高考数学复习02三角函数与解三角形（解析版）-2021年高考数学专练(新高考).pdf

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1、重难点0 2三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。1、题目分布：一大一小，或 三小，或 二小（小 指选择题或填空题，大 指解答题），解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其 综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（

2、7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。3、新题型的考察：（2）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。【知识点分析及满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三 角 函 数，是高考考查

3、知识的重要载体，是三角函数的基础。五点法 画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题（选择题、填空题、解答题）加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化筒、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉.3、回归课本，掌握正余弦定理与三角形中的边角关

4、系及应用从正余弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，精选课本中的例、习题进行解答推广并加以应用，灵活求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化，得出面积公式的不同表达式，判断三角形的形状等间题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.4、注意在三角函数和解三角形中渗透思想方法的应用复习三角函数是特殊的函数，其思想方法多种多样，复习时要重视思想方法的渗透。数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，如三角函数在闭区间上的最值问题可以利用三角函数的图像和性质，三角函数的零点问题、对称中心、对称轴以及三角函数的平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角

5、函数转化为未知数的表达式，列出方程，就能把问题转化为含有未知数的方程问题加以解决。【限时检测】（建议用时：60分钟）一、单选题（吟（吟 7cos a cos a+-1.（2020 四川成都市高三其他模拟（理）已知。（，力 且满足 I 4J 1 4J 18,则c o s 2 a=（）_j_ 2_ _2 ZA.B.18 C.D.9【答案】C【分析】由和与差的余弦公式以及二倍角公式化简即可求出.【详解】.4 a-c os j a +4I 4j I 4j71 71(71 71 c os a c os +s i n a s i n c os 6 r c os s i n(7 s i n 4 4人 4 4

6、)=；(c os a +s i n a)(c os a -s i n o)=；(c os*2。3一 s i n 2 a)=；c os 2 as i n(a +)+c os(a +-)=-isi n a +c os a+而 3 6 2 2 2G c os a -s i n a =故选：B.3.（2 0 2 0 全国高三其他模拟（文）将函数/（）=s i n x的图象上各点横坐标变为原来的5,纵坐标不7.c os 2 a =-Z9故选：C.s i n a一百 c os a =2.（2 0 2 0 四川宜宾市 高三一模（理）已知 5()4525 /2万、,兀、s m(a H-)+c os(a +)=

7、则 3 62A.B.C.0D.5【答案】B【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值.【详解】s i n a -G c os a =因为 5,所以.7C1s i n a-I 351.c os a s i n a2变，再将所得图象向左平移3个单位，得到函数名5）的图象，则函数8（*）的解析式为（）g(x)=s i ng(x)=s i ng(x)=s i n【答案】D【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到gG）的函数解析式.【详解】将/G）=s i n x图象上各点横坐标变为原来的万，得 =5沦2，.g（x）=s i n 2（x +工=s i n 2

8、x +再向左平移3个单位后得：3 I 3 =ar故边框的长度AC +D B +B +D =2(R-r)+a R +ar=2 l-R +(3-4 5 y r R +(3-/5 y r-R二 0,0 4 1）图象的一部分,_ Q +6 _ 石+%2X 可 得4=2,函数的图象关于直线 2 2 对称,Q +6=X+工2_冗 7 7 12。+夕=-2b+（p=由五方法作图可得 2,2 a+b=-(pLV 3再根据/(X1+X2)=/(a+6)=2cos(-29+)=2cos(-)=J3 可得2(p=-/(x)=2cos(2x+.).6,.T T2x+e(0,乃)乃 54）故/（）在112T 2）上是减

9、函数，故选：B.1 .-V3 2y=-sin 2x H-cos x7.（2020 全 国福建省漳州市教师进修学校高三二模（文）若曲线 4 2 在（I）,（2歹 2）两点处的切线互相垂直，则上一I的最小值为（）2A.3 B.2 c.3 D.【答案】B【分析】1 .4、Gy=sin 2x+-H-化简可得 21 3J 4,求出导数可得切线斜率在-1，口范围内，即可得出切线斜率必须一个是1.一个是T,即可求出.【详解】1 .o V 3 2 1 .n V 3 1 +C O S 2x 1 .（.万、百y =s in 2x +c os x =s in 2x +x-=s in 2x +.4 2 4 2 2 2

