高考数学一轮复习举一反三精讲精练-外接球.pdf

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1、7.5 外接球（精讲）（提升版）d前 提 卜 圆堆、顶点的投影为底面的外7（正棱推）外接球说 明：R为外接球率径，r为底面外接圆半径，h为体商片 面 盘;一 面裱相等的三棱锥I-1国麻花模型HM1-d前提 H 面面垂直的棱锥Y图示a、三是两个压面的外接圆华伦.1是的个平面的交线）外接球1H前提 H 两个全等等腰三角形痴成的棱锥怀表模型矩形模型R2*T:+（H-r）*tan:-（H为等腰三角形底边的高，a为两个三角形所形成的的二面角）麻花模型)-公 式 普通三棱锥）2m:+n:-2mncosa l:R 5 +7（tn.n,a、1分别是两个面外接回的圆心到交线的距离.二面角.其交线）说明：昉外接球

2、半径，r为底面外接图半径，h为体高考点呈板考点一汉堡模型【例 1】（2022.陕西）己知底面边长为1,侧棱长为正则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32 4A.7 i B.4%C.2万 D.7 13 3【一隅三反】1.（2022 全国高三专题练习）已知在三棱锥P ABC中，M=4,BC=2瓜，P B =P C =3,2 4,平面P 3 C,则三棱锥P-A B C 的外接球的表面积是（）A.434B.424C.48D.4642.（2022全国,高三专题练习）已知在三棱锥A-B C D 中，平面5CQ,AB=2 ,A C =A D =4,CD=2,则三棱锥4-BC 外接球的表面积

3、为（）40兀52兀A.一 B.1571 C.一 D.20兀3 33.（2023山西大同高三阶段练习）球内接直三棱柱A BC-A MG,48=AC=1,Z B A C=120,A/l,=2,则球表面积为.考点二墙角模型【例 2】（2022全国高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3,亚，1,其顶点都在球。的球面上，则球。的体积为（)A.4 5 方 兀B.12 无C.4 8 兀D.3 2 岛【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知四棱锥P-A 8 C C 中，P A _ L 平面488,底面A B C。是矩形，A D =3AB=3 P A,若四棱锥/MBS外接球的表面积为11万，则

4、四棱锥P-A B C。的体积为（）A.3 B.2 C.7 2 D.12.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知三棱锥P-B C 中，B C 1 C D,底面B C D,BC=,PB=C D =2,则该三棱锥的外接球的体积为（）口9B.7CA.，4C.22 7一718n 2 5D.九93.（2 0 2 2 海原县）已知三棱锥A-B C D的所有顶点都在球O的球面上，且 A f i _ L 平面B C D,AB=2 /3 .A C =A D =4,C D =20，则球。的表面积为.考点三斗笠模型【例 3】（2 0 2 3 全国高三专题练习）已知三棱锥S-A 8 C 的四个顶点都在球。的球面上&4

5、 =5 8 =1=痴/4 8（7 是边长为6 的正三角形，则球。的表面积等于（）【一隅三反】1 （2 0 2 2.全国高三专题练习）已知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为6 0。，且上、下底面的面积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为（）A.5 6 兀 B.10 0 7 t C.112 兀 D.12 8 7 r2.（2 0 2 2 湖北武汉高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为3 6 万，则 该 正 三 棱 锥 体 积 的 最 大 值 为.3.（2 0 2 2 江西）正三棱锥一一4 a 底面边长为2,为 4 7 的中点，且冏入闺 则三棱锥一一 力 6 c 外接球的

6、体积为（）32万B.6 兀8历兀3C.娓兀考点四麻花模型【例4】（2022 全国高三专题练习）如图，在三棱锥尸-ABC中，PA =BC=6，PB=A C =2,PC =A B=6 则三棱锥尸-ABC外接球的体积为（）A.6 兀 B.6兀 C.瓜兀 D.6 兀【一隅三反】I.（2022全国高三专题练习）在三棱锥P-A B C 中，幺=B C=4,PB=A C=5,PC=A8=i，则三棱锥P-/W C 的外接球的表面积为（）A.26兀 B.12兀 C.87r D.24九2.（2022全国高三专题练习）在三棱锥A-BC 中，A B=BC =C D =DA =不，BD=2百，二面角A-8D-C是钝角.

