高考数学复习第12讲零点问题、隐零点问题与零点赋值问题（解析版）.pdf

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1、第12讲零点问题、隐零点问题与零点赋值问题【典型例题】例 L 已知函数 f(x)=l n(+x)+ax ex.(1)当=1 时,求 曲 线 y=f(%)在点(0,/(O)处的切线方程;(2)若/(此在区间(-1,0),(0,y)各恰有一个零点，求。的取值范围.【解析】解：(1)当州=1 时,f(x)=l n(l+x)+x ex,则 r(x)=一+/-泥一、，1 +x.八0)=1+1=2,又/(0)=0，.所求切线方程为y=2-1 +x e若a.0,当 l x 0,f(x)单调递增,则/(x)v/(O)=O，不合题意;故 a 0,尸(幻=L(l +如 二 立),令 g(x)=l +-，(1r),

2、注 意 到1 +%e e小 1 f ew 1 .7 (X-1+A/2)(X-1-A/2)g =1,g(0)=1 +a,g (x)=-，e令 g，(x)l +应，令 g，(x)0,解得 1&x l 时，g(x)0，若g(O)=l +a.O,当x 0 时,g(x)0,f(x)单调递增,不合题意；若g(0)=l +a 0,g(O)g (1)时，g(x)g a)=O,f(x)单调递减,则/(/)l 时,f(x)l n(l +x)+a0,f 0,则由零点存在性定理可知/(x)在(%,e-l)上存在一个根，当 1-夜 x 0 时，g(x)/(0)=0,当时，f(x)l n(X+x)-ae0,f(eM-l)

3、0,则由零点存在性定理可知f(x)在(十-1,1-也)上存在一个根.综上，实数。的取值范围为(-0,-1).例 2.已知/(x)=/(l +x)+a r .(1)当a=l 时,求 曲 线 y=/(x)在点P(0,7(0)处的切线方程；(2)当-l a -lf(x)=-F 1，1 +X则函数在P(0,f(0)处的切线的斜率左=尸(0)=2,又/(0)=0,所以曲线y=/(x)在皮尸(0，/(0)处的切线方程是y=2x；(2)由/(x)=/(l+x)+ar,x0 可得/(x)=+=aX+a +,1+x 1+x当一l a 0a当 0 x 0，f(x)单调递增：a当x -(i+)时，r(x)o,y(x

4、)单调递减，a所以/(x)的单调递增区间是(0,-(1+3)，单调递减区间是(-(1+3,”)：a a(3)当a.0 时，r(x)=L+a.O,所以f(x)在(-l,+oo)单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；1+X当一 L,a0 时，令尸(x)=0，解得x=-(l+).Oa当一 1a故当xe(l,O),/(x)/(0)=0,故此时/(x)在区间(-1,0)无零点；当 a -(l+4)时，f(x)0,f(x)单调递减；a因为/(0)=0,且0G(_(1+，),+OO).a故当 xe(0,+oo),/(x)/(0)=0,故此时/(x)在区间(0,+oo)无零点；综上所述，并不存在实数。使得函数

5、y=/*)在区间(-1,0)和(0,+oo)上各恰有一个零点.例 3.已知函数/=*/3+-加1,且/(戏,0.(1)求 a；(2)证明：，(x)存在唯一的极小值点x0,且|/(为)|,6)=百 ,)=一 h 故*e(e 3,eT),使 f(x)在(0,%)上单调递减,在(工,壶)上单调递增,故f(x)存在唯一的极小值点X。，4 4 1 3且 仇 +片=0,则 f xa)=x l n x 0+-x0(l-)=-xol n xu,3 J.3设(%)=%比 x(e 3 x el)f 则 hf(x)=(In x+1)0，4 43 -故(x)=x/n x在(e 3,1)上单调递减，4故人(eT)/i(

6、x()(e ),即-f(x0)-e 3,即 e 3|/(x0)|，所以 e 2 f/(x)|4eb ex例 4.已知函数f(x)=a/ix-,曲线y=/(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程为2 x-y-2-e=0.x(1)求。，的值;(2)证明函数/存在唯一的极大值点方,且/(玉)=/(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程为2 x y 2 e=0,.,.a=2 ,b =；e(2)证明：由(1)知，/(x)=2/n x-x-,则尸(%)=”2 x-x六ex十+ex,x x令 g(x)=2 x-x ex+ex,则 gx)=2-x ex,易知 gx)在(0,+oo)单调递减，又 g，(0)=2 0

