高考数学复习第16讲导数中的双变量与多变量问题（解析版）.pdf

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1、第16讲导数中的双变量与多变量问题【典型例题】例1.(2 0 2 2秋天心区校级期末)己知函数/(x)=x e T(x w R).(I )求函数/(x)的单调区间与极值；(II)若占w*2，且/(X|)=，证明：xt+x2 2.【解析】解：(I )由尸(x)=(l-x)e-3易得/0)的单调增区间为(-o o,l),单调减区间为(1,*，。)，函数f(x)在x =l处取得极大值f (1),且/(1)=,无极小值；e(II)证明：由/(%)=f(占)，石 工 工2，不妨设王 ，则必有0 芭1 0,e所以歹(x)在x (0,1 上单调递增，F(x)F(0)=0,也即/(1 +%)/(1-工)对工(

2、0,1 恒成立.由 0 X 1 /(X2),又因为2 -x2e(l,+o o),且/(%)在(l,o)上单调递减，所以2 X 1 v，即证玉+马 2 .例2.(2 0 2 2洛阳二 模)已知函数f(x)=/n x-o x(a R).(1)若曲线y=/(%)与直线x-y-l-/2 =0相切，求实数。的值；(2)若函数y=%)有两个零点$,x,证明一+2./叫 ln x2【解析】解：(1)由 f(x)=ln x-ax1 得 f x)=-a,x-a=l设切点横坐标为,依 题 意 得 “一 ,x0-1-ln 2=ln xQ-axQ解得(=5,即实数。的值 为i.a=1(2)不妨设0 x 1 ,则2/三

3、=12%，%X 七 力 f设 g）=t-21m，则 gQ）=-0 t r即函数g 在(1,物)上递减,所以g(r)g(1)=。，2-五-2心从 而 工-乜/三不即lnx2 lnx0,例 3.(2022秋宜春期末)已知函数/(x)=/n r-o r,。是常数且awR.(1)若曲线y=/(x)在 x=l 处的切线经过点(-1,0),求。的值；(2)若0 a2e.【解析】(1)解：切线的斜率=/(1)=l-a f(1)=一，=,*；=_ 1,即解得 =2；2(2)证明：由/(X)=6 1 =(,W X=x a当 0 x 0;当 时，,f(x)0,a a.,./)在了=工处取得最大值/(3 =-或-1

4、，/(1)=-a 0,a a0 a 0,f(x)在区间(1)有零点,e a a/(x)在区M(0)单调递增，.(x)在区间(0一)有唯一零点由黑函数与对数函数单调性比较及/(X)的单调性知，/(X)在区间d,+00)有唯一零点，从而函数/1)有两a个零占1 2 2不妨设。v v x,作函数 F(x)=f(x)-f(x),0 x ,a a a则 F(-)=0,F x)=r (x)+尸(2-x)=*一-)二.o.a a x(2-ax)：.F(xt)F(-)=0)即/(玉)一/(2 玉)a0 X j 一a-a乂。c e a%+2e 例 4.(2022盐城三 模)己知函数f(x)=/nx-ax,0 为

5、常数.(1)若函数/(x)在x=l 处的切线与x 轴平行，求 a 的值；(2)当。=1时，试比较/(与/(口 的 大小；m(3)若函数/(%)有两个零点X、x2,试证明王,【解析】(1)解：由 f(x)=ln x-ax,得：/r(x)=-a,x.函数/(x)在 X=1处的切线与X轴平行，(I)=1 a=0,即 a=l；(2)解：当 a=l 时，f(x)=ln x-x,/、1 1 1 xf(x)=-1 =-X X当O v x v l时，r(x)0,/(x)单调递增，当x l时，/(x)vO,/(x)单调递减.令 h(m)=f(/n)/()=In m -)=2ln m-？+，m m m mmi则.

6、h,rmz)、=一2 一 11 一一1 -=-n-r-+=2-m-1-=-(-A,0.i n m m m又 h(1)=0,当 时，h(m)0,BP /()；m当m=i时，(m)=(),即/(m)=/d)；t n当 m 时，(勿2)0 即 f(m)e2,即证/g+ln x2 2 ,lu x、+ln x2=a(x1+x2),2 即证。玉+Z原命题等价于证明叫 一%二 一，X -次2%+毛即证：勿五 2(%)(=/),x2 X +x2令%=/,则f l,g(t)=b u (r 1),x2t +l八 1 4 1)2g 丁 二二 0,.g(f)在(l,+o o)上单调递增,又，g(1)=0,.1 g(0