7、若三棱锥4 8 C O 的体积为2,则4B C D 的外接球的表面积是（）A.127r B.13 兀 C.n D.冗3 4考 点 五 L 模型【例5】（2022全国高三专题练习）在三棱锥P-A 3 C 中，平面月4 8,平面ABC,PA A.PB,A B=B C =AC 4,则该三棱锥外接球的表面积是（）C.16 兀D.1 2K2 5 6 7 r 6 4 nA.-B.-9 3【一隅三反】1 （2 0 2 2 江西高三）在三棱锥尸一ABC中，R 4 C 是等边三角形，平 面 尸 平 面A B C,A B =AC =2y i ,N C 4 B =6 0，则三棱锥尸一 ABC的外接球体积为（）A 4

8、 7 12 及 r 3 2 万 6 4立兀3 3 3 32.（2 0 2 2 四川雅安市）在四面体/以浦中，已 知 平 面 平 面 ABC,且4?=4）=）5 =AC=CB=4,其外接球表面积为（）4 0 8 0 ，,”A.K B.n C.16 乃 D.20%3 33.（2 0 2 3 重庆九龙坡区）在三棱锥P ABC中，平面平面A BC,P A =P B =A B =2瓜 N 3AC=9 0。，AC =4,则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）6 4 乃A.2 0 7 B.C.3 2 万 D.8 0%3考点六怀表模型7 T【例 6】（2 0 2 2 全国高三专题练习）在边长为6的菱形A 8

9、C。中，Z A =y,现将 A B D 沿8。折起到尸3。的位置，当三棱锥P-8 C。的体积最大时，三棱锥P-8 8 的外接球的表面 积 为（）A.6 0 兀B.4 5 兀C.3 0 兀D.2 0 7 1【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在三棱锥P-A 8 C 中，AA B C是边长为4 石的等边三角形,P A=P C=4,二面角尸-AC-B是 15 0。，则三棱锥P-A B C 外接球的表面积是（）A.16（ll-4 /3）7 r B,4（1 1-4AA）KC.4（11+4 兀 D.2 0 1+4 8）兀2.（2 0 2 2.全国高三专题练习）在三棱锥尸-ABC中，AA B

10、 C为等腰直角三角形，A B=A C =2,P A C 为正三角形，且二面角尸-A C-8的平面角为J，则三棱锥尸-MC的外接球表面积O为（）A 52 c 4 2 8 n 32A.7 i B.一4 C.D.7 19 9 3 9考点七矩形模型【例7】（2 0 2 2 湖北襄阳市）若矩形4 7 切的面积是4,沿对角线 将矩形 四折成一个大小是6 0 的二面角力/小，则四面体力腼的外接球的体积最小值为（）A R 8 及 仄 n 17 V 17A.67 T B.-J i C.7 6 兀 D.-兀3 6【一隅三反】1.（2 0 2 2.江西）在矩形ABCD中A 8 =2g，A D =2,沿对角线BO进行

11、翻折，则三棱锥C-ABO外接球的表面积为（）A.4 万 B.6兀 C.12 万 D.16 万2.（2 0 2 2 天津河）将长、宽分别为4和3的长方形ABCO沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD,则四面体A BCD的外接球的表面积为（）A.2 5 B.5 0%C.5 乃 D.10%3.（2 0 2 2 四川）中国古代数学家刘徽所注释的 九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖般”.如图所示的鳖腌A8CO中，面 B C D,CP_L5C,若 CD=1,A C =且顶点A 5,C,。均在球。上，则球。的表面积为_ _ _ _ _.考点八内切球【例8】（2022全国高三专题练习）如

12、图，在三棱锥丫-A B C 中，N 4 VB =N B V C=N S 4 =6 0。，V A=V B=V C,若三棱锥V-A B C的内切球。的表面积为6 万，则此三棱锥的体积为（）VA.6+B.18G C.6夜 D.18&【一隅三反】1.（2022江西高三阶段 练 习（理）在正三棱锥A-8 C。中，E,F分别是A。，8 的中点，且4 E尸=90。，E F =2,则正三棱锥A-B C D的内切球的表面 积 为（）A 8（2-扬 万 口 32%3 3C 32（2+6）乃 D 32（2-封 3 3-2.（2022 全国高三专题练习）在三棱锥S ABC中，SA，平面=90,且SA=3,A8=4,A

13、C=5,若球。在三棱锥S-ABC的内部且与四个面都相切（称球。为三棱锥S-A B C的内切球），则球。的表面积为（）3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥P-A B C。中，。是正方形A B 8的中心，PO_L底面A B C D,PA=5 A B =2,则四棱锥产一ABC。内切球的体积为（）P6兀 4 G乃 11G乃 12564A.可 B.3 C.27 D.547.5 外接球（精讲）（提升版）d前 提 卜 圆堆、顶点的投影为底面的外7（正棱推）外接球说 明：R为外接球率径，r为底面外接圆半径，h为体商片 面 盘;一 面裱相等的三棱锥I-1国麻花模型HM1-d前提 H 面面垂直的棱锥Y图示a、三是