7、,g1(1)=2-evO,故存在 w(o,i),使得g，a)=o,且当 X (0,X )时，g 0,g(x)单调递增，当+00)时，g，(x)vO,g(x)单调递减，由于g(0)=l 0,g(1)=2 0,g(2)=4-/v 0,故存在y w (1,2),使得g()=0,且当 xe(O,%)时,g(x)0,yr(x)0,/(幻单调递增，当 x(x()，+8)时，g(x)0,/x)+*=0,即*=2随,与(1,2),eXQ 2则/(%)=2/3)-=2加%-,/%-12 2 2令 h(x)=2 1n x-,1 x 0,X 1 X(X 1)故力(x)在(1,2)上单调递增,2由于天)(1,2),故

8、九(入0)/1 (2)=2加2-2,即 2/叫)-2 l n 2-2 ,%)-1/./(x0)2 l n 2 -2 .例5.已知函数/(x)=c os x+/(x+l),/(x)为/(幻的导函数，证明：(1)f(x)在区间(-1,存在唯一极大值点；(2)/(x)在区间(0,勿 存在唯一极小值点;(3)f(x)有且只有一个零点.【解析】证明：(D /(x)的定义域为(1,0),设 g(x)=f x =-s in x+J，则 g(x)=-c os x ，当x w(-1,9 时,g(x)o,g(g=r(g 0；当了(以5)时，g(x)=f x)0；所以/(a)为区间(-1 弓)上 f(x)唯一的极大

9、值，即x=a是区间上/(%)唯一的极大值点.(2)当 xw(0 时,g，(x)单调递增，且 g(0)=_ 2 0,g(-)0，2 (1 +7 r)-所以g(x)在区间,万)有唯一零点，设为x=0 ,当(0,0 时，g(x)0,此时g(x)=_/(%)单调递增;所以工=仅是 g(x)=f(x)在(0 上 唯一的极小值点.(3)当xe(-l,今 时，由(1)可知/(x)=c os x+/(x+l)在(-l,a)上单调递增，且 f(0)=l 0,当x-1 时，/(x)-c o,所以/*)在(一 1,a)上有唯一零点；当时，/(x)单调递减，月./(5=/(1 +至 0,所以/(x)在(a,上没有零点

10、.I当x 吗时，由(2)可知在区 间 仔 4)上 g(x)0,此时g(x)=/(x)单调递减，且 g(g=r(go,故有尸(彳)0,由 g()=。，得 c o s=-(J1 +2)所以/(尸)=c os +/(l +尸)=妨(1 +4)_/”(1 +)_ /2 _；0.当x w(小万)时，由(2)知 g，(x)0,所以g(x)单调递增,又 g-()=-c o s-=避6 642i5-r r-0，故-(1 +当 2 66,5允、1 1 人g(=)=-j +-0，1 +乃所以存在?(于,1)，使 g 0)=0,即r(乃=0,故尢=/为/&)的极小值点.654此时/(7)=c o sy4-l n(y

11、+1)历(+l)+c o s/1 +c o s/.0.所以f(X)在(三，乃)上没有零点.当 x e Q r,+o o)时,Z n(l +x)l n(l +),所以/(x)=c o s x +/n(l +x)l +c o s x.O ,所以f(x)在区间(肛+o o)上没有零点,综上/(x)在区间(-1,+0 0)上有且仅有一个零点例 6.已知函数 f(x)=,g(x)=l o gu x,其中 a l.(I )求函数(x)=的单调区间；(H)若曲线y =/(x)在点(x，/(x j)处的切线与曲线y =g(x)在点(%,g(x/处的切线平行，证明:,、2 1n b iaxt+g(x2)=-；I

12、n a(HI)证明当a.时，存在直线/,使/是曲线y =/(x)的切线，也是曲线y =g(x)的切线.【解析】(I )解：由己知，h(x)=ax-x l n a,有*(x)=a，出 a-In a,令(x)=0,解得 x =0.由a l,可知当x 变化时，(x),久幻的变化情况如下表：函数(x)的单调减区间为(-o o,0),单调递增区间为(0,内)；X(F,0)0Q”)“(X)0十h(x)J极小值T(I I )证明：由f(x)=al n a,可得曲线y =f(x)在点(x,/(%,)处的切线的斜率为axl n a.由g，(x)=一,可得曲线y =g(x)在点心,g(x,)处的切线的斜率为 一x

13、 l n a x2l n a这两条切线平行，故有In a=-，即优(力)2 =1 x2l n a两边取以。为底数的对数，得l o g q W+玉+2 1 o g 4/a=0 ,+g*2)=一l l n l n aIn a(III)证明：曲线 y =/(%)在点(%,*)处的切线 4 =/(-王)，曲线y =g(x)在点(马，l o g.X,)处的切线4：y-/o g/：2 =。一 工2).x2l n a要证明当a d时，存在向:线/,使/是曲线y =/(x)的切线，也是曲 线 尸g(x)的切线,只 需 证 明 当 时，存在%(-0 0,+8),%2 (，+)使得4与 2重合，2即只需证明当a.

