高考数学复习第36讲立体几何中的动态问题（解析版）.pdf

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1、第 3 6讲 立 体 几 何 中 的 动 态 问 题【典 型 例 题】例 1.已 知 矩 形 A3CD,AB=,BC=y/2.将 A的 沿 矩 形 的 对 角 线 5。所 在 的 直 线 进 行 翻 折，在 翻 折 过 程 中（）A.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A C与 直 线 垂 直 B.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A 8与 直 线 CD垂 直 C.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A D与 直 线 垂 直 D.对 任 意 位 置，三 对 直 线“A C与 比，与 CD，“4）与 3 C”均 不 垂 直【解 析】解:如 图，AELBD,CF_L8，依 题 意，A

2、B=,BC=42,AE=CF=,BE=EF=FD=3 3A,若 存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A C 与 宜 线 比）垂 直，则 B D 1 A E,：.8 J平 面 AEC,从 而 B D L E C,这 与 已 知 矛 盾，排 除 A；若 存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 与 直 线 8 垂 直，则 CD_L：面 A B C,平 面 ABC J.平 面 8 8取 3 C 中 点 M,连 接 M E,则 ME_LB），.4 E M 就 是 二 面 角 A-8-C 的 平 面 角，此 角 显 然 存 在,即 当 A在 底 面 上 的 射 影 位 于 8 c 的 中 点 时，直

3、线 A 5与 直 线 8 垂 直，故 B 正 确；C,若 存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 4）与 直 线 B C垂 直，则 3 c _!.平 面 A C D,从 而 平 面 ACD J平 面 8CZ）,即 A 在 底 面 BCD上 的 射 影 应 位 于 线 段 8 上，这 是 不 可 能 的，排 除 CD,由 上 所 述，可 排 除。故 选：B.例 2.已 知 矩 形 ABCD,AB=,BC=2,将 沿 矩 形 的 对 角 线 比）所 在 的 直 线 进 行 翻 折，在 翻 折 的 过 程 中（）A.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 4?和 直 线 CD垂 直 B.存 在 某

4、个 位 置，使 得 直 线 A C和 直 线 如 垂 直 C.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 4）和 直 线 8 C垂 直 D.无 论 翻 折 到 什 么 位 置，以 上 三 组 直 线 均 不 垂 直【解 析】解：对 于 A,若 存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A 3与 直 线 6 垂 直,C D B C,二 8 _ 1 平 面 43。，平 面 ABC 平 面 BCD，过 点 A作 平 面 BCD的 垂 线 AE,则 E 在 fiC 1 1.当 A在 平 面 BCD上 的 射 影 在 3 C 上 时，A B L C D.故 A正 确；对 于 3,若 存 在 某 个 位 置，使

5、 得 直 线 AC与 直 线 BD垂 直，作 则 比 _1 _平 面 4 P,.Q _ L E C,显 然 这 是 不 可 能 的，故 8 错 误;对 于 C,若 存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 4)与 直 线 8 c 垂 直，则 5C_L 平 面 ACD,BCJ_AC，:.A B B C,即 1 2,显 然 这 是 不 可 能 的，故 C错 误.故 选：A.例 3.如 图，已 知 AAfiC,CD为 NACB的 角 平 分 线，沿 直 线 8 将 AACZ)翻 折 成 ACZ),所 成 二 面 角 A-C-3的 平 面 角 为。，贝 1()A.ZADB 9,ZACB 0 B.ZADB

6、 0,ZACB.0C.ZADB.e,ZACB e D.ZA D B.0,ZACB.0【解 析】解：当 AC=3 C时，ZADB=0,ZA!CB0,当 AC#8 C时，如 图，点 W投 影 在 AE上，0=Z A O E,连 结 A4LZADA!ZA O E,ZAOE.ZACE,即 Z 4 D B e.综 上，AADB.0,ZACB e.故 选：c.例 4.平 面 a 的 斜 线 A B交 a 于 点 3,过 定 点 A 的 动 直 线/与 A 3垂 直，且 交 a 于 点 C,则 动 点 C 的 轨 迹 是（）A.一 条 直 线 B.一 个 圆 C.一 个 椭 圆 D.双 曲 线 的 一 支【

7、解 析】解：如 图，设/与 r 是 其 中 的 两 条 任 意 的 直 线，则 这 两 条 直 线 确 定 一 个 平 面 夕，且 a 的 斜 线 A 3,尸，由 过 平 面 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直 可 知 过 定 点 A 与 垂 直 所 有 直 线 都 在 这 个 平 面 内,故 动 点 C 都 在 平 面 力 与 平 面 a 的 交 线 上，故 选：A.例 5.如 图，斜 线 段 4?与 平 面 a 所 成 的 角 为 60。，B 为 斜 足，平 面 e 上 的 动 点 P 满 足 5 3=30。，则 点 尸 的 轨 迹 是（）抛 物 线 C