14、两个压面的外接圆华伦.1是的个平面的交线）外接球1H前提 H 两个全等等腰三角形痴成的棱锥怀表模型矩形模型R2*T:+（H-r）*tan:-（H为等腰三角形底边的高，a为两个三角形所形成的的二面角）麻花模型)-公 式 普通三棱锥）2m:+n:-2mncosa l:R 5 +7（tn.n,a、1分别是两个面外接回的圆心到交线的距离.二面角.其交线）说明：昉外接球半径，r为底面外接图半径，h为体高考点呈板考点一汉堡模型【例1】（2022陕西）己知底面边长为1,侧棱长为正则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32 4A.n B.4万 C.2兀 D.-n3 3【答案】D【解析】由题可知

15、，正四棱柱的体对角线即为外接球的宜径，故2R=JF+12+（应）2 =2,4,4解得R=l,故球的体积为：=万2=：.故选：D.3 3【一隅三反】1.（2022全国高三专题练习）已知在三棱锥P-A 3C中，PA=4,BC=2娓，PB=PC=3,PAL平面P B C,则三棱锥P-A 5C的外接球的表面积是（）A.437r【答案】AB.42%C.48万D.46%A【解析】在 依。中,PR2 4-由余弦定理得：cos N B P C =-2PB-PC-18-3sin N B P C=71-cos2 Z B PC=,31 BC 1 2#3 百r x-x .-.1 BPC外接圆半径 2 sinZ B P

16、 C 2 2夜 2，又 PA L平面PBC,亍1三棱锥P-A B C的外接球半彳仝R=则三棱锥P-A B C的外接球的表面积S=4万店=43万.故选：A.2.（2022 全国高三专题练习）已知在三棱锥A-BC D 中，A 3,平面BCD,AB=2 ,A C =A D =4,CD=2,则三棱锥4-BCD外接球的表面积为（）A.竺 B.15兀 C.D.20兀3 3【答案】C【解析】因平面3 c。，8C,B D u平面BCD，则4 8 1.8 仁4 8,3。，而AB=2 百,A C=AO=4,则B C =B D =2=C D,三棱锥A B C D的外接球0截平面BCD所 得 小 圆 圆 心 是 正

17、BCD的中心，O、B=,6连。1，则00,L 平面B C D,取线段AB的中点E,则球。的球心。在过E 垂直于直线A B的垂面上，连 0 E,如图，则四边形B EO q是矩形，O O i=B E =g A B =6 因此，球。的半13径 B。有：B O2=B O;+O O ,所以三棱锥A-8C外接球的表面积5=4万 8。2=子.故选：CA3.（2023山西大同高三阶段练习）球内接直三棱柱A B C-B A B=4C=1.ZBAC=120,A4t=2,则球表面积为.【答案】8n【解析】设三角形ABC和三角形A 4 G 的外心分别为D,E.可知其外接球的球心O 是线段OE的中点，连结OC,C D,

18、设外接球的半径为R,三角形4 8 c 的外接圆的半径r,AB=AC=l,N8AC=120。,可得8 c =6，由正弦定理得，=2r r=1.sin 120而在三角形0 8 中,可 知|CO|2=|OD|2+|CD|2,即心=产+i=2,因此三棱柱外接球的表面积为S=4万代=8%.故答案为：87t考点二墙角模型【例 2】（2022全国高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3,五，1,其顶点都在球。的球面上，则球。的体 积 为（）A.4 6 兀 B.127t C.487c D.326兀【答案】A【解析】球 O 的半径为，津+（点）+:=后,体积y _ 4兀（_ 角.故选：卜【一隅三反】1.（202

19、2全国高三专题练习）己知四棱锥P-ABCO中，A4_L平面ABC,底面ABC。是矩形，A D =3 A B P A,若四棱锥7MBe。外接球的表面积为I b r,则四棱锥P-4BCD的体积为（）A.3 B.2 C.夜 D.1【答案】D【解析】设四棱锥P-A8CG外接球的半径为R,则4加?2=11万,即4R2=I I.由题意，易知尸（尸=4/?2,得PC=JTT，设 A3=x 得 Jx?+9x?+X2=11,解得 x=1,所以四棱锥RABC。的体积为:xlx3xl=l.故选：D2.（2022全国高三专题练习）已知三棱锥P-BC。中，B C L C D,底面BCD,BC=1,PB=C D =2,则

