黑龙江省大庆市2023届高三第一次教学质量检测数学试题带答案解析.pdf

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1、大庆市2023届高三年级第一次教学质量检测数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合4 =E。,集合8 =T，2 ,若 A c B =0,则实数。的取值范围是()A.(-o o,-l B.(-o o,-l)C.D,(2,+o o)【答案】A【分析】利用交集的运算求解.【详解】因为4 =x|x g52 +lo g59 =lo g52 +2 1o g53,所以 lo g518=a+2 b.6.已知不重合的直线/,m,和不重合的平面a,B ,下列说法中正确的是()A.若加 u a,n u。,m l n,则 a J 尸B

2、.若加 u a,u a,m /?,nll/3,则 a 6C.若a_ l?，/1/?,则/aD.若/?=/,m u a ,n u 0,m/n,则?/【答案】D【分析】由线线垂直得不到面面垂直，可判断A错；无法判断加，是否相交，故B错误：存在/u a特殊情况，故C错误；由线面平行的性质和判定定理可判断D正确.【详解】对选项A,如图所示，满足命题条件，但不一定满足a，尸，故A错：对选项B,当加M，=/时，都满足相 ,尸，但推不出a 尸，故B错;对选项D,因为加Z/,n u/3 ,m/n,所以加/小，又m u a ,a/3=l,所以加/.7.设x,y e R,贝ij“x+y2”是“x,y中至少有一个大

3、于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用反证法可以得到x+y 2时X,y中至少有一个大于1,充分性成立，再举出反例，证明必要性不成立【详解】假设X,y均不大于1,即且则x+y 4 2,这与已知条件x+y 2矛盾，故当x+y 2时x,)，中至少有一个大于1,故充分性成立；取x=2,y =-1,满足x,y中至少有一个大于1,但x+2不成立，故必要性不成立，故“x+y2”是“x,y中至少有一个大于1”的充分不必要条件.8.设抛物线C：-=一12焦点为F,点P在C上，Q(0,-9),若巧|,则|P 0 =()A.2 7 2 B.4 V2

4、 C.5 7 2 D.6 5/2【答案】D【分析】根据题意得出|P目是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.【详解】由题意可知网0,-3),|Q F|=6,所以|P刊=6.因为抛物线C的通径长2 =1 2,所以P户y轴，所以|P Q|=V62+62=6 7 29 .函数x)=A s i n 3 +0)(A 0,0,|同 )的部分图象如图所示，将了TT的图象向右平移百个单位长度得到函数g(X)的图象，则()A.g(x)=0 sin 卜x 一2 3)B.g(x)=/5COS2XC.g(x)=0 c o s(2x 1)D.=V2sin2x+-【答案】C【分析】首先根据函数图象得到/(x)=3 s

5、i n(2x+g【详解】由图知：/(x)n,n=-A =-y 2,则4=及，,再根据平移变换求解即可.1丁 7 n1=-7t-4 12 3(，所以 丁 =万，则 刃=2,即 _/(x)=0 s i n(2x+e).因为乙=V2sin|-27T-(p=0,37372所以乃+=2)，k e Z,2.即9=一乃+2)，Z c G Z.因为|。|楙，得9=5，所以 了)=五sin(2 x+-.I 3j所以g(x)=0.c 7 71 1 71sin 2 x-d-12；sin 2 x+?=四 疝2 x-工+工=及C O S 2x-f!32、3=夜10.在三棱锥尸一ABC中，平面A8G 且AB=P8=2 6

6、，AC=BC=2,E,F分别为B C,心 的 中点，则异面直线E尸与PC所成角的余弦值为()P【答案】B【分析】要求异面直线的夹角，利用线线平行进行转化，如图分别取AB,的 中 点G,连接FM,ME,GE,F G,则GE P C,所以ZFE G 或其补角为异面直线E尸与PC所成的角，解三角形即可得解.【详解】如图所示，分别取A B,尸 8 的中点M,G,连 接 加，ME,GE,F G,贝 IJGE&,所以NFEG(或其补角)为异面直线EF与 PC所成的角.因为A6=PB=2百，A C =B C =2,所以我 例=百，M E =.因为 P3_L 平面 ABC,B C u 平面 ABC,F M /