8、.椭 圆 D.双 曲 线 的 一 支【解 析】解：用 垂 直 于 圆 锥 轴 的 平 面 去 截 圆 锥，得 到 的 是 圆；把 平 面 渐 渐 倾 斜，得 到 椭 圆；当 平 面 和圆 锥 的 一 条 母 线 平 行 时，得 到 抛 物 线.此 题 中 平 面 a 上 的 动 点 尸 满 足 4$=30。，可 理 解 为 P 在 以 A B为 轴 的 圆 锥 的 侧 面 上，再 由 斜 线 段 至 与 平 面。所 成 的 角 为 60。，可 知 P 的 轨 迹 符 合 圆 锥 曲 线 中 椭 圆 定 义.故 可 知 动 点 尸 的 轨 迹 是 椭 圆.故 选：C.例 6.如 图，已 知 正

9、四 面 体 ABC（所 有 棱 长 均 相 等 的 三 棱 锥），P、Q、R 分 别 为、B C、CA上 的 点，A P=P B,丝=包=2,分 别 记 二 面 角 O-P R-Q,D-P Q-R,-Q R-尸 的 平 面 角 为 a、。、A.y a f3 B.a y(3 C.a p y D.(3 y a【解 析】解 法 一：如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系.设 底 面 AABC的 中 心 为 O.不 妨 设 O P=3.则 0(0,0,0),P(0,-3,0),C(0,6,0),)(0,0,6夜)，8(3 4,-3,0).。(疯 3,0),/?(-2 6 0,0),PR=(

10、-2月,3,0),PD=(0,3,6拒)，PQ=(6,6,0),QR=(-3 6,一 3,0),。=(-6,-3,6 夜).“F h-乩 一 一、，n-PR=0 一,口 2 G x+3y=0设 平 面 产 次 的 法 向 量 为=(x,y,z),则 J,可 得 1 厂，n-PD=0 3y+6V2z=0可 得”=(,2&,-1),取 平 面 ABC的 法 向 量 加=(0,0,1).m.i m n-1 1W J cos=-=,1|Z a-arccos；=.I m1 I V15 V153 y/2,同 理 可 得：B=arccos=.r=arccos j=.V681 V951 0 3-V15 x/9

11、5/68T:.a y p.解 法 二：如 图 所 示，连 接 O P,OQ,OR,过 点。分 别 作 垂 线：O E V P R,OF A.PQ,O G L Q R,垂 足 分 别 为 E,F,G,连 接 D E，D F，DG.设 8=/?.则 tan aODO Eg ifflF n 犯。OD OD同 理 可 得：tan B=-,tan r=-OF OG由 已 知 可 得：O E O G O F.tancr tany a,y 为 锐 角.:.a y/1 C.25/2 D.3【解 析】解：设 N A C=6,则 N8C=90。，作 AM_LCD 丁 BN L C D 于-N,于 是 A M=3s

12、in，CN=2sin6,/.M N=|2sin。一 3cos 创，A-CD 6 是 直 二 面 角，A M L C D BN 工 CD,.AM 与 BV 成 90。角,AB=sitrO+4COS20+(2sin 0-3cos(9)2=，4+9 6s6M.币.当 6=45。，即 C D 是 Z A C B 的 平 分 线 时，AB有 最 小 值，最 小 值 是 小.故 选：B.A B|G A中，E 为 C G 的 中 点，点 P,。分 别 为 面 A4 G 和)c.T H D.V 1 2【解 析】解：由 题 意 得：APEQ周 长 取 最 小 值 时，尸 在 耳 G 上,在 平 面 4 G C

13、B上，设 E 关 于 B|C的 对 称 点 为“，关 于 耳 G 的 对 称 点 为 N,连 结 M N，当 M N%B 的 交 点 为 P，M N-)8 c 的 交 点 为 M 时,则 M N 是 APEQ周 长 的 最 小 值,E M=2,EN=y/2,Z M E N=135,.,.MN=14+2-2x2x 壶 x（-争 二 如.APE。周 长 的 最 小 值 为 y/W.故 选：B.例 9.如 图，棱 长 为 1的 正 方 体 A 8 C Q-A 4 G A中，P 为 线 段 A 4 的 中 点，M,N 分 别 为 体 对 角 线 AG和 棱 G A 上 任 意 一 点，则 2PM+夜

