高考数学复习- 函数的性质与图像.pdf

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1、 第二章函数2.2 函数的性质与图像命题探究1、重点考查函数的奇偶性与单调性及利用函数性质解函数不等式、方程解的个数问题，注意函数周期性这一点的复习.2、函数图象部分仍以考查图像识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题毁 尸 真 题 归 纳题型一.函数的图像1.(2 0 2 1 天津)函数/(x)黑的图象大致为()【解答】解：根据题意，/(x)=黑，其定义域为 小加，有/(-x)=A=f(x),是偶函数，排除/C,在 区 间(0,1)上，lnxlnx0,必有/(x)7因此排除/，D.故选：B.4.(2 0 1 8 新课标 口)函数/(x)二的图象大致为()4卜【解答】

2、解：函 数 八 )=；_/=一、；=，x),则函数/(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除41当 x=l 时、/(1)=e-0,排除。.）2（一 久）3 2 x 32X+2X 2X+2-X 一 作当 X-+8 时，f(X)+0 0,排除 C,故选：B.5.（2 0 1 8 浙江）函数y=2%in 2 x 的图象可能是（)【解答】解：根据函数的解析式y=2%in 2 x,得到：函数的图象为奇函数,故排除A和B.当=%时，函数的值也为0,故排除C.故选：D.6.（2 0 1 7 新课标口）函数y=l+x+要 的 部 分 图 象 大 致 为（）【解答】解：函数y=l+x+要，可知：/（x）=x+袈是

3、奇函数，所以函数的图象关于原点对称,则函数y=l+x+等 的 图 象 关 于(0,1)对称，当 X ()+,f(x)0,排除 4、C,当 x=7 t 时，y=+n,排除 8.故选：D.题型二.函数的基本性质I.(2 0 1 5 福建)下列函数为奇函数的是()A.y=yJ x B.=|s in x|C.y=c o s x D.-e x【解答】解：A.函数的定义域为 0,+o o),定义域关于原点不对称，故/为非奇非偶函数.B./(-x)=|s in (-x)|=|s in x|=/(x)则 f(x)为偶函数.C.y=c o s x 为偶函数.D./(-x)=/-产=-=-/(x),则/(x)为奇

4、函数，故选：D.2.(2 0 2 1 甲卷)下列函数中是增函数的为()2 _A.f(x)=-x B.f(x)(-)C.f(x)=x2 D.f(x)=x【解答】解：由一次函数性质可知/(x)=-x在 R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知/(x)=(|)x 在 R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知/(X)=/在 R上不单调，不符合题意；根据募函数性质可知/(x)=版在区上单调递增，符合题意.故选：D.3.(2 0 2 0 新 课 标 口)设 函 数=广 一妥，则/(X)()A.是奇函数，且 在(0,+o o)单调递增B.是奇函数，且 在(0,+o o)单调递减C.是偶函数，且 在

5、(0,+o o)单调递增D.是偶函数，且 在(0,+o o)单调递减【解答】解：因为/(x)=/妥，则/X-x)=+妥=_ y(x),即/J)为奇函数，根据募函数的性质可知，尸/在(0,+0 0)为增函数，故 川=志 在(0,+8)为减函数，片-金 在(0,+00)为增函数，所以当x 0 时，/(x)=/-妥 单 调 递 增，故选：A.4.(2021乙卷)设函数/G)=,则下列函数中为奇函数的是()A./(x-1)-1 B./(x-1)+1 C.f (x+1)-1 D.f (x+1)+1【解答】解：因 为/=阴卢=一1+系，所以函数/G)的对称中心为(-1,-1),所以将函数/(X)向右平移一

6、个单位，向上平移一个单位，得到函数y=/(x-l)4-1,该函数的对称中心为(0,0),故函数1)+1为奇函数.故选：B.5.(2019新课标口)设/G)为奇函数，且当应0 时，/(x)=-1,则当xVO 时，/(x)=()A.e -l B.e C.-ex-D.-e+l【解答】解：设、V 0,则-、0,:.f(-x)=e x-1,:设/G)为奇函数，-/(x)即/(x)=-e v+l.故选：D.6.(2015新课标口)若函数/(x)=xln(x+Va 4-%2)为偶函数，则 a=1 .【解答】解：/(x)=xln G+V T。7)为偶函数，(-x)=f(x),(-1)/(-x+Va 4-x2)