7、 g=0,In t -j,即 xtx2 e：例 5.(2 0 2 2浙江模拟)已知函数 f(x)=(x +l)e -o r 2(x 0).(I )若函数/(x)在(0,2)上单调递增，求实数。的取值范围;(H)若函数/(幻有两个不同的零点看,占，(i )求实数。的取值范围：(i i)求证：一 1.(其 中 为/(x)的极小值点)X,X/0+1%*O【解析】解：(I )由 f(x)=(x+)ex-ax2f 得 r(x)=x(-2 a),x设 g(x)=9.,(x 0)；则 g，(幻=+y _ 2./；X X由g，(x).O,解得工.6-1,所以g(x)在(0,石-1)上单调递减，在(6-1，+0

8、上单调递增，所以函数/(x)在(0,一)上单调递增，_f(x).0,所以 2q,g(0 1)=(2+百)；所以，实数。的取值范围是：(TO,(2+e 32(I I)因为函数/(x)有两个不同的零点，/(x)不单调，所以,(2+弓)第 因此/(力=0 有两个根,设为】，办,且0，/(0)=1 ,/(x)=(x+l)ex-ax2=aex-x2)+(x+1 -a)*ex,当 x 充 分 大 时,f(x)取值为正,因此要使得f(x)有两个不同的零点，则必须有/4)0,即4 +l)e。-a“：0；又因为因优)=&+2)a-2%=0；所以：4+2)a-?.&+2)a 友,所以a；g(夜)=与&.6血；因此

9、当函数f(x)有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是d 苧.e点，+00).(ii)先证明不等式，若演,%2 G(0,-l-O O),玉 工 工 2，则 JxR%0,即证 一历至 占 一，池+1%区百X%设f=三 1 .gt=l nt*h(t)=Int-王 业 t+只需证 g(t)0；因为g(f)=-0,2M /(/+1)所以g(f)在(1,4-00)上单调递减，/?在(1,+00)上单调递增，所以g(f)h(1)=0,从而不等式得证.再 证 原 命 题-1.山|/(为)=0 得 J(%+l)e*arj =0|/(x2)=0 J(x2+X)ex-ax=0所以 a+D =(%2+k，；,两边取

10、对数得：2(/%-/g)-山(+1)-ln +1)=%一看；x,x2即 2(1%/3)In 5+1)-In 5 4-1)_马一%(x2+1)(+1)因为2(/%-g)ln(x2+1)-/n g+1)2 2(马 +1)-(3 +1)(X +1)+(x2+1)所以1 +2 2 1 1-1.%,W +1只需证%,+赴 ；因为/(X)在&,+8)上单调递增，。%当，所以只需证/(%)/(2%-/)，只需证 即证 f 4+x)/(f o x)，其中 x w(T。，0)；1 S r(x)=f(t0+x)-f(Jn-x).-f0 x 0,只需证，(x)0；计算得/(x)=(x +%+2)e，o+t+(-x+

11、t0+2)e -*-4at0；尸(x)=e L(x +t0+3)e2 x+(x-t0-3).由旷=0 +()+3)/+0 4-3)在(-0，0)匕单调递增，得 y +3)e +(0-f 0-3)=0,所以尸(x)/(0)=2/&)=0；即 r(x)在(-,0)上单调递增，所以r(x)0)有 两 个 不 同 的 零 点 x2,且(I )求。的取值范围;(H)求证：气 三 0时，令/(%)=，-2。=0,解得x =所以当x v伤加 时，尸(幻0,当22a时，/r(x)0,所以函数/(x)在区间(-o o J/R)上单调递减，在区间(仇2a,”)上单调递减增,又当-8 时，/(X)4-00,当 X

12、f+8 时，/(X)+C O ,所 以 要 使 函 数 恰 有 两 个 不 同 的 零 点,x2,则于(x)疝n=f(ln2a)-a-2aln2a 0，解得近,2所以a的取值范围为(亚,位)：(I I)下面证明不等式e 2 i,其中,司一 占X f x-x2令，=土 也 d -e-对任意的/0恒成立，2构造函数g(/)=e -e-2r,其中/2,e -2=0对任意的r 0恒成立,故函数g(f)在(-00,0)上单调递增，当f 0时,g)g(O)=O,所以，当X/时，e 2 由己知可得e =2ax i +aeX2=2ax2+a两式作差可得靖一,=2”,X -x2贝 i j e 2 _ =2a,为

