高考数学一轮复习举一反三精讲精练-计数原理及排列组合.pdf

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1、8.1计 数 原 理 及 排 列 组 合（精 讲）（提 升 版）特 殊 优 先 法 上 优 先 安 排 特 殊 元 素 或 特 殊 位 置 相 邻 捆 绑 法 相 邻 元 素 看 作 一 整 体 与 其 他 元 素 一 起 排 列，注 意 捆 绑 元 素 的 内 部 排 列 不 相 邻 插 空 法 先 考 虑 不 受 限 制 的 元 素 的 排 列，再 将 不 相 邻 的 元 素 插 在 前 面 元 素 排 列 的 空 当 中 定 序 除 法 a全 部 排 列 后 除 以 有 顺 序 要 求 的 排 列 定 序 排 他 法;有 顺 序 要 求 部 分 只 有 一 种 排 法，只 要 把 菊 I

2、F部 分 排 列 即 可 间 接 法 a正 面 分 类 太 多 从 反 面 入 手 排 列 组 合 常 用 方 法 直 排 法 卜 重 排 求 塞 法 分 排 问 题 直 排 处 理 多 排 问 题 直 排 法 分 组 分 配 可 以 重 复 的 排 列 问 题 实 际 已 元 素 为 研 究 对 象，元 素 不 受 位 置 限 制,可 以 逐 T 排 各 个 元 素 元 素 分 为 多 排 的 排 列 问 题,可 以 看 成 一 排 问 题，再 分 段 研 究 先 分 组 后 分 配，分 组 是 组 合 问 分，分 配 是 排 列 问 题 一 完 全 均 匀 分 组，分 组 后 除 叫 数

3、的 阶 乘 分 组 方 法 分 配 部 分 均 匀 分 组，有 W fl元 素 个 数 相 同，则 分 组 后 除 以 m!完 全 非 均 匀 分 组，只 要 分 组 即 可 相 同 元 素 的 分 配 问 题，常 用“挡 板 法”不 同 元 素 的 分 配 问 题，分 步 乘 法 计 数 原 理，先 分 组 后 分 配 嬴 限 制 条 件 的 分 配 问 题，采 用 分 类 求 解.元 素 相 同 隔 板 法 数 字 排 序 查 字 典 法 将 n个 相 同 的 元 素 分 成 m份，每 份 至 A 个 元 素，可 以 用 B-1块 隔 板,插 入 n个 元 素 排 成 一 排 的 n-1个

4、 空 隙 中，所 有 分 法 数 为 C二 查 字 典 法 应 从 高 位 向 低 位 查，依 次 求 出 其 符 合 要 求 的 个 数，根 据 分 类 计 数 原 理 求 出 其 总 数 小 集 团 问 题 先 整 体 后 局 部唐 立 呈 现 考 点 一 排 队 问 题 考 点 三 分 组 分 配 计 数 原 理 排 列 组 合 考 点 二 排 数 问 题 考 点 四 涂 色 例 题 剖 行 考 点 一 排 队【例 1】（2022云 南）6 男 4 女 站 成 一 排，求 满 足 下 列 条 件 的 排 法 各 有 多 少 种？（用 式 子 表 达）（1）男 甲 必 排 在 首 位；（2

5、）男 甲、男 乙 必 排 在 正 中 间；（3）男 甲 不 在 首 位，男 乙 不 在 末 位；（4）男 甲、男 乙 必 排 在 一 起；（5）4 名 女 生 排 在 一 起；（6）任 何 两 个 女 生 都 不 得 相 邻；（7）男 生 甲、乙、丙 顺 序 一 定.【一 隅 三 反】1.(2022 新 高 考 n 卷)有 甲 乙 丙 丁 戊 5 名 同 学 站 成 一 排 参 加 文 艺 汇 演，若 甲 不 站 在 两 端，丙 和 丁 相 邻 的 不 同 排 列 方 式 有 多 少 种()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 2.(2022 河 南 模 拟)某 晚 会 上

6、需 要 安 排 4 个 歌 舞 类 节 目 和 2 个 语 言 类 节 目 的 演 出 顺 序，要 求 语 言 类 节 目 之 间 有 且 仅 有 2 个 歌 舞 类 节 目，则 不 同 的 演 出 方 案 的 种 数 为().A.72 B.96 C.120 D.1443.(2022.广 东)有 7 名 同 学，其 中 3 名 男 生、4 名 女 生，求 在 下 列 不 同 条 件 下 的 排 法 种 数.(1)选 5 人 排 成 一 排；(2)全 体 站 成 一 排，女 生 互 不 相 邻；(3)全 体 站 成 一 排，其 中 甲 不 站 在 最 左 边，也 不 站 在 最 右 边；(4)全