14、次时，方程组，ax In a=-x2l n aa*-xax In a=l o gax2-“In a由得3=丁|丁,代入得：-ax (In a)2x x,1 l l n l n a 八 八c i1 x y c i1 In c i+X H-1-=0 ,k In a In a因此，只需证明当a.V时，关于用的方程存在实数解.设函数(x)=“-优或+犬+!+幽，既要证明当a.次时，函数y =(x)存在零点.In a In aux)=-(l n a)2x ax,可知 x (-o o,0)时，ux)0 ：x c (0,+o o)口 寸，M(x)单调递减,又M(0)=l 0,u-r)=-a 0,使得时，有I

15、n a/、/(I1 +x ljn c i)x(zi _；x+x H-1-1-2-l-n-l-n-a=_(Z/7i t z)x 2x 2+.x +.1 1 H-1-1-l l-n-l-n-a.In a In a In a In a,存 在实数f,使得(F)v O.因 此,当 a.e，时,存在芭e(-o o,+o o),使得(不)=0.当 a.小时，存在直线/,使/是曲线y =f(x)的切线，也是曲线y =g(x)的切线.例 7.已知 a 0,函数/(x)=ax-x e”.(1)求曲线/(%)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)证明函数/*)存在唯一的极值点；(3)若 m a,使得/(x),a+

16、b 对任意的xeR恒成立，求实数人的取值范围.【解析】(1)解：因为析(x)=a-(x+l)F,所以f(0)=a-l,而 7(0)=0,所以在(0 ,7(0)处的切线方程为y =(a-l)x(a 0)；(2)证明：fr(x)=a-(x+V)ex=0,则a=(x+l)e”,令 g(x)=(x +l)e,则 g(x)=(x +2)/,令 g(x)=0,解得 x =-2,当 X(Y O,-2)时，g(x)0,g(x)单调递减，当X(-2,+Q O)时，g 0,g(x)单调递增，当 了 -8 时，g(x)v 0,当 X f+8 时，g(x)0,作出图象，如图，所以当。0 时，y =a 与 y =g(x

17、)仅有一个交点，令 gQn)=a,则加 一 1,且 f(m)=a-g(ni)=0,当 xw(-oo,m)时，a g(x),/(x)0,/(x)为增函数；当 xwO,+oo)时，a g(x),/(x)1),所以7(x)一 a*=/()-=(1+m)meni-mem-(1+m)e,n=(nr-in-Y)enm -Y),令 h(x)=(x2-x-l)ex(x -)f若存在a,使/(x),a+b对任意的xwR恒成立，则等价于存在 x e(一 l,+oo),使得 (%),b,即 b.hxmin,而 hf(x)=(x2+x-2)ex=(x-l)(x+2)ex,(x -l),当X(-l,l)时，/Z(x)0

18、,力(幻为单调增函数，所以(x)而=/?(1)=-e,故b.e,所以实数人的取值范围-6,+8).例 8.已知函数/00=加 一公一不如；，且 f(x).O.(I)求 4.4?(I I)证明：/(X)存在唯一的极大值点小,且2 /(跖)0,化为：ax2 a live.0.x0,令 g(x)=ax2-a-Iw c.x0.(x)=la x.xa,0时，gf(x)l时，g(x)0 时，g(x)=2a+Q&C),可得x=总 时，函数g(x)取得极小值,g(总.0,令 h(a)=-2唔 与 吟）t ZG(0,-K O).（a）=_i+_L =上必，可得q =J.时，h（a）取得极大值即最大值,2 a 2

19、 a 250=g(因此只有=工时满足题意.2故a2()证明：由(/)可得：/(x)=-x-x l n x ,x0.f x -x2-hv c-l =-x2-In x2 2 2可得x =A 时,f（x）取得极小值，f（A）=g-|+；/3 =a 0+时，f x)-K X)；x=1 时,(1 )=0 x +00 时，f x)-H x.函数/（K）存在唯的极大值点与，且0%4 4x0满足-/7x0-=0,得 2/心0=3片 一3 .令人(x)=2 1n x-3 x2+3 ,0 x R .心)=-4-3乂二+3 =-3乂4 0.e e e e e e .；/，=xol n xo，-4 xo-2 2 3

