高考复习9-3利用导数求极值最值（精讲）（基础版）（解析版）.pdf

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1、9.3 利用导数求极值最值(精讲)(基础版)思傩身囹区间内不是单调函数，极 值(点)的 个 数 就 是 导 函 数 变 号 泰点的个数求参数美第一：已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列 式：根据极值点处导致为。和极值这两个奈件列方程组，利用特定系数法求解.(2)验 证：因为导数值等于塞不是此点为极值点的充要备件，所以利用特定系数法求解后必须验证根的合理性.极值与最值易错点、：极值点使导的数为0,即极值点为导函数的零点：导函数的为。的解不一定是极值点，还得看两边的单调性求函数f(x)在 a,b上的曲值的方法(1)若函 数在区间 a,b上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为超大值

2、，一个为遗小值.(2)若函数在区间 a,b上有极值，则先求出函数在 a,b上的极值，再与f(a),f(b)比较，遗大的是散大使，/小 的 是 囊 小 值，可列表完成.闭区间(3)函数f(x)在 区 间(a,b)上有唯-个极值点，这个极值点就是d曲 值 _遗 值 点,此 结论在导致的实除应用中 经 常 用 到._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 彳 开 区 间 求 最 值 求导，求单调区间、找出最值点、代入原函数求最值若 函 数在开区间(a,b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数 的 最 值 皂 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _常 用 结 语 函 数 在 某 区 间 内 没 有 极 值，说明该函数在区间为单调函数存或呈宏例题刻析考 点 一 极值【例1-1】（2 0 2 2.崇左模拟）函数x）=x 2 e +2的极小值是.【答案】2 解析】由题意可得r（X）=（Y+2 x）e .由 r（x）0,得 0：由/（x）0,得 2 x ，当 W）吠叫I，1时，Z，W0时，g(x)()；当x 0；所以g(x)在(-8,0)上单调递增，在(。，+8)上单调递减.V 1 1分别作出函数g(x)=-与 y =工 的 图象，如图所示故答案为：D.【一隅三反】1（2 0 2

4、 2 高三上.襄阳期末）已知函数/（x）=8 si ，xe（O,4可，则/（力 所有极值点的和为（)2 2 兀A.3B.1 3 7 1C.1 7 7 150K【答案】D【解析】/（X）=1 6 cav 2 x-j,令 尸（%）=1 6（?0 5（2 冗一2）=0,得 x =g+方，k s Z ,因为/（X）在 x =g+1,&wZ两侧异号，所以x =,+1,Ae Z是函数/（x）的极值点，又X（）,47 l,所以极值点X =1,所 以“X）所有极值点的和为1+2.（2 0 2 2.昆明模拟）若 x =l是函数/（力=（/+公 一 1）产的极值点，则“X）的 极 大 值 为（）47-3t47-1

5、3，+5761”60731TIL7K一6兀o33562DC.5 厂A.-1B.-2 e-3D.1【答案】C【解析】因为/（x）=（x2+-l）e-故可得 f(x)=(2 x+a)e*T +(/+_)?一=ev-1 x2+(t z4-2)x 4-t z-l,因为x =1 是函数f(x)=(x2+o x l)e-的极值点，故可得/(l)=0,即 2。+2 =(),解得 a=1,此时/(x)=ei(x2+x-2)=e，T (x+2)(x-l)令/(x)=0,解得玉=2,=1，由/(x)0 可得x l；由 /(x)0 可得一2 c x 1,所以/(x)在区间(8,-2)单调递增，在(2,1)单调递减，

6、在(1,+8)单调递增，故“X)的极大值点为x =2,则“X)的极大值为 2)=(4+2 -l)e-3=5 e-3。故答案为：C.3 (2 0 2 2.河西模拟)若函数/(幻=1+2 一 一 9 在t =一 1 处取得极值，则 2)=【答案】1【解析】f(x)=3x2+2ax-l,因为函数/(%)=丁+奴 2 一%一9 在 =-1 处取得极值，所以，/z(-l)=3-2 a-l=0,解得a=l,此时，r(x)=3 x 2+2 x-l=(3 x-l)(x+l),故当时，r(x)0,/(x)单调递增；所以，函数/(x)在x =-1 处取得极小值，满足题意,所以，/(x)=x3+x2-x-9所以 2

7、)=8+4-2-9 =1 故答案为：1考点二最值【例2】(2021 浙江)已知函数.f(x)=d 3x,x e 0,2,则/(x)的 最 大 值 是,最小值是【答案】2；-2.【解析】/(X)=X3-3X,.,./,(X)=3X2-3,又xw0,2,.令尸(%)。得l x 2；令r(x)0,W O xl./(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，./(0)=0,/(1)=2,/(2)=2,二幻的最大值是2；最小值是一2.故答案为：2：-2.【一隅三反】In Y1.(2021 全 国专题练习)函数y=的最大 值 为()x10,A.B.e2 C.e D./3【答案】D【解析】函数的定