20、该三棱锥的外接球的体积为（）7,9-27 r 25A.-7 1 B.7 1 C.K D.7 142 8 9【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥P-8C。放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中，则三棱锥P-B C D的外接球即为该长方本的外接球,所以外接球的直径 PO=ylB+CEf+PB2=712+22+22=3 该球的体积为=2 .故选：B3 2）23.（2022 海原县）已知三棱锥A-B C D的所有顶点都在球O的球面上，且A3_L平面B C D,AB=2耳，AC=AO=4,C D =2后，则球。的表面积为.【答案】2（）/【解析】QABJ_平面BCD，A B L B D 又 AB=

21、2 超,AC=AD=4,.-.B C =B D =/16-12=2.B C2+B D2=C D2.B C L B D,则可将三棱锥A BCO放入如下图所示的长方体中,则长方体的外接球即为三棱锥A-B C D的外接球，二球 0 的半径 R=,yl B C2+B D2+A B2=-x J4+4+12=小，2 2球。的表面积S=4%2=20万.故答案为：20兀.考点三斗笠模型【例 3】（2023全国高三专题练习）已知三棱锥S-A 8 C 的四个顶点都在球。的球面上SA=S8=SC=M,AABC是边长为G的正三角形，则球。的表面积等于（）6 4 4A.-9r 1 00 万B.-9C.1 6%D.367

22、r【答案】B（解析已知三棱锥S-A B C的四个顶点都在球O的 球 面 匕SASB=SC=MQABC是边长为右的正三角形，如图所示:取 8c的中点力，点，为底面的中心，所以3 0=正,AO=3,A”=2AQ=I,2 2 3设外接球的半径为凡 所以SH=J（M）2_1=3,利用勾股定理可得，R 2=（3-R+i 2,解得R =g.则球。的表面积为s =4%R2=等故选：B.【一隅三反】c1 （2 0 2 2 全国高三专题练习）已知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为6 0。，且上、下底面的面积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为（)A.56 兀B.1 0 0 兀C.1 1 2 7 rD.1 2

23、8 7 r母线与轴的夹角为6 0。，可得圆台高为1,则=上；设圆台上、下底面半径为r,2,，因设圆台外接球的半径为A,球心到下底面的距离为x,易得圆台两底面在球心同侧，则汽2=/+仅 6，且R 2=（+X/+（q 2,解得x =4,R?=2 8,则该圆台外接球的表面积为4 兀/?2 =1 1 2K.故选：C.2.（2 0 2 2 湖北武汉高三开学考试）己知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为3 6 万，则该正三棱锥体积的最大值为【答案】8 百【解析】因为=4 万店=3 6 万，所以正三棱锥外接球半径R =3,正三棱锥如图所示，设外接球圆心为。，过尸。向底面作垂线垂足为。，O D =

24、a(0 a 3)因为P-A B C是正三棱锥，所以。是AABC的中心，所以 OP=OA=3，A D7OAJOD。=也-6 ,又因为 Z A)B=所以 A B=B C=A C =S A.6Kcr =2 x A B x A C x s i n 3 =4(、9 -a2)/,所以 VP-A BC=g x S,C X P O =曰 X(9 -4 2)x (3 +a)=手(-/-3/+9 +2 7)，令/(a)=-a3-3 a 2 +9 a +2 7 ,f a)=-3 a2-6 a +9 =-3(a +3)(a-1)=0 解得 a =-3 或所以互在 0,D递 增,在(1,3)递减，故当4 =1时，吃.A

25、BC取最大值，(匕 C)四=86.故答案为：8百.3.(2 0 2 2 江西)正 三棱锥?一/叱底面边长为2,M为 的 中 点，且现则三棱锥产4 6，外接球的体积为()C.a兀D 8&万3由图，设 B 4=P 3 =PC =x，则 PM7F-T，而 C M=G，因为PMP C,所以由勾股定理得PM?+尸。2=河。2即x2 _1+x2=3 解得=血，由对称性可知：三棱锥尸-4 8。外接球的球心在三棱锥P-AB C 加 上，假设为。点，则O P=OC=R,因为P）=噂=逅，所以。=如R,73 3 3又由于点是三角形胸的外心，且三角形49C为等边三角形，所以8=2 叵，3 3在 三 角 形 胸 中，