7、 体 站 成 一 排，其 中 甲 不 站 在 最 左 边，乙 不 站 在 最 右 边；(5)男 生 顺 序 已 定，女 生 顺 序 不 定；(6)站 成 三 排，前 排 2 名 同 学，中 间 排 3 名 同 学，后 排 2 名 同 学，其 中 甲 站 在 中 间 排 的 中 间 位 置；(7)7名 同 学 站 成 一 排，其 中 甲、乙 相 邻，但 都 不 与 丙 相 邻；(8)7名 同 学 坐 圆 桌 吃 饭，其 中 甲、乙 相 邻.考 点 二 排 数【例 2】(2021江 苏)用 0,1,2,3,4,5 这 六 个 数 字：(最 后 运 算 结 果 请 以 数 字 作 答)(1)能 组

8、成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 四 位 偶 数？(2)能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 为 5 的 倍 数 的 四 位 数?(3)能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 比 1230大 的 四 位 数？【一 隅 三 反】1.(2022 西 安 模 拟)由 1,234,5组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数，则 组 成 的 五 位 数 是 奇 数 的 概 率 是()2.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)用 数 字 1,2,3,(1)能 够 组 成 多 少 个 五 位 奇 数？(2)能 够 组 成 多 少 个 正 整 数？(3)能 够 组 成 多

9、少 个 大 于 40000的 正 整 数？3.(2021.民 大 附 中 海 南 陵 水 分 校)用 0、1、2、(1)可 组 成 多 少 个 五 位 数；(2)可 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 五 位 数；4,5 组 成 没 有 重 复 数 字 的 数，问 3、4 五 个 数 字:（3）可 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 且 是 3 的 倍 数 的 三 位 数;（4）可 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 五 位 奇 数.考 点 三 分 组 分 配【例 3】（2022全 国 高 三 专 题 练 习）按 下 列 要 求 分 配 6 本 不 同 的 书，各 有

10、多 少 种 不 同 的 分 配 方 式?（1）分 成 三 份 份 1本 份 2 本 份 3 本；（2）甲、乙、丙 三 人 中,一 人 得 1本,一 人 得 2 本,一 人 得 3 本；（3）平 均 分 成 三 份，每 份 2 本；（4）平 均 分 配 给 甲、乙、丙 三 人，每 人 2 本；（5）分 成 三 份,1份 4 本,另 外 两 份 每 份 1本；（6）甲、乙、丙 三 人 中,一 人 得 4 本，另 外 两 人 每 人 得 1本;（7）甲 得 1本，乙 得 1本，丙 得 4 本.【一 隅 三 反】1.（2022 贵 州 模 拟）为 有 效 阻 断 新 冠 肺 炎 疫 情 传 播 徐 径

11、，构 筑 好 免 疫 屏 障，从 2022年 1月 13日 开 始，某 市 启 动 新 冠 病 毒 疫 苗 加 强 针 接 种 工 作，凡 符 合 接 种 第 三 针 条 件 的 市 民，要 求 尽 快 接 种.该 市 有 3 个 疫 苗 接 种 定 点 医 院，现 有 8 名 志 愿 者 将 被 派 往 这 3 个 医 院 协 助 新 冠 疫 苗 接 种 工 作，每 个 医 院 至 少 2 名 至 多 4 名 志 愿 者，则 不 同 的 安 排 方 法 共 有（）A.2940 种 B.3000 种 C.3600 种 D.5880 种 2.（2022 浙 江 模 拟）为 有 效 防 范 新 冠

12、 病 毒 蔓 延，国 内 将 有 新 型 冠 状 肺 炎 确 诊 病 例 地 区 及 其 周 边 划 分 为 封 控 区、管 控 区、防 范 区.为 支 持 某 地 新 冠 肺 炎 病 毒 查 控，某 院 派 出 医 护 人 员 共 5 人，分 别 派 往 三 个 区，每 区 至 少 一 人，甲、乙 主 动 申 请 前 往 封 控 区 或 管 控 区，且 甲、乙 恰 好 分 在 同 一 个 区，则 不 同 的 安 排 方 法 有（)A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.30 种3.（2021江 苏 期 中）按 照 下 列 要 求，分 别 求 有 多 少 种 不 同 的 方 法？（列 式

