2023—数二真题、标准答案及解析2.docx

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1、2006年全国硕士研究生入学考试数学(二) 一、填空题丫 4- 4 si n x(1)曲线y二一一二的水平渐近线方程为.5x-2cosxC x ,设函数/)= 0, fx) 0, Ar为自变量x在/处的增量，与力分别为/(外在点/处对应的增量与微分，假设Ax0,那么(A) 0dy(B) () Ay dy.(C) AyJy0.(D)力了().(8)设/(x)是奇函数，除x = ()外处处连续，x = ()是其第一类间断点，那么J：/力是(A)连续的奇函数.(B)连续的偶函数(C)在 = 0间断的奇函数(D)在工=0间断的偶函数.【】 设函数g(x)可微，。)=*&叫俏1) = 1,以1) = 2

2、,那么g等于(A)ln3-l.(B)-ln3-l.(C)-ln2-l.(D)ln2-l.(10)函数)，:C + C2e2x+xex满足一个微分方程是(A)yn-y-= 3xex.(B)yn-yr-2y = 3ex.(C)yn + y -2y = 3xex.(D)yn + y -2y = 3ex.“ I(11)设/(x,y)为连续函数，那么40/。05。,届110)4厂等于对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 ) 22366作。(孙树生)，那么0是正交矩阵,并且任0 0、QAQ-Q AQ- 0 0 0.0 0 oj(A) Jo?。%，、 J(x,y)dy.(B) xJo /(x, y)d

3、y.&r-2近 r2(C) fy)dx.(D) J/力/(x,)，世.【(12)设/(乂 y)与00, y)均为可微函数，且必G,)，)wO. (%,)，o)是/(x, y)在约束条件0(x,)，)= 0下 的一个极值点，以下选项正确的是(A)假设(Xo，%) = O,那么/；*。，为)=0.(B)假设(%0)= 0,那么(小，)。.(C)假设*。，%)工0,那么/：(须)，%) =().(D)假设/；(%,%)，()，那么/；(%,%) WO. J(13)设q,生，。，均为维列向量，A是7X 矩阵，以下选项正确的是(A)假设% 分，。，线性相关，那么A4, A%,，Ac,线性相关.(B)假设

4、q,出，。,线性相关,那么Aq,A%，A。,线性无关.(C)假设%,4，。，线性无关，那么Aq,4%，A。，线性相关(D)假设,生，线性无关，那么4缶4生，A,线性无关.【】(14)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将8的第I列的-1倍加到第2列得C,记(10、P= 010,那么 01时比丁的高阶无穷小.4 r arcsin ex ,. 求J；ax.16 .设区域0 = (y胧+),240,计算二重积分/ = JJ人仅.设数歹U 七满足0 v 玉 v 万,xn+ = sin 4 ( = 0,1,2,)证明：limx的存在，并求极限；XT0OI 计算lim(土力彳. 18 X17 .

5、证明：当0 。加寸，sin +2cos + Z?asin4 + acos4 + ;m.20设函数/()在(0,y)内具有二阶导数，且z = /(后行满足等式言+第= ().(I )验证/() +(型=0； (H)假设1) = 0(1) = 1,求函数“)的表达式.X = /2 1 121曲线L的方程为1 ； (r 0),y = 4l-r(I )讨论L的凹凸性；(II)过点(-1, 0)引L的切线，求切点(%，%)，并写出切线的方程；(IH)求此切线与L 1对应于xV%的局部)及工轴所围成的平面图形的面积.% +9 +工3 +14 = 一22非齐次线性方程组有3个线性无关的解西 +x2+ 3x3

6、 - bx4 = 1I证明方程组系数矩阵A的秩N A) = 2；II求的值及方程组的通解.23设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量/ =(-1,2,-1)，% =(O,T/y是线性方程组Ax=0的两个解，(【)求A的特征值与特征向量(II)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QtAQ = A.2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)真题解析一、填空题r + 4sin xI(1)曲线y =的水平渐近线方程为y = 5x-2cosx5(2)设函数/Ce) =，7卜n在x=0处连续，那么=-3x = 0广义积分1 (1+f)微分方程/ =叫二2的通解是y = 5， (x H 0)那么务。二那么务

7、。二X设函数y = y(x)由方程丁 = 1-xe、确定,当 A-0 时，)=1,又把方程每一项对x求导，y =(6)设4 =2 2野矩阵5满足朋历2那么18三 解：由物=8+2?化得BIA32E,两边取行列式，得 B A-E = 2E =4,计算出小团=2,因此18 =2.二、选择题(7)设函数)，= /*)具有二阶导数，且/(x)0, fn(x) 0, &E为自变量X在点沏处的增量,Ay与山，分别为A。)在点/处对应增量与微分,若Ar0,那么A(A) 0心YAy(B) 0Aydy(C) Ay力y()(D) dy Ay 0可知f(x)严格单调增加/(x)0可知/XM是凹的即知(8)设/(x)

8、是奇函数，除戈=0外处处连续，x = 0是其第一类间断点，那么XJ7力是B(A)连续的奇函数(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数 设函数g(x)可微,。)=*叫=l,g=2,那么g等于C(A) ln3-l(B)-In3-1(C) -In2-1(D)ln2-l (x) = g(x)*ga), l = 2(,)(l)=-ln2-l(10)函数y = g/ +。2-2、+ x/满足的一个微分方程是D(A) yn-yr-2y = 3xex(B) y- yr-2y = 3ex(C) yn + yr-2y = 3xex(D) y+y-2y = 3e将函数