10、 V 3j 4y =c os（2x +g）曲线的切线斜率在 11范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在（再，凹），8（/，%）两点处的切线斜率必须一个是1,一个是不妨设在/点处切线的斜率为1,冗JT2%+=2k、兀*1 G Z）2X2 H=2k21 +7r（k2 G Z）则有 3,3,x,-x.=（k-k）、兀一三二k兀一土（k e Z、则可得 V 7 2 2、j_A_上因为sin80,所以cs 一5,由北（0,万），故3.故选：A.二、多选题9.（2020 全国高三其他模拟）已知函数/（x）=a sin 5 +cos0 x（”为常数，0。）的图象有两条相加 _ 冗邻 的 对 称 轴6和

11、3,则下列关于函数g（x）=sm3x+a c o s 5的说法正确的是（）_ 71A.g 3的最大值为力+1 B.且 的 图 象 关 于 直 线12对称Z、，巴,0）（仁oC.町 在I 3 J上单调递增 D.g的图象关于点16 J对称【答案】B C【分析】根据函数/（X）的最小正周期，得0 =2,进一步求出。，化筒g（“）得gs in (2x +y,针对各选项分别讨论从而得出结论.【详解】T=2乃=2.由已知，函数,（“）的最小正周期 解得0 =2._ 71因为函数/（X）的图象关于直线 6 对称,f(O)=/f V I a s in 0+c os 0=a s in +c os 所以 人 即

12、3 3,解得a =g(x)=s in 2x +V 3 c os 2x =2 s in 2x +所以I 3显然，函数g（“）的最大值为2,故A 项错误;7 1X-当 12时,1 71 7 T2x 4-2 X-F 3 12 37 T27 1_.t 而函数夕=s m f的图象关于直线 2对称，故B项正确;j r _ 7T 7l7l T CX=一_ 2x +=2x -+当 3 时，3(3)3 3,当x=0 时,-71dA 冗 冗2x +=2x 0+=3 3 3而函数J=sin在区间故 C 项正确;71.71 71 71 2%x 2 x H =2 x I=当 6 时，3 6 3 3,（竺。、而函数y =

13、s m f的图象不关于点I 3 J对称，故D项错误.故选：B C.【点睛】方法点睛：正弦型函数/（x）=s in（0 x +*）的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此选择题中在判断立线x =/或 点 是 否 为 函 数 图 象 的 对 称 轴 或 对 称中心时，可通过检验/（/）的值进行判断，即/（为）=*=*。是函数/（”）图象的对称轴方程；/（%）=0 o点（/,0）是函数/（%）图象的对称中心.10.（2020 石家庄市河北正中实验中学高二月考）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在 数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜惠，并大斜基，减中斜嘉，余半

14、之，自乘于上；以小斜靠乘大斜嘉，减2 2 L+八 印4 I 2 上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即 Y L J（S为三角形的面积，b、c为三角形的三边）.现有口/。满足s i n：s i n B:s i n C =2:3:J 7,且/3C的面积S BC=66，则下列结论正确的是（）A.口/。的周长为10+2/7 B.口/万。的三个内角、C、8成等差数列C.口/。的 外 接 圆 半 径 为3 D.口/8。的中线8的长为3亚【答案】A B【分析】本题首先可根据s i n/：s i n 8：s i n C =2:3:j y得出a:b:c=2:3:J7,然后根据以“京=6

15、6以及1 “1+八1s=4 I 2 J求出三边的长，即可判断出A正确，然后根据余弦定理求出 o s。27TCC =-2R=，则 3,A +B=2C t B正确，再然后根据 smC即可判断出c错误，最后根据余弦定理求出co s B=-co s B=-14 ,再根据 1 4求出8长，D错误.【详解】A项：设口/台。的内角“、B、C所对的边分别为。、b、c,因为 s i n 4:s i n 8:s i n C =2:3:,所以由正弦定理可得：b：c=2：3:b,设a=2f,b=3t,c=Q 0),二因为9 力 火6G66=L 7X 4/4，所以 丫 L 7产+4广9丫解得仁2,则。=4,b=6,c=

16、25,故口43 0的周长为10+2不，A正确：c a2+b2-c2 16 +36-28 1B 项：因为 2ab 2x 4 x 6 2,_ T C/c 兀 2 兀 _ _,C =A +B=7 1 =2C所以 3,3 3故口/。的三个内角/、C、8成等差数列，B正确;C =-s i n C =C项：因为 3,所以 22R=由正弦定理得c 277 _ 4721sinC V3 3R*3,C错误;cos 5D项：由余弦定理得a2+c2-b22ac16+28-36 _V 72x4x277-14在 8 8 中 8C=4,80=77,16+7-C D2 gcos 5由余弦定理得2x4x77 14,解 得C0=

