高考复习-3-5正余弦定理（精讲）（基础版）（解析版）.pdf

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1、3.5正余弦定理（精讲）（基础版）公 式 去 二 焉 二 盘 位 很 为 揖BC的 触 酗半径）正弦定理变形公式_ a b c sin A=sin B=sinC=/(角 化 边)2R 2R 2R(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角)a:b：c=sin A：sin B：sin Caa+b+c sin Asin A+sin B sin A+sinB+sin C=2R（R外接国半径）使用条件（1）已知两角和一边（2）已知两边一时应角a:=b:+c:2bccosAb:=a:+c:-2accosB，两边一角求边c:=a:+b:2abcosC正余弦定理余弦定理公式使用条

2、件（1）已知三角求边（2）已知两边一角求边，ABc=；ah（a+b+c）（r为三角形内切圆的半径）2N A+N B +/C=w常见结论在三角形中大边对大角，大角对大边任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边sin(A+B)=sinCcos(A+B)=cosCtan(A+B)=tanCsin(B+C)=sin Acos(A+C)=cos Btan(B+C)=tan Asin(A+C)=siii Bcos(C+B)=cos Atan(A+C)=tan B考点二边角互化考点一公式选择正余弦定理考点五三角形解的个数考点四判断三角形的形状考点三三角形的面积考点六几何中的正余弦例 题 剖 祈考点一正

3、余弦定理公式选择【例 1 T】（2022广东广东一模）ABC中，若 NA=60。,N8=45。,BC=3应，则 A C=（）A.4 G B.2百 C.73 D.2【答案】B【解析】在&ABC中，ZA=60,ZB=45,BC=3 ,由正弦定理得：芈;=坐；，即*-smA sinB sin 60 sin 45解得：AC=2A/.故选：B【例 1-2（2022北京顺义.二模）在.ABC中，a=l,A=f,则”=百 是“8=的（）6 3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要件【答案】B1 1 _ 下/T【解析】ABC中，=由正弦定理二，.不一 sinB，sin,6

4、 sin A sin B sm 26人“，所以8 A,8 可为锐角也可为钝角，所以8 或 8=手，因此“=百 是8 =（的必要不充分条件.故选：B.【一隅三反】1.（2 0 2 2 河南高三阶段练习（文）在 A B C 中，内角A,B,C 所对的边分别是“，b,J若 A =。，2道,b=2近，则 3=（）7 1 小 乃 3 冗 几 个24A.B.-C.一或一 D.一或二4 3 4 4 3 3【答案】A【解析】由正弦定理可得，;=刍，则8nA _ 6s i n 4 _ 2 夜一 夜，s i n A s m B s i n 仃=-=j=a 2 J 3 2故 8 =f或 8 =包.因为所以52-2

5、o&c os 60 =l +4-2 xl x2 xl=：3,所以c =&.故选：A.3.（2 0 2 2 吉林 长春H 一高）,A B C 的三个内角 A、B、C 满足s i n A:s i n 3:s i n C=2:3:4,则c o s A=（）A.I B.-C.D.巫9 8 8 4【答案】B【解析因为。：。：c =s i n A:s i n 3:s i n C =2:3:4 ,可设”=2 A:,=3 A,c =4&伙 0）,由余弦定理可得c os A =+c2-=（纨）2 +（4%）一（2 欠）2 =Z.故选:B.2bc 2-3k-4k 84.（2 0 2 2 四川树德中学）在 A B

6、C中，角A 8,C 所对的边分别为a,8 c,若（a +b）2 2=，则C=（）A兀n 乃T 2 万A.-B.7或-6 3 32 万c 兀 T 5 4C.D.工或h3 6 6【答案】C【解析】由3+与2-。2=而 得，/+6 ,2=-而，由余弦定理得CO S C=+6一 =0=一.,2ab 2ab 2因为C（）/）,所以C =,.故选：C考点二边角互化【例 2-1（2 0 2 2 海南.模拟预测）在A B C 中，内角A,B,C 所对的边分别为“，b,c ,a=2c,若3sinC=2 s in B,则 cos A 的 值 为（）D.14【答案】D【解析】因为3sinC=2sin 8由正弦定理可