13、一即 土 也 /2 a,故原不等式得证.2例 7.(2022春工农区校级期中)已知函数/(x)=M +a五-2x(ae R).(I )当a=2 时，求函数/(x)的单调区间；(I I)若函数/(九)有两个不同零点X，X2(J /X-1)(/)I =-2 0 J,f(x)=-=-，2x x因为函数幻的定义域为(0,+00),由 r(x)0,得0 x,，()由 f(x)=0,得 In x+a4x-2x =0,函数/(X)有两个不同零点%,%2(5 “2)，等价于方程。=2&-3吧有两个不同的实根.,即方程介咛有两个不同的实根.设 g(，)=f-，g =1 一1-ln t _t2+In t-1再设

14、(，)=+In t -1 ,所以函数在(0,+o o)上单调递增,注意到(1)=0,所以当 O v/v l 时，0,当 Z 1 时，W(O 0.所以g)在(0,1)上单调递减，在(l,+oo)上单调递增.当 0时，g。)一”，当/f+00时，g(f)f+oo,当，=1 时，只需3 i,2即所求a2,即实数。的取值范围是(2,).2(ii)注意到 =4 ，弓=，要证X1%只需讯工%；.由 知，0乙1气，故有卷=”器，即，2啜下面证明：r,r2l.l n-设八&)=g(f2)-g()=2-j-=-)=2 -(2+)/%，*2 ，2 G _ G%2t2凄 J hr(t2)=1+7 (1 y)/n/2

15、 (t2 4 )(1 5)加 G V 0，2 t?*2 *2 G所以函数 2 )在(1,+8)上单调递减，所以人优)力(1)=0,所以 g G A g g”。，故有 g(；)g(，2)=g(G 又0，1,0 r,1,且 g 在(0,1)上单调递减，所以，小 即得4 4 1.，22因此强 微，结论得证.一 Qyp例 8.(2022台州一 模)已知函数x)=.1 +x(1)若4=0,讨论/(X)的单调性.(2)若幻有三个极值点X，x2,x3.求。的取值范围；求证：%+%2+七一2【解析】解：(1)当。=0 时，/(x)=一，工 工 一 1,1 +Xxe/(X)=-7-(1 +x)2当广。)0时，X

16、在(0,+o o)上，f(x)单调递增,(2)/(x)=e (L X,1 +x尸(幻=一 幺 2)(1 +4首 先:(0)=0,令g(x)=，-a(x +2),则g(x)=0应有两个既不等于0也不等于-1的根,求导可得，g，(x)=e*-a,此时，gf(x)=ex-a=0有唯一的根x(=In a,并且x0是g(x)的极小值点，要使g(x)=0有两根，只要g(x 0)-KO)由 g。)=eln a-a(ln a+2)=-a(ln a+1),，又由g(0)=0,得。工；，反过来，若且。工1时，则g(-1)=!一a 0 ,g(x)=0的两根中，一 个大于一1,另 个小于一1,e 2 e于是作定义域中

17、，连同x=0,r(x)=0共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，尸(X)的正负变号，它们就是/(X)的三个极值点，综上，4的取值范围是(-心；*)；证明由可知/(X)有三个极值点石，2，”3中，两个是g(X)=0的两根(不妨设为石，X2，其中Xj -1 2 .只要证：%+%2 2 ,即只要证明%因为g(X)在(-0 0,痴)上单调递减,其中3 -1,故只要证g(%)v g(-2-毛),其中 g(F)=g(w)=。，只要证 g(W)v g(-2-/)，而 泊 +2)+2 只要证*-e-2-X2-2a(x2+1)0 ,由g(X2)=e-a(x,+2)=0,得。=-,由此代入上述不等式，只要证明产

18、 立-主-区+1)0,令/i(x)=x e*+(x +2)eT Y,当 x l 时，(x)=(x+l)e(x+l)e-T=(x +l)(/-ed2)o,a(x)单调递增，而 7?(-1)=0,所以当x -l时，(x)0,于是证+(+2)e*2 o,即：X+x?+X?2 例9.(2 0 2 2秋赤峰期 末)已知函数/(x)=ax+aln(x-1),。为常数，当x e(l,3)时，f(x)有三个极x-1值点X,x2,x3(其中不 马 巧).(1)求实数。的取值范围；(2)求证：%A3 V x +玉【解析】解：(1)函数析X)函数的定义域为(1,+0 0),由 /(X)=一 o r +aln(x-1

19、),得/(%)=-:+产2)，x-1 (x-1)令r(x)=0,得x =2是一个根，要使/(x)在(1,3)上有三个极值点“，x2,匕，则r(x)=0有三个解，所以-2 一奴+4 =0在(1,3)必有2个解石 ,x3.ex2a=-,x-1令 g(x)=，则 g，(x)=e；(x：2),x-1 (x-1)rl J g O O _I lK ，得 2V xe 3 ,1 x 3由 g (x)-K O,g(3)=/，为了满足题意，必有l a W,2./的取值范围为l a J2另解注：.ig(x)在(1,2)上单调递减，(2,3)上单调递增，。2 和 2/e eg=1，双3)=彳，(l+-)=-=-e-2