14、M N的 最 小 值 为（）A.B.72 C.2 D.2&2【解 析】解：如 图，连 接 A C，A C，取 A C 中 点 E,过 M 作 敏 _ 1面 4 8 6 0F 为 A C 上 一 点，易 得 AAEWM AAEW,故 P M=E M,而 对 固 定 点 M,当 M NJ.8C1时，M N 最 小，此 时 由“/J_A4CQ I，可 知&/N 为 等 腰 直 角 三 角 形,M F=M N，2故 2PM+叵 M N=2（PM+半 M N）瞰 E M+M F）2 A4,=2.则 2 P M+J5 M N的 最 小 值 为 2.故 选：C.【同 步 练 习】选 择 题 1.设 三 棱

15、锥 的 底 面 是 正 三 角 形，侧 棱 长 均 相 等，P 是 棱 幺 上 的 点（不 含 端 点），记 直 线 P B与 直 线 A C所 成 的 角 为。，直 线 尸 3 与 平 面 ABC所 成 的 角 为/，二 面 角 P-A C-3 的 平 面 角 是 7 则 三 个 角 a,尸，/中 最 小 的 角 是（）A.a B.p C.y D.不 能 确 定【解 析】解：作 尸。C 4交 VC于。，由 三 棱 锥 V-A B C的 底 面 是 正 三 角 形，侧 棱 长 均 相 等，可 得 三 棱 锥 V-4 5 C 是 正 三 棱 锥，由 对 称 性 知 如=必，取 P D的 中 点，

16、连 接 5,作 平 面 ABC，交 平 面 ABC于 H,连 接 B H，作 尸 尸 _L平 面 ABC,交 平 面 A B C 于 F,连 接 B F，作 PG _ L A C于 G,连 接 GF,所 以 BELPD,由 于 P D/A C,所 以 a=N 3 P,由 于 P F _L平 面 ABC，所 以/=N P 8 f,由 于 PG_LAC,P F _L平 面 A B C,所 以 y=N P G F,sina=至=叵 三 匠 叵=里,因 为 P D/C 4,E 在 P D 上,m L 平 面 PB PB BP BPpp FH产 口 _ 1平 面 他。于 尸，所 以=所 以 sin/?=

17、，所 以 s i n a s i n,由 于 a,4 都 是 锐 BP BP角，所 以 a,pp pp PF由 于 P 在 0 1 上，由 结 称 性 知 PB=C P,而 C P P G,则 siny=s in,PG CP BP由 于 7 为 锐 角，所 以 7/，综 上 所 述：三 个 角 中 的 最 小 角 为 力.故 选：B.2.斜 线 段 A 5与 平 面 a 所 成 的 角 为 60。，B 为 斜 足，点 尸 是 平 面 a 上 的 动 点 且 满 足 N M=60。，则 动 点 P 的 轨 迹 是（）A.直 线 B.抛 物 线 C.椭 圆 D.双 曲 线 的 一 支【解 析】解：

18、用 垂 直 于 圆 锥 轴 的 平 面 去 截 圆 锥，得 到 的 是 圆；把 平 面 渐 渐 倾 斜，得 到 椭 圆；当 平 面 和 圆 锥 的 一 条 母 线 平 行 时，得 到 抛 物 线.此 题 中 平 面 a 上 的 动 点 P 满 足 N R$=60,可 理 解 为 P 在 以 4?为 轴 的 圆 锥 的 侧 面 上，再 由 斜 线 段 4 3 与 平 面。所 成 的 角 为 60。，可 知 P 的 轨 迹 符 合 圆 锥 曲 线 中 抛 物 线 定 义.故 可 知 动 点 P 的 轨 迹 是 抛 物 线.故 选：B.3.正 方 体 中，设 M 是 底 面 正 方 形 ABC。所

19、在 平 面 内 的 一 个 动 点，且 满 足 点 到 点）和 点 G 的 距 离 相 等，则 以 下 说 法 正 确 的 是（）A.点 的 轨 迹 是 圆 B.点”的 轨 迹 是 直 线 C.点 M 的 轨 迹 是 椭 圆 D.点 M 的 轨 迹 是 抛 物 线【解 析】解：如 图 所 示，对 角 面 AtBCDl与 底 面 的 交 线 3 c 的 任 意 一 点 M：点 M 到 点。和 点 C,的 距 离 相 等，则 点”在 线 段 8 c 上.故 选：B.4.如 图 所 示 正 方 体 A 8 C D-A 4 G.,设 是 底 面 正 方 形 ABCD内 的 一 个 动 点，且 满 足

