高考数学复习- 正弦定理与余弦定理.pdf

《高考数学复习- 正弦定理与余弦定理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习- 正弦定理与余弦定理.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第五章解三角形5.1正弦定理与余弦定理命题探究高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等.真题归纳题型一.正、余弦定理1.(2020新课标III)在 6 C 中,cosC=AC=4,B C=3,则 c o s 8=()1112A B,C 一 D,一9323【解答】解：在aABC 中，cosC=I，AC=4,BC=3,由余弦定理可得 A

2、B2=AC2+BC2-2/CBCCOSC=42+32-2x4x3x|=9；故 AB=3；.n AB2+BC2-AC2 32+3Z-42 1C O SB=-2AB-BC=2x3x3=可故 选:A.C V52.(2018新课标 I I)在 ABC 中，cos-=y,BC=1,A C=5,贝 ij A B=()A.4V2 B.V30 C.V29 D.2V5【解答】解：在 ABC 中，cos-=g,cosC=2x()2 1=BC=1,A C=5,则 AB=yjBC2+AC2-2B C -ACcosC=J l +25+2 x l x 5 x 1 =V32=4&.故选：A.3.(2017新课标 I)AAB

3、C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=V 2,则 C=()ITA.127TB.一6ITC.一4T CD.一3【解答】解：sinB=sin(A+C)=sin4cosC+cosAsinC,YsinB+sinA(sinC-cosC)=0,/.sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,.e.cosAsinC+sinAsinC=0,VsinCO,，cosA=-sinA,.tanA=-1,n 37rV-4K,.=斗,2 4由正弦定理可 得 品a-,.,.sinC=sinAcsinAa=2,c=V2

4、,.*.sinC=csinA _ 竽1a2=2fc=e故选：B.4.(2019新课标I)A48C的内角A,B,。的对边分别为m b,c.已知asinA-加in8=4csinC,cosA=-小b则一=()A.6B.5C.4D.3【解答】解：:ABC的内角A,B,。的对边分别为，b.1asinA-Z?sinB=4csinC,cosA=一4,由正弦定理得:(a2-b2=4c2cosA=b2+c2 a22 bc=1，4解得 3c2=|h e,b=6.c故选：A.5.(2 0 1 6 山东)Z k A B C 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,h,c,已知 人=c,/=2贬(1 -s i n A),

5、则 A=()3 7 r n n TCA.B.-C一 D,一4 3 4 6【解答】解：.一,a2=b2+c2,-2 bccosA=2 b2-2 b*1cosA=2 b2(1 -c o s A),.在 A A B C 中，8=J,B C 边上的高 J a,4 3 3I 7：.B D=A D=C D=a,Va2=2 b2(1-s i n A),1-c o s A =1 -sinA,则 s i n A=c o s A，即 t a n A =1,即 A=l，故选：c.16.（2 0 1 4 天津）在A 4 8 C 中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知b-c=水，2 s i n B=3 s i

6、 n C,则1c o s A 的 值 为 一 工.【解答】解：在“5C中,:b-c=，2 s i n B=3 s i n C,q：.2 h=3 c,由可得a=2 c,b=等再由余弦定理可得c o s A=庐 嚎=汩二4 c2=_ 1故答案为：一 上.7.（2 0 1 6 新课标H I）在A A B C 中，3=百，BC边上的高等于一BC,则 c o s A 等 于（）.3 同 V 1 0 7 1 0 n 3 国A.-B.-C.-D.-7 7 10 10 10 10【解答】解：设A A B C 中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,ACBC于。，令N D 4 c=0,在 RsAQC 中，co

7、s9=4 =7 W 故 sinO=军国4。J 3)2 +(给 2 5 5.*.cosA=cos(-+G)=cos-cosO-sin-sin9=号 x 洛一 x 第 =一梁.4 4 4 2 5 2 5 10故选：c.8.(2015重庆)在 ABC 中，B=120。，AB=V2,A 的角平分线 AO=祗，贝 U A C=_V _.AB AD V2 V3【解答】解：由题意以及正弦定理可知：-=-即一ZADB=45,sinz.ADB sinB sinZ.ADB 321-A=180-12 0-4 5,可得A=30。，则 C=30。，三角形ABC是等腰三角形，AC=2V2sm60=V6.故答案为：V6.9

8、.（2021浙江）在 ABC 中，NB=60。，A8=2,M 是 的中点，4M=2 6，则 AC=2 m ；cosZ2739M A C=-T3-【解答】解：在AABM 中：AM1=BA1BM2-2BA-BMcos60,/.(2V3)2=22+BM2-2x2*BM*-,：.BM22-2 B M-8=0,解得：8M=4 或-2（舍去）.点 M 是 8 c 中点，MC=4,B C=8,在 ABC 中：AC2=22+82-2x2x8cos60=52,：.AC=2y/13；在 AMC 中：cos ZMAC=(2问2+(2唇2 422x2 忌2 后273913-_ ,_ 2V39故答案为：2V13;10.