26、由勾股定理得。2+。2=0。2,即卫.+2R =%,解13 J 13）得/?=，2所以三棱锥尸一46。外接球的体积 为 心.故选：C考点四麻花模型【例 4】（2022 全国高三专题练习）如图，在三棱锥P-A8C中，PA =BC=6 PB=A C =2,PC=A B=5 则三棱锥P-A B C 外接球的体积为（）A.6 _ 兀 B.G 万 C.瓜兀 D.6 n【答案】C【解析】由题意，PA =BC=6 PB=A C =2,PC=A B=,将三棱锥P-A B C 放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为6,2,6，设长方体的长、宽、高分别为a，4 c,则 J/+炉=上，72+c2-22=75 解

27、得 a=l,b =&，c=y j i .所以三棱锥尸-ABC外接球的半径R=L j/+b 2+c 2=避.2 2 三棱锥P ABC外接球的体积丫 =4*=湿r-.故选：c【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国,高三专题练习）在三棱锥尸A B C 中，PA=B C=4,PB=A C=5,P C =AB=J T ，则三棱锥P-A B C 的外接球的表面积为（）A.2 6 兀 B.1 2 兀 C.8 7 r D.2 4 7 t【答案】A【解析】三棱锥尸A B C 中，PA=B C=4,PB=A C =5,PC=A3 =JH，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,而，则长方体的对角线长等于三棱锥

28、P-MC 外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为 x 1 y ,z ,则 f+y 2 =1 6 ,y2+z2=2 5,x?+z，=1 1 ,则*2 +y 2 +Z?=2 6,因此三棱锥P-A B C 外接球的直径 为 后，所以三棱锥P-A B C 外接球的表面积为故选：A2.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在三棱锥A-8 CD 中，A B=BC =C D =DA =币，8。=2 6,二面角A-B -C是钝角.若三棱锥A-8 C。的体积为2,则A-BCD 的外接球的表面积是（）A.1 2 兀 B.1 3 兀 C.冗 D.7 13 4【答案】B【解析】如 图 1,取 8。中点E，连接则AE

29、L 8 Z),C E A.B D,又A E1 CE=E,A E,CE u平面A E C,所以8。1平面A EC,匕BCO=AEC BD=S,AEC-2y/3=2,所以 AEC=A/3 ,又 AE =CE =小（份_（石）2 =2，S,Fr=A E-CEs i nZ.A EC=x 2 x 2 x s i nZ A EC=/3，s i nZ.A EC=，血 2 2 2又由AE _ L BE ,C E Y B D,知N A EC为二面角A-3 D C的平面角，此角为钝角，所以NAE C4,所以 A C =卜 +2?-2 x 2 x 2 x c os与=2 6=8。，因此四面体A BC。可以放置在个长

30、方体中，四面体A BC。的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2,此长方体的外接球就是四面体488的外接球，设长方体的棱长分别为a,c ,a2+b2-1 a =l6则 2+，=7 ,解得 6 =i ,c2+a-=2 c =V 6所以外接球的直径为2 R=J/+后+/=旧，尺=孚球表面积为S =4万六=1 3万.故 选:B.C考 点 五L模型【例5】（2 0 2 2全国高三专题练习）在三棱锥P-A B C中,A B=B C A C =4,则该三棱锥外接球的表面积是（2 5 6 7 t c 6 4 兀 八，/A.B.C.1 6KB平面 4 3 _ L平面A BC,PA 1,PB,)D.1 2 兀【答

31、案】B【解析】如图所示：其中。为A 8的中点,工。在C Q上，目.O O =C O =x j 4 2 _ 2 23 3。为AA B C外接圆的圆心，.A B=BC=A C=4,2 /3=-3OC=OA =OB=-C D =-.3 3.A B=HC=A C=4,。为 A 8 的中点，.-.CDA.A B,平面P A 8 _ L平面A B C,平面抬B e平面A BC =A 8,C D u平面A BC,C E)A平面以从 又D 4,DB,10 P u平面B4 B,：.CDL DA,CD V DB,CD A.DP.在P A 5中，P A L P B，。为4 8的中点，:.DA=DB=DP._ _ _

32、 _ _ _ _ _ 4 nOA =OB=OP=VAD2+OD2=.3.0即为三棱锥P-A B C外接球的球心，且外接球半径R 二 逑，3/r、2该三棱锥外接球的表面积S=4TIR2=4兀x =.故选：B【一隅三反】1 （2 0 2 2 江西高三）在三棱锥PAB C中，AP4c是等边三角形，平面B4 C _ L平面A BC,A B=&AC =2 0 N C 4 6 =6 0。，则三棱锥产一 AB C的外接球体积为（）.4%1 2岳 r 3 2万 6 4&万3 3 3 3【答案】C【解析】AA6c中，B C =y j A C2+A B2-2A C-A B c os Z C A B =7(2 7