7、=xln(x+Va 4-%2),-In C -x+Va+x2)=ln(x+Ja+N),/.In(-x+Va+%2)+/(x+Va 4-%2)=0,：.ln 3 a +%2+Q)(y/a-|-x2 x)=0,*tz=1.故答案为：1.7.(2021新高考n)已知函数/(x)=x3(a-2x-2 x)是偶函数，则 a=1 .【解答】解：函数/(x)=/(“3-2)是偶函数，为 R 上的奇函数，故、=少 2-2 也为R 上的奇函数，所以如=0=a2-2=a-1=0,所以 a=l.法二：因为函数/(x)=?(彼2*-2 一”)是偶函数，所以/(-x)=f(x),B P -x3(a2x-2x)=?(a2

8、x-2-Jf),即/Ca*2x-2 x)+x3(a2-!)=0,即(a-1)(2A-2-v)x3=0,所以。=1.故答案为：1.8.(2017新课标口)函数/(x)在(-8,+oo)单调递减，且为奇函数.若/=7,则满足7 9 (x-2)W1的x 的取值范围是()A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3【解答】解：函数/(x)为奇函数.若/(I)=-1,则/(-1)=1,又.函数/(x)在(-oo,+oo)单调递减，-l f(x-2)1,-V(l)f(x-2)f(-1),-lx-2 3 成立的x 的取值范围为()2 QA.(-oo,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+8)

9、ox4-1【解答】解：/(X)=沪 是 奇 函 数，2 a：.f(-x)=-f (x),2x+l 2X+1即-=-,2-x-a a-2x整理可得,1+2X 1+2Xl-a-2x a2x1 -a*2x=a-2X,/.a=l,(X)=2X+1v/(x)2X+12X-1 3,2X+12X-14-22”2X 2整理可得,n，：.1 2X2,解可得，0 xl,故选：C.10.(2 018新课标口)下列函数中，其图象与函数y=/x的图象关于直线x=l对称的是()A.yln(1-%)B.yln(2 -x)C.yln(1+x)D.yln(2+x)【解答】解：首 先 根 据 函 数 的 图 象，则：函 数 的

10、图 象 与 歹=/(-x)的图象关于y轴对称.由于函数y=/”x的图象关于直线x=l对称.则：把函数y=/”(-x)的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln(2-x).即所求得解析式为：y=ln(2-x).故选：B.(2X-1 2,x l75 3 1A.-4 B.-彳 C.-3 D.-3【解答】解：由题意，把1时，2a l-2=-3,无解；。1 时，-l o g2 (a+1)=-3,；.a=7,：.f(6-a)=/(-1)=2 1-2=故选：A.题型三.函数的性质压轴题1.(2 019新课标口)设/(x)是定义域为R的偶函数，且 在(0,+o o)单调递减，则()13 2A./(l o gs-

11、)/(2 -2)/(2 F)41 2 3B.f(l o g3)f(2 f(2 -2)3 2 1C.f(2 -2)f(2 -3)f(l o g3)2 3 1D.f (2-3)f(2 一之)f(log3)【解答】解：/(x)是定义域为R 的偶函数，./(1。9 3 3=/。34)，3 2V Iog34log33=l,o2-2 2_3 2=1,3 2：.02223/(2-3)。93，故选：C.2.(2017天津)已知奇函数/G)在 R 上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g (-log25.1),b=g(20 8),c=g(3),则 a,b,c 的大小关 系 为()A.a b c B.cba

12、C.bac D.bc0,/(x)/(0)=0,且/(x)0,.*.g(x)=xf(x),则 g，(x)=f(x)+xf(x)0,(x)在(0,+oo)单调递增，且 g(x)=xf(x)偶函数，：.a=g(-log25.1)=g(log25.1),则 2log25.13,12$2,由 g(x)在(0,+oo)单调递增，则 g(20-8)g(log25.1)g(3),.ba 0,f(-V 2)=/(&),；.2 心=2 2.：.a-1|1,解得9 a /(-V 2),则 a 的取值范围是(1A.(-o o,-)2)1 3B.(-o o,-)U(-,4-00)2 23D.(一,H-00)29.(2