7、得3c=,所以6=万 又。=2c所以cosA=h2+c2-a22bc=一2_故选:D4【例 22（2022 陕西商洛一模（理）A B C 的内角A,B,。所对的边分别为m b,c,已知吟,Z?csin A=8sinB,a=2,贝 lj A二（）A.4B.2下 C.272 D.2【答案】B【解析】因为bcsinA=8 s in 8,所以abc=8Z,即”c=8.又a=2,所以c=4,由余弦定理得：b2-a2+c2-2accosB，从而人=（2?+42-2x8xcos2=2 6 ,故选：B【例 2-3】（2022云南 昆明一中高三阶段练习）已知三角形ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,

8、c,b已知 A=30。，K 2sinBsinC4-sinB+2cos2B=2,则一的值为（）cA 4 5/3 R 4 5/3 V3 口 百2 3 2 4【答案】B【解析】因为2sin3sinC+sinB+2cos23=2,所以得sin5sinC+gsin5+cos28-I=0,乂因为 A=3 0，所以sin A=Q,J sinsinC+sin Asin5-2sin2 B=0因为sinB WO,所以sinC+sin A-2sinB=0,由正弦定理得c+a-2/?=0,又/=/+c?-2Z?ccos30,消，可得 36=（4-/5）c,所以 2=,故选：B.【例 2-4】（2022 甘 肃 高 台

9、 县第一中学）在二ABC中，角 A,所对的边分别为4,c,若 多-等,b cos 8则 cos 8=（）A.立 B.C.1 D.-2 2 2 2【答案】C【解析】在 4 5 c 中，因为幺三=当，b cos 8由正弦定理，可得-=-,即2sinA cos8-sinCeos8=sin8cosC,sin B cos B可得 2 sin A cos B=sin Ccos 8+sin Bcos C=sin(B+C),因为 g+C=7 i-A,可得 sin(B+C)=sin A,即 2sin Acos B=sin A,因为A e(0/),可得s in A 0,所以cos8=L 故选：C.2【一隅三反】1

10、.(2022河南 宝丰县第一高级中学模拟预测(理)在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则=为 8$仁 是“。=，”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由正弦定理可得：sinB=2sinA cosC,在 3ABe中，A+B+C=7r,所以sinB=sin(A+C),所以 sin(A+C)=2 sin A c o sC,即:sin Ceos A=sin 1 cos C,.,.sin(C-A)=0,:.C=A,可得 a=c,同理，当a=c 时，也可得力=2。cosC成立，故选：A.7 T2.(2022北京石景山 一

11、模)在 ABC中，sin?A=sin BsinC,若 NA=,则D8的大小是()A B.巴 C.巳 D.空6 4 3 3【答案】C【解析】因为5111%=$皿85后。，所以42=。(?，由余弦定理可知2=+6?2-2/?。8 5 彳=/?2+02-历=。，即(b c)2=0,得b=c,所以3ABe是等边三角形，.故选：C3.(2022 安徽安庆 二模(文)4 3 C 的内角A,B,。的对边分别为，b,J 若2b=6 a,A=f,则cosB=4()A.士 巫 B.士 亚 C.D.迈4 4 4 4【答案】c【解析】在 ABC中，由正弦定理及26=G a 得：2sin8=sin A =s i n ,

12、解得sinB=迈，4 4在,ABC中，h=a a,B A,于是B 为锐角，所以cosB=Jl-s in。B=业.故选:C2 44.(2022.内蒙古包头.高三期末(文)已知,AfiC的内角A,8,C 的对边分别为a 2,c,已知6sinB=asinC,ac=9,且 3=6 0，贝 i j a+c=.【答案】6n h c【解析】因为6sin5=a s in C,由正弦定理=；=2 R,可得从=*,sin A sin B sin C又因为ac=9,所以从=9,解得6=3,由余弦定理知=/+02一 2 8$8，所以 a?+c2 2accos60=a2+c2 ac=(a+c)2 3ac=(a+c)2-