13、 并 用 数 字 作 答）（1）5 个 不 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 放 一 个 小 球；（2）6 个 不 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 一 个 小 球；（3）6 个 相 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 一 个 小 球；（4）6 个 不 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，恰 有 1个 空 盒.考 点 四 涂 色【例 4】（2022 陈 仓 二 模）如 图 是 某 届 国 际 数 学 家 大 会 的 会 标，现 在 有 4 种 颜 色 给

14、其 中 5 个 小 区 域 涂 色,规 定 每 个 区 域 只 涂 一 种 颜 色，相 邻 区 域 颜 色 不 相 同，则 不 同 的 涂 色 方 案 种 数 为（）A.72 B.48 C.36 D.24【一 隅 三 反】1.（2022 武 汉 模 拟）某 旅 游 景 区 有 如 图 所 示 A 至 H 共 8 个 停 车 位，现 有 2 辆 不 同 的 白 色 车 和 2 辆 不 同 的 黑 色 车，要 求 相 同 颜 色 的 车 不 停 在 同 一 行 也 不 停 在 同 一 列，则 不 同 的 停 车 方 法 总 数 为（）B.336A B C DE F G HA.288 C.576 D

15、.16802.（2022 浙 江 模 拟）给 图 中 A,B,C,D,E,F 六 个 区 域 进 行 染 色，每 个 区 域 只 染 一 种 颜 色，且 相 邻 的 区 域 不 同 色.若 有 4 种 颜 色 可 供 选 择，则 共 有（）种 不 同 的 染 色 方 案.A.96 B.144 C.240 D.3603.（2022 红 河 模 拟）有 如 下 形 状 的 花 坛 需 要 栽 种 4 种 不 同 颜 色 的 花 卉，要 求 有 公 共 边 界 的 两 块 不 能 种 同 种 颜 色 的 花，则 不 同 的 种 花 方 式 共 有（）8.1计 数 原 理 及 排 列 组 合（精 讲）

16、（提 升 版）恩 傩 身 与特 殊 优 先 法 优 先 安 排 特 殊 元 素 或 特 殊 位 置 一 相 邻 捆 绑 法 相 邻 元 素 看 作 一 整 体 与 其 他 元 素 一 起 排 列，注 意 捆 绑 元 素 的 内 部 排 歹 J排 列 组 合 常 用 方 法 先 考 虑 不 受 限 制 的 元 素 的 排 列，再 将 不 相 邻 的 元 素 插 在 前 面 元 素 排 重 排 求 塞 法 多 排 问 题 直 排 法 分 组 分 配 可 以 重 复 的 排 列 问 题 实 际 已 元 素 为 研 究 对 象，元 素 不 受 位 置 限 制,可 以 逐 T 排 各 个 元 素 元 素

17、 分 为 多 排 的 排 列 问 题，可 以 看 成 一 排 问 题，再 分 段 研 究 解 题 思 路 先 分 组 后 分 配,分 组 是 组 合 问 题，分 配 是 排 列 问 题 一 完 全 均 匀 分 组，分 组 后 除 四&数 的 阶 乘 分 组 方 法 分 配 部 分 均 匀 分 组，有 泥 且 元 素 个 数 相 同，则 分 组 后 除 以 m!完 全 非 均 匀 分 组，只 要 分 组 即 可 相 同 元 素 的 分 配 问 题，常 用“挡 板 法”不 同 元 素 的 分 配 问 题，分 步 乘 法 计 数 原 理，先 分 组 后 分 配 有 限 制 条 件 的 分 配 问 题

18、，采 用 分 类 求 解.将 n 个 相 同 的 元 素 分 成 m份，每 份 至 少 一 个 元 素，可 以 用 块 隔 板,一 插 入 n 个 元 素 持 成 一 排 的 n-1个 空 隙 中，所 有 分 法 数 为 元 素 相 同 隔 板 法-数 字 排 序 查 字 典 法 查 字 典 法 应 从 高 位 向 低 位 查，依 次 求 出 其 符 合 要 求 的 个 数，根 据 分 类 计 数 原 理 求 出 其 总 数 J 小 集 团 问 题 先 整 体 后 局 部 考 点 星 阕考 点 一 排 队 问 题 考 点 三 分 组 分 配 考 点 二 排 数 问 题 计 数 原 理 排 列

19、组 合 考 点 四 涂 色 例 题 剖 行 考 点 一 排 队 例 1(2022云 南)6 男 4 女 站 成 一 排，求 满 足 下 列 条 件 的 排 法 各 有 多 少 种？(用 式 子 表 达)(1)男 甲 必 排 在 首 位;(2)男 甲、男 乙 必 排 在 正 中 间;(3)男 甲 不 在 首 位，男 乙 不 在 末 位;(4)男 甲、男 乙 必 排 在 一 起;(5)4 名 女 生 排 在 一 起;(6)任 何 两 个 女 生 都 不 得 相 邻;(7)男 生 甲、乙、丙 顺 序 一 定.【答 案】(1)A,9(2)A22A7,(3)Aw10-2A99+A88(4)A22Aa8(

