高考数学同构法初探.pdf

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1、高考数学同构法初探一、同构的前半生同构式源于指对跨阶的问题，如X 与x l n x属于跨阶函数，可通过指对跨阶函数进行同构,xex即/(x)=x +eex-x-1xnxn/(I m)=I n r +xx-l n x-1xex通常选取/(X)=x+e*这三个函数为母函数，进行同构式的构造.下面借助一道例ex-x-l题来阐释如何以上述母函数构造同构式：【例1】已知。l恒成立，求实数a的最小值.【解析】观察不等式x L e+h u后0可知，原不等式中有类似于此.与x l n x的形式，属于跨阶函数，xa+,ex+a l n x 0=xex 瓜 =I n =e I n ,x x x x 同构g(x)=

2、W,等价于g(x)wgn j|,g(x)=x e,在x l上单调递增，g(x)H n -|l n -=-anx a|1=-e,I X，X I X 7 max.*a e.【点评】该题原不等式中既含有指数又含有对数，属于指对数混合型不等式.一般解法是求导根据函数单凋性求范围，但本解法将不等式变形，将形如“x l n x”的对数函数转化为形如“旄”的指数函数，使得不等式两边都为旄、结构，构造新函数g(x)=x 再根据g(x)的单调性求参数范围.二、同构的概念通过前面两个例题的同构过程，可得同构过程，先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个

3、函数，将问题化繁为简.像这种找到函数模型的方法，我们就称为同构法.同构思路可表示为：若尸(x)N O能等价变形为然后判断了(x)的单调性，利用函数单调性去掉外函数f,转化为解不等式g(x)“9Mx).简单地说：同构的两个特征：一个是，一个式子中出现两个变量；另一个是，适当变形后，两边式子结构相同.【例 2】若2*-2,则()A.l n(-x+l)0 B.l n(y-x+l)0 D.l n|x-y|3 T -3-，等价变形为2 -3 T 2y-ry同 构 函 数=2、-3 T,可知/(x)在定义域上单调递增.2，-3-*2，3-，0/(耳 /(力x 0 =y-x+l l =l n(y-x+l)0

4、,故 A 正确，B 错误.【点评】该不等式两边都是含x y 的指数，且两边底数不相同.符合同构法的特征，将不等式变形，使得两边各含一个变量，变形后发现，不等式两边的结构相同且都为“2-3 7”的形式，因此找到这个函数的原型，同构函数 x)=2 -3 T,判断函数单调性，根据单调性判断出含x与 y的大小关系.专题强化训练1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.l ogk&NQO；(2)e”“-ln/x 0；/tm Y ln x-%z e *0;(4)4 卜+1)2卜+ji n x ；(5)ln(-l)4-2(x 1)o r+2ev；(6)x +a ln x +e 7 xf l(

5、x l)；(7)e x-2x-ln x =0;(8)x2er+ln%=0.2.完成下列各问(1)已知函数/3 =屁-。(工+1 环，若”x)20恒成立，则实数的取值范围是(2)已知函数 x)=x e -a(x+In x +l),若恒成立，则正数a的取值范围是(3)己知函数/(力=胆+6-4(+1!1+1),若f(x)N O 恒成立，则正数a的取值范围是:(4)已知不等式把,-a(x+l)21n x 对任意正数x 恒成立，则实数a的取值范围是(5)已知函数 x)=x%-a ln x-x-l(x l),其中 0,若 x)N 0恒成立,则实数a与 6 的 大 小 关 系 是；(6)己知函数 X)=e

6、 -la r-l，若 x 0 恒成立,则实数a的 取 值 范 围 是；(7)已知函数/(x)=a e -ln 2r -1,若/(x)“恒成立，则实数a 的 取 值 范 围 是；(8)已知不等式e*-12辰+ln x，对 V x 0，+8)恒成立，则”的 最 大 值 为；(9)若不等式a r+x e S-ln x-120对x 0 恒成立，则实数a的 取 值 范 围 是;3.已知函数f(x)=m ln(x+l)-3x-3,若不等式在x e(0,4 w)上恒成立，则实数沉的取值范围是.A.0/n 3 C.m 3 D.m x“对x e(l,+8)恒成立，则实数a的最小值为()A./c B.C.-e D