33、3 )2+()2-2 x 2 7 3 x x c os 6 0 =3所以 4。2 =.2 +8。2,ZABC=90，设。是AC中点，则。是AABC1外心，又PAC是等边三角形，所以尸OJ_AC,而平面P4C_L平面ABC，平面Q4Cn平面45C=A C，P D u平面尸AC，所以PO1平面ABC，所以PAC的外心即中三棱锥P AB C外接球的球心，所以球半径R=X2/L =2,球体积为V=3%R3=%王.故 选：C.2 sin 600 3 32.（2 0 2 2 四川雅安市）在四面体4?缪 中，已知平面A3。J_平面A B C,且AB AD =D B =AC C B =4,其外接球表面积为（）

34、A.7 T B.-71 C.16万 D.20TT3 3【答案】B【解析】四 面 体 中，取4 6的 中 点 区连 CE,DE,如图：因 AB=Ar=D8=AC=CB=4,则 DE，A3,CE_LA3,有 平面切所以平面 物 平面平面a定_L平面45,令正力做中心为“，正 中心为a,在平面砒内分别过a,a作直线西 必的垂线，两线交于点o,则 有a。，平面平面aO_L平面A BD,由球的截面小圆性质知，四面体4腼外接球球心在直线。和直线ao上，即点。是球心,连0A,0 4 0A即为球。的半径，因平面 ABO，平面 ABC，则 NCE=90，而Q E=Q E =；CE=a A=gcE=，即有四边形。

35、a 6 a是正方形，则 OQ=QE=RtOO.A 中，/0 0片90,则 OA=0 0*0 =J（竿/+（竽 了 =亭，所求外接球的表面积s=4万 042=4万（3叵）2=.故选：B3 33.（2023 重庆九龙坡区）在 三 棱 锥ABC中，平面RW_L平面ABC,PA=PB=AB=2 ABAC=90,AC=4,则三棱锥尸一 ABC 的外接球的表面积为（）64乃A.20兀 B.C.32万 D.80%3【答案】C【解析】如图，取A 3中点E，BC中点。，连接P E，是等边三角形，则PE_LAB因为平 面 8,平面A 8 C,平面9 8 平面4 8。=4 8,P E u平面P 4 3,所以PE L

36、平面A B C,又E D u平面A B C,所以P E L E D，过。作OO_L平面A 8 C,则OD P E,因为NC48=90，所以三棱锥P ABC的外接球的球心在。0上，设球心为0,连接O B,O P,设外接球半径为R,r _ _由已知 PE=x 2 0=3，B C U +Q 6 Y =2 币,BD=W,0口=依-7，在直角梯形PDO中，D=；AC=2,/?2=22+（3-J/?2-7）2-R=26，所以球表面积为S=4万 店=4万、（2近）2=32万.故选：C.考点六怀表模型J T【例6】（2022全国高三专题练习）在边长为6的菱形ABC。中，ZA=y,现将A3。沿BO折起到P8O的

37、位置，当三棱锥P-BCD的体积最大时，三棱锥尸-BC。的外接球的表面 积 为（）A.60KB.45KC.30兀D.20K【答案】A【解析】当三棱锥尸-BCD的体积最大值时，平面尸班，平面B C D,如图,取 3 0 的中点为H，连接P ,C ,则 P”_L3Z).设O,Q 分别为4 P B D，ABCD外接圆的圆心，。为三.棱锥P-B C D 的外接球的球心，则。在 P”上，。2在CH上，且 尸&=2 0 =|尸”=2 6,且 02H B D Q 0、J 平面 PBD,0 02 1 平面 BCD.平面P8)J_平面5 0 平面尸 8 0 n 平面BCZ)=B。，P H u 平面 PBD,P H

38、 A.B DP”J 平面SCO,PH/O2O,同理C 4/。1 四边形。0。2”为平行四边形QPHJ_ 平面 BCZ),O?”u 平面 BC。：.PH O2H,即四边形0 0 0?”为矩形.:.OO2=OtH=y/3CO,=-x lx 6 =2/3-3 2外接球半径 R=J。；+CO；=J3+12=V15外接球的表面积为4冗叱=60几故选：A.【一隅三反】1.(2022 全国高三专题练习)在三棱锥P-A B C 中，M C 是边长为4 G 的等边三角形,P A=P C=4,二面角P-A C-8 是 150。，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（)A.16（11-4码兀 B.4（1 1-4A/3