13、017山东)已知/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x+4)=/(x-2).若当0时，/(x)=6x,则/(9 19)=6 .【解答】解：由/(x+4)=/(x-2).则/(x+6)=/(x),：.f(x)为周期为6的周期函数，f(9 19)=/(15 3x6+1)=f(1),由/(x)是定义在R上的偶函数，则/(I)=/(-1)，当 xG -3,0时，/(%)=6一。/(-1)=6-(|=6,：.f(9 19)=6,故答案为：6.10.(2 02 0山东)若定义在R的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且/(2)=0,则满足必(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,1 U 3,+o o)

14、B.-3,-l U 0,1 C.-1,0 U l,+8)D.-1,0 U l,3【解答】解：定义在R的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且/(2)=0,/(x)的大致图象如图：.f(x)在(0,+00)上单调递减，且/(-2)=0；故/(-1)0时，不等式(x -1)NO等价为/(x-1)0,t I.fx 0,此时|,此 时1烂3,(.0 x-1 2当x V O时，不等式切(x-1)K)等价为/(x-1)W 0,an(x 0 3即，得 lr0,1-2%-1 8-9则?的取值范围是()9 7 5 8A.(-o o,-1 B.(-o o,-1 C.(-o o,-1 D.(-o o,4J 3J

15、2J 3J【解答】解：因为/G+1)=2/(x),V(x)=2/(x-1),Ax e (1,2 时,x-I E (0,1,fC x)=2f(x-1)=2 (x-1)(x-2)引一会 0 ；Ax G(2,3时，X-i e (1,2 ,/(x)=2/(x-1)=4(x -2)(x -3)e -1,0 ,当(2,3时，由 4(x-2)(x-3)=解得 x=(或 x=*若对任意(-o o,m,都有/(x)-1,则/n W J故选：B.题型四.新定义函数1.(2 0 17山东)若函数(X)(臼2.7 18 2 8 是自然对数的底数)在/(x)的定义域上单调递增，则称函数/(x)具有M性质.下列函数中所有

16、具有M性质的函数的序号为 .f(x)=2x f(x)=3 x f(x)=x3 f(x)=X2+2.【解答】解：对于，/(x)=2一。则g (x)=有(x)=1-2-=(犷为实数集上的增函数；对于，/(x)=3一。则g (x)=e (x)=靖-3-=(犷为实数集上的减函数；对于，f(x)=x3,则 g (x)=f(x)g(x)(丁+3/)=外/(x+3),当 x -3 时，g(x)0 在实数集 R 上恒成立，.g (x)=疔 3 在定义域R上是增函数.具有M性质的函数的序号为.故答案为：.2.(2 0 2 1新高考口)写出一个同时具有下列性质的函数/(x)：/(X)=7 .f (x i x 2)

17、f(x i)f(%2);当 x G(0,+o o)时，/(x)0；f(x)是奇函数.【解答】解：f(x)=W 时，f(xrx)=(%1%2)2=12X22=/(1)/(%2)：当 X (0,+0 0)时，f(X)2 x 0；f(x)=2 x 是奇函数.故答案为：fC x)=7.另解：愚函数/(x)=Z(a 0)即可满足条件和；偶函数即可满足条件，综上所述，取/(x)=/即可.模拟预测单 选 题(共 8 小题)1.函数/(x)=(e +e )s f n X(-7tx 0,排除选项。,n n n-n小 e 2+e-2 .e E+e-5、e 4+e 丁x=2时，尸 1 2，e2 e2V22所以排除选

18、项C.故选：A.2-函数“x)=(A)萌的图象的大致形状是()22ex 2.*J./(-X)=(-1-+-e-x-1 )COS(-X)=(-1 )CO SX=-(-1 )CO SX=_ f(x),1+ex1+exJ故函数/)为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除4C,7 1又由当X W (0,-),f(x)0,函数图象位于第四象限，可排除故选：B.3.己知函数/(不)加 产a=f(-,b=f(),c=f 则以下关系成立的是()A.c a b B.c b a C.a b c D.a c 0,解可得-I V x V l,即函数的定义域为(-1-x 1-X1,1),_ ,1 x 1+x又由/(-x

19、)=(-x)In-=x*ln-=f(x),1+x 1-x则函数/G)为偶函数;1+%当工七(0,1)时，y=x 与 都是增函数且都有歹0成立，则/(x)在(0,1)上为增函数,1-x1 1 1 1a=f()=f (-),b=f(-),c=f(-),71 n e 4111又由一 一一,则有c a b；4 n e故选：A.4.设函数/(%)=仇(+N x?+1)+/(-2 0成立的x的取值范围是()i 1 1 5A.(-1,1)B.1)c.G，1)D.c，【解答】解：V/(x)=Z n(x +yjx2 4-1)+%3(-2 x 0,2x3 4x得f )f(3-4 x),M-22x2,-2 3-4x