20、5)A,A,7(6)A6BA7(7)-v=A107A【解 析】(1)男 甲 必 排 在 首 位，则 其 他 人 任 意 排，故 有 A/种，(2)男 甲、男 乙 必 排 在 正 中 间，则 其 他 人 任 意 排，故 有 A/AJ种，(3)男 甲 不 在 首 位，男 乙 不 在 末 位,利 用 间 接 法,故 有 AJ-2A/+A/种,(4)男 甲、男 乙 必 排 在 一 起，利 用 捆 绑 法，把 甲 乙 两 人 捆 绑 在 一 起 看 作 一 个 复 合 元 素 和 另 外 全 排，故 有 它 朦 种，(5)4 名 女 生 排 在 一 起，利 用 捆 绑 法，把 4 名 女 生 捆 绑 在

21、 一 起 看 作 一 个 复 合 元 素 和 另 外 全 排，故 有 A，A 种，(6)任 何 两 个 女 生 都 不 得 相 邻，利 用 插 空 法，故 有 A/AJ种，(7)男 生 甲、乙、丙 顺 序 一 定，利 用 定 序 法，=A/种【一 隅 三 反】1.(2022 新 高 考 n 卷)有 甲 乙 丙 丁 戊 5 名 同 学 站 成 一 排 参 加 文 艺 汇 演，若 甲 不 站 在 两 端，丙 和 丁 相 邻 的 不 同 排 列 方 式 有 多 少 种()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【答 案】B【解 析】因 为 丙 丁 相 邻，先 把 丙 丁 捆 绑，看 做

22、 一 个 元 素，连 同 乙，戊 看 成 三 个 元 素 排 列，有 3!种 排 列 方 式：甲 不 在 两 端，则 甲 在 三 个 元 素 的 中 间 两 个 位 置 任 选 一 个 位 置 插 入，有 2 种 插 空 方 式；注 意 到 丙 丁 两 人 的 顺 序 可 交 换，有 2 种 排 列 方 式，故 安 排 这 5 名 同 学 共 有：3!x2x2=2 4 种 不 同 的 排 列 方 式.故 答 案 为：B2.(2022 河 南 模 拟)某 晚 会 上 需 要 安 排 4 个 歌 舞 类 节 目 和 2 个 语 言 类 节 目 的 演 出 顺 序，要 求 语 言 类 节 目 之 间

23、 有 且 仅 有 2 个 歌 舞 类 节 目，则 不 同 的 演 出 方 案 的 种 数 为().A.72 B.96 C.120 D.144【答 案】D【解 析】第 一 步：全 排 列 2 个 语 言 类 的 节 目，共 有 用 种 情 况，第 二 步：从 4 个 歌 舞 类 节 目 中 选 出 2 个 节 目 放 入 2 个 语 言 类 的 节 目 之 间，共 有 4 种 情 况，第 三 步：再 将 排 好 的 4 个 节 目 视 为 一 个 整 体，与 其 余 的 两 个 歌 舞 节 目 全 排 列，共 有 用 种 情 况，所 以 N=A：禺=144。故 答 案 为：D3.(2022.广

24、东)有 7 名 同 学，其 中 3 名 男 生、4 名 女 生，求 在 下 列 不 同 条 件 下 的 排 法 种 数.(1)选 5 人 排 成 一 排；(2)全 体 站 成 一 排，女 生 互 不 相 邻；(3)全 体 站 成 一 排，其 中 甲 不 站 在 最 左 边，也 不 站 在 最 右 边；(4)全 体 站 成 一 排，其 中 甲 不 站 在 最 左 边，乙 不 站 在 最 右 边；(5)男 生 顺 序 已 定，女 生 顺 序 不 定；(6)站 成 三 排，前 排 2 名 同 学，中 间 排 3 名 同 学，后 排 2 名 同 学，其 中 甲 站 在 中 间 排 的 中 间 位 置；