20、e-22当l v a 时,y=a与g(x)=C：在(1,2)和(2,3)上各有一个公共点，即两个公共点;2 x-1当。=1时，只有一个公共点；当a v l时，无公共点；当时，只在(1,2)上有一个公共点，2综上，a的取值范围为1&马.2(2)解：由(1)知 1%2=&v七 尸J 是 g(x)=/t(w)=,u由(1)知 双)在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，0 v%v lv3 1 ,g(一)-g(%)=-j-,M j%4%U令尸(%)=%/-空，则/%)=(UA W j-1 1“I-,W j-1/.uxeu 1 ,又 0%v 1 ,-I 0,Fr(u)F(1)=0,%1-Uy，%w,

21、w3 1 ,(X 1)(X3 1)1,即 xixi v 玉 +&.【同步练习】一.选择题1.(2 0 2 2 春沙坪坝区校级期中)已知函数/(=袱-亦有两个零点看,X2U,X2),则下列说法错误的是()A.0a B.x+x22%)D.xx2 e2【解析】解：由/(x)-Iwc-axy可得 了(%)=,-0),X当,0 时，/z(x)0,.,(X)在X(0,+o o)上单调递增，与题意不符；当a 0 时，可得当/(x)=4=0,解得：x=-,x a可得当x e(0 2)时，尸(幻0，/(x)单调递增，a当 X (L x o)时，f x)0 ,/(X)单调递减，a可得当x =!时，/(X)取得极大

22、值点，又因为由函数/(x)=/a r-o r 有两个零点石,w(石 x2),可得=可得 La a e综合可得：0 。,，故A正确；e由上可得/(x)的极大值为/(),设0 cxic,v x,a a设 g(x)=/(2-x)-/(x)，其中不(0)，可得g()=。，a a a2 2 1可得g(x)=ln(x)-a(x)-In x+o x,x e(0,)，a a a可得 gr(x)=-x (-1)-+2a=-+2a=-3-2 a,x (0,),2-ax x ax-2 x ax2-2x a易得当x =4 时，g g()=0，a a2故/(x)_/a)o,aa由 X G (0,一),易得%一,目.0

23、V 4 一 ,a a a a且工(,+0 0)时，/r(x)/(%)=/(%)，a a7?1 7可得 工|工 2，即一 2/=,a a a a故C正确，3 不正确：由函数/(工)=。四一必有两个零点内，x2(x1 2XQ=,可得 e a=e2 f 故。正确.a故选：B.法二：由A可得0av,，极大值点七)=,，0 A;2 x=2 x 0 ,Xj+x2 2 x 2 e i故 B错误，。正确a a所以4(玉+%2)2，即/%+/小 2,/(X%2)2,所以故。正确.故选：B.二.多选题2.(2 0 2 2 春石首市期中)已知函数f(x)=/n x +l-奴有两个零点芯，马)，则()A.。的取值范围

24、为(-0 0,1)B.Xy+X2-xix2 1C.f +w 2 D.i-2%x2【解析】解：函数/(犬)=袱+1-o r 有两个零点玉，x2(Xj x2),即方程。=史 上 1有两个不同的根%，X2(0),则 g(x)=(x 0),令 g(x)=0,解得 x =l,X X当0 x 0,则g(x)单调递增，当x l 时，g(x)0 时，g(x)-o o,当 x-+8 时，g(x)r O,若函数y=a与 y=g(x)的图象有两个不同的交点，则。的取值范围为(0,1),故选项A错误；因为0 cx ic 1 /，故 x2-(X,+x2)+l =(%-1)(*2 -1)1.故选项5 正确；令 G(x)=

25、g(x)-g(2-x)，则当0 x 0,x (2-A：)?x2(2-x)2 x 2-x)2所以G(x)在(0,1)上单调递增，故 G(%)v G (1)=0,即 g(%2)=g a)2-石，即x+W 2,故选项C正确；由题意可知，,-!-()时函数(x)=g d)-。=x(l-如的两个零点，为 x2%!x2 x则 (%)=lu x,当0 c x v 1 时，h x)0 ,则(x)单调递增，当时,(x)0 时，(X)f O,当X f+8 时，/7(X)f-0 0,令 H(x)=h(x)-h(2-x)f则当 0 v x v 时，H(x)=(x)+hr(2-x)=-In x-ln(2-x).-(x