39、）7 1C.4（11+4百）兀 D.201+4石卜【答案】A【解析】如图，作 PEJ_平面A 8 C,垂足为E,连接8 E,记 5 E c A C=O,连接尸D.由题意可得。为 4C 的中点.在APC中，PA=PC=4,C 为 AC 的中点，：.P D L A C因为AC=46，所以AD=2G，则P D =JPA?AD?=小不一（2石尸=2.因为:面角 P-A C-8 是 150。，所以 NPZ）E=30。，所以 PE=1,D E =B因为AA B C 是边长为4 6 的等边三角形，且力为4C 的中点，所以8D=6.设。1为A ABC外接圆的圆心，则 8=2Q。=4.设三棱锥P-ABC外接球的

40、球心为O,因为。尸=。1+/）后 2=（百+2+/=8+4 6 1 6,所以。在平面A8C下方，连接OOi，OB,O P,作 O_LP E,垂足为 H,则 O=q E =G +2,PH =PE+OO,.设三棱锥P-A B C外接球的半径为R,R2=O H2+P H2,=。0：+4，i 八 八，c n，即/3）7r.故选：A.2.（2022.全国高三专题练习）在三棱锥P-A B C 中，AA B C 为等腰直角三角形，AB=A C =2,PAC为正三角形，且二面角P-A C-B 的 平 面 角 为 则 三棱锥P-A B C 的外接球表面积O为（)【答案】C【解析】如图所示，AABC为直角一角形，

41、又AB=AC=2,所以BC=2应，因为P4C 为正三角形，所以抬=PC=AC=2,连接P Q D E,。为A C的中点，E 为 中 点，则PD AC,DE AC,所以Z P D E为二面角P A C-B 的平面角所以 NPE=30。.因为A45C为宜角三角形，E 为 8 c 中点，所以点E 为AABC的外接圆的圆心，设 G 为R4C的中心，则 G 为24C 的外接圆圆心.过E 作面4 8 c 的垂线，过 G 作面PAC的垂线，设两垂线交于0.则。即为三棱锥P-A 8 C 的外接球球心.设GO与 O E交于点H,G D =-P D =,DH=-=-x =-,所以 H E =D E-D H=L3

42、3 cos 30 3 5/3 3 3O=/E xtan6()=,3i 7 28R2=C O2=C E2+E O2=2+-.所以S=4TR2=，T,故选：C.3 3 3考点七矩形模型【例 7】（2022 湖北襄阳市）若矩形力以力的面积是4,沿对角线1 将矩形16或折成一个大小是6 0 的二面角於4小则四面体力质的外接球的体积最小值为（）.o 0 8 0 r/-n 17V17A.8兀 B.-7 i C.J 6 兀 D.-43 6【答案】B【解析】因为球心到四个顶点的距两相等，所以球心在对角线AC上，且半径为R=，AC,2设矩形的的长力x,宽为y则 到=4,所以R=YZ逵，=8乃/?3=3乃 3 3

43、x+yT又/0，由基本不等式知：f+为2 2人.巧=8,当且仅当 公=1 1,即 =2时,x2 V x2 x等号成立，三x85=还 万，故选：B6 3【一隅三反】1.（2022.江西）在矩形ABCO中AB=2 g，AD =2,沿对角线8。进行翻折，则三棱锥C-AB。外接球的表面积为（）A.4万 B.6兀 C.127r D.16万【答案】D71【解析】因为在翻折过程中，NA=NC=-始终不变,2所以BO的中点到A，B，C,。四点的距离始终相等，三棱锥C-AB。外接球的直径为8 0 =4，所以外接球的表面积为16不，故选：D2.（2022 天津河）将长、宽分别为4和3的长方形A8CD沿对角线4 c

44、折成直二面角，得到四面体A-3C）,则四面体A-BCD的外接球的表面积为（）A.25万 B.50乃 C.5万 D.10乃【答案】A【解析】取AC的中点，连接0 8、O D,如下图所示:由题意AC=后:不=5，因为 ZABC=ZADC=9 0，。为 AC 的中点，所以，。8=。=工 AC=OC=*,2 2所以，。为四面体ABCD的外接球的球心，且球。的半径为/?=*,2因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4万R2=25万.故选：A.3.（2022 四川）中国古代数学家刘徽所注释的 九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖腌”.如图所示的鳖腌ABC。中，45_1面8。，C D tB C，