13、27=9,即(a+c)2=3 6,解得a+c=6.故答案为：6.5.(2022.重庆.高三阶段练 习)在一ABC中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，记.ABC外接圆半径为R,且 2R(sin2A-sin2 8)=(&a-c)s in C,则角 8 的大小为.【答案】T4【解析】由正弦定理：，一=也=2R故2RsinA=a,2RsinB=6sin A sin B sin C即 2网 sin 2 A-sin2 8)=(&a-c)sin C o asin A-ftsin B=(V2a-c)sin C a b1=(/2a c)c o a2+c2 h2=/2ac Si cos B=a c,又 3

14、w(0,1)故 3=乙故答案为：2ac 2 4 4考点三三角形的面积【例 3-1】(2022 全国,模拟预测)在4BC中，角A,B,C 的对边分别为。，。，。，若a=4,sin A=2sinC,cosA=-l,则 ABC的面积 S=()4A.厉 B.2岳 C.1 D.4【答案】D【解析】根据正弦定理，由。=4,sinA=2sinC=tz=2c=c=2,由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bc-cosAl6=b2+4-2 b-2-(-),解得6=3,或b=-4(舍去)，4因为cosA=-：,所以sin A=-cos2 A=J 1-=-,因此S=-b e sin A=-x 3 x 2 x -=,4

15、 V 16 4 2 2 4 4故选：D【例 32】(2022安 徽宣城二模)已知锐角.A B C内角A,B,C 的对边分别为m b,c,已知/;sinC+csinB=4zzsinBsinC,b2+c2-a2=8,则,4 3 c 的面积是.【答案】空3【解析】因为 Asin C 4-csin B=4。sin Bsin C,所以由正弦定理可得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,由0 8 耳0 。-=be=j=,所以S A”=bcsm4=xFTX-=-.2hc 2故答案为：友.3【例 3-3（2022陕西榆林三模（理）为3W,b-c =,cosA=-,则。

16、=4 4A.10 B.3【答案】C【解析】因为cosA=1,则sinA=,又S I=b c sin A=b c =3 ,44 A B e 2 8 4所以6c=6,又 b-c =l,可得 6=3,c=2,所以/=6+c?-2bccos A=10,即=/16.故选：C【一隅三反】1.（2022全国高三专题练习）设 ABC的内角A,B,C 所对边的长分别为。，h,c,若 ABC的面积为S,且4月=（4+匕）2-2,则sin（c 4）=（）A.1 B.J C.D.立2 2 2【答案】B【解析】S=ctfosinC,a1+b2-c1=2abcosC,2代入 4 G s=（a+by-c2=a2+b2-c2

17、+2ab,即 26a加in C=2abcosC+lab,abO.G sinC =cosC+1,即后 sinC-cosC=1 :.sinC-cosC=s in f c-1=.2 2 2 v 6/2故选：B.2.（2022贵州模拟预测（理）在锐角三角形ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知”=2,sinA=,-+-=4b,贝 lj 4 3 c 的面积为_ _ _ _ _.2 cos A cos C2bc 2 V3 2 2 V3 2 3 ABC的内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,若 ABC的面积（）C.Jfo D.、h【答案】73【解析】因为1+一1=4 6,所以由正弦定理可得

18、 把 二+，；=4sin3cos A cos C cos A cos Csin Acos C+cos Asin C sin（A+C）sin B._ _所以-=-=-=4sin 8,cos A cos C cos Acos C cos Acos C因为sin 3 0 0 所以cos Acos C=4因为sinA=3,则cosA=1,则cosC=:，所以-ABC为等边三角形，故ABC的面积5=3 6 =62 2 2 4故答案为：G3.（2022,江苏省高邮中学高三阶段练习）已 知 ABC中，角A,B,C 所对的边分别为。，b,c.已知=1,jrc=,ABC的面积5=2,则 ABC的外接圆的直径为（

19、）4A.475 B.5 C.5及 D.6 0【答案】C【解析】因为匕=1，C=1，ABC的面积S=2,所以S=!s i n f =2,解 得 =4后，4 2 4由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos-=25,解得c=5,4所 以 ABC的外接圆的直径为2R=二=5/，故选：CsinC4.（2022陕西 西安中学模拟预测（文）A8C的内角A B,C 所 对 的 边 分 别 为 已 知b2+c2-a2=bc,bcosC+ccos B=2,则.ABC 的面积的最大值（）A.1 B.6 C.2 D.2也【答案】B【解析】在 ABC中，由余弦定理，+c 可化为3 4=/+/-/=至=_.2bc 2b