7、P B ,FM _L平面 ABC,P B I B C,Q M E u 平面 ABC,所以且 P C =J B C?+P B2=4-在 中，FE=JFM+M E?=2在 F E G 中，E G=；P C =2=F E,F G=6.EF+EG?-FG由余弦定理得cos N F E G =2 E F E G4+4 352x2x2 8所以异面直线E F 与PC所成角的余弦值为0.11.已知函数/(X),g(x)的定义域均为R,且 x)+g(2-x)=2,g(x)-/(x-4)=4,若 g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=l,贝 4(2 0 2 2)=()A.-3 B.-1 C.0 D.2【答案

8、】A【分析】依题意可得g(2 x)=g(2+x),再由/(x)+g(2 x)=2 可得f(-x)=x),即可得到/(x)为偶函数，再由g(x)-4 x 4)=4 得到 x+4)=/(x),即可得到“X)的周期为4,再根据所给条件计算可得.【详解】因为g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g(2 x)=g(2+x),所以/(x)+g(2-x)=/(x)+g(x+2)=2,因为/(x)+g(2+x)=2,所以一x)=f(x),所以“X)为偶函数.因为 g(x)/(x4)=4,所以 g(x+2)/(x2)=4,所以“x)+/(x-2)=-2,所以/(x+2)+x)=2,所以x+4)+x+2)=-2,

9、所以x+4)=x),所以/(x)的周期为4,所以/(2022)=/(2).因为g(2)/(-2)=g(2)-2)=4,所以2)=-3,故“2022)=-3.2 212.设 片，F2分别是椭圆C：，+，r=l(a方 0)的左、右焦点，点P，。在椭圆C上，若|耳+%|=忸 一 刊 ，且 所=2加，则椭圆C的离心率为()A.立 B.2 C.也 D.也33 3 3【答案】A【分析】利用数量积知识得历_ L%,然后利用第一定义及勾股定理得到八c关系，即可求出离心率【详解】由卜耳+所卜卜E p|,得 历_LPE，则点尸是以6 K为直径的圆与椭圆c的交点，不妨设和点尸在第一象限，如图连接。，令|。周=*，则

10、|PR|=2 x。用=2a-X,|P用=2a 2x.因为P K P Q,所以仍用2+|也|2=依片，即4(a-x)2+9x2=(2a_x)2,得x=；，又归居+生，所以4(a X)2+4X2=4C，2,将x=代入，得e=4.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数-4e*+1的图象在点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.【答案】4x+y+3=0【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解【详解】因为/(%)=-4 +1,所 以/(x)=2x-4e*.因为/(0)=-3,/=一4,所以所求切线方程为y-(-3)=-4 x,即4x+y+3=0.故答案为：4x+y+3=()

11、14.已知直线/：3x 4y+l=0与圆O：x2+V+2 x 4y+m=o相离，则整数机的一个取值可以是.【答案】2或3或4(注意：只需从2,3,4中写一个作答即可)【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数机的范围.【详解】因为圆。的圆心为(-1,2),所以圆心到直线/的距离d=i斤 彳=2,因为圆O的方程可化简为(x+lp+(y 2)2=5 加，即半径为，5-小，所以,所以1(机 5,故整数机的取值可能是2,3,4.故答案为：2或3或4(注意：只需从2,3,4中写一个作答即可)15.一个口袋里有大小相同的白球4个，黑球用个，现从中随机一次性取出2个球，若取出的两个球都是白球的概率

12、为:，则 黑 球 的 个 数 为.6【答案】5【分析】根据古典概型的概率公式及组合数公式得到方程，解得即可.C2 1 12 1【详解】由 题 意 得 马-=:，所以1=解得2 =5或加=12(舍去),2 6(2 +3)(加+4)6即黑球的个数为5.故答案为：516.已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是2:3,则=展开 式 的 常 数 项 为.(用数字作答)【答案】.9 (2).-672C 2【分析】空1：根据二项式系数的性质得苫二可，解出即可；9-3r Q _ 3r空2：由题化简得其展开式的通项为7；川=(2(-2)方 丁，令-7 二。，解出值，代回即可得到其常数项.nr3 9 31