26、-1)-L(2 -x)-1 J =0 ,所以“(%)在(0,1)上单调递增，则(1)=0,即(-1)=(-1)2-,Xy Xj X 玉 X2所以 _ l+J_ 2.X x2故选项。正确.故选：B C D.三.解答题3.(2 0 2 2 石家庄模拟)已知a 为实常数，函数/(x)=/n x-a x +l .(I )讨论函数/(x)的单调性；(I I )若函数/(X)有两个不同的零点X1 ,%2(%,2.(注:e为自然对数的底数)e【解析】解：(1 )f(x)的定义域为(0,)，其导数/(x)=a.X当0时，f x)0 ,函数在(0,+00)上是增函数；当。0 时，在区间(0)上，在区间d，+8)

27、上，f M 0 时，f(x)在(0,2)上是增函数，在(,，田)上是减函数，此时/d)为函数f(x)的最大值,a a a当了(3,0 时，/(x)最 多 有 个 零 点，=解得0 4 1，a a a此时，且/(3=1 旦+1=0，e a a e e e2 2 2/d)=2-2ln a-+1 =3-2ln a-(0 6 f 0,;.F(a)在(0,1)上单调递增，a a(T a2:.F(a)F(1)=3-e2 0,即 f(二)0,a，4 的取值范围是(0,1).()由(1 1)可知函数/(X)在(0,3是增函数，在(L +8)是减函数.f(x)=ln x-ax+l ,c i a/(1)=_ 1

28、_ +1 =_ 0.故!1；e e e ei 0 i 7第二部分：分析：0 x 0 就可以得出结论.a a a a八 2 2 2 1卜面给出证明：构造函数：g(x)=f(x)-/(x)=ln(x)-a(x)-(In x-o r)(0 A;,),a a a aI i 2a(x-)2贝 i g(%)=y+2a=-0，X-2 x x(x-2)a a函数g(x)在区间(0,L 上为减函数.0 为 g(3=0,又/(3)=0，a a a于是/(2 _ X1)=/(2 _ X|)_ a(2 _ X1)+l_/(x J=g(X1)0.又/()=0 ,a a a2?由(1)可 知;Xf,即 玉+马 一 2.a

29、 a4.(2 0 2 2 春越秀区校级期中)已知函数/。)=/心-如2+(2 _ 4.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数y=/(x)的图像与x 轴交于A,B两点，线 段 中 点 的横坐标为乙,证明：【解析】解：(1)/(x)的定义域为(0,内)，、1 -、(2 x+l)(ax-l)/(x)=lax+(2 -a)=-,X X若q,0 ,则/(X)0 ,所以/(x)在(0,内)单调递增.若a 0,则由r(x)=0得x =L ,且当 x w(0,3 时，/(x)0，当 时，f(x)。当a 0 时，f(x)在(0-)单调递增，在(L+o o)单调递减，a a不妨设 A(M，0),B(X2,0),

30、0 x,)+(4 2)=,司一%又 r*0)=:入2)=-a(x+西)一 (。一 2)2 x+x2/，卢J=-=2-/n J =(2-/五)，%+马 xx-X2 X 1 -X2 X +x2 x2 X-X2 2 +X2X24-r=A(o r i),g(r)=2-/,x2 1+1则g(t)=一幺二14 g(1)=。，从而(22-/n)0 又入一工2 。，所以/(%)0 当 x l 时,gf(x)0 时，g(x)0,结合g(x)的图象知，O v fv l,的取值范围为：(0,1);()证明：内。工2，不妨设工2，由 知：O XV1V九2,要证：2 3工2石+工2成立，只需证：X 1 1 2电-1，g

31、(X)在(1,-KX)上单调递减，故只需证：g(X)=g(玉)0 .令=2-1 1，只需证：0(1),即证：/-(/7-)I),2 令夕()=/-1(/一，),2 M则 d()=W=。，2 4 2/.(p(jLl)0),h(1)=0,且需/i(x).O在区间(0,+o o)内恒成立，h(1)=0,可得 a=L2事实上，当 =一，时，h(x)=-b vc+x2-,2 -2 2下证：h(x)=-In x+X2-.0 /2 2证明：/1r(x)=-(-(x +l),x ex令 F(x)=ex-e x,则 F x)=ex-e ,.尸(x)在(0,1)上单调递减,在。,y)上单调递增,Z7VF(x).g