20、e e 3令(x)=_2 x加，!.!.2ufx =-(l n x+),可得X =L时，函数“(x)取得极大值，且 /!口ee e V 3-A-=w(4-)/(xo)3 e e e 3 e4 7./(%)存在唯一的极大值点与，旦一T /(/)0,函数/(幻=/+/（1）若函数/（外在（0,1）中有极值，求实数”的取值范围;(2)若函数/(x)有唯一的零点看,求证：l n 2 x0 0,则y =2 e2 x-21在 R 上单调递增，所以当 0 x-O O ;当 X -+8 时，f(x)+o o ,所以尸(x)在火有唯一零点，设零点为小，则有2 e2 m-2 1 =“，故/(x)在(-00,，)上

21、单调递减，在(/M,-K 0)上单调递增，又函数一(X)有唯一的零点七,且当X T-0 0 时，当X-+t 时，/(x)f+o o,则 =，即+2 *-a r。=0,将式代入得 e2 x +2 e-0-2 X(/+=0,记 g(x)=e2 x+2 e-x-2 x e2 x+1x ex,则玉)为函数g(x的零点，因为 g(x)=2 e2 x-2 e-x-2(1 +2 x)e2 x+2(1-x)e-=-2 x(2 +),则当x 0,则 g(x)单调递增；当x 0 时，g(x)0,当 Xf+8 时，g(x)-00,所以g(X)有唯一零点4，4.又g(妨 2)=4+1-8/2+/2=5-7/2 0,g

22、(1)=e0,e故 ln2 x0 0).X若Q 0,因为x 0,1-cosx.0,贝所以/(九)在(0,+oo)上单调递增，符合要求.若 a v O,则当w(0,)H 寸，-2,2 x从而 fx)0,则 cosx-lvO,-xsinxvO,从而g a)o,所以g(x)单调递减.34当 xw O,3)时，=-sin x-(sin x+xcosx)=-(2sin x+xcosx).因为sinx0，从而g(x)单调递增.因为g(乃)=_20.则g(x)在(兀 多上有唯一零点，记为与,且当XW(肛 人 0)时,gx)0,则 g(x)单调递增._ _ 3万当 xe(,24)时，g(x)=(2cosx+c

23、osx-xsinx)=xsinx-3cosx.因为sinxvO,cosx0,则g“x)0，g”(2;r)=2 1 0,g(x)单调递增;当x e ,2球 时，g(x)0,g(27T)=0 则当xw(红,2幻 时,短(x)0,所以g(x)单调递增.综上分析，g(x)在(0,%)上单调递减，在(%,2万)上单调递增.因为 g(0)=g(2%)=0,则当 g(XQ)a 0 时，直线y=a 与函数g(x)的图象在(0,2万)卜.有两个交点，从而广。)有两个变号零点，即/*)在(0,2%)上恰有两个极值点.因为 g(Xo)=0 贝 I cosx0-x0 sin玉)-1=0，即 cosx0=l+x0 si

24、nx0.从而 g($)=%cos。-x0=xo(l+xosinxo)-xo=x：s in/.取。=%,则 cos。=1 +Osin。,且当式sin。a 0).ax(1)由已知，得/(x).O在口，+oo)上恒成立，即a.在 1,物)上恒成立X 当 时,L 1，a.1.即a 的取值范围为 1,+00)(2)当a.l时,/(x)0 在(l,e)上恒成立,这时f(x)在口，e 上为增函数=0当0 q,L /(x)0在(l,e)上恒成立，这时/(x)在 1 ,e上为减函数.八x)“R =/(e)=l+=.eae当时，令/(x)=0,得x=e(l,e).又.对于有/，,对于xw(L e有/x)。，f(x

25、)丽=/(-)=/-+1-a a a综上，f(x)在口，e上的最小值为当。4,时，也 而=1+厂；e 2 e当一 a 0,x所以，h(x)=(In x-V)ex+x S 1,e上单调递增.所以，h“讪(x)=h(1)=1 一e所以，p.A-e3.设a e R,已知函数/(x)=处 士。，g(x)=e-、.X(I)当 a=l时,证 明：当 x 0 时，f(x)g(x)；(I I)当。1时，证明：函数y=/(x)g(x)有唯一零点.厂、T叩 4、/、妨(工 +。)-v l n(x +a)-x ex【解析】证明：f(x)-g(x)=-e=-，X X令 h(x)=l n(x +)-x ex,(I)要证