17、M,）错误,故选：AB.【点 睛】2_ 7n?=-c-cos Bn =-a-2-+-c-2-b-2本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有 sin C、lac,考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想,是难题.三、填空题11.（2020 四 川 泸 州 市 高 三 一 模（文）在平面直角坐标系X。中，角a与 角）均 以Q x为始边，它们 的终边关于丁轴 对 称.若tana=2,则tan（a 4）=4【答 案】3【分 析】由题意 得 力=%一&,然 后 由tan（a 尸）=t an 2 a求解.【详 解】因为 角0与角/均 以

18、 x为 始 边，它们的终边关于V轴对称，且tana=2,所以夕=%-a./c 2tanatan(a-p)=tan(2a 万)=t an 2a=-所以l-tan2a43,_4故答案为：312.（2020 上海虹口区高三一模）已知&（，），且有 1 2sin2a=cos2a,贝ijcosa旦【答案】5【分析】运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】1 2sin2a=cos2a n 1 -4sinacosa=l-2sin2=sin2a=2sinacosa,因为a w（0,乃），所以sinaw O,sin a-2sinacosa=sin a=2cosa=t

19、ana=2=a w（0,）因此由2,而sirr a +cos a=1（1）；把sina=2cosa 代入 得：4 cos2 a+cos2 a =1 =cos2 a =-=cos a =a e(0,)5 5,而 2,V5cos a=因此 5.75故答案为：51 3.(2 0 2 0 云南高三其他模拟(文)在口8c中，角48，C所对的边为a，b,c,若a ta nB =2 bsi n(8 +C),则角 8 的大小为.71【答案】3【分析】由正弦定理化简已知等式可得si nNta n8 =2 si n8 si n”,结合si n/,可得ta n8 =2 si nB,结合范 cosS =围可得si n

20、6,可得 2 ,即可得解8的值.【详解】解.v a ta n5 =2 Z si n(B +C)=2 bsi n A由正弦定理可得：si n J ta n 5 =2 si n 5 si n J,si n J 0 ,ta n5 =2 si nS ,.5G(0,/T)，si n5 0 ，cos B =2,：.B=-3 .71故答案为：3 .1 4.(2 0 2 0 浙江高三其他模拟)在口力/。中，角4,B,。所对的边分别为&b,c,已知csi n/+瓜cosC =0,则角C=,若4c 8的 角 平 分 线 交 于 点 ，且C O =1,则a b的最小值是 一.2不【答案】；4【分 析】根据正弦定理可

21、得sin Csin N+百sin ZcosC=0,从 而 求 得tanC=-利 用S迹=S ACD+S 8。即 可 解 出=6+a,再结合基本不等式,【详解】因 为csin/+5/JacosC=0,所 以sinCsin/+Visin/cosC=0又 sinNwO,可得 sinC+JJcosC=0,即 tanC=-J i,C _ 2乃因 为0 C xsinl20J=Z?x 1 xsin60+a x 1 xsin60如 图，即2 2 2整理得：ab=b+a,所 以ab 2 2，拓，解 得J石2 2所 以 N 4.百，即可求出角C；即 可 求 出 的 最 小 值2万故答案为：3；4.【点 睛】本题主

22、要考查了利用正弦定理解三角形，利用面积相等，属于中档题四、解答题f（x）=百 sin x-2 cos2 +115.（2020 四 川 泸 州 市 高 三 一 模（理）已知函数.2/9)=2行/+/(I)若 I 求tan a的值;（II）若 函 数/,（X）图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的万 倍 得 函 数8。）的图象，且关于X的 方 程g（x）-?=在L 2 上有解，求m的取值范围.tan立【答 案】（I）9；（II）【分 析】心/。）=2 （a+g l（I）先利用辅助角公式对 I 1进行化简，再根据 I 6人列出方程即可求解.（II）先利用图象变换得到函数g（x）的图象，方 程

