高考数学复习03解三角形.pdf

《高考数学复习03解三角形.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习03解三角形.pdf（55页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微专题0 3 解三角形秒杀总结在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理 角化边”；(2)若式子中含有4、b、。的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.例1.乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个

2、形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台(如图所示)，其中。C =4百米，D4=2百米，A5C为正三角形，建成后，B C D将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.TT(1)当乙=时，求旅游休闲区域 3 8的面积；(2)设求旅游休闲区域 3 8的面积的最大值3例 2.在平面四边形A3C Q中，Z ABC =-7 rf/BAC =/DAC,C D=4,AB=2.41D(1)若 B C =C，求 sin/A Q C；TT(2)若N A O C j,求 AC.6例 3.在 ABC中，“b,c 分别为角4 B,C 的对边，且冲而。-需卜.(1)求角A；(2)若 ABC的内切圆面积为4万，

3、求 ABC面积S 的最小值.例 4.在 AABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，cos2 A+cos A cos(C-B)=sin B sin C()求角A；()若AA3C的内切圆面积为万，当 的 值 最 小 时，求AABC的面积.过关测试一、解答题1.(2021云南省玉溪第一中学高二期中(文)为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3 个功能区：B N C区域为荔枝林和放养走地鸡，C M A区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在 鱼 塘 MNC周围筑起护栏.已知AC=40m,8C=40G m,

4、A C 1 B C ,2 MCN 301.2li(1)若4 W=2 0 m,求护栏的长度(M N C的周长);(2)若 鱼 塘M N C的面积是“民宿”C M 4的面积的6 倍，求N A C M；(3)当N/1 C M为何值时，鱼 塘M N C的面积最小，最小面积是多少？32.(20 21江苏南通高三期中)在 A B C中，已知D是8 c上的点，平分N 84 C,S.A C-C D =-.(1)若4 3 =280 =5,求 A B C的面积；(2)若A B+8 =6,求 皿3.(20 21 江苏盐城高三期中)在 Z 8C中，角4,B,C的对边分别为“，b,c,已知”=c o s 8,b=c o

5、s A.(1)求证：存 在A B C,使得c =l；(2)求A 8C面积S的最大值.4.(20 21江苏高三期中)在Z B。中，角4 B,。所对的边分别为a,b,c.且满足(a+2b)c os C+c c os A=0.(1)求角C的大小；(2)设 边 上 的 角 平 分 线C O长为2,求 Z 8C的面积的最小值.35.（2021 江苏淮安高三期中）在A8C中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asin A=（2/?+c）sin B+（2c+/?）sin C.（1）求A的大小；（2）若sin8+sinC=1 ,试 判 断A8C的形状；（3）若a=2,求A8C周长的最大值.6.（202

6、1江苏常州高三期中）设A8C的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,且满足加in2A+asinB=0,点。为边8 c上一点，ADrAC.（1）求NBAC的大小；（2）若|AC|=4,AD=3,求7.（2021黑龙江哈尔滨三中高三期中（文）在平面四边形ABC。中，/W=3,A =5,ZBAD=120,/BCD=60。（1）求8。的长；（2）求A D 8C+AaC。的最大值.8.（2021 全国高三专题练习）在 笔 =-丁 匕，.一答=，25=-6班 比三个条件cosC 2a+c sin B-sin C a+c中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.7 T在A8C中，角A,B,C的对边分别为。，

7、6,c且,作AB,A）,使得四边形A5CO满足乙4 8 =,AD=6求8C的取值范围.49.（20 21 广东肇庆模拟预测）在A 8 C 中，角A,B,C 所对的边分别为。，b,J 且5（s i n A +s i n C）b =12a s i n C.（1）若a=2 b-c,求c o s B 的值；（2）是 否 存 在A B C,满足B 为直角？若存在，求 出 A 3 C 的面积；若不存在，请说明理由.10.（20 21 宁夏银川三沙源上游学校高二期中（文）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如2兀 .图所示，为地面，C D,C E 为路灯灯杆，C O L A S,Z D C =y,在