20、 2解得工x 1111A.-1,.)B.(-1,5)C.(0,.)D.(-o o,-1【解答】解：函数/(x)=(1-2 a)X+3a *V I的值域为R.klnx,%1可得：1 -2Q0 并且 1 -2 a+3K),解 得-1%故选：A.7 .已知f(x)是定义域为R的函数，且满足f(x+2)=-点，当2人3时，f(x)=x+；,则一学)-3 .【解答】解：.T(x)是定义域为R的函数，且满足f(x+2)=-忐，1 J./(X+4)=j(x+r2f),J=f(X),当 2姿3 时,/(x)=x+i,./(-芋)=/(|)=f +1=3.故答案为：3.8.定义在R上的偶函数/(x)满足对任意的

21、x i，x2S(-0 0,0 (x i#2).有/=0,且/(%2)-/(久 1)%2一工10,则 不 等 式 弋 的 解 集 是()A.(-Q O,-3)U (3,+8)B.(-3,0)U (3,+8)C.(-o o,-3)U (0,3)D.(-3,0)U (0,3)【解答】解：由对任意的X I，X2(-8,0(用方:2)，%2一31 3 时，/(x)0,当-3V x V 3 时，/(x)0,不等式 0可转化为攵也 0 或 x)V 0X 0所以 x -3 或 0 x /(2 x -1)成立的x的取值范围是(-c o,)U (1,+00).【解答】解:函 数 八x)=logi(W+1)+焉,定

22、义域为R，/(-x)=log(|-x|+l)+:；1=f (x),则 f(x)为偶函数,且后0时,函数尸 Lo g 1(|x|+l),y=2喜均为减函数，则/(x)在 0,+0 0)为减函数,/(x)/(2 x-1),均 为/(恸)/(|2 x-1|),1可得网V|2 x-1|,即(x-1)(3x 7)0,解得x l 或x V最则 X 的范围是(-8,1)U (1,+0 0).故答案为：(-8,-)U (1,+o o).10.已知函数/(x)=+2|，-3 W x 00且aW l),若函数/(x)的图象上有且仅有一对关于y轴对称，则实数。的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1

23、)U (1,3)D.(0,1)U (3,+oo)【解答】解：由题意，0。1时，f(X)=10g aX关于V轴的对称函数为g(X)log o(-X),则 log a3 l,：.a X 2G R 且 X|?X 2，则I)2)0,所以尸+1 1,所以0 V露V I，则一22“+1 0,所以-1 V I +言V I,即函数的值域为（-1,1）,故 C 正确;任取 X”X 2W R 且 X 1 0,2次 +1 0,2%2必 0,所 以 2。町-2叼(2%1+1)(2犯+1)6,则 a+b 0D.若函数/(x)与 g (x)图象的交点为(x i，y),(X 2 yi),(X 3，了 3)，则 x i+x

24、2+x 3tn+_ F 2+y 3=6【解答】解：因为函数/、(x)=ln(V x2+1+x)+X+3,所以函数/(x)的定义域为R,又/(x)+/(-%)In(V x2+1+x)+x5+3+/n(V x2+1-x)-x5+3=6,1因为/g 3=-lg?,1则/g 3)+f()=6,故选项“正确；因为 g (x)+g (-x)=6,所以g （x）关 于 点（0,3）对称,故选项8错误;因为/(x)=/(V x2+1+x)+X5+3,-j=+l所 以 广(乃=仔+1+5/Jx2+l+x,4 _J x2+1.故函数/（x）在 R 上单调递增,因为 f(a)+f(b)6,则/(a)+f(b)f(a)+f(-a),所以/)/(-a),故 6-a,所以 a+6 0,故选项C 正确：因为/(x)4/(-x)=6,所以/(x)关 于 点(0,3)对称，又 g (x)关 于 点(0,3)对称，令 x=0,则/(0)=3,g(0)=3,因为函数/(x)与 g (x)图象的交点为(X I，川)，(X 2，”)，(X 3，”),不妨设X 1 X 2X 3，根据对称性可知，X 1+X 3=O,X 2=O,yi+y3=6,=3,则 x i+x 2+x 3+y i+y 2+y 3=9,故选项。错误.故选：AC.