9、y = eg + 0 + x代入答案中验证即可.41丘 T 后(A) J 公 J /(x,y)dy0 x(11)设/.(%,)，)为连续函数，那么卜可/氏应他切等于 00T 问后(C) j dy J /(x, y)dx0 v8) J 公 J /(x,y)dy00T后ID) j dy J /(x,y)dx00(设f(x, y)与夕(尤,y)均为可微函数，且%(x, y)工0,已知(x0，%)是/(x, y)在约束条件(px, y) = 0下的一个极值点，以下选项正确的是D(A)假设(%,%) = 0,则/：(%,%) = 0(B)假设/；(%,%) = 0,则%)00(C)假设/：(%,先)工。

10、,则/；*0，)，0)=。(D)假设(%,%)。0,则K&o，%)力。人, ( H 14(/0). ZH z/z ,(X(P %)仁*0, No)今 见(毛，)0)。， = -77;代入(1)得，(/，%) = -777%(%，为)%(题，为)今工(/，%)工0，力。0，%)利；(%先)工0则(%,%)工。应选D(13)设a, a：,，a都是n维向量，力是mxn矩阵，那么()成立.(A)假设a, a、,a线性相关,那么Aat Aa：,4a线性相关.(B)假设a, a a线性相关,那么Ha, 4色,线性无关.(0假设a, *，a线性无关，那么a线性相关.(D)假设a, a,，a线性无关,那么Aa

11、 , Aa：,4a线性无关.解：(A)此题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义解.假设a,出,a：线性相关,那么存在不全为0的数口, C2,c,使得cq+c2 a:+&=(),用力左乘等式两边，得ci/a+c/a+ +c Ja=0,于是力aa,线性相关.如果用秩来解,那么更加简单明了.只要熟悉两个根本性质，它们是：1 . a, a,，a 线性无关。r(a, &,，a )=s.2 .r(幽K r.矩阵(4a, Na, ., /&)=/( a,a ),因此rUai,Aa.itAa) r(a, &,，a).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设0是3阶矩阵，将力的第2列加到第1列上得5,将5的

12、第1列的-1倍加到第2列上得C记1 10、产0 1 0 ,那么0 0 1(A) C=P AP.(B) C=PAP.(C) C=PAP.(D) C=PAP.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1 -1 0俏S () 1 0 ；BP= PAP.0 0 -K三、解答题(15 )试确定A , B , C的常数值，使ex( + Bx+CjC)= 1 + Ax + o)其中o(d)是当 xf洞比炉的高阶无穷小.解：泰勒公式，=l + x +二+二+。(丁)代入等式得 26整理得比拟两边同次寻函数得B+l=AC+B+-=O2一+ C H = 0(3)26式.得-+ 1 = 0则8 = -22 3

13、3代入得 A=-3代入得。二，6c +arcsine(16)求ax.J ex.n ms arcsine 一人 *r arcs in t ,解：原式=(J. 加、令e = 一dtr arcsin ex , arcsin ex.dx =J /e*(17)设区域。=*,y) 11 0, 计算二重积分 I = fgdv.J； 1 + x + y解：用极坐标系+产4=021I/ = J c/可、dr = gln(l + r2) = 1In2.(18)设数列a满足0乃,怎+= sin/= 1,2,3,)证明：(1) limxe存在，并求极限； n-oo1(2)计算lim -T8 r J证：(1) v x2

14、 = sin , .0 x2 2xM+1 = sin xrt,乙单调减少有下界(.a; 0)根据准那么I, limx“ 二 A存在在七什i= sin x“两边取极限得4=sin AA = 0因此 lim % =0(2)原式=limnoosinx”2f -/用洛必达法那么二e -口 y+06)2t(19)证明：当0白人asina + 2cosa + -.7ta证：4* /(x) = xsinx+2cosx+x只需证明Ovvx0贝旷(幻单调增加(严格)由。则f S) f(a)得证(20)设函数/()在(0,+8)内具有二阶导数，且Z = /(jY+y2)(I)验证 /()+ 工 =()：u(II)

15、假设f(l) = O，r(l) = l求函数/()的表达式.y(Il) “()=p,则半=;产产+ C,p， an u J p J uux = +(21)曲线L的方程0)y = 4t-r(I)讨论L的凹凸性；(ID过点(1,0)引L的切线，求切点*0，%)，并写出切线的方程；(III)求此切线与L (对应局部)及x轴所围的平面图形的面积.回 ,、dx_ dy. . dy4-2r21解：(i) = 2/,= 4-2/,= 一一1dt dt dx Itt(ID 切线方程为)。二停一1 卜+ 1),设)，o=4/0T；,(2那么 4/。一，=1+2),4% _* = (2_fo)(/j+2)vo 7

16、得彳+fo_2 = O,(%_l)(r()+2) = O v0 /.z0 = 1点为(2, 3),切线方程为y = x+l(III)设L的方程x = g(y)3那么 S = J(g(y) (y l)tfy0由于 3)在L上，由)，=3得x = 2可知x =(2 斤iy + l = g(y)(22)非齐次线性方程组Xl + X2+X3+X4=-1,4xi+3x2+5x； -x=-1,axi+x2+3x3+bxi=l有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵力的秩为2. 求a, b的值和方程组的通解.解: 设a, a, a.是方程组的3个线性无关的解，那么a-a,aa是为吸0的两个线性无关的解.于是耕0的根底解系中解的个数不少于2,即4-r()2,从而r(N)2.又因为4的行向量是两两线性无关的,所以r (N2.两个不等式说明r (4)=2.