9、（2020新课标I）如图，在三棱键P-A B C 的平面展开图中，AC=,AB=AD=V3,ABLAC,ABL1AD,ZCA=3 0 ,则 cosNFCB=【解答】解：由已知得8。=内8=伉，BC=2,因为。、E、F 三点重合，所以AE=AO=V5,BF=BD=&AB=巫,则在 AACE 中，由余弦定理可得 CE2=AC2+A2-2ACAEcosZCA=l+3-2旧 x 坐=1,所以 CE=CF=1,则在ABCF中，由余弦定理得cosNFCB=凄竦=一，LDC,Cr/XIX/4故答案为：题型二.周长、面积问题a2+b2c21.(2018新课标m)AABC的内角A,B,C 的对边分别为m b,c

10、.若 ABC的面积为-，则 C=4()n 7 1 71 nA B一 C一 D.一2 3 4 6【解答】解：:ABC的内角A,B,C 的对边分别为m b,c.a2+d2-c2 ABC的面积为-,:SABC=2 abstnC=a2+b2c2.sinC=a2+b2c2=cosC,7 1V0C7T,C=t故选：c.2.（2021乙卷）记ZkABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为8，B=60。，cr+c2 3 a c,则=2四 .【解答】解：的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为K,B=60。，a2+c2=3ac,.acsinB=V5n-acx 卓=V3fla2+c2=12,又

11、 cosB=a2+c2-b2 1 1 2 52ac 2=b=2&,（负值舍）故答案为：2企.3.（2018新课标 I）AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-“2=8,则A4BC的 面 积 为 .3【解答】解：ZiABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c./?sinC+csinB=4tzsinBsinC,利用正弦定理可得 sin8sinC+sinCsin8=4sinAsin8sinC,由于 OVBVm 0C b2-i-c2-a2=be=cosA=2=4 =1而 b2+c2-a2=bc今序+c2-bc=cr=/

12、?2+c2-bc=4=bcW 4,当且仅当b=c=2 时等号成立，所以：S=bcsinA=-bc 2-+54+5=9,a c a c ya c当且仅当=，即 c=2 a 时，取等号，a故答案为：9.3.（2。北京）若 8 C 的面积 为 号（入.2_内，且为钝角,则N额取值范围是4+8)【解答】解：AABC的面积为一(a2+c2-b2),4可得0：一V3(/9+。92 -屋-)=I acsinB,s-i-n-B-=3r-,4乙 cosB可得：tan B=所以8=泉 N C 为钝角，AG(0,!tanA=焉,-G(V3,+8)tanAc sinC sin(A+B)a sin A sin A=co

13、sB+-i-rsinB=1+字tanA 2 2 tanA (2,+oo).71故答案为：（2,+8）.4.（2015新课标I）在平面四边形ABC。中，乙4=N 8=N C=75。.B C=2,则4B 的取值范围是 后一V6+V2）【解答】解：方法一:如图所示，延长54,CD交于点、E,则在AAOE 中，ZDAE=05,ZADE=45,Z=30,设 AD=3，AE=孝x,DE=丁：/4,CD=m,BC=2,V6+V2（-x+m）sinl5=L4V6+V2 广 r-x+m=V6+v2,4：.0 x/2.2.（2015 湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。在

14、西偏北30。的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高【解答】解：设此山高/7 （M,则BC=限在AABC 中，ZBAC=3 0,Z C B A=0 5 ,ZBC A=4 5,AB=600.根据正弦定理得三yf3言h=600）sm30 sin450解得/?=100遍（m）故答案为：100遍.3.（2014新课标I）如图，为测量山高M M 选择4 和另一座的山顶C 为测量观测点，从 4 点测得M 点的仰角/M AN=60。，C 点的仰角NC4B=45。以及/M A C=75。；从 C 点测得NMCA=60。，已知山高BC=100?，则山高 MN=

15、150 m.【解答】解：AABC 中，V ZBAC=45,ZABC=90,BC=100,M C=摇=1。夜.AMC 中，；NMAC=75,ZM CA=60,；./A M C=45。，由正弦定理可得 M。=1 0 ,解得 A M=100g.sm60 sm45RtZiAMN 中，MN=AM-sinZMAN=10073 xsin600=150（/n）,故答案为：150.4.（2021甲卷）2020年 12月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：加），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C 三点，且A,B,C 在同一水平

16、面上的投影A,B,。满足N 4 C S=4 5。，ZABC=6 0 .由 C 点测得B 点的仰角为 15。，8 8 与 CC的差为100；由 B 点测得A 点的仰角为45。，则 A,C 两点到水平面A 5 C 的高度差A4-C C 约 为（）（百 句.732）A.346 B.373 C.446 D.473【解答】解：过 C 作 C”_LB夕于H,过 8 作于 M,则 NBC4=15,24=100,NA8M=45,CH=CE,ABBM=AM,BB=MA,NCAB=75。.*.lan/BCH=tanl5=tan(.45-30)=呼，：肃吗。=2 -百，sin75=sin(45+30)=?(*+)1