26、原不等式成立，只需证：当 x0 时，h(x)=l n(x+1)-x ex 0.1px:丫2 一 1则 hx)=-F(X l)e-*=-:-0.X+1 (X+1)。函数力 在。+O0)上单调递增，因此(x)(0)=0,即原不等式成立.(II)由(I)可得当 x 0时，/(x)-g(x)/(x+l)-e-，0.X故函数y =/(x)-g(x)在(0,+o o)上没有零点；(n)当 x w (-a,0)时，h(x)=+(x-1 )e-=+U)-x +a(x+a)eF(x)=ex+x2+(a-l)x-a,xe(-a,0).则 F(x)=e +2 x+(a -1)为增函数，H.F(-a)=e-a-2 a

27、+a-l =e-0-a-10.b (x)在(-a,0)上存在唯一零点,记为x0.且 xe(-a,X o),F(x)0r.F(x)在(-a,x0)上单调递减，在(无，0)上单调递增，al ,；.F(-n)=e 0,F(0)=l-a 0,F(x0)F(x0)0：xe(x,0),F(x)().在(-a,0)上至多只有一个零点；令 y =x ex,则/=(1 -x)ex 0,y =x ex -aea,hx)l n(x +a)+aea,取再=-a +e 7 w(-a,0),则有(毛)0,/.由零点存在定理可得，人(x)在(-0,0)上存在零点.综上可证：函数y =/(x)-g(x)在(0,m)上有唯一零

28、点.4.设函数/(x)=e i-R 依，其中e 为自然对数的底数.(1)若。=1,求/(x)的单调区间；(2)若噫W e,求证：f(x)无零点.【解析】解：(1)。=1 时，/(x)=ex -l n x x 0),g(x)=xe*T-l(x0),则 g(x)在(0,+0,即 r(X)0,.-./(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+00).(2)依题意，无解，Jp i 空l ux 无解，令 F*)=J,G(x)=in r,X X X XF(x)=e宇”,易知产(x)在(0,1)递减，在(1,+oo)递增，所以尸(x)而“=尸(1)=1,X1 _ 历 Y1G(x)=,易知 G(

29、x)在(0,e)递 增,在(e,尔)递减，G(x)m a x=G(e)=-.x e.当0,a a G(x)恒成立，/(x)没有零点.当。=e 时，F(x)m in=F(1)=1,aG(x)n uix=1 x=e取等号，取等条件不一致，F(X)QG(X)恒成立，/Q)没有零点.5.设函数/(x)=x Hnx,其中e为自然对数的底数.(1)若4 =1,求/(X)的单调区间；(2)若 g(x)=/(x)-x+e*T ,阖z e,求证：g(x)无零点.【解析】解：(1)若。=1,则f(x)-x-l n x,.1 x 1 r a)=i=X X当 xe(0,l)时，f(x)0,f(X)单调递增./(x)单

30、调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+00).(2)由 g(x)=f(x)-x +e*T =ex-ab v c(x 0)可知，gx)=X e f l(x0),X当。=0时，g(x)=e 1 ,显然g(x)没有零点；当 0 0 ,在 0,+8)单调递增，又(0)=。0,在(0,2)上存在唯一一个零点，不 妨 设 为 贝 丘0 1-1 =。，二.当尤(0,玉)时，(九)0,即 g，(x)0,/.g(x)在(0,%0)上单调递减,在(xQ,4-00)上单调递增,/.g(x)的 最 小 值 为=-l-H 叫),%一1 =。，e =巴，两边取对数可得内)-1=3-/叫，即/叫)=/+1-工 0，

31、%g(x0)=-a(/n a+l-x0)=+ax -al n a-a.2 a-al n a-a=a-al n a,(当且仅当 x()=1 时取等号)，%令 m(a)=a al n a,贝！J 加(a)=l n a 当 (0,1)时，mf(a)0,当。c(l,e 时，rv l(a)vO,：.m(a)在(0,1)上单调递增，在(1,e 上单调递减.又“-1)(1 一)0,m(e)=0,.当0 时,m(a)当且仅当。=e 时取等号,由 天*一1 =。可知当 a=l 时，x()=1 ,故当。=e 时，玉)。1,故 g(x()/n(a).0,.g(%o)O当 旗 山 e 时，g(x)没有零点.6.已知函