20、c 2因为A c（O,）,所以A=由余弦定理，Z?cosC+ccos3=2可化为：b“+ca +（-=2 解得：a=2（=0 舍去）.2ab 2ac因为加+/一2=历，=b2 +c2 _b c2bc-bc=bc,即（当且仅当人=c=2 时取等号）.所 以 ABC的面积Su bcsi n=G.故选：B2 2 2考点四判断三角形的形状【例 4】（2022全国高三专题练习）在 ABC中，已 知/+乂 /=，且 2cosAsin3=sinC,则该三角形的形 状 是（A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形【答案】C【解析】：苏+坟一/.CosC=a+b C=-,X C e（O,）

21、,：.C =,lab 2 3由 2cos4sinB=sinC,得 cos A=，亩。.=+,/.b2=a2,即 b=a,乂C=工，2 sin B 2b 2hc 3故三角形为等边三角形.故选：C【一隅三反】1.（2022 全国高三专题练习）设 ABC的三个内角A 及 C 满足2B=A+C,又sin?8=sin Asin C，则这个三角形的形状是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【答案】BT T【解析】因 4 3 c 的三个内角A+8+CB T,而2B=A+C,则8=,乂 sin?8=sin Asin C,由正弦定理得：b2=ac 由余弦定理层=/+C 2 2ac

22、cos5得:“c=/+/一小 整:得（-c=0.：“=c,ABC是等腰三角形,所 以 ABC是等边三角形.故选：BA 卜+c2.（2022.全国高二专题练习）在二ABC中，NA,DB,NC的对边分别为“，b,c cos =,则 ABC2 2c的形状一定是（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析 因为8 s q =等,所以14-cos A sin B+sinC sin B2sinC 2sinC即cosAsinC=sin5=sin（A+C）=sinA cosC+cosA sinC,所以sinA 8sC =0,因为sin AwO,所以cosC=0,因为C e

23、（O,乃），所以C=,即 ABC是直角三角形.故选：B3.（2022 全国高三专题练习）在 ABC中，a2+fe2+c2=2 s in C ,贝 U 4 3 c 的形状是（）A.等腰直角三角形C.钝角三角形B.直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】在aABC中，a2+b2+c2=243 absmC,乂由余弦定理知，b2+a2-c2=2abcosC 两式相加得：2（/+2）=2ab（gsinC +cosC）=4absin（C+）,6小皿。+令=宅 1.箸=1（当且仅当c=时 取“=”）,乂sin（C+%l,6 2ab 2ab 6；.sin（C+刍=1（当且仅当a=b 时成立）,C 为A4BC

24、的内角,O，C+m=W,C=g,又“=。,ABC的形状为等边.故选：D.6 2 34.（2022全国高三专题练习）对于：A B C,有如下四个命题：若sin 2A=sin 28,则 ABC为等腰三角形，若sinB=c o s A,则 ABC是直角三角形若sin2 A+sin2 B 则.A B C是钝角三角形a _ b c若一彳=-B=-C,贝 IJ ABC是等边三角形.cos cos cos 2 2 2其中正确的命题序号是【答案】【解析】对于sin2A=sin2B可推出A=8 或 A+8=,故不正确；若8=100。,4=10。，显然满足条件，但不是直角三角形；由正弦定理得疗+尸一 0 2 0,

25、所以co sC sm Aa 3 3a旦对于B 选项，由正弦定理可得._ bsinA 3虫 .l b a,故一ABC只有一解；sin B=-=-=-1a 1对于D 选项，因为A=g,则角A 为一ABC的最大内角，且。6,故 无 解.故 选：B.【一隅三反】1.（2022全国模拟预测）在 B C 中，乙4=（,h=6,下面使得三角形有两组解的的值可以为（）A.4 B.3石 C.277 D.3百【答案】C【解析】由题意，根据正弦定理有，二，所以sinB=M A,sin A sinn a要使三角形有两组解，贝 lJsin8=M l,H a b,即bsinA a 人，所以3 G c-sin8=4xg=2