13、(n-3V 2【详解】由 题 意 得 苦=,即厂=,解得=9.4!(一4)!/八 9 9 f (八 9一3展开式的通项为7；T=C (4)J-I =C/(2)x丁.Q-3ra令=0,解得r =3,故展开式中的常数项为C；X(-2)3=-6 7 2.故答案为：9；-6 7 2.三、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.设%是公差不为0的等差数列，4=2,%是%,即 的等比中项.(1)求 为 的通项公式；(2)设勿=,求数列出 的前项和S.4 A+13H【答案】(1)(2)Sn=-6+4【分析】设 4 的公差为d,由题意可得(2+24)2=2(2+1

14、0 4),求出d =3,即可求出 4 的通项公式；(2)由裂项相消法求和即可得出答案【小 问1详解】设 4 的公差为d,因为q =2,%是4，卬 的等比中项,所以(2+2d =2(2+1 0 4),所以储一3d =0.因为dr0,所以d =3,故4=2 +3(-1)=3-1.【小问2详解】3 _ 3 _ _ l _ _ _ _ _ _1aan+(3 -1)(3+2)3 n-1 3n+2因为。1 13 2 3+2 6n+41 8 .在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知s in 6-s in A c o s C =1 s in C .2(1)求角A；(2)若c =2,D为B

15、 C边的中点，|而|=,求a的值.【答案】(1)A =y(2)a=g【分析】(1)由两角和的正弦公式化简求解，(2)由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解,【小 问1详解】由题意得s in B=s in(A +C),所以 s in A c o s C +c o s A s in C-s in A c o s C =s in C ,所以 c o s A s in C =s in C.因为 s in。，所以c o s A =L2 2jr因为0 T,T N ,由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形0 MNT是平行四边形，则M N /D T,再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以。为坐标原点，方

16、，D C ,药的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小 问1详解】证明：取C A的中点了，连接。T,TN,:N ,T分别是C，的中点，NT B C,N T =-B C2.底面A B C。是矩形，是AO的中点，D M /B C /NT ,D M =工 A D =工 B C =N T2 2四边形D M N T是平行四边形，M N /D T ,MN平面C C QQ,D T u平面C GRO,二 脑V 平面C CQ Q.【小问2详解】解：以。为坐标原点，DA DC 西 的方向分别为X，），z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，八z则(1,0,0),A

17、(2,0,0),C(0,2,0),2(0 0 3),B 2,2,0),MN=Q,C M=(l,-2,0),设平面CMN的法向量为n=(x,y,z),_ 3加 MN=y+z=0则 2,n CM=x-2 y =0令z=2,得力=(6,3,2).取平面3。2的一个法向量机=(-2,2,0).设平面B。与平面CMN的夹角为6,由图可知。为锐角，/、m-n贝 ij cos 0=cos(m,n=p6272x7372故平面BDD,与平面C肱V夹角的余弦值为还.1420.盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：g/c n?）进行测定，认

18、为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.频率(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(2)在(1)的条件下，用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2 粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X,求随机变量X 的分布列和数学期望(各种子的萌发互相独立)；(3)若该品种种子的密度夕N(L3,().0 1),任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量X NJ,/),则P(一 弗 W/+cr)0.6827,尸(-2成

19、 W +2a)0.9545.【答案】(1)1.24g/cm3(2)分布列见解析，期 望 1.44；(3)16827粒.【分析】(1)根据频率分布直方图直接计算平均值即可；(2)求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项分布求解分布列与期望：(3)根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解.【小 问 1 详解】种子密度的平均值为：(0.7x 0.5+0.9x 0.6+1.1 x 0.9+1.3x1.4+1.5x 1.1+1.7x 0.5)x 0.2=1.24(g/cm3)【小问2 详解】3由频率分布直方图知优种占比为(1.4+l.l+0.5)x0.2=m，,一 3 4(3、3 1