8、 E 处安装路灯，且路灯的照明张兀角 N M E N =q,已知 C)=4 m,C E =2m.（1）当。重合时，求路灯在路面的照明宽度M N；（2）求此路灯在路面上的照明宽度M N的最小值.5H.（2021 上海市延安中学高一期中）如图，A8C为一个等腰三角形的空地，腰C4的长为3（百米），底的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路所（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和与；（1）若小路一端为AC的中点，求此时小路的长度;（2）求务 的最小值.12.（2021江苏东海高一期中）如图，在圆。的内接四边形ABCZ）中，BC =2,A

9、B=8,记A8C的面积为S、,丛。的面积为邑，Z A B C =a.（1）若 40=4,8 =8,求 S+S?的值；（2）若a=60。，求品的最大值；（3）若8=8,求E-邑的最大值，并写出此时&的值.613.（20 21江苏无锡市第一中学高一期中）现有长度分别为1,2,3,4的线段各1 条，将它们全部用上,首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10 的三角形或四边形.（1）求出所有可能的三角形的面积；（2）如图，已知平面凸四边形A 5 C D 中，AB=i,B C =3,C D=2,D 4 =4.求c o s A c o s C 满足的数量关系；求四边形A B C。面积的最大值，并指出面积最

10、大时加 的值.1 4.（2 0 2 1 江苏金陵中学高一期中）已知 N B C 为锐角三角形，设角4 B,C所对的边分别为mb,c.R为 ZB C 外接圆半径.（1）若 R=l,且满足s i n8 s i nC =n +s i n2 C-s i n2 A）t a nA,求加+c。的取值范围；（2）若从+。2 =2 a R c o s A +a?,求 t a nA +t a n8+t a nC 的最小值.1 5.（2 0 2 1 全国高一课时练习）如图，某人身高1.7 3 m,他站的地点A和云南大理文笔塔塔底。在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角/M C E =2 2.8。（点E 在线段M

11、O上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段4。向塔前进1 0 0 m 到达点B,在点B 直立时，测得塔顶的仰角/M D E =4 8.3。：塔尖A/N 的视角/M DN=3.3。（N是塔尖底，在线段 O上）.7（1）求塔高M O；（2）此人在线段AO上离点。多远时，他直立看塔尖M N的视角最大？说明理由.s i n）?Q e in 4 8 4 参考数据：sin25.5。最 超 二 最 您，6 3.5 9 6 7 4 x 6。.1 6.（2 0 2 1 重庆复旦中学高二开学考试）在 A 4 C 中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且1 1 1-1-=-.t a n B t a n C

12、 t a n A（1）求c o s A的最小值；（2）记 A B C 的面积为S,点尸是 A B C 内一点，且 NPAB=N P B C =NPCA=8,证明：c 4 4 5 t a nA =-7；b c-c r t a n A =2 t a n。.1 7.（2 0 2 1 江苏扬州中学高一阶段练习）如图，在 4 5 c 中，AB=m A C（m R）f 4）是角A的平分线，且A D =kAC（k G R）,（1）若加=3,求实数的取值范围.（2）若 3 c =3,m2 2 时，求 A B C 的面积的最大值及此时女的值.81 8.(2 0 2 1 上海青浦一模)已知/(x)=J 5 c o

13、 s 2 x+2 s i n 耳+x 卜i n(-x),x e R ,(1)求/(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)已 知 锐 角 A 8 C 的内角A B,C 的对边分别为“也 c,且f(4)=-G，a =4,求 B C 边上的高的最大值.1 9.(2 0 2 0 江苏吕叔湘中学高二期 末)在 A 8 C 中，4 8 =1 0,。是 8 c 边的中点.(1)若 A C =6,ZA =6 0 ,求 A O 的长；(2)若 N C 4 O =4 5 ，A C =6 亚，求 A 3 c 的面积.2 0.(2 0 2 1 浙江高一期末)已知,6,c 是 A 8 C 的内角/,B,C的对边，且 A