32、(1)=0,H P ex.e x,1 0),ex (劝 在(0,1)上单调递减,在(l,-+o o)上单调递增，：人。)而“=h(1)=0，.,/(尤).0在区间(0,+o o)内恒成立,证毕,.,当时，f(x,g(x)在区间(0,+o o)内恒成立，且关于X的方程/(%)=g(x)在(0,4-0 0)内有唯一解x =1.6.(2 0 2 2秋辽宁期 中)已 知 函 数=/加x-g a r 3-|f.(1)若函数y =/(x)在定义域上单调递减，求实数。的取值范围;(2)设函数/(幻有两个极值点 ,x2,求证：ln(xix2)4.【解析】解：(1)由题意得r(x),0在(0,+o o)上恒成立

33、，/(无)=2xln x+x-c u e -3x=x(2b vc-ax-2),:.2b vc -2 映,0 在(0,)o)恒成立，即a.2 l n X2在(0,+o o)上恒成立，X令人 g(/x、)-2-1-n-x-2-贝！I mgi,(x，)/=、2(2 -In x-)，X X.当“(0,/)时,g x)0 ,此时函数g(x)递增，当+0 0)时,gr(x)x,=/则 In t+2 y令=巴 布+2,(r l),要证g)4在(1,+o o)上恒成立,即证(t +V)ln t 2 +2 0 ,令尸(f)=Q +l)/川一2 r +2,W O F t)=ln t +-,1 1 t 贝|/)=7

34、 _产=-0,故9(。在(1,80)递增，F(r)F (1)=0，F 在(1,+0 0)递增,从而 F(t)F(1)=0,即原不等式成立.7.已知函数/(x)=(x +a)(/n r +%),其中 a,beR .(I )a =,b=3,证明：当 0 1KX+-,2 2 2要证/(x)+个2 +”，,0 ,即证(。0一3)(f+4X+1)+1 2(X+),0 ,x +4 x +l 2令 g。)=(ln x-3)(x2+4 x 4-l)+1 2(x +-)，则=4 +2xln x-5 x +4ln x+，2x4 i 2 4 2 2 1所以(x)=g(x)=2阮t-3+-贝!|(x)=-+=-(-1

35、)2.O ,X X X X X X X所以g(x)在(0,1 上 递 增,故g(x),g =0,所以g(x)在(0,1 上递减，故3-2相)+(+a)(b -In x)，X X而 z ，/、1、,z，1 W 1 1、(x2+W2(f e+l)(x2-l)n所以 g(x)=(1 +)b vc+(Z +1)(1 -y)=+-=0，X X Xt X X在(0,+00)上有三个不同的实数根不，x2,X3(Xj x2 0,则 空 幽+如吐1 2=0,即 人+2S+D1)=O2t t t +若 力=In t +2 S +DQ T)在(0,+oo)上有三个不同的零点，r +1所以h t）=-+幽 土?=入（

36、46+1在 收）上有两个不同的零点,t（f +l）2 r（r +l）-即y =t2+（4 6 +6）f +l在（0,+oo）上有两个不同的零点,A=(4 a +6 -4 =1 6 s +1)(/2 +2)0所以4人+6 0 ,可得-4 b -4当(r)=0，则存在0/MV 1 0,在(町)上(f)0,所以A(r)在(0,m)、上递增，在(m,n)上递减，又 h(1)=0 BP h(m)0 h(n),因为|2 S +D(_ D|2 g+|6,故/?(0巧 6-6 =0,Z +l所以九三个零点乙，q,其中2=考=1,则0 4=*1 4=考,由（I ）,知0 x l时，有 一 羊 一二1,同 理 可

37、 证 时，有匚X+4 x 4-1 X+4 x 4-1所以加X；=23+g；7 ,3X|+1 X：+4玉 +1 X)+1 片+4%+1可得(/?+4)x；+4(/?+1)玉 +b +4 -3-，即 一-Xj +1 毛 +4七 +1 工3 +1 毛 +4/+1可得(/7 +4)x；+4(人 +1)犬3+人+4 0,综上，X ,七是3+4）4 2+4（。+1）X+。+4 0,所以|刍-X 1 J1 6 3 +1)2-4(0+4了 2拒 7bz-4b+4 b+4要使|七 不|避 ,只需2 炉7”生,2 6 +8 2即匕4一1 6匕2+6 4 =（从-8）2.0,而Y _2,显然成立.所以皿-玉|0.6