20、直 线 G。与 直 线 所 成 的 角 等 于 30。，则 以 下 说 法 正 确 的 是()A.点 用 的 轨 迹 是 圆 的 一 部 分 B.点 M 的 轨 迹 是 椭 圆 的 一 部 分 C.点 M 的 轨 迹 是 双 曲 线 的 一 部 分 D.点 用 的 轨 迹 是 抛 物 线 的 一 部 分【解 析】解：由 题 意，设 正 方 体 的 棱 长 为 1,建 立 坐 标 系，M(x,y,0),(Ogijc 1,喷 少 1),则 G=(0,1，-1),C,Af=(x,y i f 1),直 线 G。与 直 线 CXM 所 成 的 角 等 于 30,2 ycos 30=-),l2yjx2+(

21、y 1)+1化 简 可 得 丁+必 立 匚=i,3 点 M 的 轨 迹 是 椭 圆 的 一 部 分，故 选：B.5.如 图，正 四 面 体 4 5 c o 中，P、Q、R 在 棱 4 3、A D,A C上，且 AQ=Q O,-=分 PB RA 2别 记 二 面 角 A-P Q-R,A-P R-Q,A-Q R-P 的 平 面 角 为 a、y,则()C.a y p D.a/3y【解 析】解：观 察 可 知，a/3y,a 为 钝 角，/均 为 锐 角，平 缓 一 点，/陡 急 一 点,则 a/,故 选：D.6.如 图，直 线/!.平 面 a,垂 足 为 O,正 四 面 体 ABCD的 棱 长 为 8

22、,C 在 平 面 c 内，3 是 直 线/上 的 动 点，则 当 O 到 4）的 距 离 为 最 大 时，正 四 面 体 在 平 面 a 上 的 射 影 面 积 为（）A.4+2 0 B.16+8&C.8+8 0D.16【解 析】解：由 题 意，直 线 8 c 与 动 点。的 空 间 关 系：点 O 是 以 8 c 为 直 径 的 球 面 上 的 点，所 以。到 AD的 距 离 为 四 面 体 上 以 B C为 直 径 的 球 面 上 的 点 到 的 距 离，最 大 距 离 为 A D到 球 心 的 距 离（即 5 c 与 4。的 公 垂 线）+半 径=4夜+4.再 考 虑 取 得 最 大 距

23、 离 时 四 面 体 的 投 影 情 况，此 时 我 们 注 意 到 垂 直 平 面 O 8 C，且 平 行 平 面 a,故 其 投 影 是 以 4为 底，。到 4。的 距 离 投 影，即（4&+4）cos45o=4+2应 为 高 的 等 腰 三 角 形，其 面 积=1 x 8 x（4+2 应）=16+8 后.2故 选：B.7.直 线 机 _L平 面 a,垂 足 是 O,正 四 面 体 A 8C D的 棱 长 为 4,点 C 在 平 面 a 上 运 动，点 5 在 直 线 机 上 运 动，则 点 O 到 直 线 4）的 距 离 的 取 值 范 围 是（）A.4正-5,4应+1 B.2&-2,2

24、&+2 C.32,述 2 2 2 2D.3 7 2-2,3应+2【解 析】解：由 题 意，直 线 3 C 与 动 点 O 的 空 间 关 系：点 O 是 以 B C 为 直 径 的 球 面 上 的 点，所 以 O 到 A D 的 距 离 为 四 面 体 上 以 3 c 为 直 径 的 球 面 上 的 点 到 力。的 距 离，最 大 距 离 为 A D到 球 心 的 距 离（即 5 c 与 A D的 公 垂 线）+半 径=2 0+2.最 小 距 离 为 A。到 球 心 的 距 离（即 B C与 A D的 公 垂 线）-半 径=2 0-2.点 O 到 直 线 A O的 距 离 的 取 值 范 围

25、是：2&-2,25/2+2.故 选：B.二.多 选 题 8.设 三 棱 锥 V-M C 的 底 面 是 正 三 角 形，侧 棱 长 均 相 等，P 是 棱 侬 上 的 点（不 含 端 点）.记 直 线 依 与 直 线 4 c 所 成 的 角 为 a,直 线 与 平 面 ABC所 成 的 角 为 尸，二 面 角 P-A C-8 的 平 面 角 为 7,则 夕，p,了 的 大 小 关 系 正 确 的 是（）A.a p B.a-p C./?D.y P【解 析】解:如 图，过 点 8 作 直 线/A C,过 点 P 作 底 面 ABC的 垂 线 P），。为 垂 足，过 点。作 于 点 F,作 于 点