14、 8 c 的面积S=!c?.4(1)记m=(2 c,l),n=(2a-V 2 Z?,c o sB),若加/.(z)求角C,)求 m的值；h(2)求:的取值范围.b2 1.(2 0 2 0 山东省招远第一中学高三阶段练 习)在 A 8 C 中，角 A,B,。的对应边分别为。，b,c,已知 0 c o s C+c c o s B=1.(1)求。的值；(2)若IKcKbwG，求 A的最小值.92 2.(2 0 2 0 北京北师大二附中高三期中)如图，四边形A 8 C Z)中N 8 4 c =90 ,Z A B C =3 0 ,A D LCD,设Z A C D =6 .(1)若A 4 8 c 面积是A

15、 A C D 面积的4倍，求s i n2 6；TT(2)若=,求 t a n。.2 3.(2 0 2 1 江西 上高二中高二阶段练习(理)A 6 C 的内角力，B,C的对边分别为m b,a(1)求证:s i n(A-B)s i n A +s i n Ba-bTT(2)若 A 8 c 是锐角三角形，A-B =,a-b 2,求。的范围.2 4.(2 0 1 9河北枣强中学高二期末(文)在 A 8 C 中的内角A、B、C,s i n(A-B)=s i n C-s i n 8 ,。是边BC的三等分点(靠近点B),仁 包 甘 黑.s i n Z.BAD(1)求 A 的大小.(2)当f取最大值时，求 ta

16、n48的值.102 5.（2 0 2 1 陕西西安一中高二期中）如图，在四边形A 8 C D 中，已知A D CD,A D =O,AB=1 4,Z B D A =6 0 ,Z B C D=1 3 5 ,求 S四 边 附 如&2 6.（2 0 2 1 山东泰安高三期中）在 A B C 中,内角4 B,C所对的边分别为a,6,c,已知s i n 8 +s i n C =2 s i n A,3 b s i n C =4 cs i n A,点。在射线 N C上，满足 co s Z ABZ)=2 co s 3.（1）求 NA8。；设 N A B Q 的角平分线与直线“C交于点 求证：烹+2 7.（2 必

17、 陕西西北工业大学附属中学高二阶段练习（理）如图，在平面四边形A 58中，Z A B C：,(1)若 4 C =石，求A 8 c 的面积：TT(2)若N A O C =,C D =4,求 t a n/C 4 O.1128.（2021 福建福州三中高一期中）乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中。C=4百米，/乂=2 百米，A3C为正三角形，建成后，8 8 将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.TT（1）当=3 时，求旅游休闲区域BCD的面积；（2）设NAQC=6,求旅游休

18、闲区域BCD的面积的最大值329.（2。21 江苏 无锡市第一中学高三阶段练习）在平面四边形的 短 中，,。=丁，C =A C,CD=4,AB=2.(1)若 B C =O,求 sinZADC；7T(2)若NAOC=一,求 AC.1230.(2021 河南南阳中学高二阶段练习)在A 8 c中，a,b,c 分别为角4 B,C 的对边，且V3 sin C-ccos Btan C(1)求角A；(2)若 ABC的内切圆面积为4万，求A8C面积S 的最小值.31.(2020全国高三专题练 习)在 AABC中，。,瓦。分别为角A,6,C 的对边，且有cos2 A+cos Acos(C-B)=sin Bsin

19、 C()求角A;()若A48C的内切圆面积为万，当4?.AC的值最小时，求A4BC的面积.13微专题0 3 解三角形秒杀总结在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理角化边”；(2)若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.例

20、1.乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台(如图所示)，其中。C =4百米，D 4 =2百米，ABC 为正三角形，建成后，8。将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.(1)当N A C =?时，求旅游休闲区域 8 8的面积；(2)设=求旅游休闲区域 B C D的面积的最大值【答案】(1)46；(2)4 +4 6【详解】j rI(1)在Z C C 中，由余弦定理知：AC2=A D2+C D2-2AD C D C OS-=4 +1 6-2X2X4X-=1 2 ,3 2解得:A C =2 8.由正