38、 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6【解析】解：(1)当。=一1 时，/(x)=-x2-x+(x2+3x+3)e-x,则/(0)=3,fx)=-x-l+(2x+3)ex-(x2+3x+3)ex=-(x+1)-ex(x2+3x+3-2x-3)=-(x+1)(x+1)=一 (x+1)，则(0)=7,所以曲线在(0,/(0)处的切线方程为：y-3 =-x,即 x+y-3 =0；(2)由 f(x)=a d x 2+x)+(x 2+3 x +3)er,定义域为 R,则 f (x)=-a(x+1)-x(x +V)e x=(x +1)(。-xe x)由题意知i,f (x)=O 有 3个根,则

39、七=-l,方程a-*=0 有2个根X1 ,x,即。=W一 有两个交点，令 g(x)=xe x,则 g(x)=e x-xe x=(1 -x)e x,当x e(0,1)时，g(x)0恒成立，所以g(x)单调递增，当X(1,+C O)时，g(X)0恒成立，所以g(X)单调递减,作出y =a,&。)=如 图所示的图像由图可知，当0 a 0,即证-L+-L 2,即证为+w 2x向，X x2 玉 x2因 为 五=q,二=a,可 得 工=2=，可得/%丹=/双一，e e”户 ex2即=1,由对数平均表达式可得 斥 I 土 也，lnx-lnx2 lnx-lnx2 2即为 2X,X2,所以可证得!+-!+2 9

40、 o.9.（2022秋永州月考）已知函数f（x）=（阮r）2+a（x+J_）.X（1）当4=1时，求/（X）的单调区间；（2）若 f（x）有三个极值点 ,x2,XjCx,x2 0 在(0,+oo)上恒成立,X X x.(x)在(0,)上单调递增，且 g(1)=0,.当0 x l时，(x)0,即.(x)l时,/?（x）0,即尸（彳）0,f（x）单调递增,./（尤）的单调递减区间为（0,1）,单调递增区间为（1,位）；.2lnx+a(x)(2)(/)/(%)的定义域为(0,”o),且/(x)=4丝 +。(1 -口)=-：X X X由于f(x)有三个极值点，则函数y=2/nr+a(x-L)在(0,*

41、o)上有三个变号零点，X令 g(x)=2ln x+a(x-),则 g(x)=工 +(1 +)=6 a+,x x xr x当a=0 时,g(x)=2 l nx(0,+o o)上单调递增，只有一个零点x =l,不合题意；当Q 0 时，方 程/+2 1+。=0的判别式为=4/,下面进行分类讨论：当4 一 4/”0,即a.时，依2+2 1+4.0 恒成立，即g 0,即 O v a v l 时，方程公 2+2 x +o =0 有两解，设 为 机 ,n =a a2 .t n +n =0,m n=1,则/?0 ,故 g(x)在(0,y)二单调递增，只有个零点工=1,不合题意；当a v O 时，方程以2+2

42、x +=0的判别式为=4 一 4/,下面进行分类讨论：当4 一 4 七 0,即“，一1 时，遍+2 x +4,0 恒 成 立,即 g0,即一 I v a v O 时，方程 d x?+2 x +a =0 有两解，设为机=,n =-a a且 加+几=1 m n=1 ,则0 v桃v 1 v ，a.0 v x v nt 或时，g(x)0,g(x)在(0,加)，(,+o o)上单调递减，当相/0,g(x)在。几)上单调递增，又,g(1)=0，当2 VX V1 时，g(x)0 ,4 丁 4 4 4,0、2Lil e -()=n =a a 2 a1 -7 1 -a24 _q 4 _ 4 _ i 4 ，4 -

43、4-4 -则 g(-7 e 2)=2/n(2)+a(e 2-)2ln(-re 2)+a(e 2-l)=2ln(e 2)+-e 2+/“a a a 4 ar a a a-e 2a4 4 ，4 4 _=2ln(e-a)+-e 2 e 2+e 2=0 ,a a a a4故 g(x)在2)存在唯一零点七，ar4-凹 1又 r e 2 =1,则-0.4 -4 -4 f C l C l e 2 e 2 e 2c r a a故 8“)在(一?，上存在唯一零点七,又g(1)=o,则9句，4/综上，若八处有三个极值点，则实数。的取值范围为(-1,0)；()证明：由(，)知，0 x,m l =x2 n x3f 故

44、0 ，:=？，W ng(-)=21 n +a(-X 3)=-2ln x3+a(-)=0，又 g(x)在(0,m)上单调递减，在(0,7)上有唯一的零点%,/.=Xf 故%/曰=1.工 31 0.(2 0 2 2 中卫模拟)已知函数/(幻=屁1 一 天.(1)讨论了。)的单调性；(2)若函数g(x)=/nx-九+有三个极值点玉,x2，x3(X j x2 x3),求 g O Q +g O J +gC)的取值范围.X【解析】解：(1)f,(x)=kex-i-l9当 晨 0 时，尸(幻 0 时，令/(%)=0,得 x =l-/成，当 X (-CO,1 /成)时，f x)时，f x)0 .故,“X)在(