25、(7)7名 同 学 站 成 一 排，其 中 甲、乙 相 邻，但 都 不 与 丙 相 邻；(8)7名 同 学 坐 圆 桌 吃 饭，其 中 甲、乙 相 邻.【答 案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【解 析】(1)从 7 人 中 选 5 人 排 列，排 法 有 A；=2520(种).(2)先 排 男 生，有 A；种 排 法，再 在 男 生 之 间 及 两 端 的 4 个 空 位 中 排 女 生，有 A：种 排 法.故 排 法 共 有A；A：=144（种）.（3）方 法 一（特 殊 元 素 优 先 法）先 排 甲，有 5 种 排

26、法，其 余 6 人 有 A：种 排 法，故 排 法 共 有 5 X A：=3600（种）.方 法 二（特 殊 位 置 优 先 法）左 右 两 边 位 置 可 安 排 除 甲 外 其 余 6 人 中 的 2 人，有 A：种 排 法，其 他 位 置 有 A；种 排 法，故 排 法 共 有 A：A；=3600（种）.（4）方 法 一 分 两 类：第 一 类，甲 在 最 右 边，有 A；种 排 法：第 二 类，甲 不 在 最 右 边，甲 可 从 除 去 两 端 后 剩 下 的 5 个 位 置 中 任 选 一 个，有 5 种 排 法，而 乙 可 从 除 去 最 右 边 的 位 置 及 甲 的 位 置 后

27、 剩 下 的 5 个 位 置 中 任 选 一 个，有 5 种 排 法，其 余 人 全 排 列，有 A；种 排 法.故 排 法 共 有 A：+5X5X A；=3720（种）.方 法 二 7 名 学 生 全 排 列，有 A；种 排 法，其 中 甲 在 最 左 边 时，有 A：种 排 法，乙 在 最 右 边 时，有 A：种 排 法，甲 在 最 左 边、乙 在 最 右 边 都 包 含 了 甲 在 最 左 边 且 乙 在 最 右 边 的 情 形，有 A；种 排 法，故 排 法 共 有 A；-2 A：+A；=3720（种）.（5）7 名 学 生 站 成 一 排，有 A；种 排 法，其 中 3 名 男 生

28、的 排 法 有 A；种，由 于 男 生 顺 序 已 定，女 生 顺 序 不 定，故 排 法 共 有 冬=840（种）.（6）把 甲 放 在 中 间 排 的 中 间 位 置，则 问 题 可 以 看 成 剩 余 6 人 的 全 排 列，故 排 法 共 有 A：=720（种）.（7）先 把 除 甲、乙、丙 3 人 外 的 4 人 排 好，有 A：种 排 法，由 于 甲、乙 相 邻，故 再 把 甲、乙 排 好，有 A；种 排 法,最 后 把 排 好 的 甲、乙 这 个 整 体 与 丙 分 别 插 入 原 先 排 好 的 4 人 之 间 及 两 端 的 5 个 空 隙 中，有 A；种 排 法.故 排 法

29、 共 有 A：A；A；=960（种）.（8）将 甲、乙 看 成 一 个 整 体，相 当 于 6 名 同 学 坐 圆 桌 吃 饭，有!A：种 排 法，甲、乙 两 人 可 交 换 位 置，故 排 6法 共 有，A；A；=240（种）.O考 点 二 排 数【例 2】（2021江 苏）用 0,1,2,3,4,5 这 六 个 数 字：（最 后 运 算 结 果 请 以 数 字 作 答）（1）能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 四 位 偶 数？（2）能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 为 5 的 倍 数 的 四 位 数？（3）能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 比 123

30、0大 的 四 位 数？【答 案】(1)156(2)108(3)284【解 析】(1)符 合 要 求 的 四 位 偶 数 可 分 为 三 类：第 一 类：0 在 个 位 时 有 用 个；第 二 类：2 在 个 位 时，首 位 从 1,3,4,5 中 选 定 1个(有 A：种)，十 位 和 百 位 从 余 下 的 数 字 中 选(有 片 种)，于 是 有 个：第 三 类：4 在 个 位 时，与 第 二 类 同 理，也 有 A；/个.由 分 类 加 法 计 数 原 理 知，共 有 四 位 偶 数：6+A：A：+A 1 A：=1 5 6 个.(2)符 合 要 求 的 数 可 分 为 两 类：个 位 数

31、 上 的 数 字 是 0 的 四 位 数 有 用 个：个 位 数 匕 的 数 字 是 5 的 五 位 数 有 可 否 个.故 满 足 条 件 的 五 位 数 的 个 数 共 有&+A：A：=1 0 8 个.(3)符 合 要 求 的 比 1230大 的 四 位 数 可 分 为 四 类:第 一 类：形 如 2口 口 口，3口 口，4口 口 口，5口 口 口，共 4卜 个；第 二 类：形 如 13口 口，14口 口，15口 口，共 有 A1-A-个；第 三 类：形 如 124口，125口，共 有 个；第 四 类：形 如 123口，共 有 个 由 分 类 加 法 计 数 原 理 知，无 重 复 数 字

