故A4 平面A8C),答案第12页，共20页FP当4=1时，=2=1,则尸为尸”中点，P 在 9。上，PH：Diy _L 平面 A B C D,A C u 平面 A B C D，二 DD X.AC,又 A C 1 B D,DD B D=D,BOu 平面 B D 0 8,47_1平面皮加为3,又 B P u 平面 BDDB1,A B P I AC；(2)以。为原点，DA所在直线为x 轴，D C所在直线为y 轴，N 7 所在直线为z轴，建立空间直角坐

28、标系，.0(0,0,0),8(4,4,0),(4,0,2),(7(0,4,4),设尸(a,2 a,4),所以 BE=(O,T,2),BC=(T,0,4),BP=(a-4,-a-2,4),设平面B C E的法向量。=(x,%z),n-BE=0n B C =0则 2y+z=0 人 /、即V 八,令 z=2,则y=Lx=2,力=（2,1,2）,-x+z=0若线段BP与平面BCE夹角余弦值为J,8/|BPF、4 BPna-2 7353/2a2-4a+36 6*.3 3/62。+622=0,V A=(-62)2-4X33X622=-7 8 2 6 0 0,方程无解，不存在2,使得线段B P与平面BCE夹

29、角余弦值为!.答案第13页，共 20页Tt2 0.d)C =-百【分析】(1)根据正弦定理化角为边，将i表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角函数的性质及基本不等式即可得出答案；(2)直接 利 用(1)中的结论即可得解.【详解】(1)因为s i n 2 A+6s i n 2 B+3 s i n 2 c =66s i n A s i n B s i n C ,所以 +6/+3 c 2 =6岛 b s i n C ,则c2=2 6 a bs i n C-2b2,3又 COS C/+/2abg/+3 b?-2y3 abs i n C2ab嗤+”sEC，所以G s i n C +c o s C =+

30、,3 b 2a因 为 网+弛*2、叵茏=2,当 且 仅 当 孕=半，即2 a =3 b 时，取等号，3 b 2a 2a 3 b 2aV 3 s i n C +c o s C =2 s i n C +的表达式，结合余弦定理可得关于方，。的式子，再将c 关于x,y的表达式代入化简即可得解；(2)由题意，占同号，不妨令4的 0,则%0,设。(,0),则%0,先得到直 线 的 方 程，再联立曲线C的方程，消 y整理得到关于x 的一元二次方程，再根据韦达答案第1 4 页，共 2 0 页定理求得，进而得到M，同理可得到4,必，由题意可求得E=g x y,52=x0（yi-y2）,3Sf s-2x 56 x

31、48从而可 得 到 y “一 /9+l 2小一人），再根据基本不等式即可求解.【详解】（1）设点A的坐标为A（x,y）,依题意可得8（0,0）,C（4,0）,贝b=（x-4）2+y2,c=yx2+y2 2 2 j 2又助+c c o s 8=16,则 2 6+c x +-=1 6,H P I6b+c2-b2=1 1 2,2ac所以 1 6j（x-4）2 +;/+j 2 +y 2 -（x-4）2-y2=1 1 2 ,化简得3 x 2 +4）/=1 9 2 ,A点的轨迹为椭圆，其方程为 +=1.64 4 8（2）由占&=1,则尢,k2同号，不妨令片 40,则%。，设Q（%，o）,则%0,由直线PM

32、的方程为y =4（x+8）,x2 v2 _.联 立 研+丽=,消 y整理得（3+46）d+6 4&：x+2 5 61 1 9 2 =0,、y =K（x+8）则一8%=2 5 6苗 7923+4%：4 8K1 3 +4 将3 +4 A；%=同理得=2 4-3 2 63 +%4 8七-3 +%由直线MN的方程为，=三 三（x-x J +乂,%一“2工2%一3%一 2令 y =0 ,则不由H=gxOy，邑=；丫0（%一必），则 3si-y L-52|=|-ro 3,i-y L-o(?i-y 2)=2 x0(y,-y2)=2、y(1=2 M答案第1 5页，共2 0页J 24-32公 48K 24-32

33、&：48匕）1 3+4 6 3+4 将 3+4 奸 3+4 后,2 56X48X（A1_&2）2 56x48x（/：,-k2）=,25+12将+1 2 6=、49+12（仁-1）2=2 x.-49工 一，56x48 2 x-+12（）56x482749x12=6 4 6当且仅当厂工厂=12依-&)时，等号成立,【点睛】关键点点睛：小问(2)的关键是先判断勺,&同 号，不妨令匕4 0,则y%。，_ 2:56x48再将求3s 上工-反的最大值转化为求 _ 空 _ +2(勺 _/)的最大值再结合基本不等式即可.22.(1)结论见解析；(2)证明见解析.【分析】求函数“X)，g(x)的导函数;(X),

