53实数与向量积(一)(1)课件.ppt

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1、5.3 实数与向量的积（一）yyyy年M月d日星期黄冈中学网校达州分校教学目标：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解黄冈中学网校达州分校向量的加法(三角形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.ab作法:在平面中任取一点O,aAbBa+b过O 作OA=a则OB=a+b.过A 作AB=bo一、复 习 引 入：黄冈中学网校达州分校向量的加法(平行四边形法则)如图,已知向量a

2、和向量b,作向量a+b.ao aAbBba+bCOC=a+b黄冈中学网校达州分校向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.abo aAbB a-bBA=a-b黄冈中学网校达州分校试作出：a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)已知非零向量 a（如图）aa a aO O A A B B C C-a-a-aP P Q Q M M N N相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？黄冈中学网校达州分校一般地，实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a的方向与a方向相同；当0时,a的方向与a方向相

3、反；特别地，当=0或a=0时,a=0黄冈中学网校达州分校(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。=黄冈中学网校达州分校设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：，则有：(a)=()a(+)a=a+a(a+b)=a+b黄冈中学网校达州分校例1：计算:(1)(3)4a(2)3(a+b)-2(ab)-a(3)(2a+3bc)-(3a2b+c)解：(1)原式(34)a 12a(2)原式 3a+3b2a+2b-a5b(3)原式2a+3bc 3a+2bca+5b2c黄冈中学网

4、校达州分校例2:若32，3，其中，是已知向量，求，.分析：此题可把已知条件看作向量、的方程，通过方程组的求解获得、.解：记32 3得 得11.将代入有：评析：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.黄冈中学网校达州分校对于向量 a(a0),b，以及实数,问题1：如果 b=a,那么，向量a与b是否共线？问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=a？向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有且只有一个实数，使得 b=a 黄冈中学网校达州分校(证明：(1)必要性向量a与b共线，a0,设|b|:|a|=当a与b

5、同方向时，有b=a当a与b反方向时，有b=a令=|=则b=a(2)充分性：对于向量a(a0)、b 有一个实数，使 b=a 由实数与向量积的定义，得a与b共线，由(1)(2)可得，命题成立。向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有且只有一个实数，使得 b=a 黄冈中学网校达州分校ABDEC黄冈中学网校达州分校例4：所示，黄冈中学网校达州分校AC与AB有公共点A黄冈中学网校达州分校所示，1、黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校 2、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设 提示：设AB=AB=a a BC=BC=b b则 则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b黄冈中学网校达州分校小结回顾一、一、a 的定义及运算律 向量共线定理(a0)b=a 向量a与b共线 二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明 向量共线向量共线 2.2.证明证明 三点共线三点共线:AB=:AB=BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线 3.3.证明证明 两直线平行两直线平行:AB=AB=CD ABCD ABCDCD AB AB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上直线直线ABAB直线直线CDCD黄冈中学网校达州分校