7、.2e5.已知不等式优 lo g.0,。工1),对V x 0,+8)恒成立，则。的 取 值 范 围 是.6.已知/是函数/(x)=x2ex2+In x-2 的零点，则 e2-Ak+lr u：0=.7.己知方程 n x =a ln a-a ln x 有 3 个实数根，则实数。的取值范围是：.8.已知实数a,b (0,2),且满足a?一/一 4 二一 2-4，则 a+b 的值为.9.已知实数玉，满足七。*=,%2(皿9 2)=*,则芭=.i o .如果co s 5e-s i n 5e 0.求证：(x)-2/(x)2(ln 6 f-ln 2).、力 x ln(x2+x)213.证明：-1-L-+10

8、-ev x+1 x+114 .设实数2 0,若对任意的x e(e 2,+8),关于x的不等式加几-i n x N O 恒成立，证明丸的最小值为二2.e 15.若。是方程2 +n x =0的根，证明：。也是方程x+ln x =0 的根.16.已知函数/(力二疣同，g(x)=kln x+M x+l),设1(x)=f (x)-g(x),其中4 0,若(x)2 0恒成立，求女的取值范围.参考答案：1.(l)(log2x)-2,OB2jrAx-2i v,f(x)=x-2x.2Axe2Zr (In x)eln x,g(x)=xex.m m(3)Inx+ln(lnx)一+ln ,h(x)=x+lnx.x x

9、(4)ax-ea+ax Inx2-e,n +lnx2 (x)=xe*+x.(5)a ln(x-1)+2(x-l)ln e+2ev,v(x)=anx+2x.(6)e-x-ln e-i x 0,则 log?x-h 2丘 2 0=x log2 xkx-2k xo (log2 x)210g：x kx-2kx,f(x)=x-2(2)显然x 0,则e24r-ln V 0 lnx 2/lxeWv 2 x ln x o 2AxeU x (Inx)e,n t,A 22g(x)=xe.(3)m m显然 x 0,则 xlnx-wie*0 xlnxe In x+ln(ln x)+In ,h(x)=x+nx.x x x

10、(4)显然x 0,则 a(e+1)2(x+)Inxo axe,K+ax 2x2 n x+2 n x-x2 Inx2+Inx2xax-ettV+6u：lnx2-e?+ln Y ,“(x)=xe*+x.(5)aln(x-l)+2(x-l)ar+2e aln(x-l)+2(x-l)a In er+2el,v(x)=anx+2x.(6)x ,x+a In x+e-2 x o x+e-*-In x o e-x-In e-v xf l-ln x,r(x)=x-In x.(7)eT 2xlnx=0 o e T x=x+ln x o e-*+lneT=x+ln x,e(x)=x+lnx.(8)x%*+Inx=

11、0 o x e*=-xex=In e lnev=In ,*r)=xlnx.x x x x x答案第5页，共12页2.0 a e；O t/1；0 e ；a l；a -；e ee-1;a0 x ev-In x)0ev+ln x t z(x+ln x)e/z(r =x+ln x),(Z 0):又 y a 0)，y=P,令 y o,得，0,得 r l,r所以y=?在(一 8，。)，(0,D递减，在(1,包)递增，所以，当/v O 时，ye“叶(f 0 0 ee U ea 0)it(2)/(x)0 x ev-t z(x+ln x+1)0 ex+nx 6t(x+ln r+l),当x+ln x+lKO 时，