21、弦定理:AC _ ADs in Z ADC s in Z AC D即 一 2 6 =2s in Z ADC s in Z A C。所以 s in N A C O=；.因为N A Z)C =f,所以4co e 0,?,所以N A CQJ,所以3k 3 /6 2所以 A B C D 的面积为 5海6 =1 c。8 c =1C 4 C =1X4X2 G =4 K.a 2 2 2(2)设Z A D C =6,Z AC D=a,在 4 8 中，由余弦定理知：AC2=AD2+C Dr -2AD C D c o s=2 0-1 6 c os1A+2AD2=AC2+CZ)2-2AC CD cos,所以 cos

22、a=-SAC由正弦定理知:AC AD,n即n AC 2sin ZADC sin ZACD sin 0 sin a所以sin a=2 sin /-AC2+12AC+84c,=2sin，-275cos 0+4A/3=4 s in -y +4V3中，8=4,AC=yJW,sinZDAC=10由正弦定理可得,CDACsin ZDAC sin/ADC,则 sin NADC=m .sm 小1。=J_CD 4(2)在 ABC中,3AB=2 Z.ABC=二 万,4由正弦定理可得BCACsin ZB AC sin NABC,则s in 4 A c J C 6 i 必8 C=包AC2AC7 T在 AACQ中，ZA

23、DC=-,CD=4f6由正弦定理可得CDACsin ZDAC sin Z.ADCn l.CD sinZADC 2,则 sin/ZMC=-=,AC AC因为N8AC=N D 4 C,所 以 迦=二 _,解得3 c =2 0，2AC AC由余弦定理可得:例 3.在 ABC中,AC=7 AB2+BC2-2AB BC-cosZABC=,4 +8+8=275.,”分别为角A B,C 的对边，且冲sinC一 詈(1)求角A；(2)若 A8C的内切圆面积为4万，求 A3C面积S 的最小值.【答案】(1)|(2)1273【详解】(1)因为ccosBn C-tanC二a所 以 百(sin Bsin C-cosB

24、cosC)=sin AB P-/3 cos(Z?+C)=s in A,所以 G eos 4=sin A,即 tanA=g,71A =3(2)由 题 意 知 ABC内切圆的半径为2,如图，内切圆的圆心为/,M,N 为切点,则 4 =4,AM=AN=2 0从而。=/?+(?-4月，3由余弦定理得仅+C-4A国=b+c2-he,整理得 3bc+48=8 G S +c)N16G 痴，解得税1 8 或秘工玲(舍去)，从而S=Z?csinA x 4 8 x-=12/3,2 2 2即 A3 c 面积S 的最小值为12VL例 4.在 AABC中，a,b,c分别为角 A 5,C 的对边，且有cosZ 4+cos

25、 Acos(C-B)=sin Bsin C()求角A：()若AABC的内切圆面积为乃，当A R A C 的值最小时，求AABC的面积.【答案】(口)y;()3+【详解】()cos2 A+cos A cos(C-B)=cos A T-cos(B+C)+cos(C-/?)=cos A(-cos Bcos C+sin Bsin C+cos Ccos B+sin Csin B)=2cos Asin BsinC.2cos Asin Bsin C=sin Csin BB,C w(0,兀)sinCsin，cosA=g.AG(O,-)A-3()由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b1-c2-be由

26、题意可知：AABC的内切圆半径为1如图，设圆/为三角形ABC的内切圆，D,E 为切点可得：A/=2,AD=AE=43:.h+c-a =2y3.(力+c-2 省)=b2+c2-be,化简得4 G +&c =4 p +c”8痴(当 且 仅 当 匕=c 时取等号)4:.bc 12bc 2 6 .bc 2,即 AB-AC=be cos A=b ce6,+),4当且仅当。=c 时，A 8.A C 的最小值为6此时三角形 A 8 C 的面积：S =J b c s in A =；xl 2 xs in g=36过关测试一、解答题1.(2 0 2 1 云南省玉溪第一中学高二期中(文)为响应国家“乡村振兴”号召，