26、,L b 6sinA =4xg=2,旦。所以三角形一解；对于，sinC=S=l n C =90。，所以三角形有一解；b对于，c=12,b=12,C=1 2 0,则 B=C=120。，则 8+C180。，所以三角形无解.所以满足上述条件的三角形有一解的是.故选：C3.（2022.河南.南阳中学）ABC中，已知下列条件：6=3,c=4,B=30；a=5,b=8,A=30。；=6/=36,8 =6()。；c =9 力=1 2,C =6 0。，其中满足上述条件的三角形有两解的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】c s i n B b c,三角形有两解；b s i n A a 8 CB=Jl-s i

27、 i?C D C B =空.因为 Z B)C=Z A+N C 4,所以 Z A =Z BD C-Z )C4=N B D C N O C B ,所以 s i n A=s i n(60 NDCB=s i n 60 co s Z Z)CB-co s 60 s i n Z D CB=且 x地-x=叵.2 7 2 7 1 4【一隅三反】1.(20 22.广东韶关一模)如图，在 cABC 中，N 8 A C、/B、/A C3 对 边 分 别 为 且 c+cco s B=0 bs i n C.(1)求角B 的大小；(2)已知匕=2 ga +c=l(),若。为,A B C 外接圆劣弧A C 上一点，且2AQ

28、=DC,求四边形ABC。的面积.【答案】(1)8 =60 .(2)8 7 3.【解析】(1)由 正 弦 定 理 及 已 知,s i n C+s i n C co s B=/3 sin B s i n C ,(K A s i n。w 0 ,/./3 s i n B-co s B=i,2 s i n B-co s J?=1,s i n(B-3 0 )=,2 2 J 7 2又,0 B =1 20 1设 A C =x,C=2 x,在三角形A OC 中，由余弦定理得(2 6=x?+(2x-4fco s l 20 ,;.x=2,所以 S,r n_ A Dx DCsinD=25/3 ,而 S A Bx BC

29、sinB=a cs i n 60 ,2 2 22(7 7)2-a2+c2-2accos60,28-(a+c)2-3 ac-r.a c=24S c=gx24xs i n 60 =6 6，因此5 他 8=86-Q2.(20 22广东模拟预测)如图，在中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知co s A=,“=&,/W C 的面积为 短.2(1)求 4C.(2)0 为边A C 上一点，过点A 作 A D B C 交 8。延长线于点。若人。的面积为2 叵，求co s。.3【答案】(l)b=c=3(2)生 匣42【解析】(1);AE(O,TC),s i n A0,/.s i n A=7 1-c

30、o s2 A=,S.ABC=ft cs i n A=-bc=，贝 U be=9,ABC 2 1 8 2在/A B C 中，由余弦定理得/=/+。2 -2Z?CCO SA,即 2=庐+=NCBO,cosD =cosZ C B O =.423.（2022 贵州模拟预测（理）如图，在ABC中，。是 AC边上一点，NABC为钝角，ZDBC=90.(1)证明：cosNAM?+sinC=0；Q）若 AB=25,B C =2,再从下面中选取一个作为条件，求 45。的面积.sinNABC=X ;A C=3 A D.14注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）石【解析】因为

31、NAOB=90+C,所以cosZA8=cos（90o+C）=s in C,故cos/4O 3+sinC =0；（2）选sinNABC=.因为 ZABC90。，所以cosNA8C=-Jl sin，NA8C=-也1414在小步。中，由余弦定理可得AC=，8 g-2 x 2 /7 x 2 x（-杏）=6，2V7 6 r-由正弦定理可得sinC I 3所以sinC=,故C=60,-214在放CBO中，因为 B C =2,所以 8=8CtanC=2tan60o=2 6，又 sin Z A B D =sin（NABC-90。）=-cos N ABC=昱.S ARn=-ABxBD xsinZABD =-x2 s/lx2 s/3x =y13ABD 2 2 14选 AC=3AD,设 AD=x,则 QC=2 x,在即CBD中，BD=ylDC2-B C2=2/7T,._ 八/日/+4x?4 28 2。x?由（1）cos ZADB+sin C=0-+-=0,2 x x 2 4-l 2x解得x=2,即 A=2,8O=2W,C）=4,在必CB3中，则tanC=.0 C 8C=60。+90。=150.所以S 椀，xAQxBOxsinNAOB=g*2 x 2&x L 6.