26、E,连 接 AO,B D,PF,PE,由 题 意 可 知，二 面 角 P-A C-5 的 大 小 与 二 面 角 尸-4 3-C 的 大 小 相 等，结 合 空 间 角 的 定 义 知，NPBE=a,NPBD=/3,4PFD=y,在 RtAPEB与 RtAPDB中，由 P E P D,得 s i n a s i n，所 以 a/?,（a,均 为 锐 角），故 A 正 确,3 错 误；在 RtAPDB与 RtAPDF中，由 P B P F,得 sin/?/?（,/均 为 锐 角），故 C 正 确；由 于 不 存 在 尸 3=P F 的 可 能，故。错 误，故 选：AC.9.已 知 四 棱 锥 S

27、-/W Q 的 底 面 是 正 方 形，侧 棱 长 均 相 等，E 是 线 段 A B上 的 点（不 含 端 点）.设 S E与 8 C所 成 的 角 为 4，与 平 面 A8C。所 成 的 角 为,二 面 角 S-A 8-C 的 平 面 角 为 a，则 下 列 结 论 中，正 确 的 有（）A.4 名 B.%,a c.a”a D.【解 析】解：如 图 所 示：设。为 正 方 形/W C D的 中 心，例 为 他 中 点，过 E 作 8 C 的 平 行 线 所，交 C）于 F,过 O 作 ON 垂 直 7，T N,连 接 SO,SN,SE,SM,O M,OE,则 S O垂 直 于 底 面 AB

28、CD,O M 垂 直 于 A3,因 此 ZSEN=q,ZSEO=q,NSMO=8.从 in一 j tan 0c,=-S-N-S-N-，tan 6n)-S-O-，tan O-c,=-S-O-1 EN OM 2 EO OM因 为 SN.SO,EO.OM,所 以 tan q 用 tan&tan 02,即%,故 选：ACD.SB C1 0.在 棱 长 为 1的 正 方 体 A 8 C D-A 8 c 中，P，M,N 分 别 为 棱 C G，CB,C 上 的 动 点（点 P 不 与 点 C,G 重 合），若 CP=CM=CN,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.存 在 点 P,使 得 点 A 到

29、平 面 的 距 离 为 gB.用 过 P,M,。三 点 的 平 面 去 截 正 方 体，得 到 的 截 面 一 定 是 梯 形 C.B D J/平 面 PMND.用 平 行 于 平 面 PM N的 平 面 a 去 截 正 方 体，得 到 的 截 面 为 六 边 形 时，该 六 边 形 周 长 一 定 为 3 0【解 析】解：对 于 A：连 接 A G，BQ,A,B,BD,C Q,AtD,B、C,如 图 所 示：CP=CM=CN,:.M N/B D,N P U C.D,M P!B C.,且 平 面 M V P/平 面 BCQ,又 已 知 三 棱 锥 A,各 条 棱 长 均 为 0,则 三 棱 锥

30、 A-B G D 为 正 四 面 体,故 4 到 平 面 8 G o 的 距 离 为:j(0)2-0 X 6 XAA J-平 面 BCC圈,：.A 与 J L 8 0,又 BC、1 及 c,口.a A f B、C=B、,.8C|_L 平 面 A A C，又 AC u 平 面 A B C，.,-4_LAC,同 理 可 得 C|O_LAC,且 8 G n C Q=G，r.AC_L 平 面 BG。，又；AC=6，到 平 面 P M N 的 距 离（W，g）,且 F并 延 长 交 D C 的 延 长 线 于 点 Q，连 接 Q M 并 将 其 延 长 与 4 5 相 交 于 点 A,如 图 所 示:C

31、P=C M,且 CP/DD,C M H A D，则 色=也=丝，DD,DA DQDA=DD,故 A 即 为 A,连 接 AR,过 点 P，M.R 的 截 面 为 四 边 形 AD.PM,由 条 件 可 知 M P/BCt,BCt HAD,且|MP 同 AD,四 边 形 A/M为 梯 形，故 3 正 确；对 于 C：连 接 由 A 可 知 平 面 MVP/平 面 8 C Q,如 图 所 示:X-B e 平 面 BG。，0 6 平 面 26,故 不 平 行 于 平 面 B C Q，故 8R 平 面 P M V 不 成 立，故 C 错 误；对 于。：在 B片 上 取 点 片，过 点 作 6/MP交