27、农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：B N C区域为荔枝林和放养走地鸡，CM A区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在 鱼 塘 MNC周围筑起护栏.已知4 C =40m,B C =40V3m,A C 1 B C,?M C N 300.(1)若AM=2 0 m,求护栏的长度(MNC的周长)；(2)若鱼塘 MV C的面积是“民宿”C M 4 的面积的百倍，求 NACM；(3)当Z ACM为何值时，鱼 塘 MNC的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)60+20731 5(3)N A O W =I 5 时，C M V 的面积取

28、最小值为120()(2-6比0?【分析】(1)先根据题干条件得到8=30,A =60,利用余弦定理求出CM =20 6，用勾股定理逆定理得到C M 1 A B,进而求出C N,M N,求出护栏的长度；(2)设 N A C 例=6,利用 MNC和 CM4 的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出NACM；(3)结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式 得 到 MNC面积关于Z A C M =。的关系式，求出最小值.(1)V A C =40m,8 C =4 0 G m,A C I B C,：.t mB=,A B =30 A A =60：.AB=2AC =80,BC 3在 AACM 中

29、，由余弦定理可得：CM2=A C2+AM2-2 A C .AM-c o s A =1600+400-2 x 40 x 20 x 1=120025，则 C M=2 0 6,/-A C2=A M2+CM2，CM 1 AB,：Z M C N =30 A MN=C M t a n 30 =20,，C N =2 M N =40,.护栏的长度(M N C 的周长)为 20+40+2 0 6 =60+2 0&;(2)设N A C M =8(00 60),因 为 鱼 塘 MNC的面积是“民宿”CM4 的面积的6倍，所以|C A T-C M s i n 30 0 =y/3-C A-C M s i n 6 ,即

30、C N =80G s i n。，Z B C N =6(f-0,B O V 中，由三角形外角定C N C A 40 o n /Q理可得N C N 4 =N B+N 8 C N =90 。，在 C W 中，由7 7=.-Z，得。=竺 也，从而s i n 6()s i n(90-u)c o s e/c o s。8 0 7 访0=迎 叵，即s i n 2，=c o s 6 2由02。120，得 26=30,所以6=15,即N A C M=15；(3)设 Z A C M =，(0 v 60),由(2)知 C N =B,Z B C M =90-0，C O S。C M C ABCM中，由外角定理可得N C

31、M 4 =/3+/B C/0=12O-6,又在 A C M 中，由 不 忘 法=.吩，s i n o u s i n 11 z u -(/1“6 c 1 c,.300 300/口“20/3”,.S MN=_ C M C N s i n 30=；-；-=-产-得 CM=所以 2 s i n 120-e)c o s。1 .6 2As i n(12O-0)7 2s m e c o s 6+c o s 6_ 600_ 1200一 s i n 2。-c o s 26 e-2s i n(26+60)+g ,所以当且仅当 26+60=90,，2+2+y即6=15 时，C M N 的面积取最小值为1200(2

32、-6)k n?.32.(2021江苏南通高三期 中)在 A 8 C 中，己知。是 8 c上的点，/O平分N B A C,f i A C-C D-.(1)若 A f i =2B O =5,求 A 8 C 的面积：(2)A B+B D =6,求 皿【答案】(1)6；(2)3.【分析】A r(1)由角平分线的性质可得方=2,结合已知求A C,8,进而可得N A C B =90。，由三角形面积公式求面积即可.A R(2)令 不=三=丸、48=C,4。=人结合已知得到;I 与b,c 的关系，过 8 作 B E/A C 交 A。延长线于E，6c/?.有=AD=-A E,由AE=A3+8E即可得AO,A8,