12、原不等式恒成立；已 计 3 ev+，n x r+l n r+1当 x+l n x+l 0 时，a:-=1,x +l n x +1 x +l n x +1 x +l n x +1当且仅当x+l n x =0 等号成立，所以a W l.(3)/(x)0 x ev+e t 7(x 4-l n x+l)0 ev+l a v+e 7(x+l n x 4-l),当x+l n x+1 0 时，a l n x i 7-=1 ,所X +l X+X+l X+1以ex+b n x _ i(5)f(x)0 o xbex a l n x +x+1 =ex+hlnx-x-l anx o a 0 ,由 于 向+1 8 ex

13、 ex,两者都是当且仅当x=l 等号成e立，则处土=L，所以e ex e e(7)ae”ln2x-由于ln2r+142x,e2，e-2 x,两者都是当且仅当尤=；等号成立，则吗所以e 2ex e e(8)eJ-lfcv+ln x )t dx+lnx+l+a r Inx1 =0,当且仅当-奴+lnr=0,即a=则 时 等 号 成 立.由。=则 有 解，X Xy=,)；=上 及，易知y=g在(o,e)上递增，在(e,y)递减，y 4 y|口=x x x e所以a Je故答案为:0 4K e；0 a 4 l；0 aW e；a K l；a W b；aN-；。之一；e1 ；a e e e【点睛】考查不等

14、式恒成立问题的解法，运用导数求单调性以及最值，以及运用lnx+lex,e +l 这些常用不等式，适当放缩.考查运算能力和灵活构造处理函数以及不等式等做题能力.3.C【分析】将不等式变形后，构造函数g(x),结合选项对m 讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选项排除验证即可.【详解】原不等式转化为zln(x+l)-3%-3-g+3，0在xc(0,+oo)上恒成立，记 g(x)=71n(x+1)-3x-3-m r+3e*=mln(x+l)-x +3(e*-1),由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，y=x+l与 y=x-l分别为y=e与 y=Inx的切线，即e,Nx+l,(x=

15、0时等号成立)，ln x x-l(x=l时等号成立)，可得ln(x+l)m x(x=0时等号成立)，.m 0在工(0,+00)上恒成立，m 0时符合题意，排除A、B；当 m0时，验证C 选项是否符合，只需代入m=3,止 匕 时 g(x)=31n(x+l)-6x-3+3e”,a_Q R则 ()=m-6 +3屋=若+3(d-1),此时g(O)=O,h(x)=3 G-厂(x+1)令 g(x)=(H，)在工4 0,同 上 单 调 递 增，且h(0)=0,h(x)0在xO,+a)上恒成立，即g(x)在xe(O,+)上单调递增，而g(O)=O,.g(x)0在xe(0,+oo)上恒成立，；.g(x)在xw(

16、0,+co)上单调递增，又 g(O)=0,；.g(x)0在xe(0,+co)上恒成立，即 m=3符合题意，排除D,故选C.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想,注意小题小做的技巧，是一道综合题.4.C【分析】先利用同构变形得到十T n(卜 x“-ln x ,构造函数 x)=x Inx,x 0,结合其单调性和求解的是a 的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数。的最小值.【详解】因为x+alnx+4 x,e所以 x+=x Q In x=x In x,艮 咕(引)，-足仁构造函数/(x)=x-ln x,x0所 以 七)/(巧1 Y 1r(x)=U=，

17、X X令r a)o,解得：x ,令 r(x)o,解得：o x l时，0 !1 ,X与 1 的大小不定，但当实数。最小时，只需考虑其为负数的情况,e答案第8 页，共 12页此时0 x“1因为当0 x l 时，/(x)单调递减,故2,两边取对数得：-x l)令 g(x)=4,则 g (x)=?，7 I n x (I n x)令g x)0 得：1%e ,令g(x)e,所以g(x)在(1，e)单调递增，在(e,+8)单调递减，所以 g(x)&g(e)=-e故的最小值是-e.故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.5.ec,