45、-0 0,1-秘)上单调递减，在(1-加1,内)上单调递增.(2)g(x)=In x-x 4-=In x-x+-1,XXg,(x)=任 二 华;二。，因为g(x)有三个极值点N,X,相，J T所以g，(x)=0 有三个根占，x2,与，假设占=1,x2,七是加、T-x =0的两个根，结 合(1)可知，当Z 0 时，满足条件,贝欣)=履-.一1 +济左=仇&0,解得01,所以/（1）=左lvO,所以方程船i-x=O的两个根中有一个小于1,一个大于1,又X X?0 ,所以h k在（0,1）上单调递增，k后 一 0时,h（k）-o o,h（1）=一3,所以（Q v 3,所以g（X 1）+g 2）+g（

46、X 3）的取值范围是（,一3）.1 1.（2 0 2 2浙江开学）已知a e R,/（工）=尤 6（其中e为自然对数的底数）.（I）求函数y=/（x）的单调区间；（I I）若。0,函数y=/（x）-。有两个零点x,x2,求证：x；+2 e.【解析】解:(/)ff(x)=e-ax-o x-e-M=e-M(l-ax),a e R,.a 0 =x /,(x)=a v(l-o r)x 0.,.a =0时，增区间为：（7 0,田）；0时，f x)=e-ax(-ax)O=x,a.,.a 0时，增区间为：（-004，减区间为：（工,”）；a a综上：40时，增区间为：/,+0时，增区间为：（-0，减区间为：

47、（L+o o）；a a（I I）证法一：由（1）知，。0时，增区间为：（一0 0，减区间为：（L+o o）;a a且时,/（x）0,%t值（x）=f（J =*函数y=/（x）的大致图像如下图所示：因为。0时，函数y=/（x）-。有两个零点石，x ,所以。即 2cLae e不妨设则0 玉v /，a a因为王 上i,所以9 一 /(?-)a a a a a2 1又/(x)=/a )，所以即证：/(x2)/(x2),x2 fa a令函数 F(x)=f(x)-/(-x),X G(,+oo),a ao则 F x)=(1-a r)+e-1+ax -a x=(-c i x)e-(LX-e2+ax,a因为 x

48、 j，所以-a xv d x 2,l-a r F(-)=0,a a a1 7 2因为工 2 ，所以，/(/)，即玉+%，a a a所以+专(再；2)2 j.2 e.(I I )证法二：因为a 0 时，函数y =f(x)-。有两个零点司，x2,则两个零点必为正实数，/(幻一。=0=6加 一 奴=*(x0),问题等价 于 加-g=有两个正实数解；令 g(x)=In x-ax-ln a(x 0)pll g，(x)=1-a(x0),g(x)在(0)单调递增，在(L+8)单调递减，iL0 x1 -2 =0,x 2 x(2-c u e)x-a a所以 G(x)在 d,+8)单调递增，G(x)G(-)=0.

49、a a又X 2，故g(w)g(2 一 9)，e(-,+oo),a a a2又 g()=g*2)，所以 g(X)g，a义0 芭v 2,a a所以片+考 结 卢 5 2 e.12.(2 02 2 秋广东月考)已知a w/?,f(x)=xe ax(其中e为自然对数的底数).(1)讨论函数y =/(%)的单调性;(2)若。0,函数y =/(x)-。有两个零点不，x2,求证：xy+x2 2/e .【解析】解：(I)f x)=e-ax-ax e-ax=e-ax(-ax),c i e R,.a v O 时，fr(x)=e(vc(-ax)0=x ,af x)-e ax(l-ax)x0,.,.4 =0 时，增区

50、间为：（YO,+X）；a 0 时，f x）-6-（1 -ax）0=x ,af x）=e-a（-ax）-,a.a 0时，增区间为：（-a；,-,减区间为：（,，+oo）；a a综 匕avO时，增区间为：+oo）,减区间为：（00）；a aa =0时，增区间为：（-oo,+c o）；a 0时，增区间为：（-c o,-,减区间为：（,，+oo）；a a（2）证明：由（1）知，4 0时，增区间为：（H O,1,减区间为：d，+00）；a a且时,f（x）0,京大值（力=/（：）=*,函数y =/（幻 的大致图像如下图所示：ae不妨设K 工2，则O 一，即证：Xy 9，a a因为i 所以74 1 又 在