33、AC的线性关系式，应用向量数量积的运算b b+c律求A D的模即可.(1)在ABC中，由角平分线性质：某=2=熬=黑=2,而AC-CZ)=j,AC CD CD BD 2AC=3：,3,CD=32A AB=5,AC=3,BC=4,易知：ZACB=90,*,ABC=-X3X4=6.(2)AD C4 =AB=c,AC=b,BC=a,又BD CD3AC-CD=-2n,AB+BD=6AB=c4+1%BD=-2+13CD=-2-2-1c h如图过8作8E/AC交AO延长线于E,则BE=A8且5E=：AC,AD=-AE,b b+cb+c c又AE=A8+8E，-A D =AB+-AC,7BDb c：.AD=

34、AB+AC 9b+c b+c2两边平方，AD2=-+2-(b(b2b2c2+bcb2+c2-a2)9(H o f：.AD=3.3.(2021江苏盐城高三期中)在/B C 中，角 4 B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=cos8,b=cosA.(1)求证：存 在 A B C,使得c=l；(2)求 A8C面积S 的最大值.【答案】(1)证明过程见解析；【分析】(1)利用正弦定理结合三角恒等变换即可证明；(2)将ABC的面积用角表示出来，进而求出最大值.(1)证明：由“=8$8,b=cosA可得：=-Sb cos A由正弦定理得：?=*b sin Bsin A cos 8所以一=-sin B c

35、os A所以 sin Acos A=sin Bcos B8即 si n2 A =si n2 B所以 2 A =2 3 或者-2 4 +2 3 =4T T即A=8或者A +B =5T T当A =8=1时,符合题意此时令“二匕二等，得：C=所 以 存 在A B C,使得c=l(2)T T解：由(1)知 A =B 或者 A +B =5，a=c os B,b =c os A当A =8时,S ABC=gQ/?si nC=；cos8cosA si n(A +3)=gcos2 A si n 2 A =cos3 A si n A对S.C求导得:S ABC=_3 cos2 A si n?A+cos4 A=cos

36、2/A(cos2 4-3 si n2 4)=cos2 A(4 cos2 A-3)因为A =B,所以在三角形ABC中,cos2 J acos A e(0,l)令 S ABC=cos2 A(4 cos2 4-3)=0 得:cos空2在 cos A时 s ABC 所以8 s A 是，s标取得极小值，此时无最大值当A +8=1时,S 人品匕si nC=cosB cosA si n(A +B)=si n A cos A =si n 2A24JT 当4 =1时，si n2 A =1,5人内取得最大值1.所 以A B C面积的最大值为“【点睛】T T思路点睛：本题第二问利用三角形的面积公式将面积表示出来，再

37、分别对A =8和 A+8=N两种情况进行9讨论，进而利用导数或三角函数求最值.4.（2 0 2 1 江苏高三期中）在 4 2 C中，角4 B,C 所对的边分别为a,b,c.且满足（“+2 6）cosC+ccoS=0.（1）求角C 的大小；（2）设 边 上 的 角 平 分 线 8长为2,求a ZBC 的面积的最小值.【答案】4后.【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；（2）在和 B CD中，分别运用正弦定理，进而求出 =1区+1，然 后 在 A B C 中再次运用正弦si n A si n B定理得到,最后通过三角形面积公式结合基本不等式求

38、得答案.（1）根据题意，由正弦定理可知：（si n A +2 si n B）cosC+si n Ccos A =0 ,则2 si n B cosC+si n（A +C）=0=2 si n 8cosc+si n（万-8）=2 si n 8cosc+si n B=0 ,因为 0 8v，所以1 2 4si nB w0 ,则cosC 二 不，而0。乃，于是 C =2 3（2）由（1）可知，Z A C D=Z B C D =j,在 A 8 C 中，设W。|=胴（0 根 c）,则 8|=c 机，2 m在 A CO中，由正弦定理得:2 c-m在 3 CO中，由正弦定理得:si n B 所以c=-1-.si