32、数/(x)=二.ex(1)若函数g(x)=/(x)+/2 x,求函数g)的单调区间;(2)若直线/为曲线y=f(x)在点Q,/(/)处的切线，直线/与曲线y=/(x)相交于点(s,/(s),且 s 0,当 xw(-/2,l)时，g，(%)vO,.g(x)的单调递增区间为(T O,-/2),(l,+oo),单调递减区间为(-加2,1).(2)由/。)=三，得尸(x)=f,则 八 力=，e e e可得曲线 =f(x)在 Q，。)处的切线方程为丫-二=。)，e e4*h(x)=-X-,显然(f)=0,hf(x)=-ex d e1 ex elY 2.由 hn(x)=0,得 x=2,/.hx)在(TO

33、上单调递减，在(2,+oo)上单调递增.1 Y 1 一 /右4,2,%w(-00)时，-,ex el则(X)在(-O 0J)上单调递增，且人=0 ,.,.力(%)在(-O O J)上无零点,舍去；1 /1 1 1 /彳T 7 2,xG(c o,/)H j*,(%)=(2)=-0)(1)若 在 区 间d,2)上存在极值，求实数。的范围；2(2)若 力在区间(2)上的极小值等于0,求实数。的值；2(3)令 g(x)=%2 _ 依 +。2,%*)=4(/(工)一/)+8(不).曲线 y =(x)与直线 y =/n 交于 A(X ,y),B(x2,y2)两点，求证：“(士也)0.2【解析】解：(1)由

34、/(x)=e-。(/加+1)(。0),得(%)=炉-0,x：.f M=e +=0,r(x)在 d,2)上为增函数，x 2f(x)在区间(；上存在极值，尸(；)0,解得曰 。十，的取值范围为(*,2/).(2)由(1)知 亚 a 2/,2设x 0为f(x)在区间(；,2)上的极小值点，故 e*o-=0,/.f(x0)=e-a(l n x +1)=a(-In x -1)./%设 g(x)=a(2一/小一 1)，X G(-,2),则 g(x)=a(一-二，口：二)，x2 x*-x x.g(x)0,即g(x)在(提2)上单调递减，易得出 g (1)=0,故/(%)=0,，%=1,代入*。一己=0,可得

35、a =e,满 足 立 a 2/,*o2故。=e .(3)证明：g(x)=x2-ax +a2,h(x)=af(x)-ex)+g(x),/./?(x)=-a2l w c+x2-a r ,则 hf(x)=-+2x-a ,x由题意，知人=机有两解X,x2,不妨设X 0,即证 一 乌 一+%+x,-a 0,2X+Xy2 1只需证-+7(%+/一。)。(*)，x1+x2 a又一 a2 1n x i+-ax=tn ,-a2l n x2+x-ax2=m,两式相减，并整理，得 一 为 二 处+1(%+%a)=0.x-x2 a把(玉+七一。)=后 广 醍?代入(*)式，a玉-x2令五=f,贝|J-笆 二曳/加0.

36、令夕(/)=一则(p,(t)/+12(z-1)+/n r(or l)，r +14 J _(-1)2、八(Z+1)2 t。+1)2f，e )在其定义域上为增函数，.4 7)0 成立.28.设函数/(x)=x e i+a ,曲线y =/(x)在x=1处的切线与y 轴交于点(0,e I).e(1)求 a；(2)若当X -2,+oo)时，/(x).(x-l),记符合条件的人的最大整数值、最小整数值分别为M,m ,求 A 1+利.注：e =2.7 18 2 8 为自然对数的底数.【解析】解：(1)r(=，T+x/T=(x +l)e i,则/(一1)=0,又/(-1)=-/+。/(幻在 x=-l 处的切线

37、方程为y =y+6 Z，e又曲线y =f(x)在 x=-l 处的切线与y 轴交于点(0,-!)，e1 1 z +a=e e e：.a-e(2)由(1)知，/(x)=x/T+e,则不等式可转化为旄1 一仇x l)+e.O,1 51 g(x)=x ex-b(x-)+e,贝 ij g(x)=(x+1)，一人，设 0(x)=g -e T，则 g (x)*=g (-2)0,由于，(x)在-2,+o o)上单调递增，当-/0 时，取 =?办 0,/成+1,则 g()0,二存在王c(-2,)，使 得,(M)=0,综上，当-二 时，存 在/(_2,y o),使得 g，(%)=0,即 a)+l)e -b=0,故

38、当一2 c x 玉)时，g%)0,g(x)单调递增,g(x“”=g(%)=M T-员%-1)+e.0,()由(/+1)/T _b=o,得人=5+De,代入(,)得 X o e*(x0+l)e (x。1)+e =(+l)e*+e.0,设 F(x)=-(x2+x+l)e*T+e,则 F(x)=一(x+2)(x-l)ex ,由于.-2,易知当 xe(-2,l)时，F(x)0,F(x)单调递增，当 x(l,+o o)时，F(x)0,F(x)单调递减,又 下(-2)=+。0,F(2)=0,.当 x 2 时，F(x)0,满足(-%2+/+1)1-+4.0的的取值范围为(-2,2 ,又匕=(%+l)e T,