32、 且 比 1230大 的 四 位 数 共 有：A：-6+4-A：+4-A+N=2 8 4 个.【一 隅 三 反】1.(2022 西 安 模 拟)由 1,2 3 4,5组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数，则 组 成 的 五 位 数 是 奇 数 的 概 率 是()1 2 3 3A.-B.-C.-D.2 5 4 5【答 案】D【解 析】由 1,2,34,5组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数，基 本 事 件 总 数 为：8=1 2 0；72 3其 中 是 奇 数 的 基 本 事 件 个 数 为：C；A：=7 2,.所 求 概 率 P=-故 答 案 为：D.120 52.(202

33、2 全 国 高 三 专 题 练 习)用 数 字 1,2,3,4,5 组 成 没 有 重 复 数 字 的 数，问(1)能 够 组 成 多 少 个 五 位 奇 数？(2)能 够 组 成 多 少 个 正 整 数？(3)能 够 组 成 多 少 个 大 于 40000的 正 整 数？【答 案】(I)72；(2)325；(3)48；【解 析】(1)首 先 排 最 个 位 数 字，从 1、3、5 中 选 1个 数 排 在 个 位 有 4=3 种，其 余 4 个 数 全 排 列 有 父=24种，按 照 分 步 乘 法 计 数 原 理 可 得 有=72个 五 位 奇 数;(2)根 据 题 意,若 组 成 一 位

34、 数，有 5 种 情 况，即 可 以 有 5 个 一 位 数；若 组 成 两 位 数，有&=20种 情 况，即 可 以 有 20个 两 位 数;若 组 成 三 位 数，有#=60种 情 况，即 可 以 有 60个 三 位 数;若 组 成 四 位 数，有 4=120种 情 况，即 可 以 有 120个 四 位 数;若 组 成 五 位 数，有 8=1 2 0 种 情 况，即 可 以 有 120个 五 位 数;则 可 以 为 5+20+60+120+120=325个 正 整 数；(3)根 据 题 意，若 组 成 的 数 字 比 40000大 的 正 整 数，其 首 位 数 字 为 5 或 4,有 2

35、 种 情 况；在 剩 下 的 4 个 数，安 排 在 后 面 四 位，共 有 C；A：=48种 情 况，则 有 48个 比 40000大 的 正 整 数；3.(2021民 大 附 中 海 南 陵 水 分 校)用 0、1、2、3、4 五 个 数 字：(1)可 组 成 多 少 个 五 位 数；(2)可 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 五 位 数；(3)可 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 且 是 3 的 倍 数 的 三 位 数；(4)可 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 五 位 奇 数.【答 案】(1)2500(2)96(3)20(4)36【解 析】用 0、1、2、

36、3、4 五 个 数 字 组 成 五 位 数，相 当 于 从 I、2、3、4 四 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 万 位，有 C：种 情 况,从 0、1、2、3、4 五 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 千 位，有 C；种 情 况，从 0、I、2、3、4 五 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 百 位，有 C；种 情 况，从 0、1、2、3、4 五 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 十 位，有 C；种 情 况，从 0、1、2、3、4五 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 个 位，有 C；种 情 况，所 以 可 组 成 C；x C；x C；x C；x C；=4 x 5=

37、2500个 五 位 数.(2)用 0、1、2、3、4 五 个 数 字 组 成 无 重 复 数 字 的 五 位 数，相 当 于 先 从 1、2、3、4 四 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 万位，有 c；种 情 况，再 把 剩 下 的 三 个 数 字 和 0 全 排 列，有 A：种 情 况，所 以 可 组 成 C；A：=4x24=9 6个 无 重 复 数 字 的 五 位 数.（3）无 重 复 数 字 的 3 的 倍 数 的 三 位 数 组 成 它 的 三 个 数 字 之 和 必 须 是 3 的 倍 数，所 以 三 个 数 字 必 须 是 0、1、2 或 0、2、4 或 1、2、3 或 2、

38、3、4,若 三 个 数 字 是 0、1、2,则 0 不 能 放 在 百 位，从 1和 2 两 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 百 位，有 C；种 情 况，再 把 剩 下 的 一 个 数 字 和 0 全 排 列，有 A；种 情 况；若 三 个 数 字 是 0、2、4,则 0 不 能 放 在 百 位，从 2 和 4 两 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 百 位，有 C；种 情 况，再 把 剩 下 的 一 个 数 字 和 0 全 排 列，有 A；种 情 况；若 三 个 数 字 是 1、2、3,则 相 当 于 对 这 三 个 数 字 全 排 列，有 A；种 情 况；若 三 个 数 字 是