18、+o o j【分析】由题意可得(x l n a)e n xl nx,a ,即 xl n +l n(xl na)l nx+l n(l nx),构造函In x.数 F(x)=x+l n x,由其在(0,+a)上为增函数，xnanx,则l n，再构造函数xIn xg(x)=(A-0),利用导数求出其最大值即可X【详解】因为优l og a M a 0,a w l),对V x 0，+8)恒成立，所以小-皿，a i,in a所以(xl na)e*n xl nx,所以(只代卢皿仁皿疣叫所以 xl na +l n(xl nQ)l nx+l n(l nx),令/(x)=x+l n x,则 f(xl na)/(l

19、 nx)因为f M在(0,+8)上为增函数,所以 xl n4l nx,所以l na 处,X答案第9页，共 12页令 g(x)=(x 0)，则=?*(x0),X r当O v x v e 时,gf(x)0,当x e 时,g (x)g,所以a ，/i 所以的取值范围是e%+oo /(L 故答案为：e:+oo/6.2、,p2 In【分析】根据零点定义可得X02e*+Inxo-2=O,整理可得与e&=In&,根据此时可得%=，/成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得ke V +I n%-2=0,x整理可得 与e 22=-2-In-X(2 2 i n Xoe=In =l n-.e 川%/x02可得当

20、天=出 巳，即/=e 2/成立，Xl nx0=2-x02e-2,代入可得e?+l n%=%+2-垢2 .=2.%故答案为：2.7.0 C l 0,a 0,因为5(司=%21 内一41114+4111苫有三个不同的零点，故S(x)有两个不同的零点，S x)=2xl nx+x+=x(21nx+l +2)，令7(x)=21nx+l +二，则r(x)=2-2=生*,x2 v 7 x x3 x3答案第10页，共 12页当0 x 6 时，T x）G 时，r（x）0；故T（x）在（0,6）上为减函数，在（6,+8）上为增函数，故T（x）,疝,=2 1 n&+l +l 0 即 0 g当0 aa 且 T（l）=

21、l+a 0,故T（x）在（右,+8）上有一个零点，而a V&且T（Q）=21nQ +l +：,0 。J ,而r g W=B m 2 1 n 4 +l +e2=e2-3 0,故7（x）在险,6）上有且只有一个零点吃,又x w（O,/）（大,+0,当x w（不，与）时，5,（x）0,故S（x）在（0,x（）,（X1,+oo）上为增函数，在（x,xj上为减函数，其中为&0,S（xJ 0,而S（e）=e2-a l na +a,因为0 a 0,而 e ,故s（x）在（与 心）上有且只有一个零点，而 S（）=a2 na-ana+ana=cnaQ,因为故S（x）在（0,x0）上有且只有一个零点，结合S（G）

22、=0 可得当0 5 时，S（x）有三个不同的零点，故答案为：0 。0,x2 e2 f l nx2-2=r 0,x2=e,+2,则 =/,f(x)=xex(x 0),f (x)=(x+1)6 V 0(x 0),所以/(x)在(0,+0O)单调递增，而 f (以=/(0=xt=r =In x2-2,xtx2-X2(In x2-2)=e5.故答案为:e5.【点睛】本题考查函数单调性应用，换元法是解题的关键，构造函数是难点，属于中档题.0%)哈 W【分析】将不等式化简，构造函数根据单调性求解【详解】C O S5 0 -s i n5 9 7 (c os3 0 -s i n3 0),即 c os5。一 7

23、 c os 3 6 s i n 6-7 s i r?6,令/(x)=2-7 丁,(一 1 K x W1),广(x)=5/-2 U2 0,J(x)在-1,1 上单调递减,则/(c o s )s i n 8,解得0,厚2 万)故答案为：i i.0,b 0),同时取自然对数即比较n a anb,等价于比 较 号，竽，构造函数/(耳=自 求解.答案第12 页，共 12 页【详解】解：令 x）=，则人力手，当x e 时，/）v o,所以 x）在（e,+8）上单调递减,所以八3）%），即 苧 业，3 71得万 ln3 31n/r,所以/v3.12.证明见解析【分析】构造函数g(x)=ev 21nxe 2,