39、设，(x)=(x+l)e、T,H(x)=(x+2)ex.O,./(x)在(-2,+8)上单调递增，e b,3 e，综上所述，空 二 效 必 3 e,32 e p又-1 3 0,8 3 e 则 A/+m=8 .9.已知函数/(x)=+1),g(x)=xeA(x-l).(1)当。=1 时，证明：f(x)瓢 g(x)；(2)设函数尸(x)=/(x)-g(x),若 F(x)有极值，且极值为正数，求实数。的取值范围.【解析】(1)证明：当 =1时,f(x)=l n(x+1),令(%)=/(x+l)-x,hx)=-1=,X+1 X+1令 口)=0,得 =0,且当 I v x v O 时，(幻 0,以外单调

40、递增；当x 0 时，/(x)0,当 x.O 时，G(x).O,.,.当 x-l 时，G(x).O,即 g(x).x,/./(x)M g(x).(2)解：F(x)=al n x+1)-x ex,Fx)=(x+l)ex=-(口)-,x+l x+1当4,0时，F(x)0时，(p(x)=a-(x +l)2ex，(p x)=-(x+l)(x+3)ev 0 ,(p(a)=a-(a+)2ea a-a(a+)2 0,，存在唯一的与(1,)，使夕(无)=0,。一 (小+1)建/=0,且当一 l x 0,F(x)0,产(无)单调递增；当时，仪幻0,F(x)0,(x0+1)2 l n(xQ 4-1)-0=l n(x

41、0+1).-(而 +1)0,人/、，/1 X z,、1 1 -x2 x(x+l)(x+3)令 G(x)=l n x+1)-7 ,G (x)=-=三 一-(x+1)2 x+1(x+1)4(x+1)4令 G (x)=0 得 x=0,.当 I v x v O时，G (x)0时，G (x)0,G(x)单调递增,.G(x).G(0)=0,G(x0)0,:.x0 e(-l,0)D(0,+o o),此时。=(%)+1)%,令。)=(1+1)2 d，H(x)=(x+l)(x+3)，0,”(x)在(一1,+00)，XQ G(-l ,0)U (0,+o o),，。=(玉)+1)3 e(0,l)J(l,+OO),故

42、实数。的取值范围为(0,1)U(1,+8).10.已知曲线/(x)=(x-3)ev+(2/nx-x)(其中e为自然对数的底数)在1=1处切线方程为y =(l-e)x+b.(I)求a,值；(II)证明：/(%)存在唯一的极大值点/,且-2 e-l /(%)=(1 一e)x+b,而r(x)=(x-2)e +(1),xf,(1)=e +a=1 e ,即 a=1,而/(1)=一左一1,故切点为(1,2 e 1),1 e+/?=2 1 ,1 I|J b =e 2,故有.：。=1,h=-e-2；证明：(I I )由(I )知：/(x)=(x-3)e*+2 历r-x 且定义域xw(0,4-o o),.fr

43、t(x、)=-x-(-x-2-)e-x-x-+-2 =-(-x-e-x-l-)(-x-2-),右比 g(x,)、=(/x-2)(x e r-1n),X X令/?(x)=x ex-I ,即/f(x)=(x+l)e 在 x (0,+co)有 (x)0 恒成立，.*)单调增，又 (0)=-1 0,即(x)的零点为在(0,1)内，(0,玉)上 h(x)0,故在 g(X)中%1(0,1)，X G(0,+O0)上有当0 九 g(x)0,即 r(x)0,/(x)单调增，当 vx 2 时，g(x)2 时,g(x)0，即/(外 0,/(x)单调增，./(%)存在唯一的极大值点%=玉 e(0,l),又有了(X o

44、)=/(X)/(1)=-2 e-l 3而 xQeX f =1,/(x0)=xQe-3 0+2 1n x。一 /=1 一 3 0 且不 (0,1),%./($)-5 (利用均值不等式，但等号不成立，因为与无法取1),综上，得证：-2 e -1 /($)5 .11.已知曲线f(x)=(x-3)ex+a(2/i r-x)(其中e 为自然对数的底数)在x=l 处的切线方程为y =(1-e)x+.(1)求“，匕值；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点与,且-2 e-/(%)故/(x)=(x-3)e“+2/nr-x,f(1)=-2 e-l 故切线方程是：y =(l-e)x-e-2,故=-。-2：(2)证