39、 2、3、4,则 相 当 于 对 这 三 个 数 字 全 排 列，有 A；种 情 况.所 以 根 据 分 类 计 数 原 理,共 可 组 成 C；xA；+C；xA；+A；+A；=2 x 2+2x2+6+6=20个 无 重 复 数 字 的 且 是 3 的 倍 数 的 三 位 数.（4）由 数 字 0、1、2、3、4 五 个 数 字 组 成 无 重 复 数 字 的 五 位 奇 数，则 放 在 个 位 的 数 字 只 能 是 奇 数，所 以 放 在 个 位 数 字 只 能 是 1或 3,所 以 相 当 于 先 从 1、3 两 个 数 字 中 抽 取 一 个 放 在 个 位，有 C；种 情 况，再 从

40、 剩 下 的 四 个 数 字 中 除 去 0 抽 取 一 个 放 在 万 位，有 C；种 情 况，再 对 剩 下 的 三 个 数 字 全 排 列，有 A；种 情 况，所 以 可 组 成 C；xC；xA；=2 x 3 x 6=36个 无 重 复 数 字 的 五 位 奇 数.考 点 三 分 组 分 配【例 3】（2022全 国 高 三 专 题 练 习）按 下 列 要 求 分 配 6 本 不 同 的 书，各 有 多 少 种 不 同 的 分 配 方 式？（1）分 成 三 份 份 1本,1份 2 本,1份 3 本；（2）甲、乙、丙 三 人 中,一 人 得 1本,一 人 得 2 本,一 人 得 3 本；（

41、3）平 均 分 成 三 份，每 份 2 本；（4）平 均 分 配 给 甲、乙、丙 三 人，每 人 2 本；（5）分 成 三 份,1份 4 本,另 外 两 份 每 份 1本；（6）甲、乙、丙 三 人 中,一 人 得 4 本，另 外 两 人 每 人 得 1本；（7）甲 得 1本，乙 得 1本，丙 得 4 本.【答 案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解 析】（I）无 序 不 均 匀 分 组 问 题.先 选 1本 有 C；种 选 法;再 从 余 下 的 5本 中 选 2 本 有 以 种 选 法;最 后 余 下 的 3本 全 选 有 C；种 选 法

42、.故 共 有=60（种）选 法.（2）有 序 不 均 匀 分 组 问 题.由 于 甲、乙、丙 是 不 同 三 人，在 1题 的 基 础 上，还 应 考 虑 再 分 配，共 有=360.（3）无 序 均 匀 分 组 问 题.先 分 三 步 厕 应 是 种 选 法，但 是 这 里 出 现 了 重 复.不 妨 记 六 本 书 为 A、B、C,D,E.F，若 第 一 步 取 了 AB,第 二 步 取 了 8,第 三 步 取 了 E F,记 该 种 分 法 为（AB.8,即）,则 C：C：C；种 分 法 中 还 有（AB.EF.CD）.（CD.AB.E F）,（CD.EF.A B）,（EF.CD.A B

43、）.（E F,A 8.8）洪 有 用 种 情 况，而 这 段 种 情 况 仅 是 AB,C D E尸 的 顺 序 不 同，因 此 只 能 作 为 种 分 法,故 分 配 方 式 有=15.(4)有 序 均 匀 分 组 问 题.在 3题 的 基 础 上 再 分 配 给 3 个 人,共 有 分 配 方 式 笺 4 A；=90（种）.(5)无 序 部 分 均 匀 分 组 问 题.共 有 笺 G=15（种）分 法.4(6)有 序 部 分 均 匀 分 组 问 题.在 5题 的 基 础 上 再 分 配 给 3个 人 洪 有 分 配 方 式 等.=9。（种）.(7)直 接 分 配 问 题.甲 选 1本 有

44、C：种 选 法，乙 从 余 下 5 本 中 选 1本 有 种 选 法，余 下 4 本 留 给 丙 有 C：种 选 法.共 彳 jC：C；C：=30（种）选 法.【一 隅 三 反】1.（2022 贵 州 模 拟）为 有 效 阻 断 新 冠 肺 炎 疫 情 传 播 徐 径，构 筑 好 免 疫 屏 障，从 2022年 1月 1 3日 开 始,某 市 启 动 新 冠 病 毒 疫 苗 加 强 针 接 种 工 作，凡 符 合 接 种 第 三 针 条 件 的 市 民，要 求 尽 快 接 种.该 市 有 3 个 疫 苗 接 种 定 点 医 院，现 有 8 名 志 愿 者 将 被 派 往 这 3 个 医 院 协