24、换元后得到(/)=2hu 2,r 0,利用导函数求得单调性和极值，最值，证明出不等式.详解证明：2/()=6txev 4-2(111 x x+l)=oreA 21nx 2 x-2=are 21rl xe*2,x 0h(t)=at-2lnt-2,t 0,则(7)=q _ 2 =因为a 0,所以令(f)0 得：r 4,a,r0令 0 得：0 （2）=-21n-=2（lna-ln2）,故 g（x）-2/（x）N 2（lna 一 如 2）.13.证明见解析【分析】根据对数恒等式及不等式e，Nx+l（x=0 取等号）进行放缩即可证明.详解设/（x）=er-x-l,则 f（x）=ex-l.令/（x）=0,

25、即e*-l=0,解得x=0,当x 0 时，f x）0.当x 0 时，尸（幻 /(O)=e -0-1=0,即e，W x+l (当x =0 时取等号)，由土“+_2 +2 0,得 业 二),年+小 1 20,e,x+1 x+1 e由e、2 x+l (当x =0 时取等号)，得所 以 加 八 n m +,_ x +(当 出 任+,_ 1=0时取等号)所以一 n(x 2 +J)+J_=-l n(x2+x)+x-lN In (x +x +1 In (x +x)+x 1 0,即证 土 M)_ _ i _+i 0.ex x+1 x+l【点睛】解决此类问题的关键就是利用对数恒等式及不等式式/之无+1(x =0

26、 取等号)进行放缩即可.14.证明见解析【分析】根据对数恒等式及函数的单调性得/U N In r 在(e?,+8)上恒成立，利用分离参数法得2 2日 在(e)+8开亘成立，再利用导数法求函数的最值即可求解.【详解】AeAx-wc 0 .丸 e In x,AxeAx x n x AxeAx l o r -e,a v-/(x)=x ev./(A x)/(l n x),/(x)=A eA=(x+l)e.x 0,.-.x+1 0,e 0,.,./(x)=x e*=(x+l)e*0所以X)在(O，+8)上单调递增；Ax In x,B P 2 x令 g(x)=，x e(e2,+0 0),则 g，(x)j当

27、x e(e 2,+8)时，g,(x)=1-U 0,g(x)在x e(e 2,+8)上单调递减；当x =e?时，函数g(x)取的最大值为g(x)0,f 0,由 x)在(0,+8)上单调递增得a =/,所以一=e ,In =a,a a得4 +l n a =0,所以“也是方程x+l n x =0 的根.16 .(0,e【分析】分析可得工2 山口，其中x0,令/=肥，”，利用导数求得f 0,利用导数求k x ex+,出函数g(f)=?在(0,也)上的最大值，即可解得正实数k的取值范围.【详解】解：由 h(x)=xex+l-knx-kx+)=x ev+,-A:(i n x+In eA+,)=x ev+,

28、-A：In (x eA+,)0 ,.k 0,所以，其中x 0,k-x e t+l令/=疣Z，其中x0,贝 i =(x+l)e Z 0 对任意的犬 0 恒成立，所以，函数f =在(。,+8)上单调递增，则当x 0 时，=依 向 0,令*)=?,其中/0,“()=竺，令。=0 可得r =e,列表如下:t(0，e)e(e,+oo)+0增极大值减所以，函数以。在，=e 处取得极大值，亦即最大值，即勿2=*(e)=g,所以，7-,解得0 ZVe.k e【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行答案第1 5 页，共 1 2 页求解:(1)YxwD,A n/(x)w /(x)w /(x)；(3)玉e),infx)mf(x),rax；(4)B x e D,，壮/(Mo w N/a L.答案第1 6页，共1 2页