39、n A si n B在A 3 c 中，由正弦定理得:a hsi n A si n B 垂）si n A si n B 73si n B 疯?10/3 6 3 /I 1 1 1 1 1所以 C=-1-=2c-F =-!=一 .si n A si n B ya b）a b 2由基本不等式可得：4-=2.1=6/Z?1 6 ,当且仅当=。=4 时取=.a h 2 V ah于是，S A B C=-ab s in C =ab 46.即/8C的面积的最小值为4G.A B C 2 45.（2 0 2 1 江苏淮安高三期中）在A 8 C 中，a,b,C 分别为内角A,B,C 的对边，且2 asi n A=（2

40、 +c）si n B +（2 c+6）si n C.（1）求 A的大小；（2）若si nB +si nC=l ,试 判 断 A B C 的形状；（3）若。=2,求 A 3 C 周长的最大值.【答案】A =3（2）等腰钝角三角形（3）最大值为2 +生叵3【分析】（1）根据正弦定理结合余弦公式求出COSA 的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用三角恒等变换化简得出si n（8+?）=l,结合角B的取值范围可求得角B的值，由此可得出结论:（3）利用余弦定理结合基本不等式可求得6 +c 的最大值，即可 得 出 A 8 C 周长的最大值.（1）因为 2。si n A=（2 fe +c）si

41、n 8+（2 c+b）si n C ,根据正弦定理得2/=（2/7+c）b+（2 c+0）c,整理得廿+2 /=_be由余弦定理可得COS A =2hc 2又 AE（O/）,所以 A =m（2）由（1）知 4 =夸，又si nB +si nC=l 得si n8+si n（q-8 =l ,B P si n B +cos-si n =-si n B +-cosB =si nf 8+工=1 ,2 2 2 2 1因为则+11:.B+-=-,即 3 =&，C =-,3 2 6 6则A5c为等腰钝角三角形；(3)由。=2 ,A=券及余弦定理知 a2=b2+c2-2/?ccos A =e+cj -8c N(

42、。+c)2-色;。-=3一；。)则他+C)2=120,ZBCD=60ZBAD+ZBCD=80 Z、B、C、。四点共圆如图所示：n在 AC上 取 点 区 4更得NCBE=NDB4X V ZBCE=ZBDA：.CBE DBA:.,即 AD-BC BD-EC BD AD同理可得：AABE/DBCAR Ap*r=,即 AB CD=BD-AE DB DC+得：AD BC +ABCD=BD E C+B D A E =BD EC +AE)=BD AC由(1)可知，BD=1：.AQ4C+AB CD=7AC 求A m C+A 8 C 3 的最大值即求A C的最大值.当4 c 为圆的直径时，AC最大由正弦定理得：

43、2R=一=_=电!sin ZBAD sin 120 3AC最大值为小亘，M AD BC+AB CD=l x 3&=空 曲3 3 314AZZ8C+AB-C的最大值为史138.(2021 全国高三专题练习)在卑=-7 2 一，：即 匕 2s=-6 8 4.比三个条件cosC 2a+c sin o-sin C a+c中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在 ABC中，角A,B,C 的对边分别为“，6,C且，作 ABA.AD,使得四边形ABCD满足ZACD=|【分析】27rTT根据题意，选择求得3=丁，设N8AC=e,则NC4Q=彳一a/C D 4 =e+二，在 与。中，由正弦3 2 6定理求得

44、 AC=2sin(9+),在 ABC 中，由正弦定理求得可得 BC=s in(0 +-).sin 0=sin(20-)+1,6 V3 6 3 37 T结合00 彳和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选:,cos B b由-=-,cos C 2a+c根 据 正 弦 定 理 可c得cq注 R=cosCsin B2sin A+sinC即 2sin Acos B+sinCcos 3=-sin Bcos C,gp 2sin Acos B=-sin B cos C-sin C cos B=-sin(B+C)=-sin,可得cosB=-；,因为A e(0/),所以8=笄，IT 7T设 NBAC=e,则 N