32、与 G 于 一 点 鸟，过 鸟 作 鸟 2/MN交 G R 于 N1,以 此 类 推，如 图 所 示：依 次 可 得 点 Nz，M2,此 时 截 面 为 六 边 形，根 据 题 意 可 知：平 面 6 2 N N 2 M M?/平 面 的 VP,不 妨 设 8片=1，则 KM?=E M=N2Ml=&x,故 62=M 2=/2（I-X）,故 六 边 形 的 周 长 为：3 缶+0（1-*）=3夜，故。正 确;故 选：ABD.11.如 图，在 棱 长 为 1的 正 方 体 ABCD-AgG 中，P 为 棱 C G 上 的 动 点（点 P 不 与 点 C，G 重 合）,过 点 P 作 平 面 a 使

33、 ACJ平 面。，分 别 与 棱 BC,C D 交 于 M,N 两 点，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.CP=C M=CNB.存 在 点 P,使 得 AG 平 面 a7C.存 在 点 P,使 得 点 A 到 平 面 a 的 距 离 为,D.用 过 点 尸，M,A 的 平 面 去 截 正 方 体，得 到 的 截 面 一 定 是 梯 形【解 析】解：连 接 8 G，B D，DC,A Q,DtP,因 为 CM=CN,CB=C D,所 以 包=丝，所 以 M N/BD,则 CM=CN,CB CD乂 MN u平 面 6 B D,所 以 M N/平 面 C/D,同 理 可 证 M P/B G，所

34、 以 M P=C P，故 CP=CM=CN,故 4 正 确，平 面 8 C|U 平 面 C|8 O,所 以 M P 平 面。声,又 M P C M N=M,M N、M P u平 面 a,所 以 平 面 g B。/平 面 a,易 证 A C，平 面 C B Q,所 以 AC_L平 面 a,又 4 G C 平 面 G 8D=G，所 以 A G与 平 面 a 相 交，不 存 在 点 P，使 得 A C J/平 面 a,故 3 不 正 确;因 为|=V 1+1+1=上，点、C 到 平 面 G B D的 距 离 为 日，所 以 点 4 到 平 面 a 的 距 离 的 取 值 范 围 为（华，百），又 G

35、 Z,所 以 不 存 在 点 P，使 得 点 A 到 平 面 a 的 距 离 为 工，故 C 不 正 确.4 4因 为 A/B C 所 以 A R/M P,所 以 用 过 点 P，M,。的 平 面 去 截 正 方 体 得 到 的 截 面 是 四 边 形 AD.PM,又 A D J IMP,且 4 A H M 尸，所 以 截 面 为 梯 形，。正 确.1 2.如 图，正 方 体 A B C D-A g C Q的 棱 长 为 4,E 为 棱 C D的 中 点，尸 为 线 段 G R（不 包 括 端 点）上 的 动 点，则（）.4 BA.三 棱 锥 石-4）月 的 体 积 为 定 值 B.设 直 线

36、 心 与 平 面 的 所 成 线 面 角 为。，则 s.噜?C.三 棱 锥 E-4）-外 接 球 的 表 面 积 的 取 值 范 围 为（24万,56%）D.设 平 面 4 5江 与 平 面 A G 所 成 锐 二 面 角 为 尸，则 cos（0,、-）【解 析】解；对 于 A,由 于 S皿 为 定 值，点/到 平 面 A D E的 距 离 为 定 值，故 七 一=匕 一 9 为 定 值,选 项 A 正 确;过 作 即 _ 1。，连 接 A H,由 4?_ L平 面 C C Q Q,E H u平 面 C q R D,可 得 AO_LW,又 AO DF=D,A D，D b u 平 面 4。下，则

37、 EH_L平 面 A下，.-.0=ZH A E,B iJ sin0=D E s i n Z H D E=s i n ZHDE G,选 项 3 错 误;A.E A,E 5 10 5对 于 C,如 图 2,取 他 的 中 点 G，过 G 作 平 面 ABCD的 垂 线，与 平 面 A A G。的 交 点 为/，过/作 G R 的 垂 线，垂 足 为 J,则 三 棱 锥-4）尸 的 外 接 球 球 心 在 G/上，记 为 O,设 O G=m,=e（0,3）,外 接 球 半 径 为 R，由 R2=O2=O严 得,R2=+5=0/2+2+2=(4-2+4+/,m=+n-G（,3）,则 S=4zrR2=4

38、%（2+5）（乃 31,56万），选 项 C 错 误；8 8 16对 于 D,问 题 转 化 为 过 定 直 线 作 平 面 与 定 平 面 的 角 度 问 题，最 大 为 巴，最 小 为 线 面 角，因 为 平 面 ACR2平 行 于 平 面 如 图 3,当 尸 与 G 重 合 时 两 平 面 垂 直，当 尸 与 R 重 合 时，两 平 面 的 二 面 角 最 小，作 A R 的 中 点 为 尸，则 cos”也=半=2PC 2 限 3cosp e(0,-y-),选 项 D 正 确.故 选：AD.1 3.已 知 正 三 棱 柱 A B C-A U G 的 棱 长 均 为 2,点。是 棱 B始