17、4-tan450tan30 2、2 2)p H则在 R S8 C 中，CH=r u=100(2+V3),/.C B lO O (2+V3)LCITIZ.DC ncr Df在 A bC 中，由正弦定理知，AB=sincAB sinACB=l0+1)：.AM=00(V 3+1),-CC=AM+BH=100(V3+1)+100-373,故 选:B.单 选 题（共6小题）1.（2 0 1 8 秋湖南月考）若ABC的三个内角满足6 s i n A=4 s i n 8=3 s i n C,则4 8。是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.以上都有可能【解答】解：角 4、B、C满足 6 s

18、i n A=4 s i n B=3 s i n C,根据正弦定理，得 6 a=4 6=3 c,整理得a：b：c=4：6：8设 a=4 x,h=6 x,c=8 x,由余弦定理得：c o s C=M晦厂2 =久 禧 痉是三角形内角，得 C （0,7 1）,.,.由cosC=/58-=才9故答案为：闻，-BD5.(2020郑州一模)在 B C 中，角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且 2cosA=(V I-cosC),c=y62,。为 AC上一点，AD：OC=1：3,则AABC面积最大时，BD=.2【解答】解:V 2cosA=a(72-cosC),c=2,ccosA=yj2a acosC,

19、由正弦定理可得 sinCcosA+sinAcosC=V2sinA,.sin(A+C)=sinB=V2sinA,:.b=V2a,I 2+Q+VG I 2C Z+X2Q uy2,ci 2.2+Q-y/Zu由 p=-2-，P a=-2-，P c-2-p-b=-2-，由三角形的海伦面积公式可得 SXABC=Jp(p-a)(p b)(p c)=，2+a+/a 2+可得 A=,C.（/3,3A/3）D.（A/3,竽 由正弦定理可得:b c V3=2sinB sinC sin-327rA/3 Ib+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（8）=2sin8+2（cosB+5sinB）3 2 2=3s

20、inB+V3cosB=2V3sino27r8+C=等,27r _ TT T C 57T：.B （0,一）,可得：B+g e（-,一）,3 o 6 6T T 1A sin（8+裒）e （-,1,.,./+c=2V3sin（B+5）G（V3,2，故选：B.多 选 题（共 4 小题）7.对于AABC,有如下判断，其中正确的判断是（）A.若 cosA=cos8,则 ABC为等腰三角形B.若 A B,则 sinAsinBC.若 a=8,c=10,B=60。，则符合条件的AABC有两个D.若 siaA+sid B V sid c,则 B C 是钝角三角形【解答】解：若 cos4=cosB,则 A=B,一定

21、为等腰三角形，A 正确;若 A 8,则 a 6,即 2RsinA2RsinB,所以sinAsin8,8 正确;若 a=8,c=10,B=60。，由余弦定理得，臣=64+100-2*8乂1 0*8 4,所以。=2仞，故符合条件的AABC有一个，C 错误;若 sin2A+sin2B2 B,则 cosAcos3B.若NA=30。，b=4,a=3,则AABC 有一解C.若 ABC为钝角三角形，则。2+。202D.若 A=60。，a=2,贝必ABC面积的最大值为遮【解答】解：对于A,若 人=/，B=看，cos4=bosB=*，故错误；对于B,若 A=30。，b=4,a=3,可得sinB=号 地=苧 =|

22、,又 a 2 bc-hc=be,可得 人 仁 4,则 AABC的面积有最大值3 x 4 x =故正确.故选：ABC.9.锐角aABC的内角A,B,C 的对边分别为a,h,c.若 a-b=2 bcosC,则（）,一 TC nA.C=2 B B.8 的取值范围是（一，一）6 4C.B=2 C D.的取值范围是（1,V3）b【解答】解：由。-Z?=2Z?cosC,可得 sirtA-sinB=2sin3cosC,即 sin(B+C)-2sinBcosC=sinB,即有 sinCcosB-cosCsin=sin(C-B)=sin8,因为三角形ABC为锐角三角形,所以C-5=B,即 C=2 3,故 A 正确，。错误;由 0 8 ，0 2 B 8 C,则 sirtAsinBsinCB.若=40,b=20,8=25。，则满足条件的ZkABC有两个C.若 0 V ta n 4 a n 8 sinBsinC,故 4 正确;sin A sinB sinC对于 8,。=4 0,力=20,8=25。，A40sin250 0,故 A+B为锐角.由三角形内角和为180。可得C 为钝角，故AABC是钝角三角形，故 C 错误;对于。，由于当 C消和寸，-tanC=tan(A+B)2 1tanAtanB可得 tarL4tanBtanC=tarL4+tanB+tanC,故 D 错误.故选：AB.