45、若C=1,AC=E 且顶点A民。,。均在球。上，则球。的 表 面 积 为.【答案】6乃【解析】由题意可知：球0为瞥端ABCD的外接球，Q A 5 L面8 c 0，8。,8 4VB=ZBVC=ZCV4=6O,VA=VB=VC,三棱锥V ABC是正四面体，E是AABC的中心，.由，平面ABC,三棱锥V-ABC的内切球。的表面积为61，.4/=6兀，解得球0的半径r=OE=，2设=则 AEJA DJ,一 空=字,邛。,.A0=VO=-a-,3 2-.OE1AE,.施+0炉=心,；.（当 +（曰）2=（当”各，解得4=6,.“=争6=2后,此三棱锥的体积为丫=”作=男 6 6乂$吊60。、2=1 8&

46、.故选：D.【一隅三反】I.（2022江西高三阶段练习（理）在正三棱锥ABCD中，E,F分别是4）,C。的中点，且NBEF=90。，EF=2,则正三棱锥A-B C D的内切球的表面积为（）A 8(26)加Z 1,-3C 32(2+6)万 3-【答案】Dr 321B.3D 32(2-扬【解析】设点。是点A在底面8 c。上 的射影，则A O L平面BCD,3 O u平面8 8.所以8 O L A。，由三棱锥4-8 C。为正三棱锥可得，点。为底面BC的中心,所以3D_LCO,乂人。（1。=0，所以8。L平面ACO,AC u平面ACO,所以 AC_L5）,因为E,F分别是AO,C的中点，所以 尸 A

47、C,因为BE2.EF，所以B E _ L A C,又BEcBD=B,所以AC_L平面4 Q,又A 8，A D u平面4 2，所以AC_LA3,A C A D,又三棱锥A BCD是正三棱锥，所以三条侧棱两两互相垂直，因 为 防=2,所以 A5=AC=AD=4,所以 BC=B D =C D=4 6，所以该三棱锥的表面积S）.=3 x,x 4 x 4 +，x46x4忘 x=24+8 6，22 2设内切球的半彳仝为，乂该三棱锥的体积V=；x（；x4x4）x4=gx5表x r,所以=2（3-石）,3所以此内切球的表面积为4乃产=32（2 63故选：D.2.（2022 全国高三专题练习）在三棱锥S ABC

48、中，SA，平面4B C,/A 8C =90,且SA=3,AB=4,AC=5,若球。在三棱锥S-A B C 的内部且与四个面都相切（称球。为三棱锥 S-A B C 的内切球），则球。的表面积为（）【答案】A【解析】解：因为SAJ平面A8C,/ABC=90,A B I平面ABC,ACu平面ABC,B C u平面 ABC,所以%S A L A C,S A 1 B C,又 8C_L A8,SAnA8=A,所以BC_L平面&4 8,所以8C L S8,所以ASABQABCQSAC,4sBe均为直角三角形，设球。的半径为r,则_诙=g(+S&CA B+S A C+S 百BC).厂，而匕.A BC =g x

49、3x；x3x4=6,S.S A B=S/A B=SA AB=S.S A C=S S BC=x 3 x 5=y，所以g(6+6+畀野r=6,解得r=|,所以球。的表面积为S=4万 r=4万故选：A.s3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥P-ABC。中，。是正方形ABC。的中心，PO_L底面A B C D,P A =B A B =2,则四棱锥P-ABC。内切球的体积为（）L.-岳-D A辰,1 1岳 n 1 2 5岳D.-C.-D.-5 4 2 7 2 7 5 4【答案】B【解析】由题可知，该儿何体的底面是边长为2 的正方形，侧棱长都为 布，连接OA.PO_L 底面 ABCD，P O A.A O.

50、：.A O -XAB2+BC2=-XA/22+22=V 2 ,2 2 P O =yjAP2-A O2=（扃 （可=6，A BCD=2 x 2 =4,S&PA D=S 4PCD=S PBC=S&PA B=x 2 x 2 =2设四棱锥的内切球的半径为R，球心为。,由 P-ABCD=O-ABCD+O,-PAD+O,-PAB+O,-PBC+O-P C D，得3 S/AlOBCC iDz .PO=3 SABCD,Rt3 S rPVAitDz 3 S /1 ,7?H3 S PyBHCL ,RT 3 S PCD R，即4xV i=4/?+4x2R =12R，解得R=等，4 s 4（6丫 4 GV =7TR=