39、上（不 含 端 点）的 一 个 动 点.则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.棱 A G 上 总 存 在 点 E,使 得 直 线 B1E/平 面 A）GB.A A O G 的 周 长 有 最 小 值，但 无 最 大 值 C.三 棱 锥 4-D G C 外 接 球 的 表 面 积 的 取 值 范 围 是 学，亭）D.当 点。是 棱 的 中 点 时，二 面 角 A-O G-C 的 正 切 值 为 形【解 析】解：对 A,在 A G 上 取 一 点 尸 使 得 EF/A4,则 EF/84，当 EF=8 Q 时，四 边 形 EFDB、为 平 行 四 边 形，故 EBJ/DF,又 用 E,平 面 A

40、 O G，。尸 匚 平 面 4。6，所 以 直 线 与 E/平 面 AZ）G,故 A 正 确；对 5,如 图 展 开 侧 面 ABCG。，易 得 当。在 A G与 的 交 点 时 AD+O G取 得 最 小 值,因 为 D 是 棱 8片 上（不 含 端 点）的 一 个 动 点，故 A+6无 最 大 值，故 A A O 0的 周 长 有 最 小 值，但 无 最 大 值，故 5 正 确；对 C,由 题 意，三 棱 锥 A-O C Q 外 接 球 即 四 棱 锥 O-A G C A的 外 接 球，取 A G 中 点 N,A C中 点 M,连 接 M N并 延 长，交 正 方 形 A C C 4的 外

41、 接 圆 于 P。，则 PQ=AC=2 0.易 得 平 面 PQ_L平 面 A G O,根 据 外 接 球 的 性 质 有 外 接 球 的 球 心 在 平 面 OP。中，且 为 ADP。的 外 接 圆 圆 心，由 对 称 性，可 得 当。在 中 点 时，N P D Q 最 大,此 时 外 接 球 宜 径 最 小，此 时 sin NDQP=I 百=与，故 外 接 球 直 径 2R=一=忖 产=4，亚 s i n Q P 西 行 加-?5此 时 外 接 球 表 面 枳 S=（2Rf兀=一 T C,3当。在 5 或 者 4 点 时，三 棱 锥 4-O C C外 接 球 即 正 三 棱 柱 ABC-A

42、 U G 的 外 接 球，此 时 外 接 球 的 一 条 直 径 与 M 和 M B C 的 外 接 圆 直 径 构 成 直 角 三 角 形：此 时 外 接 球 直 径（2炉=（卫-）2+AA2=,.乃 3sin 3此 时 外 接 球 表 面 枳 S=4丁 代=（27?尸 乃=日 万，因 为 点。是 棱 8片 上（不 含 端 点）的 一 个 动 点，故 三 棱 锥 A-O C。外 接 球 的 表 面 积 的 取 值 范 围 是 等,等），故 C 正 确；n对。，设 A 到 平 面。C G 的 距 离 为，则 由 Is,BP-X 2 X 2 X/Z=1 X 2 X 2 X,故 人=百,3 3 A

43、i0 故 二 面 角 A-D Ct-C 的 正 切 值 为=-=叵，故 D 错 误:4 3三.填 空 题 1 4.如 图，在 长 方 形 至 8 中，AB=2,BC=1,E 为。C 的 中 点，F 为 线 段 EC（端 点 除 外）上 一 动 点，现 将 A4AD沿 A/折 起，使 平 面 平 面 A B C,则 二 面 角 D-A 尸-8 的 平 面 角 余 弦 值 的 取 值 范 围 是.则 NOQK为 所 求 二 面 角 的 平 面 角，cosZDOK=,OD设 F=x,AF=y/x2+,A D2=AO.AF,贝 O D=.X由 平 面 图 形/WCE知，ZDAF=900-Z F A B

44、,CK i故 tan NFAB=cot ZDAF=-,OA x所 以 OK=o A,XCK 1所 以 cosNOOK=,x e(l,2),O D x2故 c o s Z D O K*,1).故 答 案 为：，1）.1 5.如 图，在 长 方 形 AfiCD中，AB=2,BC=1,E 为 D C的 中 点，尸 为 线 段 EC（端 点 除 外）上 一 动 点，现 将 A4FD沿 4 F 折 起，使 平 面 平 面 A 8 C,在 平 面 A3。内 过 点。作 K,A8,K 为 垂 足，【解 析】解：此 题 的 破 解 可 采 用 二 个 极 端 位 置 法，即 对 于 F 位 于 D C的 中