45、 助 新 冠 疫 苗 接 种 工 作，每 个 医 院 至 少 2 名 至 多 4 名 志 愿 者，则 不 同 的 安 排 方 法 共 有（）A.2940 种 B.3000 种 C.3600 种 D.5880 种【答 案】A【解 析】根 据 题 意，这 8 名 志 愿 者 人 数 分 配 方 案 共 有 两 类：第 一 类 是 2,2,4,第 二 类 是 3,3,2,故 不 同 的 安 排 方 法 共 有%y 5%y%盘=2 9 4 0 种；故 答 案 为：A.2.(2022 浙 江 模 拟)为 有 效 防 范 新 冠 病 毒 蔓 延，国 内 将 有 新 型 冠 状 肺 炎 确 诊 病 例 地

46、区 及 其 周 边 划 分 为 封 控 区、管 控 区、防 范 区.为 支 持 某 地 新 冠 肺 炎 病 毒 查 控，某 院 派 出 医 护 人 员 共 5 人，分 别 派 往 三 个 区，每 区 至 少 一 人，甲、乙 主 动 申 请 前 往 封 控 区 或 管 控 区，且 甲、乙 恰 好 分 在 同 一 个 区，则 不 同 的 安 排 方 法 有()A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.30 种【答 案】C【解 析】若 甲 乙 和 另 一 人 共 3 人 分 为 一 组，则 有 2。；&=12种 安 排 方 法；若 甲 乙 两 人 分 为 一 组，另 外 三 人 分 为 两 组，

47、一 组 1人，一 组 两 人，则 有=12种 安 排 方 法，综 上：共 有 12+12=24种 安 排 方 法.故 答 案 为：C3.(2021江 苏 期 中)按 照 下 列 要 求，分 别 求 有 多 少 种 不 同 的 方 法？(列 式 并 用 数 字 作 答)(1)5个 不 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 放 一 个 小 球：(2)6 个 不 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 一 个 小 球；(3)6 个 相 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 一 个 小 球；

48、(4)6 个 不 同 的 小 球 放 入 4 个 不 同 的 盒 子，恰 有 1个 空 盒.【答 案】(1)240(2)1560(3)10(4)2160【解 析】(1)解：从 5 个 不 同 的 小 球 中 任 取 2 个 小 球 当 成 一 个 元 素，连 同 其 余 3个 元 素 作 全 排，共 有=10 x24=240 种(2)解：若 四 个 盒 子 中 小 球 的 个 数 为：3:1:1:1，则 共 有 20 x24=4 8 0 种,若 四 个 盒 子 中 小 球 的 个 数 为:2:2:1:1,则 共 有 Q.A4=1 5 X6X 24=10802种，所 以 共 有 480+1080

49、=1560种(3)解：等 价 于 2 个 相 同 的 元 素 填 入 四 个 不 同 的 空 位，共 有 4+C：=4+6=1 0 种(4)解：从 4 个 不 同 的 盒 子 中 选 一 个 盒 子 空 着，有 C：=4 种，另 外 三 个 盒 子 中，小 球 的 个 数 可 能 为：4:1:1,3:2:1，2:2:2,若 为，则 共 有 C X=15x6=9 0 种;若 为,则 共 有 C：C；C：A；=3 6 0种;若 为，则 共 有=15x6x1=9 0 种,所 以 一 共 有 4(90+360+90)=2160 种.考 点 四 涂 色 例 4（2022 陈 仓 二 模）如 图 是 某

50、届 国 际 数 学 家 大 会 的 会 标，现 在 有 4 种 颜 色 给 其 中 5 个 小 区 域 涂 色,规 定 每 个 区 域 只 涂 一 种 颜 色，相 邻 区 域 颜 色 不 相 同，则 不 同 的 涂 色 方 案 种 数 为（）A.72 B.48 C.36 D.24【答 案】A【解 析】由 图 知：（1,3）,（2,4）两 组 颜 色 可 以 相 同，若 涂 4 种 颜 色：（1,3）颜 色 相 同，则 4 种 选 一 种 涂（1,3）有 C；,余 下 3 种 颜 色 涂 3 个 区 域 有 A；,共 C：A；=2 4 种，同 理（2,4）颜 色 相 同 也 有 24种；若 涂