23、g（x）一加=在-0,-I2上有解等价于求g（x）在L上的值域，求解即可.【详 解】,/f(x)=V3 sinx-2cos2+1 /-.-2 sin x解：(I)2=V3 smx-cosx k71/.sin/()又71a+671=2A/3 sin a1 si na cos a =222 7 3 si n a即-3 7 3 si n =cosa=一业9 .（II）把“X）图象上所有点横坐标变为原来的5 倍得到函数g（x）的图象,二函数g（x）的解析式为g(x)=2 si n 2x I 60,-关于X 的方程g（x）一加=0在L 2 上有解,0,-等价于求g（x）在L 2 上的值域,T Tv O

24、x -2冗，、乃/5万，-2x-66 6即-l 4 g(x)2,故机的取值范围为1 2【点睛】关键点点睛：本题的关键是把方程g（x）-m =在2 上有解，转化为求g（x）在L 2 上的值域1 6.（2 0 2 0 四川泸州市高三 一 模（理）口/30的内角B,0的对边分别为a,b,c.已知a si.n（z 4 +Bn、）=c si.n-B-+-C(I)求/;（II）已知6=1,c=3,且边8C上有一点。满足=3$二 加,求 4）A 兀 3百A =-AD =-【答案】（I）3；（11）4.【分析】（I）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可:（II）根据三角形

25、面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：(I)由N+8+C=可得:B+C.71 A Asin(J+B)=sin(乃-C)=sin C sin 2 sin =cos Tasin(Z+6)=c s in 又2,得a s m C =c cos 24sin A sinC=sin C cos 由正弦定理得 2.c 八 sin 4=cos 因为sinC H O,所以 2,2 sincos =cos 0 3ab,所以abW 12,当且仅当 =20时等号成立S=-absinC3ab t所以abW 12,当 且 仅 当=时等号成立，5=sin C a b t 当日仅当 Q =b 时，等号成立,c1 ,.

26、V3 一 百所 以 必 41,，S.A Rr=a b s m C =ab MBC 2 4 4 ,V3所以DN/C面积的最大值4 .【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是正确求出“X）的解析式，根据平面向量数量积的坐标表示以及三角变换公式可得x）的解析式，第（2）问的关键是得到a b 的最大值，根据余弦定理和不等式知识可得“6 4 1.19.（20 20 上海青浦区高三一模）如图，矩形N 8CD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在/8上，在梯形OE8C区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在口40E区域内参观.在N E上点P处安装一可旋转的监控摄像头，/加尸乂为监控角，其中、N 在线段OE（

27、含端点）上，且 点 在 点 N 的71f /M P N =八右下方.经测量得知：=6米，/E =6米，/。=2米，4 .记=弧度），监控摄像头的可视区域D PMN的面积为S 平方米.cNE B(1)分 别 求 线 段 尸 关 于 夕 的 函 数 关 系 式，并写出e的取值范围;(2)求S的最小值.P M =-P N =0 +-)+1(2)求出口q邠的面积S 2 c o s 6 +s i n。c o s 4 ,由3兀0 0-a rc t a n 34 结合正弦函数的性质可求S的最小值.【详解】Z P E M =-Z P M E -0(1)在 疫 中，N E P M =3,P E=4 E-4 P

28、=4 米:,4,4P M P E由正弦定理得s i n AP E M s i n AP M E ,c,PE xsin N P E M 2行 4P M -；-=-=-s i n Z.PME s i n（也-历 s i n 8 +c o s 夕所以4PN PE同理似/，、万中，由正弦定理得s i n/P EN s i nZPNE,P E X s i n/P EN 2 7 2 2 7 2PN=-=-=-s i n Z.PNE.(冗 八 c o s。s m 7-。所以1 2 ；当与夕重合时，8 =；当力与重合时，t a n/4 P Z)=3,即乙4尸。=a rc t a n3,7 1 3兀 3 7 1

29、0=71-a rc t a n 3 =-a rc t a n 3 00-a rc t a n 34 4 ，所以 4 ；1 4S=尸河 x P N x s i n ZMPN=-(2)口凡印的面积 2 c o s-e +s i n8 c o s e_ _ _ _ _ _ _ _ 4 _ _ _ _ _ _ _ _ 8 8l+cos2+1s i n2 6?s i n 2 +c o s 2 +1&s i n(2 e +：)+l3 7 r 兀 冗 八 乃 八八00-a rc t a n 3 20+=G 0,a Z c t a n 3因为 4 ，所以当 4 2即 8 L 4 时,8S取得最小值为a +1=8(7 2-1)所以可视区域U/W面积的最小值为8（、分一 1）平方米.【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.