8、义域为(0,+e)，则令1nIn 0,解得x=e,x2 X20 x 0,则函数单调递增：当x e时，y/3 r 3 G 3 下2 2 4 4【答案】C【解析】由题得 f(x)=cos2x+cosx=2cos2 x+cosx-1=(2cosx-l)(cosx+l),所以当c o sx g时，/(X)O,/(x)单调递增；当一iM cosxcg时，/(X)/3；2 4所以/(X)的最小值是-更.4故选：C3.(2021 甘肃兰州市)函数丁 =3 +1)0川 广 一3,4的最大值为()A.2e2 B.5/C.4/D.一1【答案】B【解析】由 y=/(X)=(x+l)et+1,得 y=然 华 +(x+

9、1)/=(x+2”川，当一3%2时，y 0,所以函数y=(x+l)ex+I在(-3,-2)上递减，在(-2,4)上递增，因为/1(3)=2/2 0此时/(X)在x=l处无极值，不符合题意经检验，o=b=时满足题意ci h=-15故答案为：B【例3-2】（2 0 2 2.凉山模拟）函数x）=p s讥X,若“X）在（0 弓）上有最小值，则实数a 的取值范围 是（）A.（0，+8）B.（）C.（e，0）D.（1,0）【答案】A【解析】由题意，函数-5 沁，可得=若a V O时,当 X（O,今 时,可得F （x）0,/（x）在（0;上单调递减，此时函数/（X）在（0,今 没有最小值，不符合题意；当。0

10、 时，令_f（x）=O,即打一 a sx =o,即丁=与 丫 =。5%的交点，画出函数y=Q 与y=co sx 的图象，如图所示，结合图象，可得存在/e（o，）,使得/（玉）=0,当xe（0,与）时，r（x）0,/（x）单调递减；当时，/（力0,“X）单调递增，此时函数/（X）在（0，号 上有最小值，符合题意,综上可得，实数a 的取值范围是（0,+8）.故答案为：A.A*+|X 0【例3-3】（2 0 2 2 高三上开封开学考）已 知 函 数=j x3 xa g o 的值域为口，+8）,则实数a的取值范围是（)A.L +o o)B.(l,+8)c.(3,+co)D.3,+0 0)【答案】D【解

11、析】当 龙 时，/0)=/+1在 0,+8)上单调递增，Vx e 0,+8),/(x)/(0)=l,则/(x)在 0，+8)上值的集合是 1，+8),当x0时，f(x)=-x3+3x+a,fx)=-3x2+3 =-3(x +l)(x-1),当x 1 时,r(x)0,当l x0,即/(x)在 上 单 调 递 减，在(-1,0)上单调递增，V x/(-l)=a-2,则/(幻在(一双0)上值的集合为5一2,+8),X 2 +1,(0因函数/(x)=(3 .一 的值域为 1，+8),于是得团一2,+8)1 1，+8)，则。一221,解 X+3x+。，x a,()A.1)B.(-o o,-1 C.(-o

12、 o,2 D.(1,2【答案】A【解析 因为/(x)=3 _ 3,x W a,I 2%,x a,作出函数g(x)=d-3x与直线y =-2 x的图象,它们的交点是 A(-1,2),0(0,0),3(1,-2),由g(x)=3d-3,则令g(x)=0,可得x =-l 或x =l,当x l 时，g(x)0，则g(x)单调递增，当 1%1 时,g(x)0,则g(x)单调递减,所以 =-1 是g(x)的极大值点，x =I 是g(x)的极小值点，由图象可知,当aNT时，”力有最大值/(-1)=2 或/(a),当。一1 时，有/-3a 2 a，此时/(x)无最大值，故实数a的取值范围为(，-1).故答案为

13、：A.2.(2 0 2 2 金台月考)已知函数/。)=浦公-办 2 有两个极值点，则实数”的取值范围是()A.(oo,0)B.0,C.(0,1)D.(0,+oo)【答案】B【解析】由题意/(x)=/n x +l-2 a x =/n x-2 a v+l =0 有两个不等实根，即2a，有两个不等实根，x/、lnx+/、1 (Inx+1)Inx设 g(x)=-，则 g(x)=-=-r,X X X当0 尢。，g(x)递增,当尤1时，g(x)0,当 X fO 时，g(x)-T0,所以当02。1,即0。0恒成立，y=f+(a +2)x+a+2为开口向上的抛物线，若 函 数/(x)=(x2+x+2)-ev在R上无极值，则 y=f+(a +2)x+a+22 0 恒成立，所以 A=(a+2)2 4(a+2)0,解得 0；令/(x)0,解得2x0.故/(X)的单调递增区间为(8,2)和(0,+8),单调递减区间为(一2,0),所以，函数/(x)在x =0处取得极小值，/、,、(。一4 0 f(0)由/(a-4)2/(0)可 得;(a 4)3+(a 4)2 2 2 2,可得(a 4)2(a-l)N 0,a-4 0 a即7-4)21)对解得因此，实数”的取值范围是 1,4).故选：C.