45、明：/(x)=(x2)(e*3，(x 0),X令(%)=炉-上，显然在(0,+0。)递增，X而(g)0,故 我 e g )，使得%X0)=0,G P*=-!-,则/%)=-x0,故 X (0,%0)时,fx)0,/*(%)递增，xe(x0,2)时，/(x)v 0，递减，“(2,+OO)时，/x)0,/(x)递增，故/是 J。)唯的极大值点，且/(%)=(x0 y)ex+2/tr0 x0=1 -3x0 0,g(x)在(/,1)递增，故 g(x)g(i)=6.5 2e g,综上，f(x)存在唯一的极大值点小,且-2 6-/(/)-5.1 2.设函数/(1)=工 2 -24-alnx(a G R)(

46、1)当4=2 时，求函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程；(2)若函数/(%)存在两个极值点石，X2(Xy 3 加2 x2 2【解析】解:(1)当。=2 时,函数一2x+2 x(x 0),r(x)=2 A 2 +2 J(立一x+1),X X可 得/(1)=-i,/(I)=2在点(1,f (1)处的切线方程为:j-(-l)=2(x-l),即 2 x-y-3 =0.G，/、C o,a 2x2-2 x +a(2)/(x)=2 x-2 +=-,(x 0),X X二函数/(九)存在两个极值点X，工 2&0.*.*X 1+x2=1 0,0 a 0实数。的范围：(0,g).a=2 xlx2=2X2(

47、1-x2),1 -%)=x2,.3 =X；2%+Hg=x j +2(1-氏阳 I-%)1 =&+2(r,)/“(_x,)_ J_.(1X71)x,x2 x2 x2 2 令 h(t)=t+2(1 Z)/z?(l z),(f 1 ih(t)=-2/n(l-r)0,(Z)在(上,1)递增，V2)/z(，=-3 /2.:.且-M 2.2 2 x2 21 3.已知函数 f(x)=l n x +x2-ax(a e R).(1)当a=0 时，求函数y =/(l -2 x),X G0,g)的最大值；(2)求函数/(x)的单调区间；1 4(3)设函数/(x)存在两个极值点，%,x2,且不 工 2，若0 阳 ，求

48、证：/(%)-/(9).【解析】解：(1)。=0 时，/(x)=l n x +x2,y =/(I -2 x)=l n -2 x)+(1 -2 x)2.x e 0,；),贝 i y =-_ 4(l _ 2x)=_ 2(1-2X)2+1l-2x当x o,；)时，y 0 x x当4,0时，/V)0,则/(%)在(0,+o o)单调递增,当a 0 时,若。2-&,0,即 00,则/(x)在(0,+oo)上一单调递增，若 2-8 0,即。2 a 时，小 a cT _ 8 f a+J2-8,x G(0,-)和 x e(-,4-oo)时,/(x)0,4 4a-yla2-8 a+la2-8 叶x G(-,-)

49、时,fx)2&时，/（x）在（0,纥 地 三）和:+石三,+8）递增,4 4在(三，递减;4 4(3)由(2)得：x,+Xy x-x,=则 x,=,2 2 2x,/(*)一 /(x2)=lnx1+x,2 一吗 一lnx2-x；+ax2=方土+芭 +-2(%1+%2)(%j-%2)2 1/2+2/MX 1 -%H-2*，4%令 g(X)=/2+2/X -X2，4X/川”、2,1 (2x,2-l)2则 g )=2 v 宙=-r-ox,-g，a)g(g)，而 g(g)=(_/2,即 g(%)1 仇2,31 4.已知函数/(x)=x/m:-ga(x+l)2,aw R 恰好有两个极值点%，x2).(I)

50、求证：存在实数7e(g,l),使 O vav机；(I I)求证：-/(%,)0 结合题意，Zx4-l-(x+l)=0，即加x+l=a(%+l)存在2 个不同正根,先考虑y=a(x+1)与 y=或+1相切，记切点横坐标为x0，”=1/咻=1a(xQ+1)=lnxQ+1则 1 ,解得：a=/id g(x)=xlnx-,x 0,则 g(x)=l+/n x,令 g，(x)=O,解得：x=-,e故 y=g(x)在(0)递减，在(L +0递增，e e且 g(1)=-1 0,故存在唯一天(1,2),使得不)/)=1 成立,取 切=,(!，1),则0 加时，/(幻恰有2 个极值点，得证；/2(H)由(I)知：