45、点 时，可 得 1=1,随 着 尸 点 到 C 点 时，当 C与 尸 无 限 接 近，不 妨 令 二 者 重:合，此 时 有 8=2因 C8_L/1B,C B 1 D K,，C8_L平 面 4）B，即 有 C8_L3D,对 于 8=2,BC=,在 直 角 三 角 形 C8中，得 8 0=6，又 A D=1，A B=2,再 由 勾 股 定 理 可 得 N 8/M是 宜 角，因 此 有 再 由。K _ L AS,可 得 三 角 形 4 出 和 三 角 形 4 相 似，可 得 t=-,2因 此 f 的 取 值 的 范 围 是（；，1）故 答 案 为（；，1）1 6.已 知 二 面 角。-/-6 为

46、60。，在 其 内 部 取 点 A,在 半 平 面 a,/?内 分 别 取 点 3,C.若 点 A 到 棱/的 距 离 为 1,则 A4BC的 周 长 的 最 小 值 为.【解 析】解：作 A 关 于 平 面 a 和 夕 的 对 称 点 M,N,交 a 和 力 与,E,连 接 M N,A M,AN,DE,根 据 对 称 性 三 角 形 ADC的 周 长 C=AB+AC+3C=MB+3C+C V,当 M,B,C，N 共 线 时，周 长 最 小 为 M N设 平 面 A D E交/于，O,连 接 8,O E,显 然 OD_L/,OEJJ,Z D O E=60。，（24=1,根 据 对 称 轴，ZM

47、O/V=120,且 0M=ON=Q4=1,=l+l-2 xlxlxco sl2 0 O=3,故 M N=g.故 答 案 为：也.1 7.如 图，在 60。的 二 面 角 a-/-内 取 点 A,在 半 平 面 a,6 中 分 别 任 取 点 3,C.若 A 到 棱/的 距 离 为 d,则 AABC的 周 长 的 最 小 值 为.解 析 解：作 A 关 于 平 面 a 和 尸 的 对 称 点 M 和 N,连 接 M N,A M交 平 面 a 于。，A N交 平 面 尸 T E,连 接。E,M B C 周 长 乙=/W+AC+8C=+GV+BC由 两 点 之 间 线 段 最 短 可 以 得 出 要

48、 使 A P8C周 长 最 小，M、B、C、N 在 一 条 直 线 上.AABC 周 长 乙=2DE把 三 角 形 A D E另 作-图，作 A 关 于 D O的 对 称 点。，A 关 于 E O的 对 称 点 E,连 接 D O，E O,D D,E E,D E-二 面 角 a-/-，的 大 小 为 60。，:.ZD O E=60,ZZ7OE=120。D E=2DEAO=d:.D O=E O=d:.D E，=6 d,AABC 周 长 的 最 小 值 Lmin=M N=2DE=DE=1.故 答 案 为：yfid.N1 8.平 面 a 的 斜 线 A 3交 a 于 点 3,过 定 点 A 的 动

49、直 线/与 A B垂 直，且 交 a 于 点 C,则 动 点 C 的 轨 迹 是 _A.一 条 直 线 B.一 个 圆 C.一 个 椭 圆。.双 曲 线 的 一 支.【解 析】解：如 图，设/与 r 是 其 中 的 两 条 任 意 的 直 线，则 这 两 条 直 线 确 定 一 个 平 面 尸，且 a 的 斜 线 ABL0,由 过 平 面 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直 可 知 过 定 点 A 与 他 垂 直 所 有 直 线 都 在 这 个 平 面 内，故 动 点 C都 在 平 面 力 与 平 面 a 的 交 线 匕/故 选 A19.如 图，已 知 平

50、面 四 边 形/1BCZ),AB=BC=3,8=1,AD=y/5,NADC=90。，沿 直 线 AC 将 AACD翻 折 成 A A S,直 线 AC与 8。所 成 角 的 余 弦 的 最 大 值 是.【解 析】解：如 图 所 示，取 AC的 中 点 O,AB=BC=3,:.BOA.AC,在 RtAACD，中，AC=Q l2+诉 2=遍 作。E L A C,垂 足 为 E,0 七=*注=我 76 6但 也，CE=%=四,2 CA 屈 6:.EO=CO-CE=3过 点 B 作 B F/A C,作 F E/B O交 B F于 点 F,则 EFJL A C.连 接 D F.为 直 线 A C与 8。