20、8任选一粒种子萌发的概率P=三*工+1-X-7=TT 因为为这批种子总数远大于2,所以X B(2,p),P(X=O)=Co(l p)2 4 x&=急,P(X=l)=G p(l-p)=2 x挤m，=2)=C犷)。噗x2急，所以X布列为:X012P49625252625324625期望 E(x)=2p=1.44.【小问3详解】因为该品种种子的密度PN(1.3,().O1),所以=1.3,cr2=0.01，即 7=0.1,所以 20000 粒种子中约有优种 20000 x 0.5+-=20000 x0.84135=16827(粒)I2)即估计其中优种的数目为16827粒.2 221.已知双曲线。与椭

21、圆土+匕=1有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.9 4(1)求双曲线C的标准方程；(2)设。为双曲线C的右顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的E,口两点，若以EF为直径的圆经过点。且。G,所 于G,证明：存在定点”，使得|G|为定值.【答案】(1)x2-=l(2)证明见解析4【分析】(1)由已知可设，双曲线C的标准方程为与2=1(。02 0),根据条件列出。，c关系式，解出代入方程即可；(2)对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设/的方程为y=h +”,联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时;在圆锥曲线中常用向量法，化简得到优，女 的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【小

22、问1详解】设双曲线C的标准方程为f =v2二1(。0力 0)，a b焦点为耳(c,0),用(c为),2 2因为双曲线。与 椭 圆 工+工=1有相同的焦点，所以C =J5.9 4因为焦点到渐近线的距离为2,所以Ja2+b2=b 2,从而 a-yjc2-b2-1 故双曲线c的 标 准 方 程 为=i4【小问2详解】证 明:设E（x，x）,F（x2,y2）.当直线/的斜率存在时，设/的方程为丫=丘+”，y=kx+m,联立方程组，9 y2Y 2=1,I 4化简得（4 一%2）%2-2攵 如 一2 +4）=0,则 =（2%）2+4（加2 +4）（4-左2）o,即加之一攵2 +4o,X+工2且.中2 =2

23、km 4-k2-m2-44e因为n=（七一1）（乙 一l）+X%=0，所以，+1）内 工2 +（析?+*2）+4+1=（/k,2 +1）-m-2-4 +（/k.m-八）-1-k-m-+7?7 2+1_ =0_化简得3，-2km-5k2=（机+%）（3 z 5%）=0所以加=-%或机,且均满足加2-左2+40.当相=一左时，直线/的方程为y=%（x 1）,直线/过定点（1,0）,与已知矛盾:5（5、，5、当机=Z时，直线/的方程为y=Z x+-,过定点M-鼻,0当直线/的斜率不存在时，由对称性，不妨设OE方程为：尸 修，/一匚1 2联立方程组彳 4，得4 1一（1一1）一=4y=x-l5f 5

24、)得X =1,x2=9此时直线/过定点M ,0 I3 3 J因为OGLEF,所以点G在以DM为直径的圆上，”为该圆的圆心，|G|为该圆的半径，/1 A 4故存在定点”一工,0 ，使得|G|为定值不【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.1 ,2 2.已知函数/(幻=x ln x-/a x-x +a的两个不同极值点分别为玉，x2(玉 e2(e为自然对数的底数).【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)把函数/(x)=x ln x ；a?一%有两个不同极值点为，x?转化为了(幻=。有 n JC Z两

25、个不同的实数根，令g(x)=J,结合其导数分析g(x)值域情况，从而得到实数。的取值范围；(2)由题意可知为，巧是方程Mx-二。的两个根，从而有e L【小 问1详解】解：因/(x)有两个不同极值点刍，巧，所 以/(x)=ln x -a x =0有两个不同的根公，演，人 /,I n x 、1-ln x令 g(x)=-，则 g(x)=.X X令g (x)0,得0 x e；令g (x)e.所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，所以 g Q O m a x =g(e)e因为当x e(l,+o o)时，g(x)0,所以k e)【小问2详解】证明：由(1)可知1 玉 6。2,即证I n(再、)=；D；n f 2 ,即证I n)0,r +1 t(t+1)所以力在(0,1)上单调递增.因为(1)=0,所以/?(，)/?(1)=0,所以I n r-子 e 2成立.