34、g(x),再求析(x)=0,g(x)=0 的解，分区间研究函数 x),g(x)的单调性和极值；(2)不妨设王 马，七匕，根据函数的单调性结合零点存在性定理确定对修的范围，再证明X 3=e*,X4=e-,要证明in+ln%，只需证明玉+占1，即可完成证明；e-1 2答案第16页，共 20页同可以证明毛=e ,Z =小，要证明e%e 当 卫+2 只需证明e ln(f+4)l ln2,其中玉+9=心 再利用导数证明e-ln(r+4)求其最大值，并证明最大值小于1-M 2 即可.【详解】(1)由己知/(x)=(x l)e x 1,该函数的定义域为(y),y),所以/(x)=e*+(x l)e*l =把

35、“一 1,当x v O 时，r(x)0,所以函数()=屁*-1 在 0,+8)上单调递增，又(O)=1 0,所以存在x=%e(O,l),使得(%)=0,当了 0,入 5)时，/?(%)0,所以当x c(9,%)时，J (x)0,函数/(X)在(工5，+)上单调递增，又/(内)=0,其中*5 腔=1,所以犬=%为函数/(X)的极小值点，极小值为一%-，X5函数f(x)没有极大值点；由已知g(x)=(x-l)lnx2x 7,该函数的定义域为(0,+8),V 1 1所以:皿工+-2 =lnx-l,设租a)=lnx_ _ _ l,则夕”)=：+0,所以函数S(x)=l n x-1 在(0,+巧 单调递

36、增，又9(e)=(0,所以存在x=%,x6 e(e,e2),使得=-1 =0,X6当0 c x O,答案第1 7 页，共 2 0页所以当0c x 入6时,g(x)X 6时，g x)0,函数g(x)在(4,丘)上单调递增，又 g(%)=。，所以x=%为函数g(x)的极小值点，极小值为一%-1,函数g(x)没有极大值点，(2)由可得，函数/(x)=(x-l)e*-x7在(9g)上单调递减,函数f(x)在伍,收)上单调递增，X=X5 6(O,1),且书丐=1,3 2X/(-2)=+l 0,/(-l)=-0,所以函数f(x)有且仅有两个零点，不妨设玉 0,所以函数(x)=lnx-;在(O,+a。)单调

37、递增，又=-1 0,所以存在x=x7,X j e(l,2),使得(七)=访工7-=0,X1当 0c x 天 时，/(x)0,所以当0 c x时,g x)%7时,gx)0,函数g(x)在(4+oo)上单调递增，g(e-2)=l_?0,g(e )=-2 e 0,g(e)=e-l-e-l=-2 0,所以函数g(x)=(x-l)lnx-x-l有两个零点，不妨设X?匕，答案第1 8页，共2 0页则 e-2 毛 e-,e x4 e2,因为毛为g(x)的零点，所以(占-1)1 1 1均-均-1 =0,令lnx3=f,则 七=、，所以9-1)一8-1=0,所以e(-l)T-l=0,所以f =ln退 为函数x)

38、=(xl)e，-x l 的零点,又一2巾天 一1,所以为=l n w，同理可得/二E七，所以玉=e ,x4=e 2,要证明I nw+lnx,黑，只需证明玉+工2 茱，只需证明士+1，而不(1,2),所 以 占+与 0,-1.5)=0.5 1 1-毋，因为e 3 2.6 25,故 15,所以-L 5)=0.5(l-W)0/(1.5)=0.5 e-5-2.5 =0.5(el 5-5)0,则e(-2,-1.5),(1.5,2),函数g(x)=(x-l)lnx-x-l有两个零点，设其较小零点为x?,则 =e 8,X 4 =e*2 ,要证明e-L +2,只需证明七匕-1 I n(当 上+2),只需证明e

39、-l ln(三 产+2),设占+%=f,则_：/；,只需证明 e-l ln(f+4)I n2,只需证明 e-ln(f+4)l ln2,设尸(f)=e _ ln(f +4),_gf。,上单调递增,所以 F(r)0所以尸(r)=e_上单调递增,所以当一（；时,尸vF（g）=1 _ l n.所以”-呜 _(1_1112)21.35_吗(翡 F n|)因为e?2.722=7.3984 3)，所以2 5 1 n|,所以e J n|_(l _ l n 2)|(2 _ 5 1 n|)0 ,所以 e-ln(r+4)l In2,所以e-e（卫 寇+22【点睛】利用导数研究函数的零点，一般考虑先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理确定零点的范围.答案第20页，共 20页