45、CAD=一 夕/。4=6+一,26在人!。中，由正弦定理得ACsin ZADCADsin ZA CD15rza.ADsin ADC s in(6 +)可得 A。=-=-=2sm(，+-),sin ZACD sin 6y在ABC中，由 正 弦 定 理 得 当=等,sin B sin”可得BC=A C sin。sin 37T2sin(6+)sin。.-5-=二 sin(6+-)-sin 0 2万 J3 6sin w3sin9+；cos 0)s i n、1sin2 +sin0cos 0)=-y=(2/3sin2 +2sin6cos=-y=-(2V3 x-当 竺 +sin 2，)=-y=r(sin20

46、-cos20)+l=-sin(2 0-y)+l,因为0 0后,可 得=当=g 时，即。=g,可得宜Isin 生+1 =2,3 3 3 3 3当 2。-?=-9 时，即 8=0,可 得 迫 sin(-为+1 =0,5 5 3 3所以BC的取值范围是(0,2).选:sin AsinB-sinC山，根据正弦定理可得a+c b-ch+ca+c可得储+a c=b2-c2，即 a2+c2-b2=-a c,z.2,2 _ 1 2又由余弦定理 可得CSB =Y-ac _ 12ac2因为A(0,T),所以3=7,7F TT设 N8AC=，则 NCAO =e/C D A =e+,2 6在 ZVIC。中，由正弦定理

47、得ACsin ZADCA)sin ZACD _ AO sinNAO C _ 如 也 自可得A。-,必8 一犷37T=2sin(6+),6在A3C中，由 正 弦 定 理 得 北=%,sin B sm 夕16-r n r AC sin可得2C=F-IT2sin(9+)sin6.-=4，sin(9+-)-sin6sin 如 63sin 8+；cos 6)sin 0=sin2 6+2sin6cose)=sin2 g+；sin9cose)l-cos2+sin2=娶(sin 2,-G cos 26)+1 =s in(2(9-y)+l,因为0 0 今，可得-q 2，-(/3 sin2 9+2sin0cos。

48、)=-y=-(2/3 x-9；丝+sin 26)17=(sin26,-/3cos20)+1 =sin(2 0-y)+l,因为0 0,4sin2A-5=4m,CE=2m.（1）当。重合时，求路灯在路面的照明宽度MN：（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.【答案】（1）拽；（2）坦叵.23【分析】（1）先由余弦定理求出M E,再求出c o s/C M E,进而求出sinD E N M,最后根据正弦定理求出答案；（2）先 用 等 面 积 法 求 出 间 的 关 系，进 而 运 用 余 弦 定 理 结 合 基 本 不 等 式 建 立 之 间的不等式，两者结合即可得到答案.【详解】（1）当。重合

49、时，由余弦定理知，ME=4CM2+CE2-2CM-CE-cos ZMCE=2不所以 cos/CME=CM2+ME2-C E22cM-ME577IT因为 NCME+NEMN=,所以 sin NEMN=cos NCME=22 14因为c o s/E M N 0,所以cosZEMN=J l-sin?ZEMN=匚,14因为 NMEN=,所以 sin NENM=sin f -NEMN =且 cos ZEMN+-sin ZEMN=空,3 I 3)2 2 7.在 EMN中，由正弦定理可知,MN EMsin 乙MEN-sin ZENM解得=219（2）易知E 至 IJ地面的距离 =4+2sin（年-=5机，所

50、以S EMN=L.M N-5=L-E M，E N ,所 以 半 M N =E M.E NL 2 2 2 7 3又由余弦定理可知，MN?=E M2+E N2-2 EM-EN-2 E M .E N -E M EN=E M EN,当且仅当E M =E N时 成 立.所以解得MNN竽 ，.答：（1）路灯在路面的照明宽度为拽小；（2）照明宽度MN的最小值为里加.1 1.（2021 上海市延安中学高一期中）如图，A8C为一个等腰三角形的空地，腰 C 4的长为3（百米），底居 的 长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相